您的位置：360文档中心› 2020年湖南师大附中中考数学二模试卷(解析版)

2020年湖南师大附中中考数学二模试卷(解析版)

合集下载

2020年湖南师大附中高新实验中学中考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)

2020年湖南师大附中高新实验中学中考数学模拟试卷(3月份)(有答案解析)

2020年湖南师大附中高新实验中学中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列各数中无理数为A. B. 0 C. D.2.下列运算正确的是A. B.C. D.3.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是A. B. C. D.4.下列调查中，适合采用全面调查普查方式的是A. 了解湖南卫视的收视率B. 了解湘江中草鱼种群数量C. 了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量D. 了解某班同学“跳绳”的成绩5.作为“一带一路”倡议的重大先行项目，中国、巴基斯坦经济走廊建设进展快、成效显著．两年来，已有18个项目在建或建成，总投资额达185亿美元．185亿用科学记数法表示为A. B. C. D.6.空气是混合物，为直观介绍空气各成分的百分比，最适合用的统计图是A. 折线图B. 条形图C. 直方图D. 扇形图7.若一个角为，则它的余角的度数为A. B. C. D.8.如果一次函数、b是常数，的图象经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是A. ，且B. ，且C. ，且D. ，且9.如图，中，弦AB、CD相交于点P，，，则的大小是A.B.C.D.10.如图，在中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接若，，则的度数是A. B. C. D.11.西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为A. B. C. D.12.如图，点，都在双曲线上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABPQ周长的最小值为A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.化简：的结果为______．14.点与点B关于原点对称，则点B的坐标是______．15.下列四个命题中：对顶角相等；同旁内角互补；全等三角形的对应角相等；两直线平行，同位角相等，其中假命题的有______填序号16.一个正多边形的一个外角为，则它的内角和为________．17.已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥的侧面积为______结果保留18.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为______结果带有根号三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：20.解不等式组：．21.西宁市教育局在局属各初中学校设立“自主学习日”规定每周三学校不得以任何形式布置家庭作业，为了解各学校的落实情况，从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的反馈表，针对以下六个项目每人只能选一项：课外阅读；家务劳动；体育锻炼；学科学习；社会实践；其他项目进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：此次抽查的样本容量为______，请补全条形统计图；全市约有4万名在校初中学生，试估计全市学生中选择体育锻炼的人数约有多少人？七年级班从选择社会实践的2名女生和1名男生中选派2名参加校级社会实践活动，请你用树状图或列表法求出恰好选到1男1女的概率是多少？并列举出所有等可能的结果．22.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．求新坡面的坡角a；原天桥底部正前方8米处的长的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．23.如图，的直径，弦，的平分线交于D，过点D作交CA的延长线于点E，连接AD，BD．由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是______ ；求证：DE是的切线；求线段DE的长．24.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费由两部分组成：固定费用400元和服务费用5元平方米；乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．求甲公司养护费用元与绿化面积平方米的函数解析式不要求写出自变量的范围；选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．25.在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点，则称为点P的“l变换点”．已知：点，直线l：，求点P的“l变换点”的坐标；若点Q和它的“l变换点”的坐标分别为和，求直线l的解析式；如图，的半径为2．若上存在点M，点M的“l变换点”在射线上，直线l：，求b的取值范围；将在x轴上移动得到，若上存在点N，使得点N的“l变换点”在y轴上，且直线l的解析式为，求E点横坐标的取值范围．26.如图，抛物线其中与x轴分别交于A，B两点在B的右侧，与y轴交于点c．求的周长，用含m的代数式表示若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足，求的值及用含m的代数式表示点P的坐标；在的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间含点C与顶点的任意一点总能使不等式及不等式恒成立，求n的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、是无理数，选项正确；B、0是整数是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是整数，是有理数，选项错误．故选A．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．2.【答案】C【解析】解：A、，故原题计算错误；B 、，故原题计算错误；C 、，故原题计算正确；D、，故原题计算错误；故选：C．根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．此题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、单项式与多项式相乘，关键是熟练掌握各计算法则．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：不是轴对称图形，故本选项错误；B.不是轴对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，故本选项错误；D.是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4.【答案】D【解析】解：A、了解湖南卫视的收视率，适合采用抽样调查；B、了解湘江中草鱼种群数量，适合采用抽样调查；C、了解全国快递包裹产生包装垃圾的数量，适合采用抽样调查；D、了解某班同学“跳绳”的成绩，适合采用全面调查；故选：D．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5.【答案】B【解析】解：185亿．故选：B．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6.【答案】D【解析】解：由分析可知，要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．故选：D．扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．本题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图，理解各自的特点是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：它的余角，故选：D．依据余角的定义列出算式进行计算即可．本题主要考查的是余角的定义，掌握相关概念是解题的关键8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质和图象，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．根据一次函数的性质得出即可．【解答】解：一次函数、b是常数，的图象经过第一、二、四象限，，，故选：B．9.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由同弧所对的圆周角相等求得，然后根据三角形外角的性质即可得到结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．10.【答案】C【解析】解：，，，，．故选C．由，得到，再根据三角形的外角的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．11.【答案】B【解析】解：由题意可得，，故选：B．根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．12.【答案】B【解析】解：点，都在双曲线上，，，，，，作A点关于x轴的对称点，B点关于y轴的对称点，连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，，，四边形ABPQ周长，，，四边形ABPQ周长最小值为，故选：B．先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为，D点坐标为，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．13.【答案】【解析】解：原式．故答案为：．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．14.【答案】【解析】解：点与点B关于原点对称，点B的坐标是，故答案为：．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．15.【答案】【解析】解：对顶角相等是真命题；同旁内角互补是假命题；全等三角形的对应角相等是真命题；两直线平行，同位角相等是真命题；故假命题有，故答案为：．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理为且n为整数；多边形的外角和等于360度，先利用多边形的外角和等于360度计算出多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式计算．【解答】解：这个正多边形的边数为，所以这个正多边形的内角和为．故答案为．17.【答案】【解析】解：圆锥的高是4cm，母线长5cm，勾股定理得圆锥的底面半径为3cm，圆锥的侧面积．故答案为：．首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径，然后利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．18.【答案】【解析】解：较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为．故答案为．直接利用黄金分割的定义求解．本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB 和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．19.【答案】解：原式．【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21.【答案】解：；B 组人数人，条形图如图所示：参加体育锻炼的人数的百分比为，用样本估计总体：人，答：全市学生中选择体育锻炼的人数约有16000人；设两名女生分别用，，一名男生用B表示，树状图如下：共有6种情形，恰好一男一女的有4种可能，所以恰好选到1男1女的概率是．【解析】【分析】本题主要考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．也考查了扇形统计图和条形统计图．根据百分比，计算总人数，再算出B组人数补全条形统计图即可；用样本估计总体的思想，即可解决问题；画出树状图，求出所有可能，以及一男一女的可能数，利用概率公式计算即可．【解答】解：总人数，故答案为1000，条形统计图见答案；见答案；见答案．22.【答案】解：新坡面的坡度为1：，，．答：新坡面的坡角a为；文化墙PM不需要拆除．过点C作于点D，则，坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，，，，文化墙PM不需要拆除．【解析】由新坡面的坡度为1：，可得，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；首先过点C作于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键．23.【答案】由知，即，，，是的切线；、，，过点A作于点F，则四边形AODF是正方形，，，，，即，，．【解析】解：如图，连接OD，是直径，且，，，平分，，，则曲边三角形的面积是，故答案为：；见答案见答案【分析】连接OD，由AB是直径知，结合CD平分知，从而知，根据曲边三角形的面积可得答案；由，即，根据可得，即可得证；勾股定理求得，作知四边形AODF是正方形，即可得，由知，即，求得EF的长即可得．本题主要考查切线的判定、圆周角定理、正方形的判定与性质及正切函数的定义，熟练掌握圆周角定理、切线的判定及三角函数的定义是解题的关键．24.【答案】解：由题意可得，，即甲公司养护费用元与绿化面积平方米的函数解析式是；由题意可得，乙公司养护费用元与绿化面积平方米的函数解析式是，当时，令，得，，当，选择甲公式；当时，令，得，即当时，选择甲公司养护费用较少；令，得，即当时，两家公司养护费用一样；令，当，即当时，选择乙公司养护费用较少．综上所述：当时，选择甲公司养护费用较少，当时，两家公司养护费用一样，当时，选择乙公司养护费用较少．【解析】根据甲公司方案，每月的养护费由两部分组成：固定费用400元和服务费用5元平方米，可以写出甲公司养护费用元与绿化面积平方米的函数解析式；根据乙公司方案，可以写出乙公司养护费用元与绿化面积平方米的函数解析式，然后利用分类讨论的方法，可以得到选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．25.【答案】解：如图1，点关于y轴的对称点，再关于直线的对称点；点关于y轴的对称点，过点和的直线的解析式为，过点和是直线l对称，直线l过点和连线的中点且与直线垂直，过点和连线的中点为，设直线l的解析式为，，解得：，直线l的解析式为：；如图4中，由题意，由此可知，当的值最大时，可得b的最大值，直线的解析式为，，，易知，时，的值最大，最大值为4，的最大值为2，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为，综上所述，满足条件的b取值范围为；设，如图6中，设点E关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，易知当点N在上运动时，点在上运动，由此可见当与y 轴相切或相交时满足条件．连接交直线于K，易知直线的解析式为，由，解得，，，，当与y轴相切时，，解得或，综上所述，满足条件的t的取值范围为．【解析】根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；如图6中，设点E关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，易知当点N在上运动时，点在上运动，由此可见当与y轴相切或相交时满足条件，想办法求出点的坐标即可解决问题．本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：当时，，，，当时，，解得：，，在B的右侧，其中，，由勾股定理得：，的周长；中，，，，，，∽，，，，，过P作轴于E，，，，中，，，，点P在第二象限，；由知：，点Q恰好为OP的中点，，在抛物线上，则，解得：，抛物线的解析式为：，对称轴是：，作抛物线的对称轴交抛物线于点F，在点C与顶点F之间含点C与顶点，，，设，，随的增大而增大，当时，有最大值，即有最小值为2，，对于不等式，，，设，，有最大值，，当时，有最大值为，，综上，n的取值范围是．【解析】分别令和，计算抛物线与两坐标轴的交点C和A的坐标，再根据勾股定理计算AC的长，根据三角形的周长可得结论；根据特殊三角函数值可得，证明∽，则，可得，过P作轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、抛物线与两坐标轴的交点、勾股定理、不等式的解及函数的增减性等知识，有难度，计算量大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

湖南师大附中博才实验中学中考数学二模试卷(含答案解析)

湖南师大附中博才实验中学中考数学二模试卷(含答案解析)

中考数学二模试卷姓名：得分：日期：一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分）1、(3分) 四个数0、1、√3、54是无理数的是（）A.0B.1C.√3D.542、(3分) 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（）A.3.6×10-5B.0.36×10-5C.3.6×10-6D.0.36×10-63、(3分) 下列计算正确的是（）A.（a2）3=a5B.a4÷a=a3C.a2.a3=a6D.a2+a3=a54、(3分) 如图所示，该几何体的左视图是（）A.B.C.D.5、(3分) 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（）A.调查方式是普查B.该校只有360个家长持反对态度C.样本是360个家长D.该校约有90%的家长持反对态度6、(3分) 如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1的大小为（）A.14°B.16°C.90°-αD.α-44°7、(3分) 若x=1是ax+2x=3方程的解，则a的值是（）A.-1B.1C.-3D.38、(3分) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（）A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm9、(3分) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果∠A=α，AB=5，那么AC等于（）A.5tanαB.5cosαC.5sinαD.5cosα10、(3分) 如图，反比例函数y=k（x＜0）与一次函数y=x+4的图象交于A、B两点的横坐标x分别为-3，-1．则关于x 的不等式k x ＜x+4（x ＜0）的解集为（ ）A.x ＜-3B.-3＜x ＜-1C.-1＜x ＜0D.x ＜-3或-1＜x ＜011、(3分) 我国古代数学著作《九章算术》有一道关于卖田的问题“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十，今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”意思是“今有好田一亩价值300钱，坏田一亩价值50钱，今合买好、坏田1顷，价值10000钱，问好田、坏田各多少亩？”已知一顷=100亩，则好田、坏田分别为多少亩？（ ）A.20、70B.25、75C.20、80D.25、8512、(3分) 如图，在圆O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是（ ）A.4B.2√3C.4√33D.8√33二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）13、(3分) 计算：a a−1-1a−1=______．14、(3分) 函数y=3x x−4中，自变量x 的取值范围是______．15、(3分) 数据-3，-1，0，2，4的极差是______．16、(3分) 如图，Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，若∠C=55°，则∠ABD=______°．17、(3分) 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是14cm，那么四边形ABFD的周长是______cm．18、(3分) 关于x的不等式组{x−12+2＞x2(x−2)≤3x−5的所有整数解之和为______．三、计算题（本大题共 2 小题，共 12 分）19、(6分) 计算：2−2+√83−2cos45∘+|1−√2|．20、(6分) 先化简，再求值：（a+b）2+b（a-b）-2ab，其中a=-2，b=12．四、解答题（本大题共 6 小题，共 48 分）21、(8分) “宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们的关注．我市某空气质量检测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至4月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了______天空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形圆心角度数．（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22、(8分) 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．23、(8分) 今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示，斜坡AB的长为200√13米，斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1，已知A点海拔121米，C点海拔721米（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度；（3）为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆AC的长度．24、(8分) 菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H．（1）当∠CAE=30°时，且CE=√3，求菱形的面积；（2）当∠BGF+∠BCF=180°，AE=BE时，求证：BF=（√2+1）GF．25、(8分) 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=k（k＞0）的图象交于A、B两点，点P在以xC（-2，0）为圆心，1为半径的圆上，Q是AP的中点（1）若AO=√k的值；（2）若OQ长的最大值为3，求k的值；2（3）若过点C的二次函数y=ax2+bx+c同时满足以下两个条件：①a+b+c=0；②当a≤x≤a+1时，函数y的最大值为4a，求二次项系数a的值．26、(8分) 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足AC条件的长；（2）如图，点A在以BC为直径的圆上，BD平分∠ABC，AD∥BC，∠ADC=90°．①求证：△ABC为比例三角形；②求BD的值．AC（3）若以点C为顶点的抛物线y=mx2-4mx-12m（m＜0）与x轴交于A、B两点，△ABC是比my02-40√3y0+298成立，例三角形，若点M（x0，y0）为该抛物线上任意一点，总有n-√3≤-16√33求实数n的最大值．2019年湖南师大附中博才实验中学中考数学二模试卷【第 1 题】【答案】C【解析】解：四个数0、1、√3、5是无理数的是√3．4故选：C．根据无理数的定义得到所给数中无理数有√3．本题考查了无理数：无限不循环小数叫无理数．常见有：字母表示的无理数，如π等；开方开不尽的数，如2等；无限不循环小数，如0.101001000100001…（每两个1之间多一个0）等．【第 2 题】【答案】C【解析】解：0.0000036=3.6×10-6；故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【第 3 题】【答案】B【解析】解：A选项，幂的乘方，（a2）3=a6，错误，B选项，同底数幂的除法，a4÷a=a3正确，C选项，积的乘方，a2a3=a5，错误，D选项，合并同类项，a2+a3不能合并，错误．故选：B．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【第 4 题】【答案】C【解析】解：从左面看可得到左边有2个上下的正方形，故选：C．根据左视图是左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，主要考查了学生的空间想象能力．【第 5 题】【答案】D【解析】解：A．共2500个学生家长，从中随机调查400个家长，调查方式是抽样调查，故本项错误；B．在调查的400个家长中，有360个家长持反对态度，该校只有2500×360=2250个家长持反400对态度，故本项错误；C．样本是360个家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故本项错误；D．该校约有90%的家长持反对态度，本项正确，故选：D．根据抽查与普查的定义以及用样本估计总体解答即可．本题考查了抽查与普查的定义以及用样本估计总体，这些是基础知识要熟练掌握．【第 6 题】【答案】A【解析】解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，∴∠1=44°-30°=14°，故选：A ．依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°-30°=14°．本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．【 第 7 题 】【 答 案 】B【 解析 】解：根据题意，将x=1代入方程ax+2x=3，得：a+2=3，得：a=1．故选：B ．根据方程的解的概念，将x=1代入原方程，得到关于a 的一元一次方程，解方程可得a 的值． 本题主要考查方程的解的定义及解一元一次方程的能力，将方程的解代入原方程是关键．【 第 8 题 】【 答 案 】D【 解析 】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD ，OA=12AC=12×6=3cm ，OB=12BD=12×8=4cm ，根据勾股定理得，AB=2+OB2=√32+42=5cm，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm．故选：D．根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=12AC，OB=12BD，再利用勾股定理列式求出AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记．【第 9 题】【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，cosα=ACAB，∴AC=AB•cosα=5cosα，故选：B．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．【第 10 题】【答案】B【解析】解：观察图象可知，当-3＜x＜-1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集为：-3＜x＜-1．故选：B．求关于x的不等式kx＜x+4（x＜0）的解集可转化为一次函数的图象在反比例函数图象的上方所对应的自变量x取值范围，问题得解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．【第 11 题】【答案】C【解析】解：1顷=100亩，设好田买了x南，坏田买了y亩，依题意有：{x+y=100300x+50y=10000，解得：{x=20 y=80．故选：C．可设善田x亩，则恶田（100-x）亩，根据等量关系：并买一顷，价钱一万，列出方程求解即可．考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组．【第 12 题】【答案】D【解析】解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，∴∠BCD=180°-60°=120°，∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得△CBE ，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE ，∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB ）+（180°-∠E -∠BCE ）=180°，∴A 、B 、E 三点共线，过C 作CM⊥AE 于M ，∵AC=CE ，∴AM=EM=12×（5+3）=4，在Rt△AMC 中，AC=AM cos (30∘)=√32=8√33； 故选：D ．将△ACD 绕点C 逆时针旋转120°得△CBE ，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE ，求出A 、B 、E 三点共线，解直角三角形求出即可．本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．【 第 13 题 】【 答 案 】1【 解析 】 解：a a−1-1a−1=a−1a−1=1．故答案为：1．本题为同分母分式的减法，直接计算即可．本题考查了分式的加减运算．关键是由同分母的加减法法则运算并化简．【 第 14 题 】【 答 案 】x≠4【 解析 】解：由题意得x-4≠0，解得x≠4．故答案为：x≠4．根据分母不等于0列不等式求解即可．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【第 15 题】【答案】7【解析】解：由题意可知，极差为4-（-3）=7．故答案为：7．根据极差的定义即可求得．此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．【第 16 题】【答案】35【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，∴BD是中线，∴AD=BD=CD，∴∠DBC=∠C=55°，∴∠ABD=90°-55°=35°．故答案是：35．由直角三角形斜边上的中线的性质得到△BCD为等腰三角形，由等腰三角形的性质和角的互余求得答案．本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．【第 17 题】【答案】【 解析 】解：∵△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，∴AD =BC=EF=2，DF=AE ，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BE+EF+DF=2+AB+BE+AE+2=4+S △ABE =4+14=18（cm ）． 故答案为18．利用平移的性质得到AD=BC=EF=2，DF=AE ，利用等量代换得到四边形ABFD 的周长=4+S △ABE ． 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．【 第 18 题 】【 答 案 】3【 解析 】解：{x−12+2＞x①2(x −2)≤3x −5②由①得x ＜3；由②得x≥1∴不等式组的解集为1≤x ＜3，所有整数解有：1，2，1+2=3，故答案为3．分别解出两不等式的解集，再求其公共解，然后求得整数解即可．本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【 第 19 题 】【 答 案 】解：原式=14+2-2×√22+√2-1=114．【 解析 】原式利用负整数指数幂法则，立方根定义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【第 20 题】【答案】解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-2ab=a2+ab，时，当a=-2，b=12原式=4+（-1）=3【解析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将a与b的值代入原式即可求出答案．本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【第 21 题】【答案】解：（1）70÷70%=100（天），故答案为：100；（2）空气质量为“优”所在扇形圆心角度数是：360°×20%=72°；如图所示：（3）班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是1．40【解析】（1）根据良的天数是70天，占70%，即可求得统计的总天数；（2）利用360度乘以对应的百分比即可求解；（3）利用概率公式即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．【第 22 题】【答案】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1-x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．（2）361×（1-5%）=342.95（万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1-下降率），即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．【第 23 题】【答案】解：（1）作CD⊥AM于点D，作BE⊥CD于点E，作BF⊥AM于点F，连接AC，∵斜坡BC的长为200√2米，坡度是1：1，∴BE=CE=200米，∵A点海拔121米，C点海拔721米，∴CD=600米，∴BF=400米，∵121+400=521（米），∴点B的海拔是521米；（2）∵斜坡AB的长为200√13米，BF=400米，∴AF=√(200√13)2−4002=600米，∴BF：AF=400：600=2：3，即斜坡AB的坡度是2：3；（3）∵CD=600米，AD=AF+FD=AF+BE=600+200=800（米），∴AC=√6002+8002=1000米，即钢缆AC的长度是1000米．【解析】（1）根据题意和图形，可以求得点B的海波，本题得以解决；（2）根据题目中的数据可以求得AF和BF的长度，从而可以求得斜坡AB的坡度；（3）根据题目中的数据可以求得AD和CD的长度，然后根据勾股定理即可求得AC的长度．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【第 24 题】【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE⊥BC，∠EAC=30°，∴∠ACE=60°，AC=2EC=2√3，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，×（2√3）2=6√3．∴S菱形ABCD=2•S△ABC=2×√34（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∵AF=FC，∴BF⊥AC，∴∠BFA=90°，∵∠BGF+∠BCF=180°，∠AGF+∠BGF=180°，∴∠AGF=∠ACB，∵∠GAF=∠CAB∴△AGF∽△ACB，∴AG AC =AF AB，∴AG AF =ACAB，∵∠CAG=∠BAF，∴△CAG∽△BAF，∴∠CGA=∠BFA=90°，∵AE⊥BE，AE=BE，∴∠ABE=45°，∴∠GBC=∠GCB=45°，∴GB=GC，∵∠BGC=∠MGF，∴∠BGM=∠CGF，∵∠GBM=∠GCF，∴△BGM≌△CGF，∴BM=CF，GM=GF，FM=√2GF，∵∠AGC=90°AF=FC，∴GF=FC=BM，∴BF=BM+FM=GF+√2GF=（√2+1）GF．【解析】（1）只要证明△ABC是等边三角形，即可解决问题；（2）如图，连接GC，作GM⊥GF交BF于M．想办法证明△BGC是等腰直角三角形，再证明△BGM≌△CGF即可解决问题；本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【第 25 题】【答案】解：（1）设A（m，n），∵AO=√5，∴m2+n2=5，∵一次函数y=2x的图象经过A点，∴n=2m，∴m2+（2m）2=5，解得m=±1，∵A在第一象限，∴m=1，∴A（1，2），∵点A在反比例函数y=k（k＞0）的图象上，x∴k=1×2=2；（2）连接BP，由对称性得：OA=OB，∵Q是AP的中点，∴OQ=1BP，2∵OQ长的最大值为3，2∴BP 长的最大值为32×2=3，如图2，当BP 过圆心C 时，BP 最长，过B 作BD⊥x 轴于D ，∵CP=1，∴BC=2，∵B 在直线y=2x 上，设B （t ，2t ），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t ，在Rt△BCD 中，由勾股定理得：BC 2=CD 2+BD 2，∴22=（t+2）2+（-2t ）2，t=0（舍）或-45，∴B （-45，-85），∵点B 在反比例函数y=k x （k ＞0）的图象上， ∴k=-45×（-85）=3225；（3）∵抛物线经过点C （-2，0），∴4a -2b+c=0，又∵a+b+c=0，∴b=a ，c=-2a ，∴y=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ，∵-12＜a≤x≤a+1或a≤x≤a+1＜-12，当x=a 时，取得最大值4a ，则a•a 2+a•a -2a=4a ，解得a=-3或2，当x=a+1时，取得最大值4a ，则a （a+1）2+a （a+1）-2a=4a ，解得a=-4或1，综上所述所求a 的值为-3或2或-4或1．【 解析 】（1）设A （m ，n ），根据勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征得出{m 2+n 2=5n =2m ，解方程组即可求得A 的坐标，代入y=k x 可求得k 的值； （2）作辅助线，先确定OQ 长的最大时，点P 的位置，当BP 过圆心C 时，BP 最长，设B （t ，2t ），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t ，根据勾股定理计算t 的值，可得k 的值；（3）根据题意写出抛物线的解析式为：y=ax 2+ax-2a=a （x+12）2-94a ，即可判定-12在a≤x≤a+1范围外，故存在两种可能，即当x=a 时，有最大值4a ，或x=a+1时有最大值4a ，分别代入求得即可．本题考查二次函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数最值问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的关键：利用勾股定理建立方程解决问题．【 第 26 题 】【 答 案 】解：（1）∵AB=2，BC=3∴1＜AC ＜5①若AB 2=BC•AC ，则AC=AB 2BC =43②若BC 2=AB•AC ，则AC=BC 2AB =92③若AC 2=AB•BC=6，则AC=√6综上所述，满足条件的AC 的长为43，92，√6．（2）①证明：∵AD∥BC∴∠DAC=∠ACB ，∠ADB=∠DBC∵BD 平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD∵点A 在以BC 为直径的圆上∴∠BAC=90°∵∠BAC=∠CDA=90°，∠ACB=∠DAC∴△ABC∽△DCA∴BC AC =AC DA∴AC 2=BC•DA=BC•AB∴△ABC 为比例三角形②∵∠BAC=∠CDA=90°，AB=AD∴BC 2=AB 2+AC 2，AC 2=AD 2+CD 2=AB 2+CD 2∵AD∥BC∴∠BCD=180°-∠ADC=90°∴BD 2=BC 2+CD 2=AB 2+AC 2+AC 2-AB 2=2AC 2∴BD=√2AC∴BD AC =√2（3）∵y=mx 2-4mx-12m=m （x-2）2-16m （m ＜0）∴抛物线开口向下，顶点C （2，-16m ）∵y=0时，mx 2-4mx-12m=0解得：x 1=-2，x 2=6∴A （-2，0），B （6，0），AB=8∴AC=BC=√(2+2)2+(−16m)2=4√1+16m 2∵△ABC 是比例三角形∴AB 2=BC•AC 或AC 2=AB•BC∴AB=AC∴4√1+16m 2=8解得：m 1=√34（舍去），m 2=-√34∴抛物线解析式为y=-√34x 2+√3x+3√3=-√34（x-2）2+4√3∵M （x 0，y 0）在抛物线上∴y 0≤4√3设z=-16√33my 02-40√3y 0+298=4y 02-40√3y 0+298=4（y 0-5√3）2-2 ∴当y 0≤4√3时，z 随x 的增大而减小∴y 0=4√3时，z 最小值=4×（4√3-5√3）2-2=4×3-2=10∵n -√3≤z 恒成立，即n-√3≤10∴n 的最大值为10+√3【 解析 】（1）先由三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，求出AC 长度的范围．因为三角形三边都有可能是平方等于另两边乘积的边，故需分三种情况讨论，计算并判断结果是否合理．（2）①由BD 平分∠ABC 和AD∥BC 可证得∠ABD=∠DBC=∠ADB ，进而得AB=AD ．因为BC 为圆的直径，根据圆周角定理得∠BAC=∠CDA=90°，再加上平行所得的∠ACB=∠DAC ，即证得△ABC∽△DCA ，由对应边成比例得AC 2=BC•DA=BC•AB ，得证．②由Rt△ABC 、Rt△ACD 、Rt△BCD 根据勾股定理得BD 2=BC 2+CD 2=AB 2+AC 2+AC 2-AB 2=2AC 2，故有BD=√2AC ，进而得BD AC =√2．（3）先由抛物线解析式求点A 、B 、C 坐标，求得AB=8，根据抛物线对称性有AC=BC ．由△ABC 是比例三角形可得AB 2=BC•AC 或AC 2=AB•BC ，化简后都得到AC=AB ，把含m 的式子代入即求得m 的值，进而求得抛物线解析式和最大值．由于点M （x 0，y 0）在抛物线上，则得到y 0的最大值．设z=-16√33my 02-40√3y 0+298，把m 的值代入并配方，得到关于y 0的二次函数关系，且对应抛物线开口向下．由于y 0范围取不到此二次函数的顶点，故取y 0的最大值求得z 的最小值，进而得到n 的最大值．本题考查了新定义的理解和性质应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的图象与性质，求二次函数最值，解一元二次方程．第（3）题给出的式子计算较复杂，关键是理解并运用新定义的性质求m 的值，再逐步代入得到二次函数并配方求最值．。

2020年中考数学二模试卷 (含答案解析)(解析版)

2020年中考数学二模试卷 (含答案解析)(解析版)

2020年中考数学二模试卷一．选择题（共10小题）1．的平方根是（）A．B．﹣C．±D．±2．下列四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）24．一种病毒的直径约为0.0000001m，将0.0000001m用科学记数法表示为（）A．1×107B．1×10﹣6C．1×10﹣7D．10×10﹣85．若关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜﹣3B．﹣4≤a＜﹣3C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4＜a＜﹣3 6．下列图形中，主视图为图①的是（）A．B．C．D．7．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）＝196B．50+50（1+x2）＝196C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝1968．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）A．r B．2r C．r D．3r10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共4小题）11．一组数据15，20，25，30，20，这组数据的中位数为．12．分解因式：9x﹣x3＝．13．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y ＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B'的坐标是．三．解答题（共9小题）15．计算：16．先化简，再求值：，其中，a＝﹣1．17．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．18．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离证明可用公式d＝计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离．解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为：d＝＝＝＝．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．19．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向．（1）求∠ACB的度数；（2）船C离海岸线l的距离（即CD的长）为多少？（不取近似值）20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．21．为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．整理情况频数频率非常好0.21较好700.35一般m不好36请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了名学生；（2）m＝；（3）该校有1500名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组4名学生的错题集中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．22．浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AC＝，tan A＝3，∠ABC＝45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．（1）求线段BC的长；（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．的平方根是（）A．B．﹣C．±D．±【分析】先化简，再根据平方根的定义即可求解．【解答】解：＝，的平方根是±．故选：D．2．下列四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．3．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．故选：D．4．一种病毒的直径约为0.0000001m，将0.0000001m用科学记数法表示为（）A．1×107B．1×10﹣6C．1×10﹣7D．10×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000001＝1×10﹣7，故选：C．5．若关于x的不等式组恰有两个整数解，求实数a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜﹣3B．﹣4≤a＜﹣3C．﹣4＜a≤﹣3D．﹣4＜a＜﹣3【分析】先解不等式组求得﹣2＜x≤4+a，根据不等式组恰有两个整数解知不等式组的整数解为﹣1、0，据此得0≤4+a＜1，解之即可．【解答】解：解不等式1+5x＞3（x﹣1），得：x＞﹣2，解不等式≤8﹣+2a，得：x≤4+a，则不等式组的解集为﹣2＜x≤4+a，∵不等式组恰有两个整数解，∴不等式组的整数解为﹣1、0，则0≤4+a＜1，解得﹣4≤a＜﹣3，故选：B．6．下列图形中，主视图为图①的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．【解答】解：A、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B、主视图是长方形，故此选项正确；C、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D、主视图是三角形，故此选项错误；故选：B．7．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50（1+x2）＝196B．50+50（1+x2）＝196C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．【解答】解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．故选：C．8．在同一坐标系内，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+8x+b的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】令x＝0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【解答】解：x＝0时，两个函数的函数值y＝b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y＝ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）A．r B．2r C．r D．3r【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可．【解答】解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．设圆锥的母线长为R，则＝2πr，解得：R＝3r．根据勾股定理得圆锥的高为2r，故选：B．10．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD ＝OH，判断出②正确；③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确；⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵AD＝AB，∴AE＝AD，在△ABE和△AHD中，，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE＝DH，∴AB＝BE＝AH＝HD，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠CED，故①正确；∵AB＝AH，∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，∴OE＝OH，∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠DHO＝∠ODH，∴OH＝OD，∴OE＝OD＝OH，故②正确；∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠EBH＝∠OHD，在△BEH和△HDF中，，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；∵AB＝AH，∠BAE＝45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：C．二．填空题（共4小题）11．一组数据15，20，25，30，20，这组数据的中位数为20．【分析】根据中位数的定义求解可得．【解答】解：将数据重新排列为15、20、20、25、30，所以这组数据的中位数为20，故答案为：20．12．分解因式：9x﹣x3＝x（3+x）（3﹣x）．【分析】首先提取公因式x，金进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝x（9﹣x2）＝x（3﹣x）（3+x）．故答案为：x（3﹣x）（3+x）．13．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y ＝（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为．【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO＝，S△AOC＝，根据相似三角形的性质得到＝（）2＝＝5，求得＝，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO＝∠ACO＝90°，∵顶点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0）与y＝（x＜0）的图象上，∴S△BDO＝，S△AOC＝，∵∠AOB＝90°，∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝（）2＝＝5，∴＝，∴tan∠BAO＝＝，故答案为：．14．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B'的坐标是（﹣2，3）或（2，﹣3）．【分析】根据位似图形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案．【解答】解：∵矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，∵矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，∴矩形OA'B'C'与矩形OABC的相似比为，∵点B的坐标为（﹣4，6），∴点B'的坐标为（﹣4×，6×）或（4×，﹣6×），即（﹣2，3）或（2，﹣3），故答案为：（﹣2，3）或（2，﹣3）．三．解答题（共9小题）15．计算：【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：＝1+﹣2+（﹣1）﹣×3＝﹣216．先化简，再求值：，其中，a＝﹣1．【分析】先化简分式，然后将a＝﹣1代入求值．【解答】解：原式＝，当时，原式＝．17．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．18．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离证明可用公式d＝计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离．解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为：d＝＝＝＝．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．【分析】（1）根据点P到直线y＝kx+b的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q到直线y＝x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q与直线y＝x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y＝﹣2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y＝﹣2x﹣6的距离即可．【解答】解：（1）因为直线y＝x﹣1，其中k＝1，b＝﹣1，所以点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离为：d＝＝＝＝；（2）⊙Q与直线y＝x+9的位置关系为相切．理由如下：圆心Q（0，5）到直线y＝x+9的距离为：d＝＝＝2，而⊙O的半径r为2，即d＝r，所以⊙Q与直线y＝x+9相切；（3）当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，即点（0，4）在直线y＝﹣2x+4，因为点（0，4）到直线y＝﹣2x﹣6的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，所以这两条直线之间的距离为2．19．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向．（1）求∠ACB的度数；（2）船C离海岸线l的距离（即CD的长）为多少？（不取近似值）【分析】（1）根据三角形的外角的性质计算；（2）作BE∥AC交CD于E，求出CE＝AB＝2，根据正弦的定义求出DE，计算即可．【解答】解：（1）由题意得，∠CBD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠CAD＝45°，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝22.5°；（2）作BE∥AC交CD于E，则∠EBD＝∠CAD＝45°，∴DB＝DE，∵DA＝DC，∴CE＝AB＝2，∵∠ACD＝45°，∠ACB＝22.5°，∴∠BCD＝22.5°，∴∠CBE＝∠BED﹣∠BCD＝22.5°，∴∠CBE＝∠BCE，∴BE＝CE＝2，∴DE＝BE＝，∴CD+DE+CE＝2+，答：船C离海岸线l的距离为（2+）km．20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．【分析】（1）①证明DO∥AB，即可求解；②证明CDE∽△CAD，即可求解；（2）证明△OFD、△OF A是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．【解答】解：（1）①连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，则∠DAB＝∠ODA，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∴BC是⊙O的切线；②连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴CD2＝CE•CA；（2）连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，∵点F是劣弧AD的中点，∴是OF是DA中垂线，∴DF＝AF，∴∠FDA＝∠F AD，∵DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠F AD，∴AF＝DF＝OA＝OD，∴△OFD、△OF A是等边三角形，则DF∥AC，故S阴影＝S扇形DFO，∴∠C＝30°，∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，∴CE＝OE＝R＝3，S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．21．为培养学生良好学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．整理情况频数频率非常好0.21较好700.35一般m不好36请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了200名学生；（2）m＝52；（3）该校有1500名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组4名学生的错题集中，有2本“非常好”（记为A1、A2），1本“较好”（记为B），1本“一般”（记为C），这些错题集封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本错题集中再抽取一本，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出两次抽到的错题集都是“非常好”的概率．【分析】（1）用较好的频数除以较好的频率．即可求出本次抽样调查的总人数；（2）用总人数乘以非常好的频率，求出非常好的频数，再用总人数减去其它频数即可求出m的值；（3）利用总人数乘以对应的频率即可；（4）利用树形图方法，利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）本次抽样共调查的人数是：70÷0.35＝200（人）；（2）非常好的频数是：200×0.21＝42（人），一般的频数是：m＝200﹣42﹣70﹣36＝52（人），（3）该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有：1500×（0.21+0.35）＝840（人）；（4）根据题意画图如下：∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中两次抽到的错题集都是“非常好”的情况有2种，∴两次抽到的错题集都是“非常好”的概率是＝．22．浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．（1）写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？（3）商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【分析】（1）根据利润＝（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．【解答】解：（1）由题意得，销售量＝150﹣10（x﹣30）＝﹣10x+450，则w＝（x﹣25）（﹣10x+450）＝﹣10x2+700x﹣11250；（2）w＝﹣10x2+700x﹣11250＝﹣10（x﹣35）2+1000，∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，w最大＝1000元，故当单价为35元时，该计算器每天的利润最大；（3）B方案利润高．理由如下：A方案中：∵25×24%＝6，此时w A＝6×（150﹣10）＝840元，B方案中：每天的销售量为120件，单价为33元，∴最大利润是120×（33﹣25）＝960元，此时w B＝960元，∵w B＞w A，∴B方案利润更高．23．如图，在△ABC中，AC＝，tan A＝3，∠ABC＝45°，射线BD从与射线BA重合的位置开始，绕点B按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线BD与线段AC相交于点D，点M是线段BD的中点．（1）求线段BC的长；（2）①当点D与点A、点C不重合时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接ME，MF，在射线BD旋转的过程中，∠EMF的大小是否发生变化？若不变，求∠EMF的度数；若变化，请说明理由．②在①的条件下，连接EF，直接写出△EFM面积的最小值．【分析】（1）如图1中，作CH⊥AB于H．解直角三角形求出CH，证明△CHB是等腰直角三角形即可解决问题．（2）①利用直角三角形斜边中线定理，证明△MEF是等腰直角三角形即可解决问题．②如图2中，由①可知△MEF是等腰直角三角形，当ME的值最小时，△MEF的面积最小，因为ME＝BD，推出当BD⊥AC时，ME的值最小，此时BD＝．【解答】解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝，tan A＝＝3，∴AH＝1，CH＝3，∵∠CBH＝45°，∠CHB＝90°，∴∠HCB＝∠CBH＝45°，∴CH＝BH＝3，∴BC＝CH＝3．（2）①结论：∠EMF＝90°不变．理由：如图2中，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°，∵DM＝MB，∴ME＝BD，MF＝BD，∴ME＝MF＝BM，∴∠MBE＝∠MEB，∠MBF＝∠MFB，∵∠DME＝∠MEB+∠MBE，∠DMF＝∠MFB+∠MBF，∴∠EMF＝∠DME+∠DMF＝2（∠MBE+∠MBF）＝90°，②如图2中，作CH⊥AB于H，由①可知△MEF是等腰直角三角形，∴当ME的值最小时，△MEF的面积最小，∵ME＝BD，∴当BD⊥AC时，ME的值最小，此时BD＝＝＝，∴EM的最小值＝，∴△MEF的面积的最小值＝××＝．故答案为．。

2020年中考二模数学试卷(含答案)

2020年中考二模数学试卷(含答案)

2020年中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×10113．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a6÷a2＝a45．若点A（m﹣4，1﹣2m）在第三象限，那么m的值满足（）A．＜m＜4B．m＞C．m＜4D．m＞46．下列说法中，正确的是（）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C．通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D．掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件7．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．9．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）A．B．C．D．1800米10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6B．8C．14D．1611．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（）A．有最小值，且最小值是B．有最大值，且最大值是﹣C．有最大值，且最大值是D．有最小值，且最小值是﹣12．如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．使分式有意义的x的取值范围．14．不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．15．若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为．16．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为．17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为．18．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°20．先化简再求值：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣5x（x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣，y＝﹣1．21．为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是，众数是；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？（3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？22．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．23．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？24．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）25．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为；②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为；（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．D．【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×1011【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．故选：C．3．如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，故选：D．4．下列运算正确的是（）A．a5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝﹣3a﹣3bC．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a6÷a2＝a4【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方，同底数幂的除法即可作出判断．【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故选项错误；B、﹣3（a﹣b）＝﹣3a+3b，故选项错误；C、（mn）﹣3＝m﹣3n﹣3，则选项错误；D、正确．故选：D．5．若点A（m﹣4，1﹣2m）在第三象限，那么m的值满足（）A．＜m＜4B．m＞C．m＜4D．m＞4【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．【解答】解：∵点A（m﹣4，l﹣2m）在第三象限，∴，解不等式①得，m＜4，解不等式②得，m＞，所以，m的取值范围是＜m＜4．故选：A．6．下列说法中，正确的是（）A．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查的方式B．某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的地区降雨C．通过抛掷1枚质地均匀的硬币，确定谁先发球的比赛规则是公平的D．掷一枚骰子，点数为3的面朝上是确定事件【分析】根据普查和抽样调查的意义可判断出A的正误；根据概率的意义可判断出B、C、的正误；根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件，从而判定D的正误．【解答】解：A、对载人航天器零部件的检查，应采用全面调查的方式，故错误；B、某市天气预报中说“明天降雨的概率是80%”，表示明天该市有80%的可能降水，故错误；C、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，可以用到实际生活，通过抛掷硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的．故正确；D、掷一枚骰子，点数3朝上是随机事件，故错误；故选：C．7．如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠3＝180°C．∠2+∠4＜180°D．∠3+∠5＝180°【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、∵OC与OD不平行，∴∠1＝∠3不成立，故本选项错误；B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3＝180°不成立，故本选项错误；C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4＝180°，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5＝180°，故本选项正确．故选：D．8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（）A．4B．8C．D．【分析】根据切线长定理知P A＝PB，而∠P＝60°，所以△P AB是等边三角形，由此求得弦AB的长．【解答】解：∵P A、PB都是⊙O的切线，∴P A＝PB，又∵∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形，即AB＝P A＝8，故选：B．9．如图，某风景区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为（）A．B．C．D．1800米【分析】此题可利用俯角的余弦函数求得缆车线路AC的长，AC＝．【解答】解：由于A处测得C处的俯角为30°，两山峰的底部BD相距900米，则AC＝＝600（米）．故选：B．10．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）A．6B．8C．14D．16【分析】由根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5∴原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4+10＝14故选：C．11．已知M，N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝abx2+（a+b）x（）A．有最小值，且最小值是B．有最大值，且最大值是﹣C．有最大值，且最大值是D．有最小值，且最小值是﹣【分析】先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特点求出其最值即可．【解答】解：因为M，N两点关于y轴对称，所以设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），又因为点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y＝x+3的图象上，所以，整理得，故二次函数y＝abx2+（a+b）x为y＝x2+3x，所以二次项系数为＞0，故函数有最小值，最小值为y＝＝﹣．故选：D．12．如图，若抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y＝（x＞0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k＝8，即可得出答案．【解答】解：抛物线y＝﹣x2+3，当y＝0时，x＝±；当x＝0时，y＝3，则抛物线y＝﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣2，1），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，1）；共有8个，∴k＝8；故选：C．二．填空题（共6小题）13．使分式有意义的x的取值范围x≠3．【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【解答】解：根据题意，得x﹣3≠0，解得x≠3，故答案为：x≠3．14．不透明袋子中装有5个红色球和3个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别．从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝色球的概率为．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：由于共有8个球，其中蓝球有5个，则从袋子中随机摸出一个球，摸出蓝球的概率是，故答案为：．15．若△ABC∽△DEF，且相似比为3：1，△ABC的面积为54，则△DEF的面积为6．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1，∴＝32，即＝9，解得，△DEF的面积＝6，故答案为：6．16．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝22.5°，AB＝2cm，则圆O的半径为．【分析】连接OB，根据垂径定理以及勾股定理即可求出OB的长度．【解答】解：连接OB，∵OC＝OB，∠BCD＝22.5°，∴∠EOB＝45°，∵CD⊥AB，CD是直径，∴由垂径定理可知：EB＝AB＝1，∴OE＝EB＝1，∴由勾股定理可知：OB＝，故答案为：17．如图，直线y＝kx与双曲线y＝交于A、B两点，BC⊥y轴于点C，则△ABC的面积为3．【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△BOC＝S△AOC，再利用反比例函数k的几何意义得到S△BOC＝1.5，则易得S△ABC＝3．【解答】解：∵直线y＝kx与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△BOC＝S△AOC，而S△BOC＝×3＝1.5，∴S△ABC＝2S△BOC＝3．故答案为：3．18．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为①②④⑤．【分析】首先根据旋转的性质得出AC1＝AC，从而结论①可判断；再通过三角形内部角度及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．【解答】解：由旋转的性质可知AC1＝AC，∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；∵∠ACB＝30°，∴∠C1＝∠ACB1＝30°，又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，∴∠AB1C＝75°，∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴CA＝CB1；∴②正确；∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，∴旋转角α＝120°，故③错误；∵∠BAC＝45°，∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，∵AB＝AB1，∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，在△AB1D与△BCD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠AB1D＝∠BCD＝30°，∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；在△ABD与△B1CD中，∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，∴△ABD∽△B1CD，∴＝，如图，过点D作DM⊥B1C，设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x，DC＝2x，CM＝x，∴AC＝B1C＝（+1）x，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，∴＝＝＝，即⑤正确．故答案为：①②④⑤．三．解答题（共8小题）19．计算：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°【分析】第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项去绝对值，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，最后合并即可得出结论．【解答】解：（﹣）﹣2+（π﹣3）0+|1﹣|+tan45°＝4+1+﹣1+1＝+5．20．先化简再求值：（3x+2y）（3x﹣2y）﹣5x（x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣，y＝﹣1．【分析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝9x2﹣4y2﹣5x2+5xy﹣4x2+4xy﹣y2＝9xy﹣5y2，当x＝﹣，y＝﹣1时，原式＝3﹣5＝﹣2．21．为响应“书香学校，书香班级”的建设号召，平顶山市某中学积极行动，学校图书角的新书、好书不断增加．下面是随机抽查该校若干名同学捐书情况统计图：请根据下列统计图中的信息，解答下列问题（1）此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度？（3）若该校有在校生1600名学生，估计该校捐4本书的学生约有多少名？【分析】（1）根据捐2本的学生所占的百分比和人数可以求得本次调查的学生数，从而可以得到中位数和众数；（2）根据统计图中的数据，可以计算出在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是多少度；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校捐4本书的学生约有多少名．【解答】解：（1）本次调查的人数为：15÷30%＝50（人），捐书四本的学生有50﹣9﹣15﹣6﹣7＝13（人），则此次随机调查同学所捐图书数的中位数是4本，众数是2本，故答案为：4本，2本；（2）在扇形统计图中，捐2本书的人数所占的扇形圆心角是：360°×＝108°；答：捐2本书的人数所占的扇形圆心角是108度．（3）1600×＝416（名），答：该校捐4本书的学生约有416名．22．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．（1）求证：BF＝BC；（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．【分析】（1）要求证：BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE ＝∠BDC就可以；（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE＝BC•DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝90°．∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．∴∠ECB＝∠CDB．∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，∴∠CFB＝∠BCF∴BF＝BC（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝5．又∵BD•CE＝BC•DC，∴CE＝．∴BE＝．∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．∴CF＝cm．23．湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+3×3x＝550，∴x＝50，经检验，符合题意，∴3x＝150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，根据题意得，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．24．如图，AB为⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连结BC交O于点D，E是⊙O上一点，且与点D在AB异侧，连结DE（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若∠C＝50°，AB＝2，则的长为（结果保留π）【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠DAB＝∠C，然后根据圆周角定理和等量代换得到结论；（2）连接OD，如图，利用（1）中结论得到∠BED＝∠C＝50°，再利用圆周角定理得到∠BOD的度数，然后根据弧长公式计算的长度．【解答】（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC切⊙O于点A∴CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠C+∠ABD＝90°，而∠DAB+∠ABD＝90°，∴∠DAB＝∠C，∵∠DAB＝∠BED，∴∠C＝∠BED；（2）解：连接OD，如图，∵∠BED＝∠C＝50°，∴∠BOD＝2∠BED＝100°，∴的长度＝＝π．25．对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3型闭函数”．（1）①已知一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k型闭函数”，则k的值为2；②若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，则a的值为﹣1；（2）反比例函数y＝（k＞0，．a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b＝，请求a2+b2的值；（3）已知二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，求k的取值范围．【分析】（1）①直接利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；②分两种情况：利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k型闭函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k型闭函数”的定义即可得出结论；【解答】解：（1）①一次函数y＝2x﹣1，当1≤x≤5时，1≤y≤9，∴9﹣1＝k（5﹣1），∴k＝2，故答案为：2；②当α＞0时，∵1≤x≤5，∴a﹣1≤y≤5a﹣1，∵函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“1型闭函数”，∴（5a﹣1）﹣（a﹣1）＝5﹣1，∴a＝1；当a＜0时，（a﹣1）﹣（5a﹣1）＝5﹣1，∴a＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）∵反比例函数y＝，∵k＞0，∴y随x的增大而减小，当a≤x≤b且1＜a＜b是“1型闭函数”，∴＝k（b﹣a），∴ab＝1，∵a+b＝，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2020﹣2×1＝2018；（3）∵二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x＝a，∵当﹣1≤x≤1时，y是“k型闭函数”，∴当x＝﹣1时，y＝a2﹣4a﹣3，当x＝1时，y＝a2+8a﹣3，当x＝a时，y＝4a2+2a，①如图1，当a≤﹣1时，当x＝﹣1时，有y max＝a2﹣4a﹣3，当x＝1时，有y min＝a2+8a﹣3∴（a2﹣4a﹣3）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k≥6，②如图2，当﹣1＜a≤0时，当x＝a时，有y max＝4a2+2a，当x＝1时，有y min＝a2+8a﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2+8a﹣3）＝2k，∴k＝（a﹣1）2，∴≤k＜6；③如图3，当0＜a≤1时，当x＝a时，有y max＝4a2+2a，当x＝﹣1时，有y min＝a2﹣4a﹣3∴（4a2+2a）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝（a+1）2，∴＜k≤6，④如图4，当a＞1时，当x＝1时，有y max＝a2+8a﹣3，当x＝﹣1时，有y min＝a2﹣4a﹣3∴（a2+8a﹣3）﹣（a2﹣4a﹣3）＝2k，∴k＝﹣6a，∴k＞6，即：k的取值范围为k≥．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，A（﹣6，0），C（1，0），B（0，）．（1）求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰妤是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii：试求出此旋转过程中，（NA+NB）的最小值．【分析】（1）根据已知条件可以设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），然后把点B的坐标代入函数解析式求得系数a的值即可；利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m，m+），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON＝OM′＝4，OB＝，由∠NOP＝∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到＝＝＝，于是得到结论；ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由①知，＝＝，得到NP＝NB，于是得到（NA+NB）的最小值＝NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+6）（x﹣1），（a≠0）．将B（0，）代入，得＝a（x+6）（x﹣1），解得a＝﹣，∴该抛物线解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣1）或y＝﹣x2﹣x+．设直线AB的解析式为y＝kx+n（k≠0）．将点A（﹣6，0），B（0，）代入，得，解得，则直线AB的解析式为：y＝x+；（2）∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，∴D（m，m+），当DE为底时，如图1，作BG⊥DE于G，则EG＝GD＝ED，GM＝OB＝，∵DM+DG＝GM＝OB，∴m++（﹣m2﹣m+﹣m﹣）＝，解得：m1＝﹣4，m2＝0（不合题意，舍去），∴当m＝﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形；（3）i：存在，如图2．∵ON＝OM′＝4，OB＝，∵∠NOP＝∠BON，∴当△NOP∽△BON时，＝＝＝，∴不变，即OP＝ON＝×4＝3，∴P（0，3）；ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由i知，＝＝，∴NP＝NB，∴（NA+NB）的最小值＝NA+NP，∴此时N，A，P三点共线，∴（NA+NB）的最小值＝＝3．。

2020年中考二模考试《数学卷》带答案解析

2020年中考二模考试《数学卷》带答案解析

中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．实数2019的相反数是（ ）A.2019B.-2019C.12019 D.12019-2．x 的取值范围是（ ）A. 0x ＞B. 1x ?C. 1x ³D.1x £3．据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人.数据1031万用科学计数法可表示为（ ） A. 60.103110´ B. 71.03110´ C. 81.03110´ D.910.3110´ 4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．5．从长度分别为2，4，5，6的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（ ） A.13 B. 14 C. 12 D.346．某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组， 则调动后各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（ ） A ．平均数变小了 B ．众数变小了 C ．中位数变大了D ．方差变大了7．若关于x 的不等式组10233544(1)3x x x a x aì+ï+íï++++î＞＞恰有三个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．1≤a ＜32 B ．1＜a ≤32 C ．1＜a ＜32 D ．a ≤1或a ＞328．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且 ¼¼:1:3BD AD ⅱ=（¼BD ¢表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：99．（2019德州）在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ）A ．y ＝3x ﹣1（x ＜0）B ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0）C ．y =−√3x（x ＞0）D ．y ＝x 2﹣4x +1（x ＜0）10．4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白 部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2．若S 1＝2S 2，则a 、b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．分解因式234x y xy -= .12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%， 结果提前8天完成任务，原来每天制作 件．13．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图 形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分面积为 ．第16题14．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为 .（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）15．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．16．如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．三、解答题（本小题7个小题，共66分，17题6分，18-19各8分，20-21各10分，22-23各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）先化简，在求值：2(1)(3)(3)x x x +-+-其中x =2. （2）解分式方程：xx−2−1=4x 2−4x+4．18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．19．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．20．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于114，直接写出m的值．21． 2月1日上午，沪苏湖铁路南浔交通枢纽工程在湖州南浔举行开工奠基仪式．意味着以后南浔到上海只要半小时左右，极大的方便了人们的出行，甲、乙两城市之间开通了高速列车，如图，OA 是普通列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象，BC 是高速列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象．请根据图中的信息，解答 下列问题：（1）根据图象信息，普通列车的速度是 km /h ，高速列车的速度是 km /h ；（2）若高速列车在到达乙城1小时后返回甲城，请在图中画出高速列车返回甲城的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象；并求出高速列车返回时与普通列车相遇的时间；（3）出于安全考虑，两列列车装有告警装置，当两列列车相距20km 时会发出警报，问在上述过程中装置发出警报的时间范围．22．我们定义：有一组领边相等的四边形叫做“等腰四边形”（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线CA 平分∠BCD ，求证：四边形ABCD 是等腰四边形；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （4，2）点C 是x 轴正半轴上的动点，当四边形AOCB 是等腰四边形，求出点C 的坐标.BA（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A （0，4），点9(,)2B t （t ＞0），点C 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠OAB 与∠OCB 互补，函数ky x=的图像正好经过点B ，当四边形AOCB 是等腰四边形，求k 的值.23．已知：在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当»»AE AF =时，tan ∠AEF 的值是； （2）如图1，在△EFH 中，当FE ＝FH 时，求证：AD ＝AE +DH ； （3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH ＝AE +DH ；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM ＝FE ，连接EM 交DC 于点N ，连接FN ，当AE ＝AD 时，FN ＝4，HN ＝3，求tan ∠AEF 的值．答案与解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．实数2019的相反数是（ ）A.2019B.-2019C. 12019D.12019-【答案】B【解析】2019的相反数是-2019 故选：B2．x 的取值范围是（ ） A. 0x ＞ B. 1x ? C. 1x ³ D.1x £ 【答案】C【解析】∵10x -?，∴1x ³ 故选：C3．据统计，2019年全国高考人数再次突破千万，高达1031万人.数据1031万用科学计数法可表示为（ ） A. 60.103110´ B. 71.03110´ C. 81.03110´ D.910.3110´ 【答案】B【解析】因为1031万=710310000 1.03110=?， 故选：B4．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】5．从长度分别为2，4，5，6的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是（）A. 13B.14C.12D.34【答案】D【解析】从2，4，5，6人选三条总可能性有4种，其中能构成三角形的情况为：2，4，6；2，5，6；4，5，6共三种；所以构成三角形的概率为：34 P=故选：D6．某班6个合作小组的人数分别是4，6，4，5，7，8，现第4小组调出1人去第2小组，则调动后各组人数分别为：4，7，4，4，7，8，下列关于调配后的数据说法正确的是（）A．平均数变小了B．众数变小了C．中位数变大了D．方差变大了【答案】D【解析】A、调配后的平均数不变，故本选项错误；B、原小组的众数是4，调配后的众数仍然是4，故本选项错误；C、把原数从小到大排列为：4，4，5，6，7，8，则中位数是565.52+=，调配后中位数的中位数是475.52+=，则调配后的中位数不变．故本选项错误；D、原方差是：16[2（4﹣5.5）2+（6﹣5.5）2+（5﹣5.5）2+（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝94，调配后的方差是16[3（4﹣5.5）2+2（7﹣5.5）2+（8﹣5.5）2]＝3512，则调配后方差变大了，故本选项正确；故选：D．7．若关于x的不等式组1233544(1)3x xx a x aì+ï+íï++++î＞＞恰有三个整数解，则a的取值范围是（）A．1≤a＜32B．1＜a≤32C．1＜a＜32D．a≤1或a＞32【答案】B【解析】解不等式123x x++＞，得：x＞25-，解不等式3x+5a+4＞4（x+1）+3a，得：x＜2a，∵不等式组恰有三个整数解，∴这三个整数解为0、1、2，∴2＜2a ≤3， 解得1＜a ≤32， 故选：B ．8．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且 ¼¼:1:3BD AD ⅱ=（¼BD ¢表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：3B ．1：πC ．1：4D ．2：9【答案】D【解析】连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：OM ＝12OA ，∠OMA ＝90°， ∴∠OAM ＝30°， ∴∠AOM ＝60°，∵且»»:1:3BDAD =， ∴∠AOB ＝80°设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180l r p p =， ∴r ：l ＝2：9． 故选：D ．9．（2019德州）在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使y 2−y 1x 2−x 1＜0成立的是（ ）A ．y ＝3x ﹣1（x ＜0）B ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0）C ．y =−√3x（x ＞0）D ．y ＝x 2﹣4x +1（x ＜0）【答案】D【解析】A 、∵k ＝3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 ∴当x ＜0时，y 2−y 1x 2−x 1＞0，故A 选项不符合；B 、∵对称轴为直线x ＝1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小， ∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2，此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故B 选项不符合；C 、当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＞0，故C 选项不符合；D 、∵对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时y 2−y 1x 2−x 1＜0，故D 选项符合； 故选：D ．10．4张长为a 、宽为b （a ＞b ）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a +b ）的正方形，图中空白 部分的面积为S 1，阴影部分的面积为S 2．若S 1＝2S 2，则a 、b 满足（ ）A ．2a ＝5bB ．2a ＝3bC ．a ＝3bD ．a ＝2b【答案】D 【解析】222111()22()222S b a b ab a b a b =+??-=+，S 2＝（a +b ）2﹣S 1＝（a +b ）2﹣（a 2+2b 2）＝2ab ﹣b 2， ∵S 1＝2S 2，∴a 2+2b 2＝2（2ab ﹣b 2）， 整理，得（a ﹣2b ）2＝0， ∴a ﹣2b ＝0， ∴a ＝2b ． 故选：D ．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．分解因式234x y xy -= . 【答案】2(4)xy x y -【解析】2324(4)x y xy xy x y -=- 故答案为：2(4)xy x y -12．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%， 结果提前8天完成任务，原来每天制作 件． 【答案】20【解析】设原来每天制作x 件， 根据题意得：4804808(150%)x x-=+，解得：x ＝20，经检验x ＝20是原方程的解， 故答案为20．13．如图，分别以边长为2的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图 形是一个曲边三角形，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分面积为 ．第16题【答案】53p -【解析】连接OB ，作OH ⊥BC 于H ，如图， ∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∠ABC ＝60°， ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OH 为⊙O 的半径，∠OBH ＝30°， ∵O 点为等边三角形的外心， ∴BH ＝CH ＝1，在Rt △OBH 中，33OH BH ==， ∵S 弓形AB ＝S 扇形ACB ﹣S △ABC ， ∴阴影部分面积＝3S弓形AB +S △ABC ﹣S ⊙O ＝3（S扇形ACB ﹣S △ABC ）+S △ABC ﹣S ⊙O ＝3S扇形ACB ﹣2S △ABC ﹣S ⊙O ＝2226025322(360433p p p 创?创-?-故答案为：53p -14．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB 为1.5米，她先站在A 处看路灯顶端O 的仰角为35°，再往前走3米站在C 处，看路灯顶端O 的仰角为65°，则路灯顶端O 到地面的距离约为 .（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）【答案】4.7米【解析】过点O 作OE ⊥AC 于点E ，延长BD 交OE 于点F ，设DF =x∵tan65°=OFDF，∴OF=x tan65° ∴BF=3+x ∵tan35°=OFBF，∴OF=（3+x ）tan35° ∴2.1x =0，7（3+x ） ∴x =1.5∴OF=1.5×2.1=3.15 ∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7 故答案为：4.7米15．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos （α+β）＝ ．【答案】√217【解析】给图中各点标上字母，连接DE ，如图所示． 在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝BC ，∴∠α＝30°． 同理，可得出：∠CDE ＝∠CED ＝30°＝∠α． 又∵∠AEC ＝60°，∴∠AED ＝∠AEC +∠CED ＝90°．设等边三角形的边长为a ，则AE ＝2a ，DE ＝2×sin60°•a =√3a ， ∴AD =√AE 2+DE 2=√7a ， ∴cos （α+β）=DEAD =√217． 故答案为：√217．16．如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x +4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是 ．【答案】x ＝0或x =或4x ＜＜ 【解析】分三种情况：①如图1，当M 与O 重合时，即x ＝0时，点P 恰好有三个；②如图2，以M 为圆心，以4为半径画圆，当⊙M 与OB 相切时，设切点为C ，⊙M 与OA 交于D ，∴MC ⊥OB ， ∵∠AOB ＝45°，∴△MCO 是等腰直角三角形， ∴MC ＝OC ＝4，∴OM =当M 与D 重合时，即4x OM DM =-=时，同理可知：点P 恰好有三个；③如图3，取OM ＝4，以M 为圆心，以OM 为半径画圆，则⊙M 与OB 除了O 外只有一个交点，此时x ＝4，即以∠PMN 为顶角，MN 为腰，符合条件的点P 有一个，以N 圆心，以MN 为半径画圆，与直线OB 相离，说明此时以∠PNM 为顶角，以MN 为腰，符合条件的点P 不存在，还有一个是以NM 为底边的符合条件的点P ； 点M 沿OA 运动，到M 1时，发现⊙M 1与直线OB 有一个交点；∴当4x ＜＜时，圆M 在移动过程中，则会与OB 除了O 外有两个交点，满足点P 恰好有三个；综上所述，若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是：x ＝0或x =或4x ＜＜．故答案为：x ＝0或x =或4x ＜＜．三、解答题（本小题7个小题，共66分，17题6分，18-19各8分，20-21各10分，22-23各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（1）先化简，在求值：2(1)(3)(3)x x x +-+-其中x =2. （2）解分式方程：xx−2−1=4x 2−4x+4．【解析】（1）原式2221(9)210x x x x =++--=+ 当x =2时，原式=221014?= （2）解：x x−2−1=4x 2−4x+4，方程两边乘（x ﹣2）2得：x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）2＝4， 解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，（x ﹣2）2≠0． 所以原方程的解为x ＝4．18．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝DC．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BGC．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝AB．【解析】（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．19．某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．结合以上信息，回答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是；（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．【解析】（1）本次抽样调查的样本容量是55010%=，故答案为：50；（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，补全条形统计图如图所示；（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为12 36086.450按=?；（4）3000×20%＝600名，答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．20．如图，已知二次函数y＝ax2﹣3x+4的图象经过点M（3，4）．（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝﹣2时，求n的值；②若点Q到x轴的距离等于114，直接写出m的值．【解析】（1）把点M（3，4）代入y＝ax2﹣3x+4中得9a﹣9+4＝4，∴a＝1，∴y＝x2﹣3x+4，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣32）2+74，∴顶点坐标为37(,)24；（2）①当m ＝﹣2时，n ＝4+6+4＝14，②点Q 到x 轴的距离等于114，∴n ＝114， ∴m 2﹣3m +4＝114，解得m ＝12或52，∴m 的值为12或52．21． 2月1日上午，沪苏湖铁路南浔交通枢纽工程在湖州南浔举行开工奠基仪式．意味着以后南浔到上海只要半小时左右，极大的方便了人们的出行，甲、乙两城市之间开通了高速列车，如图，OA 是普通列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象，BC 是高速列车离开甲城的路程s （km ）与行驶时间t （h ）的函数图象．请根据图中的信息，解答 下列问题：（1）根据图象信息，普通列车的速度是 km /h ，高速列车的速度是 km /h ；（2）若高速列车在到达乙城1小时后返回甲城，请在图中画出高速列车返回甲城的路程s （km ）与时间t （h ）的函数图象；并求出高速列车返回时与普通列车相遇的时间；（3）出于安全考虑，两列列车装有告警装置，当两列列车相距20km 时会发出警报，问在上述过程中装置发出警报的时间范围．【解析】（1）由图象得：普通列车的速度是 600÷6＝100km /h ，高速列车的速度是 600÷（3﹣1）＝300km /h ．（2）设DE 解析式：y ＝kx +b ，由题意得：{600406k b k b =+=+，解得：{3001800k b =-=∴DE 解析式y ＝﹣300x +1800 由题意得：AO 解析式：y ＝100x ∴{3001800100y x y x =-+=，解得：{4.5450x y == 答：高速列车返回时与普通列车相遇的时间 （3）设BC 解析式y ＝mx +n 根据题意得：{60030m nm n=+=+解得：{300300m n ==-∴BC 解析式：y ＝300x ﹣300 根据题意得：{100(300300)2030030010020x x x x --?--?解得：1.4≤x ≤1.6 由题意得：{100(3001800)20300180010020x x x x --+?-+-? 解得：4.45≤x ≤4.55终上所述：装置发出警报的时间范围为1.4≤x ≤1.6和4.45≤x ≤4.5522．我们定义：有一组领边相等的四边形叫做“等腰四边形”（1）如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线CA 平分∠BCD ，求证：四边形ABCD 是等腰四边形；（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （4，2）点C 是x 轴正半轴上的动点，当四边形AOCB 是等腰四边形，求出点C 的坐标.（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A （0，4），点9(,)2B t （t ＞0），点C 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠OAB 与∠OCB 互补，函数ky x=的图像正好经过点B ，当四边形AOCB 是等腰四边形，求k 的值.B【解析】（1）∵CA 平分∠BCD ，∴∠BCA =∠ACD ∵AD ∥BC ，∴∠BCA =∠CAD ∴∠CAD =∠ACD ∴AD =CD∴四边形ABCD 是等腰四边形（2）①OA =OC 时，则OC =2，∴C （2，0）②BA =BC 时，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交x 轴于12,C C ，则124BC BC ==∴12C H C H ==∴12(4(4C C -+③OC =BC 时作BH ⊥x 轴，连结OB ，设OC =BC =a 则CH =4-a∴222(4)2a a =-+，解得52a =∴5(,0)2C∴5(2,0),(,0),(42C -+（3）∵∠OAB 与∠OCB 互补，∴A 、O 、C 、B 四点共圆，∵∠AOC =90°，∴∠ABC =90°① AB =BC 时，则△ABC 为等腰直角三角形作BH ⊥y 轴，BG ⊥x 轴，则△BHA ≌△BGC ，∴92BG BH ==，∴99(,)22B ，∴814k =② OA =OC 时，则C （4，0），以AC 为直径画圆，交直线92y =于12,B B ， 12AG = 作12BH B B ^则AGB BHC V :V ,92CH =， ∴AG BG BH CH =即12942t t =-，解得2t =?∴94k =?③ OA =AB 时，则AB =4，∴t =，∴4k =∴8194k =? 23．已知：在矩形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，AD 上的点，过点F 作EF 的垂线交DC 于点H ，以EF 为直径作半圆O ．（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O 上；当»»AE AF =时，tan ∠AEF 的值是； （2）如图1，在△EFH 中，当FE ＝FH 时，求证：AD ＝AE +DH ；（3）如图2，当△EFH 的顶点F 是边AD 的中点时，求证：EH ＝AE +DH ；（4）如图3，点M 在线段FH 的延长线上，若FM ＝FE ，连接EM 交DC 于点N ，连接FN ，当AE ＝AD 时，FN ＝4，HN ＝3，求tan ∠AEF 的值．【解析】（1）连接AO ，∵∠EAF＝90°，O为EF中点，∴AO＝12EF，∴点A在⊙O上，当»»AE AF=时，∠AEF＝45°，∴tan∠AEF＝tan45°＝1，故答案为：在，1；（2）∵EF⊥FH，∴∠EFH＝90°，在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，∴∠AEF＝∠DFH，又FE＝FH，∴△AEF≌△DFH（AAS），∴AF＝DH，AE＝DF，∴AD＝AF+DF＝AE+DH；（3）延长EF交HD的延长线于点G，∵F分别是边AD上的中点，∴AF＝DF，∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，∴△AEF≌△DGF（ASA），∴AE＝DG，EF＝FG，∵EF⊥FH，∴EH＝GH，∴GH＝DH+DG＝DH+AE，∴EH＝AE+DH；（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，∵FM＝FEEF⊥FH，∴△EFM为等腰直角三角形，∴∠FEM＝∠FMN＝45°，∵FM＝FE，∠A＝∠MQF＝90°，∠AEF＝∠MFQ，∴△AEF≌△QFM（ASA），∴AE＝FQ＝a，AF＝QM，∵AE＝AD，∴AF＝DQ＝QM＝x，∵DC∥QM，∴DQ HM x FQ FM a==，∵DC∥AB∥QM，∴MN QD x EN AD a==，∴MN HM x EN FM a==，∵FE＝FM，∴MN HM xEN FE a==，∠FEM＝∠FMN＝45°，∴△FEN～△HMN，∴34 MN HN xEN FN a===，∴3 tan4AF xAEFAE a?==。

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析

2020年湖南师大附中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|2x﹣1＞1}，B＝{x|x2﹣2x≤0}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（0，3]D．（1，2]【解答】解：∵2x﹣1＞1，∴A＝{x|x＞1}，又x2﹣2x≤0，则B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，故选：D．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝故选：D．3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F满足，那么＝（）A．B．C．D．【解答】解：＝+＝+＝﹣，故选：C．4．函数y＝（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x≥0时，函数y＝＝，y′＝，有且只有一个极大值点是x＝2，故选：A．5．在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4．图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和，其面积为．∴所求概率P＝．故选：C．6．的展开式中的常数项为（）A．14B．﹣14C．16D．﹣16【解答】解：∵＝（3x+1）（﹣+﹣+﹣1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14，故选：A．7．已知α为锐角，且，则α的值为（）A．20°B．40°C．50°D．70°【解答】解：整理得：，转换为，即，则：．当α＝40°时，两边相等．故选：B．8．设椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点E（0，t）（0＜t＜b）．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：△PEF2的周长为|PE|+|PF2|+|EF2|＝|PE|+|PF2|+|EF1|，当P，E，F1共线时，此时周长最小，∴|PE|+|PF2|+|EF1|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝3b，∴4a2＝9（a2﹣c2），5a2＝9c2∴e＝＝，故选：D．9．设三棱柱ABC﹣A 1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A．24πB．18πC．26πD．16π【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC的中点O'，则外接圆的半径r＝，而AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝2，所以r＝，过BC的中点做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O 为外接球的球心，由题意得：R2＝r2+（）2＝2+＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝26π，故选：C．10．设S n是数列{a n}的前n项和，若，2＝2a n+2﹣a n+1（n∈N*），则数列的前99项和为（）A．B．C．D．【解答】解：，，两式作差得，，故2＝2a n+2﹣a n+1＝2n+1，b n＝n+1，所以，所以＝，故选：C．11．已知函数f（x）＝．若f（a）＝f（b）（a＜b），则ab的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：画出函数f（x）＝的图象，如图①所示；由f（a）＝f（b），且a＜b，设2+a＝2b＝k，则2＜k≤4；所以a＝，b＝log2k；当k＝4时，ab＝•log24＝•2＝；考虑ab﹣＝•log2k﹣＝•（log2k﹣2k﹣3），在同一坐标系中画出函数y＝log2x和y＝2x﹣3的图象，其中x∈（2，4]，如图②所示；则函数y＝log2x的图象总在y＝2x﹣3的图象上方，所以ab﹣≥0，即ab的最小值为．故选：B．12．已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B．交y轴于点C，交另一条渐近线于点A，并且点C位于点A，B之间．已知O为原点，且，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），渐近线OB的方程为y＝x，渐近线OA的方程为y＝﹣x，可得|BF|＝＝b，|OB|＝＝a，|AB|＝＝，可得tan∠AOB＝＝＝，解得b＝2a或b＝﹣a（舍去），可得|AF|＝+2a＝，由|OB|2＝|CB|•|BF|，可得|CB|＝＝a，则|CF|＝b+a＝，则＝．故选：B．二、填空题13．已知函数f（x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x（a∈R）为偶函数，则a＝．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，若f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），则有a（﹣x）﹣log2（2﹣x+1）+cos（﹣x）＝ax﹣log2（2x+1）+cos x，变形可得：2ax＝log2（2x+1）﹣log2（2﹣x+1）＝x，必有a＝；故答案为：．14．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，a2+a5＝6，则a8＝3．【解答】解：S n是等比数列{a n}的前n项和，且设公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3+S6，显然q＝1时，18a1＝9a1，即a1＝0不成立；则2•＝+，化为2q9＝q3+q6，即2q6﹣q3﹣1＝0，解得q3＝﹣，由a2+a5＝6，可得a1q+a1q4＝a1q（1+q3）＝a1q＝6，则a8＝a1q7＝a1q（q6）＝a1q＝×6＝3．故答案为：3．15．若f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，且当φ取最小值时，，使得f（x0）＝a，则a的取值范围是（﹣，2]．【解答】解：f（x）＝2sin（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，所以φ＝（k∈Z），解得φ＝，当k＝0时，φ＝．所以f（x）＝2sin（2x+）．由于，所以，所以﹣＜f（x0）≤2，即a的范围为（﹣，2]．故答案为：（﹣，2]．16．在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且PD＝＝3，DE＝4，AE＝＝，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC＝＝＝＝8．故答案为：8．三、解答题17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C＝，∵0＜C＜π，∴C＝，（II）由题意可得，＝，∴ab＝4，∵2a+b＝6，联立可得，或，若a＝1，b＝4，则由余弦定理可得，c2＝1＝13，此时a+b+c＝5+，若a＝2，b＝2，则此时△ABC为等边三角形，此时周长6．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C是菱形，其对角线的交点为O，且AB＝AC1，AB⊥B1C．（Ⅰ）求证：AO⊥平面BB1C1C：（Ⅱ）设∠B1BC＝60°，若直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为45°，求二面角A1﹣B1C1﹣B的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB1C1C是菱形，∴B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，AB，BC1均在平面ABC1内，∴B1C⊥平面ABC1，∵AO⊂平面ABC1，∴B1C⊥AO，∵AB＝AC1，O为BC1的中点，∴AO⊥BC1，又B1C∩BC1＝O，B1C，BC1均在平面BB1C1C内，∴AO⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）∵AB∥A1B1，∴直线A1B1与平面BB1C1C所成角等于直线AB与平面BB1C1C所成角，∵AO⊥平面BB1C1C，∴直线AB与平面BB1C1C所成角为∠ABO，即∠ABO＝45°，设菱形BB1C1C的边长为2，则在等边△BB1C中，，在直角△ABO 中，，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，，，设平面A1B1C1的一个法向量为，则，令，则，易知平面B1C1B的一个法向量为，∴，又二面角A1﹣B1C1﹣B为钝角，故其余弦值为．19．已如椭圆：C1：（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点重合，椭圆C1的离心率为，过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l与椭圆C1交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为E．当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，依题意，可得a＝，则C2：y2＝4ax，代入x＝c，得y2＝4ax，即y＝±2，所以4＝4，则有ac＝2，＝，a2﹣b2＝c2⇒a＝2，b＝，c＝1，p＝4，所以椭圆C1的方程为+＝1，抛物线C2的方程为y2＝8x；（Ⅱ）过点A（﹣4，0）的直线l设为y＝k（x+4），联立椭圆方程3x2+4y2＝12，消去y得（3+4k2）x2+32k2x+64k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），E（x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，直线EN的方程为y+y1＝（x﹣x1），即为y+k（x1+4）＝（x﹣x1），即y＝•x﹣，代入韦达定理可得y＝•（x+1），则直线EN过定点（﹣1，0）．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n，（n∈N*）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量X～B（5，），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P（X＝2）＝＝．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，…，P（ξ＝n﹣1）＝，P（ξ＝n）＝，∴ξ的分布列为：ξ012…n﹣1nP…E（ξ）＝+，①E（ξ）＝，②①﹣②，得：E（ξ）＝∴E（ξ）＝＝＝3﹣3•．21．已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a∈R），f（x）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）当0＜a＜1时，x1，x2分别为f（x）的极大值点和极小值点．且f（x1）+kf（x2）＞0，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴a＞0且a≠1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，①0＜a＜1时，﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，②a＞1时，﹣lna＜0，∴当x＞0或x＜﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当﹣lna＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极小值，当x2＝﹣lna时，函数取得极大值，故a的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞﹣kf（x2），令﹣k＝m，∵a﹣1＞m[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故m＞0，故（a+1）lna＜（1）（a﹣1），即lna＜（1），设g（x）＝lnx﹣（1）），g′（x）＝，令+1＝0（*），△＝，①m≥1时，△≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1），符合题意，②0＜m＜1时，△＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x∈（x3，x4）时，g′（x）＜0，g（x）递减，故当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1），矛盾，不合题意，综上，m≥1，即﹣k≥1，∴k≤﹣1．22．在平面直角坐标系x0y中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）．设直线l1与l2的交点为P．当k变化时点P的轨迹为曲线C1．（Ⅰ）求出曲线C1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为，点Q为曲线C1上的动点，求点Q到直线C2的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为①．直线l2的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为②．所以①×②得到（y≠0）．（Ⅱ）直线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x+y﹣6＝0．设曲线C1的上的点Q（）到直线x+y﹣8＝0的距离d＝＝，当时，．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+|x﹣5|的最小值为m，正数a，b满足a+b＝m．求证：．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣1|，∴由f（x）≥3﹣2|x|，得|x﹣1|+2|x|≥3．∵|x﹣1|+2|x|＝，∴由|x﹣1|+2|x|≥3，有或或，∴x≥或x≤﹣，∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣}．（Ⅱ）证明：g（x）＝f（x）+|x﹣5|＝|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）﹣（x﹣5）|＝4，∴g（x）min＝m＝4，∴a+b＝m＝4，∴＝≥2a+2b﹣4＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴．。

2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考二模数学试题(解析版)

2024年湖南省长沙市湖南师大附中博才实验中学中考二模数学试题(解析版)

2024年长沙市中考适应性试卷数学（二）注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共三道大题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 的相反数是（ ）A. B. 2024 C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：的相反数是2024，故选：B ．2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）A.B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查常见几何体的三视图，俯视图为从物体上边向下作正投影得到的视图，由此可解．【详解】解：所给立体图形为三棱柱，从正上方向下看，看到的图形为一个三角形，2024-2024-12024-120242024-3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）A. 打开电视，正在播放跳水比赛B. 一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球C. 抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6D. 一个多边形的内角和为【答案】B【解析】【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此对每一项进行分析即可．【详解】A ，打开电视，可能播放跳水比赛，也可能不播放，因此该事件是随机事件；B ，一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，可能是2个红球，也可能是1个红球和1个白球，因此至少有一个是红球，该事件是必然事件；C ，抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为可能是6，也可能不是6，因此该事件是随机事件；D ，设一个n 边形的内角和为，则，解得，不是整数，因此这种情况不存在，该事件是不可能事件；故选B ．4. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式，根据相关运算法则逐项计算即可．【详解】解：A ，，计算错误；B ，，计算错误；C ，，计算正确；D ，，计算错误；600︒600︒()2180600n -⋅︒=︒163n =2242x x x +=623x x x ÷=()2242x y x y =222()x y x y -=-222422x x x x +=≠626243x x x x x -÷==≠()()2222242x x y y x y ==⋅22222()2x y x xy y x y -=-+≠-5. 一个正八边形的内角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查多边形内角和公式，正多边形的性质，设这个正八边形的每一个内角的度数为x ，则内角和为，结合多边形内角和公式列方程，即可求解．【详解】解：设这个正八边形的每一个内角的度数为x ，则，解得．故这个正六边形每一个内角的度数为．故选C ．6. 一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数和众数分别是（ ）成绩（环）678910次数25364A. 8，9B. 9，8C. 8.5，9D. 8.5，7【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了中位数，众数，正确把握众数和中位数的定义是解题关键．如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．本题中根据众数和中位数的定义即可求解．【详解】解：由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，故这个射击运动员这次成绩的中位数是，射击9环出现了6次，故众数为9，故选：C ．7. 如图，直线，，，则的度数为（ ）的90︒120︒135︒150︒8x ()2180n -⨯︒()882180x =-⨯︒135x =︒135x =︒()1898.52+=a b ∥160∠=︒380∠=︒2∠A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查根据平行线的性质求角的度数，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而求出，最后根据即可求解．【详解】解：如图，，，又，，，，故选A ．8. 若，则满足条件的可能是（ ）A. 8B. 9C. 15D. 18【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键．先根据算术平方根的意义确定a 的取值范围，然后结合选项即可解答．【详解】解：∵，∴，即选项C 符合题意．故选C ．40︒60︒80︒100︒4160∠=∠=︒5∠25∠=∠ a b ∥∴4160∠=∠=︒ 380∠=︒∴518034*********∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ a b ∥∴2540∠=∠=︒34<a 34<<<<916a <<9. 如图，已知在中，半径垂直于弦，垂足为．如果，，那么（ ）A. 12B. C. 13 D. 16【答案】C【解析】【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据垂径定理得出，设，利用勾股定理解即可．详解】解：半径垂直于弦，，设，，，在中，由勾股定理得，，解得，，故选C ．10. 某届世界杯的小组赛积分规则为：四支球队进行单循环比赛（每两支球队比赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．已知某小组有甲、乙、丙、丁四支球队参加比赛，下列对这个小组的积分情况描述不正确的是（ ）A. 丙队不可能获得8个积分B. 四支球队的积分不可能是四个连续的奇数C. 四支球队的积分不可能是四个连续的偶数D.若四支球队的积分是四个连续的整数，则有两支球队没有取得一场胜利【O OC AB D 8CD =24AB =OA=1122AD AB ==OA OC r ==Rt ADO △ OC AB ∴11241222AD AB ==⨯=OA OC r == 8CD =∴8OD OC CD r =-=-Rt ADO △222OD AD OA +=∴()222812r r -+=13r =∴13OA =【答案】B【解析】【分析】本题考查逻辑推理与论证，先根据赛制得出比赛总场数、单支球队比赛场数，计算出每支球队所有可能的得分情况，再逐项推理论证即可．【详解】解：根据赛制，一共需要进行6场比赛，每支球队进行3场比赛，3胜得9分，2胜1平得7分，2胜1负得6分， 1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，1胜2负得3分，3平得3分，2平1负得2分，1平2负得1分，3负得0分，一支球队可能获得的积分为：9，7，6，5，4，3，2，1，0，丙队不可能获得8个积分，故A 选项描述正确；甲队1平2负得1分，乙队1胜2负得3分，丙队1胜2平得5分，丁队2胜1平得7分，上述情况下，四支球队的积分是四个连续的奇数，故B 选项描述不正确；6场比赛均没有平局时，四支球队的积分之和最高，为分，6场比赛均是平局时，四支球队的积分之和最低，为分，每只球队均积3分，四支球队的积分是四个连续的偶数时，只可能是0，2，4，6，总积分是12，与每只球队均积3分矛盾，因此这种情况不存在，故C 选项描述正确；若四支球队的积分是四个连续的整数，则有可能是3，2，1，0或4，3，2，1或5，4，3，2或6，5，4，3，当得分为3，2，1，0时，总积分为6，与总积分最低为12矛盾，不合题意，当得分为4，3，2，1时，总积分为10，与总积分最低为12矛盾，不合题意，当得分为6，5，4，3时，总积分为18，有平局，与没有平局时总积分最高18分矛盾，不合题意，得分为5，4，3，2时，四支球队得分情况为：1胜2平得5分，1胜1平1负得4分，3平得3分，2平1负得2分，可知有两支球队没有取得一场胜利，故D 选项描述正确；故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 分解因式：______．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法提出公因式xy ，再利用平方差公式法进行变形即可．【详解】解：；∴∴1863=⨯2612⨯=3x y xy -=()()11xy x x +-()()()32111x y xy xy x xy x x -=-=+-故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到不能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查．12. 方程的解为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程化为整式，然后计算即可，正确计算是解题的关键．详解】解：，各项同乘可得：，去括号可得：，解得：，经验证，是该方程的解，故答案为：．13. 平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了关于x 轴对称点的特征，解题时，要注意：关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．利用关于x 轴对称点的特征分析得出即可．【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．故答案为：．14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为________．【()()11xy x x +-12122x x=---=1x -12122x x=---()2x -()122x =---122x =--+=1x -=1x -=1x -()4,6-x ()4,6--()4,6-x ()4,6--()4,6--ABCD Y A AB AD F B F 12BF G AG BC E 6AE =4BF =AB【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，设交于点，连接，根据作图可知，，再根据平行四边形的性质及等角对对边得出，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理即可得出答案．【详解】解：如图，设交于点，连接,由作图可知：，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，在中，，，15. 某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示AE BF O EF AB AF =AE BF ⊥AB BE AF ==ABEF AE BF O EF AB AF =AE BF⊥OB OF ∴=BAE EAF ∠=∠ ABCD AD BC ∴∥EAF AEB ∴∠=∠BAE AEB ∴∠=∠AB BE AF \==AF BE ∥∴ABEF AB AF = ∴ABEF 132OA OE AE ∴===122OB OF BF ===Rt AOB △90AOB ∠=︒Q AB ∴==的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有________名．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键．先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答．【详解】解：羽毛球所占的百分比为，所以该学校选择羽毛球的学生有名．故答案为：．16. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解．【详解】解：如图，连接，1280110%20%30%40%---=320040%1280⨯=1280AB O CD AB ⊥E 30ODE ∠=︒1BE =2π3COB △1BE =CE OBC OBC S S S =-V 阴影扇形OC，，，，即，，又，是等边三角形，，，，，，，故答案为：三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 计算：．【答案】0【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，先计算负整数次幂、特殊角三角函数、绝对值、立方根，再进行加减运算．【详解】解： CD AB⊥30ODE ∠=︒∴ CBDB =903060∠=︒-︒=︒DOE 60DOB ∠=︒∴60COB DOB ∠=∠=︒ OC OB =∴COB △ CE OB ⊥1BE =∴22OB BE ==∴2BC OB ==∴CE ===∴2260π160π212π2360236023OBCOBC OB S S S OB CE ⨯⋅⨯⨯=-=-⋅=-⨯=- 阴影扇形2π3-113tan3013-⎛⎫-+- ⎪︒⎝⎭113tan3013-⎛⎫-+- ⎪︒⎝⎭．18.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，先将括号内式子通分，变分式除法为分式乘法，约分化简，最后将代入求值即可．【详解】解：，将代入，得：原式．19. 某次台风来袭时，一棵大树（假定树干垂直于地面）被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面（如图所示），量得，大树被折断部分和地面所成的角，米．3312=---312=--0=2211211x x x x x -⎛⎫÷- ⎪++-⎝⎭1x =11x-+1x =-2211211x x x x x -⎛⎫÷- ⎪++-⎝⎭()2221111xx x x x --+=÷-+()()()()21111x x xx x x -=÷+-+()211x x x x +=-⋅+11x =-+1x =-===AB 15︒D 15BAC ∠=︒60ADC ∠=︒4=AD（1）求大树的根部到折断后的树干的距离；（2）求这棵大树原来的高度．）【答案】（1）（2）10米【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．（1）过A 点作于点E ，用三角函数和勾股定理解求出即可；（2）通过角度计算证明是等腰直角三角形，推出，根据即可求解．【小问1详解】解：如图，过A 点作于点E ，∵，即，在中，，∴，∴，∴，即大树的根部到折断后的树干的距离为A CD AB 1.4≈ 1.7≈ 2.4≈AE CD ⊥Rt AED △AE ACE △AE CE ==AC ==AB AC CD AC CE DE =+=++AE CD ⊥60ADC ∠=︒60EDC ∠=︒Rt AED △cos DE EDC AD ∠=1cos 6042DE ︒==2DE =AE ===A CD【小问2详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，∴这棵大树原来的高度约为10米．20. 为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：（1）该校一共有________个班；在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是________；（2）请将条形统计图补充完整；（3）为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．【答案】（1）20，（2）见详解 （3）树状图见详解，概率为【解析】15BAC ∠=︒901575DAC ∠=︒-︒=︒60ADC ∠=︒AE CD ⊥90906030EAD ADE ∠=︒-∠=︒-︒=︒753045CAE DAC EAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒AE CD ⊥90904545ACE CAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒ACE △AE CE ==AC ===22 2.42 1.7210AB AC CD AC CE DE =+=++=++≈⨯+⨯+≈AB 90︒13【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到相关联的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，还考查了考查了用列表法或画树状图法求概率．（1）由4名的班级数及其所占百分比可得总班级数，用乘以对应的比例即可得；（2）根据班级数之和等于总班级数求出2名的班级数，从而补全图形；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及所学生来自同一个班级的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：该校一共有班级（个），圆心角为：，故答案为：20，；【小问2详解】解：参加夏令营人数2名的班级数为：，补全图形如下：【小问3详解】解：记一个班级中的2名志愿者为，另一个班级的2名志愿者为，画树状图得：∴共有12种等可能的结果，所选志愿者来自同一个班级的4种情况为 ，所选志愿者来自同一个班级的概率为：．21. 如图，在和中，，，，且点在线段上，连接．360︒630%20÷=53609020︒⨯=︒90︒2056522----=12,A A 12,B B ()()()()12211221,,,,,,,A A A A B B B B ∴41123=ABC ADE V AB AC =AD AE =90BAC DAE ∠=∠=︒D BC CE（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．（1）由得，继而由即可证明；（2）先证明出，再由三角形内角和定理得，即可求解．【小问1详解】证明：，，即，在和中，，；【小问2详解】解：记与交于点O ，∵，，，∴,∵,∴ABD ACE ≌△25CED ∠=︒BAD ∠65︒90BAC DAE ∠=∠=︒BAD CAE ∠=∠SAS ACE ADE ∠=∠25DAO CED ∠=∠=︒90BAC DAE ∠=∠=︒ BAC CAD DAE CAD ∴∠-∠=∠-∠BAD CAE ∠=∠ABD △ACE △AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ABD ACE ∴ ≌BD AC AB AC =90BAC ∠=︒AD AE ==90DAE ∠︒18090452B ADE ︒-︒∠=∠==︒ABD ACE ≌△△45B ACE ∠=∠=︒∴，∵，∵，∴，∵，∴．22. 2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动．学校准备为同学们购进A ，两款文化衫，每件A 款文化衫比每件款文化衫贵10元，购进3件A 款文化衫和4件款文化衫共需要310元．（1）求款文化衫和款文化衫每件各多少元；（2）已知一共需购进600件文化衫，在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，学校计划文化衫费用不超过19000元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请你帮学校确定购买方案．【答案】（1）款文化衫和款文化衫每件分别为50元，40元（2）学校的采购方案为A 款200件，B 款400件．【解析】【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式组财务解题的关键（1）设B 款文化衫每件x 元，则A 款文化衫每件元，利用等量关系“购进3件A 款文化衫和4件款文化衫共需要310元”列一元一次方程求解即可；（2）设购进B 款文化衫y 件，则购进A 款文化衫件，在利用不等关系“学校计划文化衫费用不超过19000元且款文化衫不少于款文化衫数量的一半”列出关于y 的一元一次不等式组，求出y 的取值范围，进而完成解答．【小问1详解】解：设B 款文化衫每件x 元，则A 款文化衫每件元，由题意可得：，解得：，则．答：A 款文化衫和款文化衫每件分别为50元，40元．【小问2详解】解：设购进B 款文化衫y 件，则购进A 款文化衫件，ACE ADE ∠=∠∠=∠DOA COE 180DAO ADE DOA ∠=︒-∠-∠180CED ACE COE∠=︒-∠-∠25DAO CED ∠=∠=︒90BAC ∠=︒902565BAD ∠=︒-︒=︒B B B A B A B A B A B ()10x +B ()600y -A B ()10x +()3104310x x ++=40x =1050x +=B ()600y -由题意可得：，解得：，则件．所以学校的采购方案为A 款200件，B 款400件．23. 如图，在中，，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若是边长为2的等边三角形，求的长．【答案】（1）见详解（2）【解析】【分析】（1）由四边形是平行四边形，得，再由等角的余角相等得，再由外角定理得，继而可求证；（2）先求出，继而可得,对运用勾股定理求出，再得【小问1详解】证明：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形；()()500.760040101900016002y y y y ⎧⨯-+-≤⎪⎨-≥⎪⎩400y =600400200-=ABCD Y AE BC ⊥E AF CD ⊥F BD AE AF G H AG AH =ABCD AGH AB ABCD ABE ADF ∠=∠BAE DAF ∠=∠ABD ADB ∠=∠30GBE ∠=︒1GE =Rt GBE △BE ==30BAG ∠=︒2AB BE ==AE BC ⊥AF CD⊥90AEB AFD ∠=∠=︒ABCD ABE ADF ∠=∠BAE DAF ∠=∠AG AH =AGH AHG ∠=∠ABD ADB ∠=∠AB AD =ABCD ABCD【小问2详解】解：∵是边长为2的等边三角形，∴，∵，∴,∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解决本题的关键．24. 如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，．（1）求的度数；（2）如图2，是线段上的动点，过点作的平行线，交于点，，连接，，．①当时，求的长；AGH 2,60AG AGH BGE =∠=∠=︒90AEB ∠=︒30GBE ∠=︒ABCD 30ABD GBE ∠=∠=︒60AGH ∠=︒603030BAG ∠=︒-︒=︒BAG ABG ∠=∠2AG BG ==Rt GBE △30GBE ∠=︒112GE BG ==BE ==Rt ABE △30BAG ∠=︒2AB BE ==AB O D O D O AB C DA DC =C ∠P BC P AD O E ()F PF PE ≥BE BF 10AB =tan 1FBA ∠=BE②当为何值时，．【答案】（1）（2）①；②当时，【解析】【分析】（1）连接，由得到，从而，根据是的切线，得到，从而，即，结合即可解答；（2）①连接，由是直径得到，由得到，解直角三角形得到，则，由得到，解直角三角形得到，，，证明，得到，代入即可解答；②过点B 作于点G ，证得，得到，设，则，．过点O 作于点N ，，，．根据得到，分别代入得到方程，求解即可解答．小问1详解】解：连接，∵，∴，∴，∵是的切线，是半径，∴，∴，【BP BE EF EF BF =30︒52BE =BP =BE EF EF BF =OD OA OD =ODA A ∠=∠2COD A ODA A ∠=∠+∠=∠CD O 90CDO ∠=︒90C COD ∠+∠=︒290C A ∠+∠=︒A C ∠=∠AF AB 90AFB ∠=︒tan 1FBA ∠=45FBA ∠=︒sin AF AB ABF =⋅∠=OF 152OF AB ==FP AD ∥30FPO ∠=︒OP =10FP =5BP OP OB =-=-AFP EBP ∽AF FP BE BP=BG FP ⊥ABF EBG △∽△BF AB BG BE=2BP x =12BG BP x ==10BE BF AB BG x ⋅=⋅=ON EF ⊥15222x ON BP +==()()222152524x x EN OE ON +-=-=()()22415252EF EN x x ==+-BE EF EF BF =2BE BF EF ⋅=OD OA OD =ODA A ∠=∠2COD A ODA A ∠=∠+∠=∠CD O OD OD CD ⊥90CDO ∠=︒∴，即，∵∴，∴；【小问2详解】解：①连接，∵是直径，∴，∵，∴，∴，，连接，则∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，90C COD ∠+∠=︒290C A ∠+∠=︒DA DC=A C ∠=∠30C ∠=︒AF AB 90AFB ∠=︒tan 1FBA ∠=45FBA ∠=︒sin 10sin 45AF AB ABF =⋅∠=⋅︒=cos 10cos 45BF AB ABF =⋅∠=⋅︒=OF 152OF AB ==AF BF =AO BO =FO AB ⊥90FOP ∠=︒FP AD ∥30FPO DAC C ∠=∠=∠=︒5tan tan 30FO OP FPO ===∠︒510sin sin 30FO FP FPO ===∠︒5BP OP OB =-=-180FAB FEB ∠+∠=︒180PEB FEB ∠+∠=︒FAB PEB ∠=∠APF EPB ∠=∠AFP EBP ∽∴，∴；②过点B作于点G ，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设，∵，，∴，∴．过点O 作于点N ，∵，∴∴在中，，∵过圆心O ，且，∴，∴．∵，即，∴，AF FP BE BP ==52BE =BG FP ⊥90BGE BGP ∠=∠=︒BGE AFB ∠=∠BEP FAP ∠=∠ABF EBG △∽△BF ABBG BE=BE BF AB BG ⋅=⋅2BP x =90BGP ∠=︒30BPG ∠=︒12BG BP x ==10BE BF AB BG x ⋅=⋅=ON EF ⊥30OPN ∠=︒()1152222x ON BP BO BP +==+=Rt ONE △()()222221525252524x x x EN OE ON +-+⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ON ON EF ⊥2E F E N =()()()()221525244152524x x EF EN x x +-==⋅=+-BE EFEF BF=2BE BF EF ⋅=()()1015252x x x =+-解得：或，∴，∴当时，．【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，垂径定理，勾股定理．正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．25. 我们称关于x 的二次函数为一次函数和反比例函数的“共同体”函数．一次函数和反比例函数的交点称为二次函数的“共赢点”．（1）二次函数是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；（2）已知二次函数与x 轴的交点为M ，N ，有A ，B 两个“共赢点”，且，求a 的值；（3）若一次函数和反比例函数的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，其中实数，．令，求L 的取值范围．【答案】（1）二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，“共赢点”是， （2） （3【解析】【分析】（1）根据“共同体”函数和“共赢点”的定义即可求解；（2）对于二次函数，令，则，得到交点M ，N 的横坐标满足，，根据两点间距离公式有．二次函数x=x =2BP x ==BP =BE EF EF BF =2y px qx k =++y px q =+ky x=-y px q =+ky x=-2y px qx k =++234y x x =--2y ax bx c =++3AB MN =2y ax b =+cy x=-1x 2x a b c >>0a b c ++=1211L x x =-234y x x =--3y x =-4y x=()1,4--()4,18a =L <<2y ax bx c =++0y =20ax bx c ++=M N b x x a +=-M N cx x a=MN ==是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，由得，则两个“共赢点”A，B的横坐标满足，，纵坐标满足，，根据两点间距离公式有，即可求出a的值；（3）由，得到，，，，从而，由题意可得，，从而二次函数的增减性并结合，可求出L的取值范围．【小问1详解】根据题意，二次函数中，，，，∴二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，解方程组得，，经检验，，都是方程组的解，∴一次函数与反比例函数图象的交点为，，即二次函数的“共赢点”是，；【小问2详解】∵二次函数与x轴的交点为M，N，∴令，则，∴交点M，N的横坐标满足，，2y ax bx c=++y ax b=+cyx=-y ax bcyx=+⎧⎪⎨=-⎪⎩20ax bx c++=A Bbx xa+=-A Bcx xa=A By y b+=A By y ac=AB===3AB MN=a b c>>0a b c++=0a>0c<0a a c++>0a c c++<122ac-<<-122bx xa+=-12cx xa=1211Lx x=-==122ac-<<-234y x x=--1p=3q=-4k=-234y x x=--3y x=-4yx=34y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩1114xy=-⎧⎨=-⎩2241xy=⎧⎨=⎩1114xy=-⎧⎨=-⎩2241xy=⎧⎨=⎩3y x=-4yx=()1,4--()4,1234y x x=--()1,4--()4,12y ax bx c=++y=20ax bx c++=M Nbx xa+=-M Ncx xa=∴，∵二次函数是一次函数与反比例函数的“共同体”函数，有A ，B 两个“共赢点”，∴由得，∴，∴A ，B 两个“共赢点”的横坐标满足，，纵坐标，，∴，，∴∵，∴，∵二次函数与x 轴有两个交点M ，N ，∴，∴，MN ====2y ax bx c =++y ax b =+cy x=-y ax bc y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩c ax b x +=-20ax bx c ++=A B b x x a +=-A B cx x a=A A y ax b =+B B y ax b =+()22A B A B b y y a x x b a b b a ⎛⎫+=++=-+= ⎪⎝⎭()()()2222A B A B A B A B c b y y ax b ax b a x x ab x x b a ab b ac a a ⎛⎫=++=+++=⋅+-+= ⎪⎝⎭AB ====3AB MN ==2224449b ac b ac b ac a a--+-=⋅2y ax bx c =++240b ac ->240b ac a-≠19a +=∴；【小问3详解】∵，，∴，，，，∴，∵一次函数和反比例函数“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为，，∴，是方程，即的两个根，∴，，∵，∵，，的8a =a bc >>0a b c ++=0a >0c <0a a c ++>0a c c ++<122a c -<<-2y ax b =+cy x=-1x 2x 1x 2x 2cax b x+=-220ax bx c ++=122bx x a +=-12c x x a=1211L x x =-=======122a c -<<-<<【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，完全平方公式的应用．熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．L <<。

2020年中考数学二模试卷(含解析)

2020年中考数学二模试卷(含解析)

2020年中考数学二模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向右平移了6个单位长度后得到点B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a是（）A．6B．﹣6C．3D．﹣32．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（）A．AF B．BH C．CD D．EC3．（2分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱4．（2分）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（）A．面朝上的点数是6B．面朝上的点数是偶数C．面朝上的点数大于2D．面朝上的点数小于25．（2分）下列是一组log o设计的图片（不考虑颜色），其中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间7．（2分）某商场一名业务员12个月的销售额（单位：万元）如下表：月份（月）123456789101112销售额（万元） 6.29.89.87.87.2 6.49.8879.8107.5则这组数据的众数和中位数分别是（）A．10，8B．9.8，9.8C．9.8，7.9D．9.8，8.18．（2分）甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S（单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．则下列说法正确的是（）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．跑步过程中，两人相遇一次C．起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D．乙在跑前300米时，速度最慢二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）分解因式：x3﹣2x2+x＝．10．（2分）若分式的值为0，则x＝．11．（2分）已知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，2），且y随x的增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：．12．（2分）某学校组织600名学生分别到野生动物园和植物园开展社会实践活动，到野生动物园的人数比到植物园人数的2倍少30人，若设到植物园的人数为x人，依题意，可列方程为．13．（2分）若2x2+3y2﹣5＝1，则代数式6x2+9y2﹣5的值为．14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），在经过两次变化（平移、轴对称、旋转）得到对应点A''、B''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），则由线段AB得到线段A'B'的过程是：，由线段A'B'得到线段A''B''的过程是：．15．（2分）如图，⊙O的半径为2，切线AB的长为，点P是⊙O上的动点，则AP的长的取值范围是．16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m）绕坐标原点O顺时针旋转90°后，恰好落在图中阴影区域（包括边界）内，则m的取值范围是．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（8分）计算：（）﹣1+﹣tan60°﹣|﹣2|．18．（8分）解不等式﹣≥1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0．（1）当m为何非负整数时，方程有两个不相等的实数根；（2）在（1）的条件下，求方程的根．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于点，B，与反比例函数图象的一个交点为M（a，3）．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线l2：y＝﹣2x+m与x轴，y轴分别交于点C，D，且S△OCD＝3S△OAB，直接写出m的值．21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．（1）求证：EH＝EC；（2）若BC＝4，sin A＝，求AD的长．22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，求b的取值范围．23．（9分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．24．（9分）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点（a，b1），（a+1，b2），b2﹣b1≥k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y＝﹣x+2，当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝﹣a+2，b2＝﹣a+1，故b2﹣b1＝﹣1≥k，因此函数y ＝﹣x+2是限减函数，它的限减系数为﹣1．（1）写出函数y＝2x﹣1的限减系数；（2）m＞0，已知（﹣1≤x≤m，x≠0）是限减函数，且限减系数k＝4，求m的取值范围．（3）已知函数y＝﹣x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y＝﹣x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k≥﹣1，直接写出P点横坐标n的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．【解答】解：由题意可得：B点对应的数是：a+6，∵点A和点B表示的数恰好互为相反数，∴a+a+6＝0，解得：a＝﹣3．故选：D．2．【解答】解：根据高的定义，AF为△ABC中BC边上的高．故选：A．3．【解答】解：观察图形可知，这个几何体是四棱锥．故选：B．4．【解答】解：∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果，∴A、面朝上的点数是6的概率为；B、面朝上的点数是偶数的概率为＝；C、面朝上的点数大于2的概率为＝；D、面朝上的点数小于2的概率为；故选：C．5．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．6．【解答】解：设正方形的边长等于a，∵正方形的面积是12，∴a＝＝2，∵9＜12＜16，∴3＜＜4，即3＜a＜4．故选：B．7．【解答】解：从小到大排列此数据为：6.2、6.4、7、7.2、7.5、7.8、8、9.8、9.8、9.8、9.8、10，数据9.8出现了4次最多为众数，处在第6、7位的是7.8、8，中位数为（7.8+8）÷2＝7.9．故选：C．8．【解答】解：A、两人从起跑线同时出发，甲先到达终点，错误；B、跑步过程中，两人相遇两次，错误；C、起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远，正确；D、乙在跑后200米时，速度最慢，错误；故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．故答案为：x（x﹣1）2．10．【解答】解：∵x2﹣4＝0，∴x＝±2，当x＝2时，x+2≠0，当x＝﹣2时，x+2＝0．∴当x＝2时，分式的值是0．故答案为：2．11．【解答】解：∵y随x的增大而减小∴k＜0∴可选取﹣1，那么一次函数的解析式可表示为：y＝﹣x+b把点（0，2）代入得：b＝2∴要求的函数解析式为：y＝﹣x+2．12．【解答】解：设到植物园的人数为x人，则到野生动物园的人数为（2x﹣30）人，根据题意得：x+（2x﹣30）＝600．故答案为：x+（2x﹣30）＝600．13．【解答】解：∵2x2+3y2﹣5＝1，∴2x2+3y2＝6，把2x2+3y2＝6代入6x2+9y2﹣5＝18﹣5＝13，故答案为：1314．【解答】解：如图所示，点A、B的坐标分别为（﹣4，1）、（﹣1，3），点A''、B''的坐标分别为（1，0）、（3，﹣3），∴由线段AB得到线段A'B'的过程是向右平移4个单位长度；连接A'A“，B'B“，作这两条线段的垂直平分线，交于点O，∠A'OA“＝90°，则由线段A'B'得到线段A''B''的过程是：绕原点O顺时针旋转90°；故答案为：向右平移4个单位长度；绕原点顺时针旋转90°．15．【解答】解：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴OA＝＝4，当点P在线段AO上时，AP最小为2，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大为6，∴AP的长的取值范围是2≤AP≤6，故答案为：2≤AP≤6．16．【解答】解：如图，将阴影区域绕着点O逆时针旋转90°，与直线x＝﹣2交于C，D 两点，则点A（﹣2，m）在线段CD上，又∵点D的纵坐标为2.5，点C的纵坐标为3，∴m的取值范围是2.5≤m≤3，故答案为：2.5≤m≤3．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题8分；第21-24题，每小题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．【解答】解：原式＝2+﹣+﹣2＝．18．【解答】解：去分母，得3（x+2）﹣（4x﹣1）≥6，去括号，得3x+6﹣4x+1≥6，移项，合并同类项：﹣x≥﹣1，系数化为1：x≤1，把解集表示在数轴上：19．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4m＞0，解得m＜1又m为非负整数，∴m＝0；（2）当m＝0时，方程变形为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．20．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过点，∴．∴解得，b＝1．∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+1．∵一次函数的图象与反比例函数图象交于点M（a，3），∴3＝﹣2a+1，解得，a＝﹣1．由反比例函数图象过点M（﹣1，3），得k＝﹣1×3＝﹣3，∴反比例函数的表达式为．（2）由一次函数的表达式为y＝﹣2x+1，可得A（0，1），即OA＝1，∵直线l2：y＝﹣2x+m与直线l1：y＝﹣2x+1互相平行，∴△AOB∽△COD，又∵S△OCD＝3S△OAB，∴＝＝，即OD＝，又∵D（0，m），∴|m|＝，∴m的值为．故答案为：．21．【解答】（1）证明：连接OE，∵⊙O与边AC相切，∴OE⊥AC，∵∠C＝90°，∴OE∥BC，∴∠OEB＝∠CBE∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OBE＝∠CBE，又∵EH⊥AB，∠C＝90°，∴EH＝EC；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝4，，∴AB＝6，∵OE∥BC，∴，即，解得，，∴．22．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2），可得：解得：∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+2．∵y＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4）；（2）设点B（0，2）关于x＝3的对称点为B’，则点B’（6，2）．若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和B'（6，2），可得b＝﹣2．若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b＝﹣8．直线y＝kx+b平行x轴时，b＝4．综上，﹣8＜b＜﹣2或b＝4．23．【解答】解：（1）①如图1，补全图形②连接AD，如图1．在Rt△ABN中，∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1，∴AN＝∵线段AN平移得到线段DM，∴DM＝AN＝，AD＝NM＝1，AD∥MC，∴△ADP∽△CMP．∴∴DP＝（2）连接NQ，由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．∵MQ＝DP，∴PQ＝DM．∴AN∥PQ，且AN＝PQ．∴四边形ANQP是平行四边形．∴NQ∥AP．∴∠BQN＝∠BAC＝45°．又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，∴BN＝BQ．∵AN∥MQ，∴．又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝4，∴．∴（负数舍去）．∴．∴24．【解答】解：（1）当x取值a和a+1时，函数值分别为b1＝2a﹣1，b2＝2a+1，故b2﹣b1＝2≥k，因此函数y＝2x﹣1是限减函数，它的限减系数为2．（2）若m＞1，则m﹣1＞0，（m﹣1，）和（m，）是函数图象上两点，，与函数的限减系数k＝4不符，且m＝1不符合题意，∴m＜1．若，（t﹣1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0＜t≤m，，∵﹣t（t﹣1）＞0，且，∴，与函数的限减系数k＝4不符．∴．若≤m＜1，（t﹣1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0＜t≤m，，∵﹣t（t﹣1）＞0，且，∴，当时，等号成立，故函数的限减系数k＝4．∴m的取值范围是≤m＜1．（3）设P（n，﹣n2），则翻折后的抛物线的解析式为y＝x2﹣2n2，对于抛物线y＝﹣x2，（m﹣1，﹣（m﹣1）2），（m，﹣m2）是抛物线图象上两点，由题意：﹣m2+m2﹣2m+1≥﹣1，解得m≤1，对于抛物线y＝x2﹣2n2，（m，m2﹣2n2），（m+1，（m+1）2﹣2n2）是抛物线图象上两点，由题意：（m+1）2﹣2n2﹣（m2﹣2n2）≥﹣1，解得m≥﹣1，∴满足条件的P点横坐标n的取值范围：﹣1≤n≤1．。

2024届湖南师大附中中考数学全真模拟试卷含解析

2024届湖南师大附中中考数学全真模拟试卷含解析

2024学年湖南师大附中中考数学全真模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数1y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x > B ．1x < C ．1x ≤ D ．1x ≥3．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（ ）A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ4．2017年，山西省经济发展由“疲”转“兴”，经济增长步入合理区间，各项社会事业发展取得显著成绩，全面建成小康社会迈出崭新步伐.2018年经济总体保持平稳，第一季度山西省地区生产总值约为3122亿元，比上年增长6.2%．数据3122亿元用科学记数法表示为（ ）A ．3122×10 8元B ．3.122×10 3元C ．3122×10 11 元D ．3.122×10 11 元5．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是（）A．B．C．D．6．用五个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，从正面看到的图形是（）A．B．C．D．7．下列各式中的变形，错误的是（（）A．B．C．D．8．下列计算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a3）2＝a5C．（ab2）3＝ab6D．a+2a＝3a9．如图，正方形ABCD的边长为4，点M是CD的中点,动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M→D→A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发，沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时开始，同时结束．设点E的运动时间为x，△EFG的面积为y，下列能表示y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A．（﹣2，4），（1，3）B．（﹣2，4），（2，3）C．（﹣3，4），（1，4）D．（﹣3，4），（1，3）11．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．32πB．43πC．4 D．2+32π12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠1）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，1），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a﹣b+c＜1；③当x＜1时，y随x增大而增大；④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤若ax 2+bx+c=b ，则b 2﹣4ac=1．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④⑤C ．①②④D ．③④⑤二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，P ，Q 分别是直线BC ，AB 上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ ，连接PF ，PD ，则PF+PD 的最小值是____．14．二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是x=_______.15．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．16．从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是__________．17．因式分解：323x y x -=_______________． 18．分式12x -有意义时，x 的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ．过点C 作BD 的平行线，过点D 作AC 的平行线，两直线相交于点E ．求证：四边形OCED 是矩形；若CE=1，DE=2，ABCD 的面积是 ．20．（6分）如图，某校数学兴趣小组要测量大楼AB 的高度，他们在点C 处测得楼顶B 的仰角为32°，再往大楼AB 方向前进至点D 处测得楼顶B 的仰角为48°，CD ＝96m ，其中点A 、D 、C 在同一直线上．求AD 的长和大楼AB 的高度（结果精确到2m ）参考数据：sin48°≈2．74，cos48°≈2．67，tan48°≈2．22，3≈2．73 21．（6分）已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点()P m n ,. （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.22．（8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从B 点出发，沿B→C→D→A 匀速运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 、 ；（2）当点P 运动的路程x ＝4时，△ABP 的面积为y ＝ ；（3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．23．（8分）如图，▱ABCD 的边CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使AD=DE=CE ，∠DEC=90°，且点E 在平行四边形内部，连接AE 、BE ，求∠AEB 的度数．24．（10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，过点C 作BC 的垂线交⊙O 于D ，点E 在BC 的延长线上，且∠DEC ＝∠BAC ．求证：DE 是⊙O 的切线；若AC ∥DE ，当AB ＝8，CE ＝2时，求⊙O 直径的长．25．（10分）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN 于E．求证：DE是⊙O的切线；若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．26．（12分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐x,y标()()1画树状图列表，写出点M所有可能的坐标；()2求点()M x,y在函数y x1=+的图象上的概率．27．（12分）问题探究(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，则线段BE、EF、FD之间的数量关系为；(2)如图②，在△ADC中，AD=2，CD=4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；问题解决(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，2，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】解：找到从左面看所得到的图形，从左面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，3，1．故选B．2、D【解题分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【题目详解】x-≥，根据题意得10x≥．解得1故选D．【题目点拨】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．3、D【解题分析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【题目详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．【题目点拨】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．4、D【解题分析】可以用排除法求解.【题目详解】第一，根据科学记数法的形式可以排除A选项和C选项，B选项明显不对，所以选D.【题目点拨】牢记科学记数法的规则是解决这一类题的关键.5、D【解题分析】分析：根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.详解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意; 故选D.点睛：此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．6、A【解题分析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：A．7、D【解题分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案．【题目详解】A、，故A正确；B、分子、分母同时乘以﹣1，分式的值不发生变化，故B正确；C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确；D、≠，故D错误；故选：D．【题目点拨】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变．8、D【解题分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方及合并同类项的运算法则进行计算即可得出正确答案．【题目详解】解：A．x4•x4=x4+4=x8≠x16,故该选项错误；B．（a3）2=a3×2=a6≠a5，故该选项错误；C．（ab2）3=a3b6≠ab6，故该选项错误；D．a+2a=（1+2）a=3a，故该选项正确；故选D．考点：1．同底数幂的乘法；2．积的乘方与幂的乘方；3．合并同类项．9、A【解题分析】当点F在MD上运动时，0≤x＜2；当点F在DA上运动时，2＜x≤4.再按相关图形面积公式列出表达式即可. 【题目详解】解：当点F在MD上运动时，0≤x＜2，则:y=S 梯形ECDG -S △EFC -S △GDF =()()()2421144224222x x x x x x x -+⨯--+-⨯-=+， 当点F 在DA 上运动时，2＜x≤4，则：y=()142244162x x ⎡⎤--⨯⨯=-+⎣⎦， 综上，只有A 选项图形符合题意，故选择A.【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图像，抓住动点运动的特点是解题关键.10、A【解题分析】作CD ⊥x 轴于D ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥AE 于F ，由AAS 证明△AOE ≌△OCD ，得出AE =OD ，OE =CD ，由点A 的坐标是（﹣3，1），得出OE =3，AE =1，∴OD =1，CD =3，得出C （1，3），同理：△AOE ≌△BAF ，得出AE =BF =1，OE ﹣BF =3﹣1=2，得出B （﹣2，4）即可．【题目详解】解：如图所示：作CD ⊥x 轴于D ，作AE ⊥x 轴于E ，作BF ⊥AE 于F ，则∠AEO =∠ODC =∠BFA =90°，∴∠OAE +∠AOE =90°．∵四边形OABC 是正方形，∴OA =CO =BA ，∠AOC =90°，∴∠AOE +∠COD =90°，∴∠OAE =∠COD ．在△AOE 和△OCD中，∵AEO ODC OAE CODOA CO ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OCD （AAS ），∴AE =OD ，OE =CD ．∵点A 的坐标是（﹣3，1），∴OE =3，AE =1，∴OD =1，CD =3，∴C （1，3）．同理：△AOE ≌△BAF ，∴AE =BF =1，OE ﹣BF =3﹣1=2，∴B （﹣2，4）．故选A ．【题目点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．11、B【解题分析】根据题目的条件和图形可以判断点B 分别以C 和A 为圆心CB 和AB 为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．【题目详解】如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B 点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×12014=1803ππ⨯.故选B ． 12、B【解题分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与x 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=﹣1时，y ＞1，得到a ﹣b+c ＞1，结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=1，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2，b ），判断⑤．【题目详解】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，1），∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（1，1），∴抛物线过原点，结论①正确；②∵当x=﹣1时，y ＞1，∴a ﹣b+c ＞1，结论②错误；③当x ＜1时，y 随x 增大而减小，③错误；④抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点， ∴22b a-=，c=1， ∴b=﹣4a ，c=1，∴4a+b+c=1，当x=2时，y=ax 2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c ）+b=b ，∴抛物线的顶点坐标为（2，b ），结论④正确；⑤∵抛物线的顶点坐标为（2，b ），∴ax 2+bx+c=b 时，b 2﹣4ac=1，⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤．故选B．【题目点拨】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1【解题分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF，又EF=EA=2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF．【题目详解】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′，在Rt△EDD′中，∵DE=6，DD′=1，∴ED′=22=10，68∵DP=PD′，∴PD+PF=PD′+PF，∵EF=EA=2是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=1，∴PF+PD的最小值为1，故答案为1．【题目点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.14、1【解题分析】利用公式法可求二次函数y=x 2-2x+1的对称轴．也可用配方法．【题目详解】 ∵-2b a =-22-=1， ∴x=1．故答案为：1【题目点拨】本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．15、518【解题分析】列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可． 【题目详解】解：列表得：∴两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，则其和小于6的概率是1053618=， 故答案为：518． 【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16、【解题分析】根据概率的公式进行计算即可.【题目详解】从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是.故答案为：.【题目点拨】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.17、x3（y+1）（y-1）【解题分析】先提取公因式x3，再利用平方差公式分解可得．【题目详解】解：原式=x3（y2-1）=x3（y+1）（y-1），故答案为x3（y+1）（y-1）．【题目点拨】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握一般整式的因式分解的步骤--先提取公因式，再利用公式法分解．18、x＜1【解题分析】有意义时，必有1﹣x＞2，可解得x的范围．2x【题目详解】根据题意得：1﹣x＞2，解得：x＜1．故答案为x＜1．【题目点拨】考查了分式和二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为2．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）证明见解析；（2）1．【解题分析】【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【题目详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE ∥OD ，DE ∥OC ，∴四边形OCED 是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC=2OC=1，BD=2OD=2，∴菱形ABCD 的面积为：12AC•BD=12×1×2=1， 故答案为1．【题目点拨】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定及性质、菱形的性质是解题的关键.20、AD 的长约为225m ，大楼AB 的高约为226m【解题分析】首先设大楼AB 的高度为xm ，在Rt △ABC 中利用正切函数的定义可求得 ，然后根据∠ADB 的正切表示出AD 的长，又由CD=96m x 961.11-= ，解此方程即可求得答案． 【题目详解】解：设大楼AB 的高度为xm ，在Rt △ABC 中，∵∠C=32°，∠BAC=92°，∴ABAC=tan 30== ，在Rt △ABD 中，AB tan ADB tan48AD ∠=︒=， ∴AB x AD =tan48 1.11=︒， ∵CD=AC-AD ，CD=96m ，x 961.11-= ， 解得：x≈226，∴x 116AD 1051.11 1.11=≈≈ 答：大楼AB 的高度约为226m ，AD 的长约为225m ．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想与方程思想的应用．21、（1）12k =，222P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，或222P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，;(2) 1k ≥. 【解题分析】【分析】（1）将P （m ，n ）代入y=kx ，再结合m=2n 即可求得k 的值，联立y=1x 与y=kx 组成方程组，解方程组即可求得点P 的坐标；（2）画出两个函数的图象，观察函数的图象即可得.【题目详解】（1）∵函数()y kx k 0=≠的图象交于点()P m n ，，∴n=mk ，∵m=2n ，∴n=2nk ，∴k=12， ∴直线解析式为：y=12x ， 解方程组112y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得11222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22222x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴交点P 的坐标为：（2，22）或（-2，-22）； （2）由题意画出函数1y x =的图象与函数y kx =的图象如图所示， ∵函数1y x=的图象与函数y kx =的交点P 的坐标为（m ，n ）， ∴当k=1时，P 的坐标为（1，1）或（-1，-1），此时|m|=|n|，当k>1时，结合图象可知此时|m|<|n|，∴当m n ≤时， k ≥1.【题目点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点，待定系数法等，运用数形结合思想解题是关键.22、（1）x，y；（2）2；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=1．【解题分析】（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可．【题目详解】（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，∴自变量为x，因变量为y．故答案为x，y；（2）由图可得：当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=2．故答案为2；（3）根据图象得：BC=4，此时△ABP为2，∴12AB•BC=2，即12×AB×4=2，解得：AB=8；由图象得：DC=9﹣4=5，则S梯形ABCD=12×BC×（DC+AB）=12×4×（5+8）=1．【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．23、135°【解题分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2x，∠BAD=2x-45°，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【题目详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°﹣2x，∠BCE=180°﹣2y，∴∠ADC=180°﹣2x+45°=225°﹣2x，∠BCD=225°﹣2y，∴∠BAD=180°﹣（225°﹣2x）=2x﹣45°，∴2x﹣45°=225°﹣2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°﹣135°﹣90°=135°．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的性质.24、（1）见解析；（2）⊙O直径的长是45．【解题分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BDC∽△BED，求出BD，即可得出结论．【题目详解】证明：（1）连接BD，交AC于F，∵DC⊥BE，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵弧BC=弧BC，∴∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴BD⊥DE，∴DE是⊙O切线；解：（2）∵AC∥DE，BD⊥DE，∴BD⊥AC．∵BD是⊙O直径，∴AF＝CF，∴AB＝BC＝8，∵BD⊥DE，DC⊥BE，∴∠BCD＝∠BDE＝90°，∠DBC＝∠EBD，∴△BDC∽△BED，∴BDBE＝BCBD，∴BD2＝BC•BE＝8×10＝80，∴BD＝45．即⊙O直径的长是45．【题目点拨】此题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，第二问中求出BC=8是解本题的关键．25、解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解题分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【题目详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴AD==连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．=则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．26、()1见解析；()124．【解题分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x，y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【题目详解】()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2、()1,3、()1,4、()2,1、()2,3、()2,4、()3,1、()3,2、()3,4、()4,1、()4,2、()4,3；()2在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2、()2,3、()3,4这3种结果，∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=． 【题目点拨】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．27、 (1)BE+DF=EF ；(2)存在，BD 的最大值为6；(3)存在，AC 的最大值为26．【解题分析】（1）作辅助线，首先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AEG ，进而得到EF=FG 问题即可解决；（2）将△ABD 绕着点B 顺时针旋转60°，得到△BCE ，连接DE ，由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE ，∠DBE=60°，可得DE=BD ，根据DE ＜DC+CE ，则当D 、C 、E 三点共线时，DE 存在最大值，问题即可解决；（3）以BC 为边作等边三角形BCE ，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，连接DE ，由旋转的性质得△DBE 是等边三角形，则DE=AC ，根据在等边三角形BCE 中，EF ⊥BC ，可求出BF ，EF ，以BC 为直径作⊙F ，则点D 在⊙F 上，连接DF ，可求出DF ，则AC=DE≤DF+EF ，代入数值即可解决问题.【题目详解】(1)如图①，延长CD 至G ，使得DG=BE ，∵正方形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABE ≌△ADG ，∴AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠GAF=∠EAF ，又∵AF=AF ，∴△AEF ≌△AEG ，∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，故答案为：BE+DF=EF；(2)存在．在等边三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，如图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE．由旋转可得，CE=AD=2，BD=BE，∠DBE=60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE=BD，∴在△DCE中，DE＜DC+CE=4+2=6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在．如图③，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB=BD，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF=BC=2，∴EF=BF=×2=2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF=BC=×4=2，∴AC=DE≤DF+EF=2+2，即AC的最大值为2+2．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质以及旋转的性质.。

湖南省长沙市湖南师大附中联考2020届数学中考模拟试卷

湖南省长沙市湖南师大附中联考2020届数学中考模拟试卷

湖南省长沙市湖南师大附中联考2020届数学中考模拟试卷一、选择题 1．若a+b=3，，则ab 等于（ ） A.2B.1C.﹣2D.﹣12．为了说明各种三角形之间的关系，小敏画了如下的结构图（如图1）．小聪为了说明“A．正方形；B ．矩形；C ．四边形；D ．菱形；E ．平行四边形”这五个概念之间的关系，类比小敏的思路，画了如下结构图（如图2），则在用“①、②、③、④”所标注的各区域中，正确的填法依次是（ ）（用名称前的字母代号表示）A ．C 、E 、B 、D B ．E 、C 、B 、D C ．E 、C 、D 、B D ．E 、D 、C 、B3．请你估计一下，22222222222(21)(31)(41)(991)(1001)123499100-----∙∙±∙∙ 的值应该最接近于（ ） A.1B.12C.1100D.12004．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）A.4.5mB.4.8mC.5.5mD.6 m5．如图，AB 是O 的直径，120BOD =∠，点C 为BD 的中点，AC 交OD 于点E ，1DE =，则AE 的长为（ ）A B C ．D ．6．如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，点G 、F 分别是BC 、DE 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE7．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长度为（）A B．2 C．D．(1+8．实数a，b，c在数轴上对应点的位置大致如图所示，O为原点，则下列关系式正确的是( )A．a﹣c＜b﹣c B．|a﹣b|＝a﹣b C．ac＞bc D．﹣b＜﹣c9．如图，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA交⊙O的切线BC于点C，交AB于点D．已知∠OAB＝20°，则∠OCB 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°10．如图，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝4，按以下步骤作图：以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB，BC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点H，作射线BH，交DC于点G，则DG的长为（）A．2 B．3 C．4 D．511．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边平行，一组邻角互补D．一组对边相等，一组邻角相等12．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有( )个〇．A．6055 B．6056 C．6057 D．6058二、填空题13．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，与其对应的函数值y的最大值为6，则a的值为_____．14．写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）_____．15．﹣124的倒数是____．16．观察下列几组勾股数：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25；9,40,41…按此规律，当直角三角形的最小直角边长是11时，则较长直角边长是________；当直角三角形的最小直角边长是21n 时，则较长直角边长是________．17．多项式1+x+2xy-3xy2的次数是______．18．如图，已知∠ACB＝90°，直线MN∥AB，若∠1＝33°，则∠2＝_____°．三、解答题19．某中学为了丰富学生的业余爱好，决定开设以下活动项目：A：书法；B：绘画C：象棋；D：音乐．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行问卷调査，并将调査结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少人？（2）补全条形统计图；（3）九年级（1）班老师想从这四类活动项目中随机选取两类作为“五四青年节”表演项目，请用列表或画树状图的方法求恰好选中书法和绘画的概率20．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，线段AB 为的直径，点C 、E 在上，弧BC=弧CE ，连接BE 、CE ，过点C 作CM ∥BE 交AB 的延长线于点M.（1）求证：直线CM 是圆O 的切线； （2）若sin ∠ABE=35，BM=4，求圆O 的半径.22．如图,在平面直角坐标系中,已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()()()2,2,4,0,4,4A B C -.(1)请在图中,画出ABC ∆绕着点O 逆时针旋转90后得到的111A B C ∆,则111ACB ∠的正切值为 . (2)以点O 为位似中心,将ABC ∆缩小为原来的12,得到222A B C ∆,请在图中y 轴左侧,画出222A B C ∆,若点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点,则变换后的对应点'P 的坐标是 .23．如图，在下列9×9的网格中，横纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A （1，1）、B （8，3）都是格点，E 、F 为小正方形边的中点，C 为AE 、BF 的延长线的交点． （1）AE 的长等于 ；（2）若点P 在线段AC 上，点Q 在线段BC 上，且满足AP ＝PQ ＝QB ，请在如图示所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ ，并直接写出P 、Q 两点的坐标．24．已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A(1，0)，B(2，3)．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．25．为缓解某学校大班额现状，某市决定通过新建学校来解决该问题．经测算，建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元．（1）求建设一个小学，一个中学各需多少费用．（2）该市共计划建设中小学80所，其中小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍．设建设小学的数量为x个，建设中小学校的总费用为y万元．①求y关于x的函数关系式；②如何安排中小学的建设数量，才能使建设总费用最低？（3）受国家开放二胎政策及外来务工子女就读的影响，预计在小学就读人数会有明显增加，现决定在（2）中所定的方案上增加投资以扩大小学的就读规模，若建设小学总费用不超过建设中学的总费用，则每所小学最多可增加多少费用？【参考答案】***一、选择题13．11415．9 416．60，2n²+2n 17．318．57三、解答题19．（1）200，（2）见解析（3）1 6【解析】【分析】（1）根据D类的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中书法和绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵D类有40人，占20%，∴这次被调查的学生共有：40÷20%＝200（人）；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图如下：（3）画树状图得：∵共有12种等可能的情况，恰好选中书法和绘画的有2种，∴恰好选中书法和绘画的概率是21 126=．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM＝DN，列出方程求出AB的长度，根据DF∥BM，得到413,43DF DGBM BG===即可求解.【详解】解：（1）如图1，过点M作MP∥CD，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠CBD＝∠CDB＝45°，∵PM∥CD，∴∠NDE＝∠MPE，∠BPM＝∠CDB＝45°，∴△BPM是等腰直角三角形，∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDEPEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB ＝∠BCD ＝90°， ∵∠CBD ＝45°，∴△BMP 是等腰直角三角形， ∴BM ＝PM ＝DN ，与（1）证法类似：△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD+PD ＝BD+2DE ， 根据勾股定理得：BPBM ， 即BD+2DE ＝BPBM ， 故答案为：BD+2DEBM ； （3）如图3，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥DN ，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，∵BM＝DN，∴x+2＝2x，x＝2，∴AB＝AD＝2，DF＝43，∴BD=∵DF∥BM，∴413,43 DF DGBM BG===∴142 DG=⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．（1）见解析；(2)6.【解析】【分析】（1）连接OC交BE于G，根据垂径定理得到OC⊥BE，根据平行线的性质得到∠OCM=∠OGB=90°，于是得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠ABE=∠OMC，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OE，OC∵弧BC=弧CE ∴OC ⊥BE ∵CM ∥BE ∴OC ⊥CM∴直线CM 是圆O 的切线 (2)设半径为r ∵CM ∥BE ∴∠CMO=∠ABE 在Rt △OCM 中 sin ∠CMO=OC OM =sin ∠ABE=35r 3r 6r 45∴==+，解得 ∴圆O 的半径是6 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（1）图详见解析，1111tan 3AC B ∠=；（2）图详见解析，变换后的对应点P '的坐标是11(,)22m n --. 【解析】 【分析】1）依据旋转的方向、角度和旋转中心，即可得到△ABC 绕着点O 逆时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1，进而得到∠A 1C 1B 1的正切值；.（2）依据点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，即可得到△A 2B 2C 2，以及变换后的对应点P′的坐标． 【详解】(1)如图所示,111A B C ∆即为所求；由题可得，11121tan 63AC B ∠==； (2)如图所示,222A B C ∆即为所求，∵点()P m n ,是ABC ∆上的任意一点，点O 为位似中心， ∴变换后的对应点P '的坐标是11(,)22m n --.【点睛】此题主要考查了利用旋转变换以及位似变换作图，得出图形变换后对应点位置是解题关键．23．（1）AE ＝2；（2）如图，线段PQ 即为所求．见解析；P （3，4），Q （6，6）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求． 【详解】（1）AE =； （2）如图，AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．故答案为：AC 与网格线相交，得到P ，取格点M ，连接AM ，并延长与BC 交于Q ，连接PQ ，则线段PQ 即为所求．∴P （3，4），Q （6，6）． 【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 24．这个二次函数的解析式为y ＝2x 2﹣3x+1，对称轴为直线34x =. 【解析】 【分析】利用待定系数法把点A （1，0）和B （2，3）代入二次函数y ＝2x 2+bx+c 中，可以解得b ，c 的值，从而求得函数关系式，在利用x ＝﹣2ba求出图象的对称轴； 【详解】∵二次函数y ＝2x 2+bx+c 的图象经过点A(1，0)，B(2，3)， ∴02382b cb c =++⎧⎨=++⎩解得31b c =-⎧⎨=⎩∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2﹣3x+1， 这个函数图象的对称轴为直线34x =．【点睛】题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，题目比较基础，难度不大．25．（1）建设一个小学需800万元，一个中学需1800万元；（2）①y=＝﹣1000x+144000（0＜x≤48且x是整数）；②中小学建设数量为：48个小学，32个中学；（3）每所小学最多可增加400万元的费用．【解析】【分析】(1)先设建设一个小学需x万元，一个中学各需y万元，根据建设6个小学，5个中学，需费用13800万元，建设10个小学，7个中学，需花费20600万元列出方程组，求出x，y的值即可；(2)①根据建设小学的总费用+建设中学的总费用＝y，列式化简可得，根据小学的建设数量不超过中学建设数量的1.5倍列不等式可得x的取值；②根据x的取值可计算建设总费用最低时，中小学建设的数量；(3)根据建设小学总费用不超过建设中学的总费用，列不等式可得结论．【详解】(1)设建设一个小学需x万元，一个中学各需y万元，根据题意得：651380010720600x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：8001800xy=⎧⎨=⎩，答：建设一个小学需800万元，一个中学各需1800万元，(2)①∵建设小学的数量为x个，∴建设中学的数量是(80﹣x)个，x≤1.5(80﹣x)，x≤48，由题意得：y＝800x+1800(80﹣x)＝﹣1000x+144000(0＜x≤48且x是整数)；②∵﹣1000＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝48时，y有最小值，此时中小学建设数量为：48个小学，32个中学；(3)设每所小学可增加a万元的费用，由题意得：48(800+a)≤1800×32，a≤400，则每所小学最多可增加400万元的费用．【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意x只能取整数．。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020年湖南师大附中中考数学二模试卷一．选择题（共12小题）1．2019的倒数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣2．下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a23．据测算，我国每天土地沙漠化造成的经济损失平均为150 000 000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．15×107元B．1.5×108元C．0.15×109元D．1.5×107元4．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是（）A．14°B．15°C．16°D．17°6．众所周知，湖南师大附中是“金牌摇篮”．在2019﹣2020学年已经结束的各学科全国决赛中，附中高三学生共获得金牌14枚，银牌12枚，12人入选国家集训队，位列全省第一（全省共27人）．在全国决赛中，其中各学科获得的金牌数如表所示：学科数学物理化学生物金牌数3533则这些金牌数的中位数为（）A．3B．5C．4D．3.57．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1B．x≤2C．﹣1＜x＜2D．﹣1＜x≤28．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣4）B．（3，0）C．（2，﹣3）D．（1，﹣4）9．如图，P A切⊙O于点A，直线PBC经过点圆心O，若∠P＝30°，则∠ACB的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 11．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）A．B．C．D．12．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题（共6小题）13．分解因式：4x2﹣16＝．14．直线y＝﹣2x+1不经过第象限．15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为．17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE＝6，EC＝3，DE ＝8，则BC＝．18．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC 绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β＝90°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是（用含a的代数式表示）．三．解答题（共8小题）19．计算：+（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．20．先化简，再求值：，其中x＝2020．21．学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度，随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，问卷设有4个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A．非常了解．B．了解．C．知道一点．D．完全不知道．将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：（1）求本次共调查了多少学生？（2）补全条形统计图；（3）该校九年级共有600名学生，请你估计“了解”的学生约有多少名？（4）在“非常了解”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率．22．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．23．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，且CE＝BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE交CD于点G，若AE⊥CD．①求sin∠CAG的值；②若菱形ABCD的边长为6cm，点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接DP，一动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿线段DP匀速运动到点P，再以cm/s的速度沿线段P A匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间t．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）若a＜0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求4a+b2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．26．如图，直线l：y＝x﹣2分别交x，y轴于A、B两点，C、D是直线l上的两个动点，点C在第一象限，点D在第三象限．且始终有∠COD＝135°．（1）求证：△OAC∽△DBO；（2）若点C、D都在反比例函数y＝的图象上，求k的值；（3）记△OBD的面积为S1，△AOC的面积为S2，且＝，二次函数y＝ax2+bx+c 满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当S1≤x≤S2时，y有最大值2，求a的值．2020年湖南师大附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．2019的倒数是（）A．2019B．﹣2019C．D．﹣【分析】直接利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案．【解答】解：2019的倒数是：．故选：C．2．下列计算正确的是（）A．B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3D．a6÷a3＝a2【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则和同底数幂的除法运算分别计算得出答案．【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；B、a+2a＝3a，正确；C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；故选：B．3．据测算，我国每天土地沙漠化造成的经济损失平均为150 000 000元，这个数字用科学记数法表示为（）A．15×107元B．1.5×108元C．0.15×109元D．1.5×107元【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将150000 000用科学记数法表示为1.5×108．故选：B．4．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、不是轴对称图形；故选：C．5．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是（）A．14°B．15°C．16°D．17°【分析】依据∠ABC＝60°，∠2＝44°，即可得到∠EBC＝16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝16°．【解答】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝44°，∴∠EBC＝16°，∵BE∥CD，∴∠1＝∠EBC＝16°，故选：C．6．众所周知，湖南师大附中是“金牌摇篮”．在2019﹣2020学年已经结束的各学科全国决赛中，附中高三学生共获得金牌14枚，银牌12枚，12人入选国家集训队，位列全省第一（全省共27人）．在全国决赛中，其中各学科获得的金牌数如表所示：学科数学物理化学生物金牌数3533则这些金牌数的中位数为（）A．3B．5C．4D．3.5【分析】先将表格中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数．【解答】解：金牌数按照从小到大排列是3，3，3，5，故这些金牌数的中位数是3，故选：A．7．不等式组的解集是（）A．x＞﹣1B．x≤2C．﹣1＜x＜2D．﹣1＜x≤2【分析】由题意分别解出不等式组中的两个不等式，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出不等式的解集．【解答】解：由﹣x＜1得，∴x＞﹣1，由3x﹣5≤1得，3x≤6，∴x≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：D．8．抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣4）B．（3，0）C．（2，﹣3）D．（1，﹣4）【分析】此题利用配方法化简y＝x2﹣2x﹣3得到y＝（x﹣1）2﹣4，由此即可确定顶点的坐标．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）．故选：D．9．如图，P A切⊙O于点A，直线PBC经过点圆心O，若∠P＝30°，则∠ACB的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】如图，连接OA，AC．利用切线的性质推知△ABO是直角三角形，则∠AOP＝60°；然后根据圆周角定理求得∠ACB＝∠AOB．【解答】解：如图，连接OA，AC．∵P A切⊙O于点A，直线PBC经过点圆心O，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°．又∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：A．10．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2m B．2m C．（2﹣2）m D．（2﹣2）m 【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝，∴AD＝4sin60°＝2（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，∴AC＝＝2（m）．故选：B．11．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：“现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（）A．B．C．D．【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，依题意，得：．故选：A．12．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2DE．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．①③④D．①②③④【分析】由题意可证点A，点C，点B，点D四点共圆，可得∠ADC＝∠ABC＝45°；由角平分线的性质和外角性质可得∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，可得AD≠AF；如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，由“SAS”可证△ADF ≌△HDF，可得∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，由等腰三角形的性质可得BH＝AF，可证BD＝BH+DH＝AF+AD；由“SAS”可证△BDG≌△BDE，可得∠BGD＝∠BED＝75°，由三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得BC＝BG＝2DE+EC．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，且∠ACD＝15°，∵∠BCD＝30°，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴点A，点C，点B，点D四点共圆，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，故①符合题意，∠ACD＝∠ABD＝15°，∠DAB＝∠DCB＝30°，∵DF为∠BDA的平分线，∴∠ADF＝∠BDF，∵∠AFD＝∠BDF+∠DBF＞∠ADF，∴AD≠AF，故②不合题意，如图，延长CD至G，使DE＝DG，在BD上截取DH＝AD，连接HF，∵DH＝AD，∠HDF＝∠ADF，DF＝DF，∴△ADF≌△HDF（SAS）∴∠DHF＝∠DAF＝30°，AF＝HF，∵∠DHF＝∠HBF+∠HFB＝30°，∴∠HBF＝∠BFH＝15°，∴BH＝HF，∴BH＝AF，∴BD＝BH+DH＝AF+AD，故③符合题意，∵∠ADC＝45°，∠DAB＝30°＝∠BCD，∴∠BED＝∠ADC+∠DAB＝75°，∵GD＝DE，∠BDG＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDE（SAS）∴∠BGD＝∠BED＝75°，∴∠GBC＝180°﹣∠BCD﹣∠BGD＝75°，∴∠GBC＝∠BGC＝75°，∴BC＝BG，∴BC＝BG＝2DE+EC，∴BC﹣EC＝2DE，故④符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．分解因式：4x2﹣16＝4（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式4，再对剩余项x2﹣4利用平方差公式继续进行因式分解．【解答】解：4x2﹣16，＝4（x2﹣4），＝4（x+2）（x﹣2）．14．直线y＝﹣2x+1不经过第三象限．【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该直线不经过哪个象限，本题得以解决．【解答】解：∵y＝﹣2x+1，k＝﹣2，b＝1，∴该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三．15．在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（2，1）．【分析】根据坐标的平移规律解答即可．【解答】解：将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是（﹣2+4，3﹣2），即（2，1），故答案为（2，1）．16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为1，则方程的另一个根为3．【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理即可得到结论．【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意得，x2+1＝4，解得：x2＝3，∴方程的另一个根为3．故答案为：3．17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AE＝6，EC＝3，DE ＝8，则BC＝12．【分析】由DE∥BC则可以得出△ADE∽△ABC，于是可得＝，根据已知数据即可求出BC的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴＝而AE＝6，EC＝3，DE＝8则＝∴BC＝12故答案为12．18．如图，将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，边AC 绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，联结B′C′．当α+β＝90°时，我们称△AB′C′是△ABC的“双旋三角形”．如果等边△ABC的边长为a，那么它的“双旋三角形”的面积是（用含a的代数式表示）．【分析】首先根据等边三角形、“双旋三角形”的定义得出△A B′C′是顶角为150°的等腰三角形，其中AB′＝AC′＝a．过C′作C′D⊥AB′于D，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出C′D＝AC′＝a，然后根据S△AB′C′＝AB′•C′D即可求解．【解答】解：∵等边△ABC的边长为a，∴AB＝AC＝a，∠BAC＝60°．∵将△ABC的边AB绕着点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AB′，∴AB′＝AB＝a，∠B′AB＝α，∵边AC绕着点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AC′，∴AC′＝AC＝a，∠CAC′＝β，∴∠B′AC′＝∠B′AB+∠BAC+∠CAC′＝α+60°+β＝60°+90°＝150°．如图，过C′作C′D⊥AB′于D，则∠D＝90°，∠DAC′＝30°，∴C′D＝AC′＝a，∴S△AB′C′＝AB′•C′D＝a•a＝a2．故答案为a2．三．解答题（共8小题）19．计算：+（）﹣1﹣2cos60°+（2﹣π）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2+2﹣2×+1＝4．20．先化简，再求值：，其中x＝2020．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝•＝x﹣2，当x＝2020时，原式＝2020﹣2＝2018．21．学校想知道九年级学生对我国倡导的“一带一路”的了解程度，随机抽取部分九年级学生进行问卷调查，问卷设有4个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）：A．非常了解．B．了解．C．知道一点．D．完全不知道．将调查的结果绘制如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题：（1）求本次共调查了多少学生？（2）补全条形统计图；（3）该校九年级共有600名学生，请你估计“了解”的学生约有多少名？（4）在“非常了解”的3人中，有2名女生，1名男生，老师想从这3人中任选两人做宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男生一女生的概率．【分析】（1）由D选项的人数及其百分比可得总人数；（2）总人数减去A、C、D选项的人数求得B的人数即可；（3）总人数乘以样本中B选项的比例可得；（4）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为6÷20%＝30（名）；（2）B选项的人数为30﹣3﹣9﹣6＝12（名），补全图形如下：（3）估计“了解”的学生约有600×＝240（名）；（4）画树状图如下：由树状图可知，共有6种等可能结果，其中两人恰好是一男生一女生的有4种，∴被选中的两人恰好是一男生一女生的概率为＝．22．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若E为中点，BD＝12，sin∠BED＝，求BE的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠CBD+∠ABD＝90°．得出∠ABC＝90°，即可得出结论．（2）连接AE．由圆周角定理得出∠BAD＝∠BED，由三角函数定义求出直径AB＝20．证出AE＝BE．得出△AEB是等腰直角三角形．得出∠BAE＝45°，由三角函数即可得出结果．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠A+∠ABD＝90°．又∵∠A＝∠CBD，∴∠CBD+∠ABD＝90°．∴∠ABC＝90°．∴AB⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC为⊙O的切线．（2）解：连接AE．如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°．∵∠BAD＝∠BED，∴sin∠BAD＝sin∠BED＝．∴在Rt△ABD中，sin∠BAD＝＝，∵BD＝12，∴AB＝20．∵E为的中点，∴AE＝BE．∴△AEB是等腰直角三角形．∴∠BAE＝45°．∴BE＝AB×sin∠BAE＝20×＝10．23．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，且CE＝BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE交CD于点G，若AE⊥CD．①求sin∠CAG的值；②若菱形ABCD的边长为6cm，点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接DP，一动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿线段DP匀速运动到点P，再以cm/s的速度沿线段P A匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间t．【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据∠COD＝90°推出是矩形．（2）①由DE∥AC，DE＝OC＝OA，推出＝＝，设DG＝m，则CG＝2m，DC ＝AD＝3m，求出AC即可解决问题．②过点P作PT⊥AC于T．由sin∠P AT＝＝，推出PT＝P A，由点Q的运动时间t＝+＝PD+P A＝PD+PT，根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT ⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵EC＝BD，∴EC＝OD，∵EC∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．（2）解：①∵四边形OCED是矩形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，∴＝＝，设DG＝m，则CG＝2m，DC＝AD＝3m，∵AE⊥CD，∴∠AGD＝∠AGC＝90°，∴AG＝＝＝2m，∴AC＝＝＝2m，∴sin∠CAG＝＝＝．②过点P作PT⊥AC于T．∵sin∠P AT＝＝，∴PT＝P A，∵点Q的运动时间t＝+＝PD+P A＝PD+PT，根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长，由（2）可知3m＝6，m＝2，∴AC＝4，OA＝2，∵∠AOD＝90°，∴OD＝＝＝2，∵DE∥OA，∴＝＝1，∴OP＝PD＝，此时AP＝＝＝3，∴满足条件的P A的值为3，点Q走完全程所需的时间t＝2（s）．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若b＝1，a＝﹣c，求证：二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）若a＜0，c＝0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求4a+b2的取值范围；（3）若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c＝0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．【分析】（1）根据已知条件计算一元二次方程的判别式即可证得结论；（2）根据已知条件求得抛物线的顶点纵坐标，再整理即可；（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数解析式，由y1•y2＞0，及2a+3b+6c＝0，得不等式组，变形即可得出答案．【解答】解：（1）证明：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），∴令y＝0得：ax2+bx+c＝0∵b＝1，a＝﹣c，∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4（﹣c）c＝1+2c2，∵2c2≥0，∴1+2c2＞0，即△＞0，∴二次函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；（2）∵a＜0，c＝0，∴抛物线的解析式为y＝ax2+bx，其图象开口向下，又∵对于任意的实数x，都有y≤1，∴顶点纵坐标≤1，∴﹣b2≥4a，∴4a+b2≤0；（3）由2a+3b+6c＝0，可得6c＝﹣（2a+3b），∵函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，∴c（a+b+c）＞0，∴6c（6a+6b+6c）＞0，∴将6c＝﹣（2a+3b）代入上式得，﹣（2a+3b）（4a+3b）＞0，∴（2a+3b）（4a+3b）＜0，∵a≠0，则9a2＞0，∴两边同除以9a2得，（+）（+）＜0，∴或，∴﹣＜＜﹣，∴二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围是＜﹣＜．26．如图，直线l：y＝x﹣2分别交x，y轴于A、B两点，C、D是直线l上的两个动点，点C在第一象限，点D在第三象限．且始终有∠COD＝135°．（1）求证：△OAC∽△DBO；（2）若点C、D都在反比例函数y＝的图象上，求k的值；（3）记△OBD的面积为S1，△AOC的面积为S2，且＝，二次函数y＝ax2+bx+c 满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当S1≤x≤S2时，y有最大值2，求a的值．【分析】（1）先求出点A，点B坐标，可求∠OAB＝∠OBA＝45°，由外角的性质可求∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，可证△OAC∽△DBO；（2）由相似三角形的性质可得，设＝a＞0，用a表示点C，点D坐标，代入反比例函数解析式，可求解．（3）先求出点C，点D坐标，代入解析式，由题意可得当x＝2时，y有最大值2，组成方程组，可求a的值．【解答】解：（1）∵直线l：y＝x﹣2分别交x，y轴于A、B两点，∴点A（2，0），点B（0，﹣2），∴AO＝BO＝2，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OCA+∠AOC＝45°，∠ODB+∠DOB＝45°，∵∠COD＝135°，∴∠DOB+∠AOB+∠AOC＝135°，∴∠DOB+∠AOC＝45°，∴∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，∴△OAC∽△DBO；（2）如图，过点C作CF⊥x轴于F，过点D作DE⊥y轴于E，∵△OAC∽△DBO，∴，∴设＝a＞0，∴BD＝，AC＝2a，∵∠CAF＝∠OAB＝45°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∴AF＝CF＝＝a，∴点C坐标（2+a，a），同理可求点D坐标（﹣，﹣2﹣），∵点C、D都在反比例函数y＝的图象上，∴（2+a）•a＝•（2+）∴（a2+2a+）（a+1）（a﹣1）＝0，∵a＞0，∴a2+2a+≠0，a+1≠0，∴a﹣1＝0，∴点C（2+，）∴k＝（2+）＝2+2；（3）∵△OAC∽△DBO，∴＝（）2＝，∴＝，∴AC＝2，∴AF＝CF＝2，∴点C（4，2），∵，∴，∴BD＝，∴DE＝BE＝1，∴点D（﹣1，﹣3），∴△OBD的面积为S1＝×2×1＝1，△AOC的面积为S2，＝×2×2＝2，∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当1≤x≤2时，y 有最大值2，∴，解得：，∴a＝﹣．。

相关文档
最新文档