高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1．基本要求

（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。 （2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。

（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次

线性微分方程的通解公式。

（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。 （5）会用微积分基本公式求解定积分。 （6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 （7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。 （8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析

（1） 本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布

尼茨公式；定积分的应用。

（2） 本章难点：求不定积分，定积分的应用。

重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。

3．本章典型例题分析 例1：求不定积分sin3xdx ⎰

解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ϕ==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1

sin 3sin 3(3)3x x x =

，故有 '111

sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333

xdx x x dx xd x x u

u C ===-+⎰⎰⎰

1

3cos33

u x x C =-+

例2：求不定积分

(0)a >

解：为了消去根式，利用三解恒等式2

2

sin cos 1t t +=，可令sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，则

cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分

化为

2221cos 2cos cos cos 2

t

a t a tdt a tdt a dt +=⨯==⎰⎰⎰

2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++⎰⎰ 2

(sin cos )2

a t t t C =++ 由于sin ()2

2

x a t t π

π

=-

<<

，所以sin x

t a

=

，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

出cos t ==

邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ⎰

分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'

1u =）

解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.

于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++⎰⎰⎰⎰

。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：

sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++⎰⎰⎰

例4：求微分方程

21dy

y dx

-=的通解。 解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得

12dy dx y =+，两端积分得：12dy dx y =+⎰⎰，得11

ln 212y x C +=+ 从而

122111ln 21222

C x e y x C y e +=+=±-。

因为122C e ±仍然是常数，把它记做C ，故原方程的通解为212

x

y Ce =-其中C 为任意常数

例5：求微分方程

22

dy y x dx x

+=的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())p x dx p x dx

y e Q x e dx C -⎰

⎰=+⎰

在本题中22

(),()P x Q x x x

=

=，由通解公式知 2

2

()()2(())()dx dx p x dx

p x dx

x

x y e Q x e dx C e x e dx C --⎰⎰⎰

⎰

=+=+⎰⎰

= 52ln 22ln 4

2211()()()5

x

x

x e

x e

dx C x dx C C x x -+=+=+⎰⎰

即原方程的通解为：2

25

C x y x =+

例6：求定积分

1

20

x dx ⎰

分析：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是在[,]a b 上的一个原函数，则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

，这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33

x 是2

x 的一个原函数，所以原式有

3331

2

01101

03333x x dx ==-=⎰

例7：求定积分

8

0⎰

分析：在应用定积分换元时应注意两点：

（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()x t ϕ=把原来的变量换成了新

变量t ，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。

（2） 求出换元后的原函数()t φ后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需

将新变量的上、下限带入相减即可。

解 t =，即3x t =，于是2

3dx t dt =，并且当x=0时，