曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合的最小二乘法

吕英楷 1014202033

在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

一、曲线拟合的最小二乘法原理：

由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线

)(...)()()(1100x a x a x a x S n n ϕϕϕ+++=

称为曲线拟合的最小二乘法。 若记

),()()(),(0

i k i j m

i i k j x x x ϕϕωϕϕ∑==

k i k i m

i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0

ϕωϕ

上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n

o

j j k -=∑=ϕϕ这个方程成为法方程，可写成距阵

形式

d Ga =

其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a ==

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),()(),(),(),(),(),(10

1110101000n n n n n n G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 。

它的平方误差为：.)]()([)(||||20

22i i m

i i x f x S x -=

∑=ωδ

二、数值实例：

下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。

(2008年10月26~11月26)

下面应用Matlab编程对上述数据进行最小二乘拟合

三、Matlab程序代码：

x=[1:1:30];

y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1];

a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%

a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合%

a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合%

b1=polyval(a1,x)

b2=polyval(a2,x)

b3=polyval(a3,x)

r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%

r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和%

r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和%

plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%

hold on

plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%

hold on

plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像%

hold on

plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像%

四、数值结果：

不同次数多项式拟和误差平方和为：

r1 = 67.6659

r2 = 20.1060

r3 = 3.7952

r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。

拟和曲线如下图：

上图中*代表原始数据，红色曲线代表三次多项式拟合曲线，绿色曲线代表九次多项式拟合曲线，蓝色o线代表十五次多项式拟合曲线。

五、结论：

以上结果可以看到用最小二乘拟合来求解问题时，有时候他的结果很接近实际情况，有时候跟实际情况里的太远，因为所求得多项式次数太小时数据点之间差别很大，次数最大是误差最小但是有时后不符合实际情况，所以用最小二乘法时次数要取合适一点。

从上面的拟合中也可以得到多项式拟合误差平方和随着拟合多项式次数的增加而逐渐减小，拟合的曲线更靠近实际数据，拟合更准确。