几何光学的基本定律

第一节几何光学的基本定律1、当半径为r 的不透明圆盘被照亮时，在其后l 处的屏上，得到半径为1r 的全影和半径为的半影。

光源也是圆盘形的而且由其中心到不透明圆盘中心的2r 连线垂且两圆盘和屏面，求光源的尺寸和光源矩被照亮圆盘的距离。

解：距离，光源半径r r r rl x 2221−+=rr r r r r y 2)(2112−+−=2、太阳光球的直径等于1390000千米，太阳与地球之间的距离变化不大，平均为150000000千米，月球中心到地球表面的距离在357000至390000千米之间变动。

若月球直径为3480千米，那么何时能有日全蚀？何时能有日环蚀?解：当月球中心到地球表面的距离小于376000千米时．常发生日全蚀，当距离大于此值时，常发生日环蚀。

3、由光源发出的光通过孔之后，在孔后的屏上成象：试解释为什么当孔小时，成光源的象，而孔大时却成孔的象。

解：(略)4、太阳光照射到不大的正方形平面镜上，反射后又照射到屏上，屏上照亮的部分是什么形状?它将如何随着平面镜和屏之间的距离的改变而改变？解：若屏离镜面近，则被照亮的部分为四边形，着屏离镜面远则太阳成椭圆形的象。

5、在竖直的正方形金属网前放一水平的长狭缝。

用强的扩展光源照亮狭缝，光通过缝和网射到远处屏上，试描述在屏上得到什么样的图象，当继绕网平面的垂线旋转90度和45度时，将发生什么现象?研究如图l-a 和图1-b 所示的图。

解：屏上得到水平的明、暗条纹系。

将缝旋转90度时，条纹变成竖直的。

将其转45度时，在图la 所示格子的情况下，条纹消失，如图1b 所示格子的情况下，呈现与水平成45度角的条纹。

在后一种情况下，条纹间距是水平(或竖直)条纹的间距的分之一。

在所有情况下，条纹皆与缝平行。

26、上题中，若交换缝和网的位置，屏上图形将发生什么变化？解：图像的特性不变，然而条纹已经变得不很多了。

7、两平面镜彼此倾斜，形成二面角а。

光线在垂直于角棱的平面内射到镜上。

证明：经两平面镜反射后的光线对原来方向的偏角δ与入射角无关。

并求δ。

解：。

若计算角和时，按着下面的规则：设光首先由第一个镜αδ2=αδ子反射，然后再由第二个镜子反射，则这个公式对所有情况都是适用的。

此时，应将理解为使第一个镜子与第二个镜子重合所应转动的角度。

类似地，是这αδ样确定的，即为使光线原来的方向与由第二个镜子所反射的光线重合所需转动的角度。

转动的方向是任意的，但在两种情况下，转动方向应相同(例如顺时针或逆时针)，在求解其他题目时所进行的类似分析中，都应当注意这个原则。

8、试以矢量形式写出：在两种各向同性的透明介质的交界面上光的反射定律和折射定律：光从折射率为的介质l 射向折射率为的介质2，入射、反射1n 2n 和折射光的方向以单位矢量、和表示；界面法向单位矢量打的方向从介质0r 1r 2r 2指向介质1。

解：NN r r r )(2001−=。

})()({20212122010122N r n n n N r n N r n r n +−+−=9、试证明：经三个相互垂直的平面镜依次反射后的光与原来方向相反。

解：设分别为三个镜平面的法线单位矢量；为第一个镜上入321N N N 、、0r 射光的单位矢量；是分别由第一、第二和第三个镜子反射后光线的单位321r r r 、、矢量。

于是332232211211001)(2)(2)(2N N r r r N N r r r N N r r r −=−=−=由此，容易得到。

03r r −=10、将表面镀银的玻璃立方体切下一角，得到三棱锥镜。

光线从锥底面射入，经其余三个互相垂直的平面依次反射。

证明：出射光与入射光方向相反。

解：(略)11、两平面镜成60度角，求镜间物体所有的象。

作出光的行程图：使光经两平面镜相继两次反射后，给出物体的一个象。

解：(略)12、两平面镜成角，并没为整数，求镜间物体象的数目。

ϕϕπ/2=m 解：解点状物体O 的位置可用矢径镜1平面所成的角给出，或者用同α一矢径与镜表面2所成的角来确定(图72)。

设和表明物体O 的位置。

容β0α0β易看出，对于象02，012，0212，01212，……，角有下列值；α0004422αϕαϕαϕαϕα＋，，＋，−−=这个系列在镜1平面后边第一次出现象时中断，因为在这种情况下，该象的光线已经不能从平面镜1再反射了。

类似地，象01，021，0121，0212l，…的位置由角确定：β00004,4,2,2βϕβϕβϕβϕβ+−+−=并且系列在镜2平面后边第一次出现象时中断。

下面用两个例子来说明这个解：例1、m ＝5（），。

对于上一列0725/2弧度＝πϕ=)50(220000==βα象，有对于下一列，。

角;266,166,122000=α00194,94=β的关系为：，或者在所研究的情况下为：βα和βϕπα−+=2。

借助于这个关系式得到。

因此，在βα−=0432238,3380=α上一列和下一列中无重复的象，全部象共5个。

例2、m ＝6（），。

对于上一列象：060=ϕ)40(20000==βα；对于下一列象：000220,140,100=α)220(200,160,800000==αβ最后一个象在两例中重复，因此，全部象共是5个。

一般的，若m 为奇数，则象的数目等于m，若m 是偶数，则象的数目等于m －1。

对于m 不是整数的情况，上述方法也是有用的13、在图2所示的折射棱镜中，光线在垂直于镜棱的平面内，内AD 面射入，依次经由BC 和BD 面反射，然后从AC 面射出。

角B 和角A 分别等于а和2а，而角C 和角D 彼此相等。

试证明：出射光对原来方向的偏角δ与入射角无关，求δ，并说明在如图所示的光的行程下，棱镜能否形成光谱分解?解：若把从棱镜射出的光线用消色差透镜会聚，则不能形成光谱分解。

但若出射的光线直接射到屏上。

则能得到有彩色边圈的白斑；αδ2=14、试解释：为汁么在月夜海面上看到的月亮的象不是—个圆盘而是一条带？解：略15、如图1所示，一平面镜置于充满水的容器的底部，人俯视地对着平面镜看自己的象。

设眼睛高出水面，而镜子在水面之下深处。

cm h 101=cm h 5.662=试求眼睛在镜中看起来与眼睛的距离。

已知水的折射率为4／3。

解：人眼观察水底的平面镜离开自己的距离为nh h h h h 21210'+=+=将，，代入上式，得cm h 101=cm h 5.662=3/4=n cm h 6045.663100=×+=故cm120h 2'h 00=×=即眼睛在镜中得象看起来与人眼的距离为120cm。

这里考虑到近轴条件下的象似深度和平面折射与反射问题。

平面反射总能使单心光束保持，然而平面折射将会产生象散现象。

在近轴条件下，单心性近似保持。

16、一曲率半径R＝60cm 的凹球面镜装有水，水的折射率为4／3。

若水的深度比半径R 小得多，试求该系统的焦距。

解：若没有装水时，入射波经镜面反射后通过，它离开镜面得距离为1F 2'0R f =当装有水时，经折射、反射和折射，其几何关系为'2/sin 0f a R a tg ==≈αα'sin f a tg =≈ββ由折射定律，得''sin sin 0f f n ==αβ故加水后，系统得焦距为cmnR n f f 5.22342602''0=×===由此可知，凹面镜上充以稍许水，焦距将会减少n 倍，这个结论是直接运用最基本得折射定律和近似条件得到得。

其次，若凹面镜充满水时，则焦距和未充水时相同。

17、半径为R＝10cm 和厚度为b＝0.5的圆板，它由折射率沿径向变化的材料构成，中心处的折射率为，边缘的折射率为。

试求：5.10=n 0.1=R n (1)圆板的折射率如何变化时，在近轴条件下，平行于主轴的光聚焦；(2)该焦距的值。

解：(1)如图(a)所示，离轴为r 的光线的光程为A r f b n r =++2/12)'(即(1)Af r f b n r =++2/122)'1('式中A 为常数。

与轴上光线比较。

得(2)Ab n f R b n f r b n R r =+=⋅+=⋅+0'21'21022这里运用到的近轴条件，此时，式(1)按牛顿二项式展开，即'f r <<)'21(')'1('222122⋯++=+f r f f r f '2'2f r f +≈故折射率满足的条件为：202020)('2R n n r n b f r n n R r −−=−=将，，b＝0.5，R＝10代入上式，得5.10=n 0.1=R n 2005.12r n r −=折射率变化得曲线如图(b)所示。

(2)焦距为bn n R f R )(202'−=将，，b＝0.5，R＝10代入上式，得5.10=n 0.1=R n mcm f 22005.05.02100'==××=这实质上是等厚变折射率的透镜，用掺杂的办法增加玻璃的折射率。

因而使原来未搀杂的本底折射率变成径向变化的折射率。

近20年来，变折射率光学0n (Gradient Index Optics)的发展很快。

这里我们用几何光学的最基本原理——费马原理求解。

18、设光导纤维玻璃芯和外套的折射率分别为和，且。

垂直于1n 2n 21n n >端面外介质的折射率为，试证明：能使光线在光纤内发生全反射的入射光束0n 的最大孔径角为1i 222110sin n n i n −=其中，称为光纤的数值孔径。

10sin in 解：按折射定律，得221110sin 'sin sin i n i n i n ==221sin 1i n −=由于光线在玻璃芯和外套得界面上发生全反射得条件为122sin n n i ≥故欲使光线在光纤内发生全反射，须满足1i2121101sin ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−≤n n n i n 故数值孔径为222110sin n n i n −=光纤得数值孔径反映它的聚光本领，是光导传象的重要参量之一。

19、给定的一块平行平板，厚度为h，折射率按下列形式变化：ax n n x −=10一束光在O 点由空气垂直入射到平板，并在A 点以角出射，如图(a)所示。

α试求A 点的折射率，并确定A 点的位置和平板的厚度。

其中，，A n 2.10=n ，。

cm a 13=°=30α解：首先考察如图(b)所示的光路。

对于一系列不同折射率的平行平板的透射光，按折射定律：⋯===332211sin sin sin βββn n n 若折射率沿水平方向x 变化，则常数=x x n βsin 当光线垂直从折射率为的点射入，即，，为常数，于0n 0n n x =°=90x β0n 是在平板内任意一点，有sin n n x x =β已知和x 的函数关系，故沿平板中的光束为x n ax a a x n n x x −=−==1sin 0β图(c)表明光束的路径是一个半径为PC＝a 的园，故x PCX OC βsin =−由光的径迹，就有可能求得问题得解答，按折射定律，当光在A 点出射，则A A A n βαβαcos sin )90sin(sin =−°=由于，故0sin n n A A =βAA n n 0sin =β即201cos ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A n n β于是201sin ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=A A n n n α故α220sin +=n n A 将，代入上式，得2.10=n °=30α3.15.02.122=+=A n 又按ax n n A −=10得A 点得坐标为cm a n n n x A A 1133.12.13.10=×−=−=光线得轨迹方程为()()2220a a x y =−+−将x＝1，a＝13代入上式，得平板得厚度为cm h y 5==20、光入射到两种介质的界面上，一部分反射，一部分折射。