理论力学达朗伯原理

对于空间任意力系：
Xi(e)Qix0 , mx(Fi(e))mx(Qi)0 Yi(e)Qiy0 , my(Fi(e))my(Qi)0 Zi(e)Qiz0 , mz(Fi(e))mz(Qi)0
实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方
程求解。
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§12-3 惯性力系的简化
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12.3.2 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
质心相对简化中心的矢径
向质心C简化： RQMaC
M rc
翻页 M Q C m C ( Q i) r i ( m ia C ) m ir i a C 0
刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。 请
RQ Mac
第二项为质点系的质量集中到简化中心 D 产生的惯性力矩，
为了简化计算，我们希望这一项不出现
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M I r i ( m i a r ) ir C ( m T a D )
通过选择特殊的简化中心，选择方法 与相对运动动量矩定理中的特殊动矩 心相同，这三种特殊的简化中心为：
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本章介绍动力学的一个重要原理——达朗贝尔原理。应 用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题， 从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方 法，因而也称动静法。
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第十五章 达朗伯原理 §12–1 惯性力的概念 ·质点的达朗伯原理 §12–2 质点系的达朗伯原理 §12–3 刚体惯性力系的简化 §12–4 定轴转动刚体的轴承动反力
简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的
惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力R Q 和一个
惯性力偶 M QO 。
(简化中心)
RQQmaMaC MQOmO(Q)
与简化中心无关 与简化中心有关
无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质 心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
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惯性力主矩可以按照定义式(12.6)直接
计算。
FI FIi M I M D (F I)i
但是，很多物体，在跟随简化中心 D 平动的坐
标系中计算相对运动惯性力主矩更方便，下面
推导这个公式。
我们在简化中心 D 上附加一个平动动系 DxD yDzD，如图 所示，可得
rc为平动参考系中看到的质心 C 的矢径。上式将惯性力主矩分解为两项， 第一项为平动参考系中看到的惯性力主矩，即相对运动惯性力主矩；
右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车
厢的加速度 a 。
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解： 选单摆的摆锤为研究对象 虚加惯性力 Qm a (Qm)a
由动静法, 取X坐标如图：有
X 0 ,m sg i Q n co 0 s
解得加速度
agtg
角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也 不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。
看
动
画
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二、定轴转动刚体
先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面 的简单情况。
O
直线 i : 平动， 过Mi点， Qi miai
空间惯性力系—>平面惯性力系（质量对称面）
O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：
主矢： RQMaC
主矩：
MQO mO (Qi )mO (Qin ) ri miri 0 miri2 IO
达朗伯原理的应用
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§12-1 惯性力的概念
一、惯性力的概念
人用手推车 F'Fm a
力 F '是由于小车具有惯性，力图保持原来 的运动状态，对于施力物体(人手)产生的 反抗力。称为小车的惯性力。
定义：质点惯性力
Qma
加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯
性反抗的总和。
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Qx
ma
x
m
d 2x dt 2
Qy
ma
y
m
d 2y dt 2
Qz
ma
z
m
d 2z dt 2
Q
ma
m
d 2s dt 2
Q
n
ma
n
m
v2
Q b ma b 0
[注] 质点惯性力不是作用在质点上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。
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12.2、达朗伯原理
非自由质点M，质量m，受主动力 F ， 约束反力 N ，合力 RFNm a
也可以将质点系受力按内力、外力划分,
Fi(e)
(i)
F i
源自文库
Qi 0
注意到 F i(i)0, m O(F i(i))0
则
Fi(e)Qi 0
mO(F理i(e论))力学达m 朗伯O(原Q理i)0
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表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只 是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。
Qi
（摆式加速计的原理。）
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质点系的达朗伯原理
设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有
FiNiQ i0(i1,2,n..)....
对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上 构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理。可用方程表示为：
FiNi Qi0
mO(Fi)mO(Ni)mO(Qi)0
(负号表示与反向)
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向O点简化： RQ MaC
MQOIO
作用在O点
向质心C点简化： RQ MaC
MQCIC
作用在C点
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讨论：
RQ MaC
MQOIO
①刚体作匀速转动，转轴不通过质心C 。RQ me2
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讨论：
RQMaC MQCIC
②转轴过质心C，但0，惯性力偶 MQIC （与反向）
FNm a0
FNQ0
质点的达朗伯原理
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该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有 改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最 大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题 一种统一的解题格式。
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[例1] 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向
mi
ai
MaC
d dt
(mi
vi
)
dK dt
mO
(Qi
)
mO
(mi
ai
)
d dt
mO
(mi
vi
)
dLO dt
mO (miai )
ri mi
dvi dt
d dt
[(ri
mivi
)
dri dt
mivi
]
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用动静法求解动力学问题时，
对平面任意力系：
Xi(e) Qix0 Yi(e) Qiy0 mO(Fi(e) )mO(Qi )0