2019年上海成考专升本《高等数学一》真题及答案
2019年成人高考《高数一》考试真题(含解析)
学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2019年成人高等学校招生全国统一考试专升本高等数学（一）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（1-10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.当x→O时，x+x2+x3+x4为x的（）。
A.等价无穷小B.2阶无穷小C.3阶无穷小D.4阶无穷小2.limx→∞�1+2x�x=（）。
A.-e2B.-eC.eD.e23.设函数y=cos2x，则y′=（）。
A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x4.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a.b)可导，f′(x)>0,f(a)f(b)<0，则在(a.b)内零点的个数为（）。
A.3B.2C.1D.05.设2x为f(x)的一个原函数，则f(x)=（）。
A.0B.2C.x2D.x2+C6.设函数f(x)=arctan x，则∫f′(x)dx=（）。
A.−arctan x+CB.−11+x2+CC.arctan x+CD.11+x2+C7.设I1=∫x2dx10,I2=∫x3dx110,I3=∫x4dx10，则（）。
A.I1＞I2＞I3B.I2＞I3＞I1C.I3＞I2＞I1D. I1＞I3＞I28.设函数z=x2e y，则∂z∂x�(1,0)=（）。
A.0B.12第 1 页，共 6 页2/25C.1D.29.平面x +2y −3z +4=0的一个法向量为（ ）。
A.{1,−3,4}B.{1,2,4}C.{1,2,−3}D.{2,−3,4}10.微分方程y ′′+(y ′)3+y 4=x 的阶数为（ ）。
A.1 B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（11-22小题，每小题4分，共40分）11.lim x→0tan 2x x = 。
普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷文附解答
2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）本卷共22道，分150分考120分第Ⅰ卷（共110分）一、填空（本大分48分）本大共有12，只需求直接填写果，每个空格填得分，否一律得零分1．函数y sinxcos(x ) cosxsin(x )的最小正周期T= .4 42．若x 是方程2cos(x ) 1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2, a4+a5+⋯+a10=4．已知定点A（0，1），点B在直x+y=0上运，当段 AB最短，点B的坐是5．在正四棱P—ABCD中，若面与底面所成二面角的大小60°，异面直PA与BC所成角的大小等于.（果用反三角函数表示）6．会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 会合{x|x∈A且x A B}= .7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,∠ABC=（.果用反三角函数表示）8．若首a1，公比q的等比数列{a n}的前n和小于个数列的各和，首a1，公比q的一取能够是（a1，q）= .9．某国科研合作目成由11个美国人、4个法国人和5此中国人成.从中随机出两位作成就布人，此两人不属于同一个国家的概率 .（果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（果精准到）111．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面积，n n n则limS n=.nx2y212．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距1620离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内..二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|. B．y=cos(－x).C．y sin(x ). D．y |ctg x|.2 214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.15．在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N(1,1)四点中，函数y a x的图象与其反函24数的图象的公共点只可能是点（）A．P．B．Q. C．M. D．N.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令 g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=1，0<b<2,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a=－2,b=0,则函数g(x)的图象对于y轴对称D．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）已知函数f(x)11x，求函数f(x)的定义域，并议论它的奇偶性和单一性. x log21x58分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽 l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.本4题结果精准到米）65分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.722．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C21a3C22,a1C30a2C31a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列{a n}的前n项和，求：S1C n0S2C n1S3C n2S4C n3(1)n S n1C n n82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π.2．4.3．－49.4．(1,1).5．arctg2.6．[1,3].3227．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1sin cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.39故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=8 3.x0,x 01x1,19．[解]x须知足1x由1得1x1x所以函数f(x)的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数f(x)的定义域对于原点对称，且对定义域内的随意x，有f(x)1log21x(1log21x)f(x)，所以f(x)是奇函数.x1x x1x研究f(x)在（0，1）内的单一性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2，则f(x1)f(x2)1log2 x1 (11)由1x1x2 10,log2(2x1x21x21x111x21x1x2log21x2[log2(21)log2(21)],1x21x11)log2(21)0,1x1得f(x1)f(x2)>0，即f(x)在（0，1）内单一递减，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在（－1，0）内单一递减.20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），椭圆方程为x2y21.a2b2将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b210因为1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S lh ab99.422当S取最小值时,有112211192 a2b2,得a2,b22此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得11221.281a2, 22a22于是b4a2a b b121a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212 Sa2,121得a112,b92.以下同解一.2|AB|2|OA|2221．[解]（1）设AB{u,v},则由|AB|,即u v100得|OA|04u3v0,u6或u6因为OB OA AB{u4,v3},v ,v. 88所以v－3>0,得v=8,故AB={6，8}.（2）由OB={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：y1x.2由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10,得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）对于直线OB的对称点为（x,y）则x32y1212,得x1,故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10y2y3 x311（3）设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上对于直线OB 对称两点，则x 1x 2y 1y 20 x 1x 22222,得a ,y 1 y 252x 1x 22ax 1 x 22a 2即x 1,x 2为方程x 22x 5 2a0的两个相异实根,a2a 2于是由4 45 2a0,得a3.a 22a 22故当a 3时，抛物线y=ax 2－1上总有对于直线OB 对称的两点.212。
2019年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷参考答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试上海（数学试卷）参考答案考生注意：1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分.答题纸共2页：2.作答前.在答题纸正面填写姓名、准考证号、反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答題紙指定位置：3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区城.不得错位.在试卷上作答一律不得分： 用2B 铅笔作答选择题，用黑色色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一，填空题（本大慝共12小题，满分70分，第1〜6册聲最4分，第7〜12最每最5分）考生应在答题纸的相应住位置直接填写果1. 已知集合(,3)A =-∞，(2,)B =+∞，则A B = 。
答案：(2,3)2. 已知z ∈C ，且满足1i 5z =-，求z = 。
答案：5i -3. 已知向量(1,0,2)a =，(2,1,0)b =，则a 与b 的夹角为 。
答案：2arccos 54. 已知二项式5(21)x +，则展开式中含2x 项的系数为 。
答案：405. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =-的最小值为 。
答案：-66. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，2()log f x x =，则3()2f = 。
答案：-17. 若,x y +∈R ，且123y x +=，则yx的最大值为 。
答案：98解析：132y x =+≥，∴298y x ≤=8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S = 。
答案：31169. 过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= 。
答案：310. 某三位数密码，每位数字可在0-9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 。
2019年成人高考专升本《高等数学(一)》考试及参考答案(共三套)
成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。
答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．（共三套及参考答案）第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A．0B．1C．2D．不存在2．（）．A．单调增加且为凹B．单调增加且为凸c．单调减少且为凹D．单调减少且为凸3．A．较高阶的无穷小量B．等价无穷小量C．同阶但不等价无穷小量D．较低阶的无穷小量4．A．B．0C．D．15．A．3B．5C．1D．A．－sinxB．cos xC．D．A．B．x2C．2xD．28．A．B．C．D．9．设有直线当直线l1与l2平行时，λ等于（）．A．1B．0C．D．一110．下列命题中正确的有（）．A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题．21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．21．(本题满分8分)22．(本题满分8分)设y=x+arctanx，求y'．23．(本题满分8分)24．(本题满分8分)计算25．(本题满分8分)26．(本题满分10分)27．(本题满分10分)28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S及此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积．模拟试题参考答案一、选择题1．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．2．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．3．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．4．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．可知应选D．5．【答案】A．【解析】本题考查的知识点为判定极值的必要条件．故应选A．6．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为基本导数公式．可知应选C．7．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为原函数的概念．可知应选D．8．【答案】D．【解析】本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法.因此选D．9．【答案】C．【解析】本题考查的知识点为直线间的关系．10．【答案】B．【解析】本题考查的知识点为级数的性质．可知应选B．通常可以将其作为判定级数发散的充分条件使用．二、填空题11．【参考答案】e．【解析】本题考查的知识点为极限的运算．12．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为导数的计算．13．【参考答案】x—arctan x+C．【解析】本题考查的知识点为不定积分的运算．14．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为定积分运算．15．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为隐函数的微分．解法1将所给表达式两端关于x求导，可得从而解法2将所给表达式两端微分，16．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．17．【参考答案】1．【解析】本题考查的知识点为二元函数的极值．可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．18．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二元函数的偏导数．19．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为二重积分的计算．20．【参考答案】【解析】本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，三、解答题21．【解析】本题考查的知识点为极限运算．解法1解法2【解题指导】在极限运算中，先进行等价无穷小代换，这是首要问题．应引起注意．22.【解析】23．【解析】本题考查的知识点为定积分的换元积分法．【解题指导】比较典型的错误是利用换元计算时，一些考生忘记将积分限也随之变化. 24．【解析】本题考查的知识点为计算反常积分．【解题指导】计算反常积分应依反常积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．25．【解析】26．【解析】27．【解析】本题考查的知识点为二重积分运算和选择二次积分次序．【解题指导】28．【解析】所给曲线围成的图形如图8—1所示．2018年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）。
2019年成人高等学校招生全国统一考试高起点数学试题与答案
7.【答案】A 【考情点拨】本题考查了绝对值不等式的知识点．
｛ 【应试解析】Ix ＋
一11l＞
－1
斗
x
＋
一1 ＞
一1
或
x
＋
1
一
＜
一一1
21 2
22
22
(1
)
即 飞xlix> 0或x <-tLJ
- 37 -
【】
A. 9
B. 5
c. 7
0.3
17.甲、乙各自独立地射占一 次，已知甲射中10环的概率为0.9 ，乙射中10环
的概率为0.5 ，则甲、乙都射中10环的概率是为
【】
A.0.2
B. 0.45
C.0.25
0.0. 75
第II卷（非选择题，共65分〉 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共 16分〉
2019年成人高等学校招生全国统一考试高起点
数学
第I卷（选择题，共85分〉 一 、选择题〈本大题共 17 小题，每小题 5 分，共 85 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一 项是符合题目要求的〉
l.设全集U=={l, 2, 3，针，集合＼1== {3, 4｝，则CuM ==
【】
A. {2, 3}
3
1）－一（1,
-1）＝（寸，2).
222
2
10.【答案】D
【考情点拨】本题考查了指数函数与对数函数运算的知识点 ．
【应试解析】log 3 1+162 ＋（一 2）。 ＝ 0+4+1=5.
成人高考专升本高等数学(一)真题答案(网友版)
xx年成人高考专升本高等数学(一)真题答案(网友版) 说明：本答案网络，请大家根据考试情况核对1题C=3/22题D=2+cosx3题B4题B=3(2+x)?5题D=36题A7题C=1/2x?+c8题C=29题D=3x?10题B=1填空题11题e?12题3x?13题4(x-3)的三次方14题-sin(x-2)15题1/2lnx+c16题017题3x+2y-2z=018题3dx+2ydy19题y=x的三次方+c20题2获得“全国劳动模范”、“全国先进工作者”称号，“全国’五一’劳动奖章”获得者，可免试入学。
可免试入学的还有奥运会、世界杯赛和世界锦标赛的奥运工程前八名，非奥运工程前六名;亚运会、亚洲杯赛和亚洲锦标赛的奥运工程前六名，非奥运工程前三名;全运会、全国锦标赛和全国冠军赛的奥运工程前三名，非奥运工程冠军获得者。
经本人申请，并出具省级体育行政部门审核的《优秀运发动申请免试进入成人高等学校学习推荐表》(国家体育总局监制)，经省成招办审核，招生学校同意，可免试入学。
运动健将和武术工程武英级运发动称号获得者，可加50分投档，一级运发动可加30分。
符合以下条件之一的考生，可加20分投档：年满25周岁以上人员;获地市级以上(含地市级)人民政府，国务院各部委及各省(自治区、直辖市)厅、局系统，国家特大型企业授予的劳动模范、先进生产(工作)者及科技进步(成果)奖获得者;获省级工、青、妇等组织授予的“五一劳动奖章”、“新长征突击手”、“三八红旗手”称号者;解放军、武警部队、公安干警荣立个人三等功以上者;归侨、归侨子女、华侨子女、台湾省籍考生;烈士子女、烈士配偶;边疆、山区、牧区和少数民族聚居地区的少数民族考生、国防科技工业三线企业单位(地处地市以上人民政府所在地的除外)获得企业表彰的先进生产(工作)者。
自谋职业的城镇退役士兵，可加10分投档，是否录取由招生学校确定。
符合照顾政策的考生，须于报名时交验原始证件，符合两项以上照顾政策的考生，照顾分数不累计。
上海专升本历年高等数学-真题
上海专升本历年高等数学-真题本文档收集了上海专升本历年的高等数学真题，旨在帮助考生进行备考准备。
以下是部分真题的概述和相关考点介绍。
真题概述1. 2015年真题- 考题内容：微分方程、数列、级数、概率分布、多元函数等- 考试形式：选择题、计算题、证明题- 考试难度：适中2. 2016年真题- 考题内容：函数、极限、导数、积分、曲线、平面几何等- 考试形式：选择题、计算题、应用题- 考试难度：较难3. 2017年真题- 考题内容：三角函数、数列、级数、导数、微分、积分等- 考试形式：选择题、填空题、计算题、证明题- 考试难度：中等偏难4. 2018年真题- 考题内容：导数、微分、积分、空间解析几何、数列等- 考试形式：选择题、填空题、证明题、应用题- 考试难度：适中5. 2019年真题- 考题内容：函数、极限、微分、积分、曲线与曲面、多元函数等- 考试形式：选择题、计算题、证明题、应用题- 考试难度：较难考点介绍1. 微分方程：包括一阶微分方程、二阶线性微分方程和常系数齐次线性微分方程等。
2. 数列与级数：涉及数列的表示、求和、极限等概念与性质。
3. 函数与极限：包括函数的定义与性质、连续性、极限存在性等。
4. 导数与微分：涉及导数的定义与性质、基本导数公式、微分的概念与应用等。
5. 积分与应用：包括定积分、不定积分、面积、曲线长度等的计算与应用。
6. 曲线与曲面：涉及曲线、曲面的方程、性质、参数方程等内容。
7. 空间解析几何：涉及点、直线、平面的位置关系、投影、距离公式等。
8. 多元函数：包括多元函数的偏导数、梯度、极值、条件极值等。
注意：以上为一些主要的考点和内容概述，并不完整，考生应综合参考历年真题进行备考。
2019年上海成考高起点《数学》(理)真题及答案
第 I 卷(选择题，共 85 分) 一、选择题:本大题共 17 小题，每小题 5 分，共 85 分。在每个小题给出的 四个选项中，选出- -项符合题目要求的。 1.设全集 U=({,23.4),集合 M=(3,4,则 CuM = A.{2,3}B.{2,4]}C(1,4}D.(1,2} [答案] D . [解析]求补集，是集合缺少的部分，应该选 D 2.函数 y = cos4x 的最小正周期为 A.I B，π D.2π [答案] c [解析]本题考查了三角函数的周期的知识点最小正周期.设用: b=0;乙:函 数 y= kx + b 的图像经过坐标原点，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.用是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
[答案] C [解析]本题考查了充分条件和必要条件的知识点， 4.已知 tana=1/2，则 tan(a+π/4)= A.-3 B.一 1/3 c.1/2 D.3 [答案] D 5.函数 y=√1-x2“的定义域是 A. {x|x≥-1} B. {xIx≤1}C. {x|x≤-1} D. {x|-1≤x≤1} .[答案] D [解析] 1-x°≥0 时，原函数有意义，即 x°≤1 即(x1-1≤x≤1}6.设 0 物 D. log;x> 0[答案] B [解析] 1<2*<2，logx> 0，logax<0 7.不等式|x +第>当的解集为 A. {x|-1- -1] ， C. {1>0 或 x<-1}D. {xkx<0}[答案] C
[解析] |x+当≥当解得 x+ξ<←或 x+>即{x|x>0 或 x<-1} 8.甲、乙、丙、丁 4 人排成一行，其中甲、乙必须排在两端，则不同的排 法共有 A.3 种 B. 8 种 C.4 种 D.24 种 [答案] C [解析]甲乙站在两边，有 2 种排法，丙丁站在中间有 2 种排法，总计: 2*3=4. 9,若向量 a=(1,), b=(1,-1), 则 1/2a-3/2b=; A. (-1,2) B. (1,-2) C. (1,2) D. (-1,-2) 【答案】 A 11,y=x2- 4x- 的图像与 x 轴交于 A.B 两点，则丨 AB 丨= A.3 B4 C.5
专升本高等数学一2019年真题
高等数学一第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（1~10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 当时，为的 （ ）0x →234x x x x +++x A.等价无穷小 B.2阶无穷小 C.3阶无穷小D.4阶无穷小2. （ ）2lim 1xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B. C. D.2e -e-e 2e 3. 设函数，则＝ （ ）cos 2y x =y 'A. B. C. D.2sin 2x2sin 2x-sin 2xsin 2x -4. 设函数在上连续，在可导，＞0，f (a ) f (b )＜0，则在内()f x [,]a b (,)a b ()f x '()f x (,)a b 零点的个数为 （ ）A.3B.2C.1D.05. 设为的一个原函数，则＝ （ ）2x ()f x ()f x A.0B.2C. D.2x 2x C+6. 设函数，则 （ ）()arctan f x x =()d f x x '=⎰A. B.arctan x C -+211C x -++C. D.arctan x C+211C x ++7. 设，，，则（ ）1210d I x x =⎰1320d I x x =⎰1430d I x x =⎰A. I 1＞I 2＞I 3 B. I 2＞I 3＞I 1C. I 3＞I 2＞I 1D. I 1＞I 3＞I 28. 设函数，则＝（ ）2e y z x =(1,0)z x∂∂A.0B.C.1D.2129. 平面的一个法向量为 （ ）2340x y z +-+=A. B. C. D.{1,3,4}-{1,2,4}{1,2,3}-{2,3,4}-10. 微分方程的阶数为 （ ）34()yy y y x ''++=A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（11~20小题，每小题4分，共40分）11..0tan 2limx xx→=12.若函数在点处连续，则a =.0x =13. 设函数，则d y =.2e x y =14.函数的极小值点x = .3()12f x x x =-15.= .x 16..121tan d x x x -=⎰17.设函数，d z =.32z x y =+18.设函数，则＝.arcsin z x y =22zx ∂∂19.幂级数的收敛半径为.1n n nx ∞=∑20.微分方程的通解y =.2y x '=三、解答题（21~28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤）21.（本题满分8分）若，求k .0sin 2lim2x x kxx→+=22.（本题满分8分）设函数，求.sin(21)y x =-y '23.（本题满分8分）设函数，求.ln y x x =y ''24.（本题满分8分）计算.13(e ) d x x x +⎰25.（本题满分8分）设函数，求.11z x y =-22z z x y x y ∂∂+∂∂26.（本题满分10分）设D 是由曲线与x 轴、y 轴，在第一象限围成的有界区域.求：21x y =-（1）D 的面积S ；（2）D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积V .27.（本题满分10分）求微分方程的通解.560y y y '''--=28.（本题满分10分）计算，其中D 是由曲线，，轴在第一象限围成的有界区22()d d Dx y x y +⎰⎰221x y +=y x =x 域.参考答案及解析一、选择题1.【答案】A【考情点拨】本题考查了等价无穷小的知识点.【应试指导】，故是的等价无穷2342300limlim(1)1x x x x x x x x x x→→+++=+++=234x x x x +++x 小.2.【答案】D【考情点拨】本题考查了两个重要极限的知识点.【应试指导】.22222222lim(1)lim(1)[lim(1)]e x x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=3.【答案】B【考情点拨】本题考查了复合函数的导数的知识点.【应试指导】·.(cos 2)sin 2y x x ''==-(2)2sin 2x x '=-4.【答案】C【考情点拨】本题考查了零点存在定理的知识点.【应试指导】由零点存在定理可知，在上必有零点，且函数是单调函数，故其()f x (,)a b 在上只有一个零点.(,)a b 5.【答案】B【考情点拨】本题考查了函数的原函数的知识点.【应试指导】由题可知，故.()d 2f x x x C =+⎰()(()d )(2)2f x f x x x C ''==+=⎰6.【答案】C【考情点拨】本题考查了不定积分的性质的知识点.【应试指导】.()d ()arctan f x x f x C x C '=+=+⎰7.【答案】A【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】在区间内，有x 2＞x 3＞x 4，由积分的性质可知(0,1)＞＞，即I 1＞I 2＞I 3.120d x x ⎰130d x x ⎰140d x x ⎰8.【答案】D【考情点拨】本题考查了二元函数的偏导数的知识点.【应试指导】，故2×1×1＝2.2e y zx x∂=∂(1,0)z x ∂=∂9.【答案】C【考情点拨】本题考查了平面的法向量的知识点.【应试指导】平面的法向量即平面方程的系数{1，2，}.3-10.【答案】B【考情点拨】本题考查了微分方程的阶的知识点.【应试指导】微分方程中导数的最高阶数称为微分方程的阶，本题最高是2阶导数，故本题阶数为2.二、填空题11.【答案】2【考情点拨】本题考查了等价无穷小的代换定理的知识点.【应试指导】.00tan 22limlim 2x x x xxx →→==12.【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的连续性的知识点.【应试指导】由于在处连续，故有.()f x 0x =0lim ()lim 50(0)x x f x x f a --→→====13.【答案】22e d x x【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点.【应试指导】d y = d(e 2x ) = e 2x ·(2x )′d x = 2 e 2x d x.14.【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的极值的知识点.【应试指导】，当或时，，当x ＜2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+2x =2x =-()0f x '=时，＞0；当＜x ＜2时，＜0；当x ＞2时，＞0，因此x =2是极小值2-()f x '2-()f x '()f x '点.15.【答案】arcsin x C+【考情点拨】本题考查了不定积分的计算的知识点.【应试指导】.arcsin x x C =+16.【答案】0【考情点拨】本题考查了定积分的性质的知识点.【应试指导】被积函数x tan 2x 在对称区间上是奇函数，故.[1,1]-121tan d 0x x y -=⎰17.【答案】23d 2d x x y y+【考情点拨】本题考查了二元函数的全微分的知识点.【应试指导】，，所以.23z x x ∂=∂2z y y ∂=∂2d d d 3d 2d z z z x y x x y y x y∂∂==+=+∂∂18.【答案】0【考情点拨】本题考查了二阶偏导数的知识点.【应试指导】，.arcsin z y x ∂=∂220zx ∂=∂19.【答案】1【考情点拨】本题考查了收敛半径的知识点.【应试指导】，设，则有，故其收敛半径1nn n n nx nx ∞∞===∑∑n a n =11limlim(1)1x x n n nρ→∞→∞+==+=为.11R ρ==20.【答案】2x C+【考情点拨】本题考查了可分离变量的微分方程的通解的知识点.【应试指导】微分方程是可分离变量的微分方程，两边同时积分得2y x '=.2d 2d y x x x y xC '=⇒=+⎰⎰三、解答题21.，故.00sin 2sin limlim 2122x x x kx x k k x x →→+=+=+=12k =22.[sin(21)]y x ''=-·cos(21)x =-(21)x '- .2cos(21)x =-23.()ln (ln )y x x x x '''=+，ln 1x +故.1(ln )y x x'''==24.1133(e )d d e d xx x x x x x +=+⎰⎰⎰1131e 113x xC+=+++ .433e 4x x C =++25.，，故21z x x ∂=-∂21z y y ∂=∂··2221z z x y x y x∂∂+=-∂∂22x y +21y .110=-+=26.（1）积分区域D 可表示为：0≤y ≤1，0≤x ≤1y 2，-120(1)d S y y=-⎰3101()3y y =-.23（2）120πd V y x=⎰ 10π(1)d x x =-⎰.π2=27.特征方程，解得或，故微分方程的通解为2560r r --=11r =-26r =（C 1，C 2为任意常数）.1261212e e e e r x r x x x y C C C C -=+=+28.积分区域用极坐标可表示为：0≤≤，0≤r ≤1，θπ4所以22()d d DI x y x y=+⎰⎰ ·r d rπ12400d r θ=⎰⎰ ·π4=41014r.π16=。
普通高等学校招生全国统一考试数学试题上海卷理附解答
2019年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）本试卷共 22道题，满分 150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只需求直接填写结果，每个空格填对得分，不然一律得零分1．函数ysinxcos(xcosxsin(x)的最小正周期T=.442．若x是方程2cos(x)1的解,此中(0,2),则33．在等差数列{a n}中，a5=3,a6=－2,则a4+a5++a10=4．在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线cossin0上运动，当线段AB最短2时，点B的极坐标是5．在正四棱锥P—ABCD中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA与BC所成角的大小等于.（结果用反三角函数值表示）6．设会合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0},则会合{x|x∈A且x AB}=.7．在△ABC中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC=.（结果用反三角函数值表示）8．若首项为a1，公比为q的等比数列{a n}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，公比q的一组取值能够是（a1，q）=.9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5此中国人构成.现从中随机选出两位作为成就公布人，则此两人不属于同一个国家的概率为.（结果用分数表示）10．方程x3+lgx=18的根x≈.（结果精准到）11．已知点A(0,2),B(0,2),C(42,0),此中n的为正整数.设Sn表示△ABC外接圆的面n n n积，则limS n=n112．给出问题：F1、F2是双曲线x2y2=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距162 0离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答以下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.该学生的解答能否正确？若正确，请将他的解题依照填在下边空格内，若不正确，将正确的结果填在下边空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分.13．以下函数中，既为偶函数又在（0，π）上单一递加的是（）A．y=tg|x|.B．y=cos(－x).C．ysin(x).D．y|ctg x|.2214．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面r.B．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β.D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α,l∥β，m∥β.15．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别为会合M和N，那么“a1b1c1”是“M=N”的（）a2b2c2A．充足非必需条件.B．必需非充足条件.C．充要条件D．既非充足又非必需条件.16．f(x)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象以下图：令g（x）=af（x）+b，则下列对于函数g（x）的表达正确的选项是（）A．若a<0,则函数g（x）的图象对于原点对称.B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（x）=0有大于2的实根.C．若a≠0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根.D．若a≥1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根.2三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤.17．（此题满分12分）－1·z212已知复数z=cosθi，z=sinθ+i，求|z|的最大值和最小值.318．（此题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.419．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.已知数列{a n}（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）乞降：a1C20a2C12a3C22,a1C30a2C13a3C32a4C33;（2）由（1）的结果归纳归纳出对于正整数n的一个结论，并加以证明 .520．（此题满分14分）此题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某地道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高米，地道全长千米，地道的拱线近似地当作半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6米，则地道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应怎样设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为S lh，柱体体积为：底面积乘以高.此题结果精准到4米）621．（此题满分16分）此题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角极点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.（1）求向量AB的坐标；（2）求圆x26x y22y 0对于直线OB对称的圆的方程；（3）能否存在实数a，使抛物线y ax21上总有对于直线OB对称的两个点？若不存在，说明原因：若存在，求a的取值范围.7（22．（此题满分18分）此题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知会合M 是知足以下性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对随意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.1）函数f(x)=x能否属于会合M？说明原因；2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；3）若函数f(x)=sinkx∈M,务实数k的取值范围.82003年一般高等学校招生全国一致考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）4.3．－49.4．(236．[1,3].1．π.2．,).5．arctg2.3247．arccos11.8．(1,1)(a10,0q1的一组数）.9．11962190 10．.11．4π12．|PF2|=17.二、（第13题至第16题）题号13141516代号C D D B 三、（第17题至第22题）17．[解]|z1z2||1sin cos(cos sin)i|(1s in cos)2(cos sin)22sin2cos221sin22.4故|z1z2|的最大值为3,最小值为2.218．[解]连接BD，由于B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=2 3.又由于直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，所以1∠B1DB=30°，于是BB1= BD=2.3故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为S ABCD·BB1=8 3.919．[解]（1）a1C20a2C21a3C22a12a1qa1q2a1(1q)2,a1C30a2C31a3C32a4C33a13a1q3a1q2a1q3a1(1q)3.2）归纳归纳的结论为：若数列{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，则0123(1)n n n为正整数.a1C n a2C n a3C n a4C n a n1C n a1(1q),n 证明:a1C n0a2C n1a3C n2a4C n3(1)n a n1C n na1C n0a1qC n1a1q2C n2a1q3C n3(1)n a1q n C n na1[C n0qC n1q2C n2q3C n3(1)n q n C n n]a1(1q)n20．[解]（1）如图成立直角坐标系，则点P（11，），x2y21.椭圆方程为2b2a将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a447,此时l2a887.所以隧77道的拱宽约为米.（2）[解一]由椭圆方程x2y21，得1122 1.a2b2a2b2由于1122211即ab99,且l2a,h b,a2b2ab所以S4lh ab99.22当S取最小值时,有11221,得a112,b92a2b222此时l2a22231.1,h b故当拱高约为米、拱宽约为米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程x2y21，得1122 1.于是b281a2, a2b2a2b24a212110a2b281(a21211212242)81(21212242)81121, 4a21214即ab99,当取最小值时,有a21211212Sa2,121得a112,b92.以下同解一.211。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷)文(附解答)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学（文史类）本试卷共22道题，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= .2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10=4．已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标 是5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1）11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）A ．y=tg|x |.B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x yD ．|2|x ctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β.15．在P （1，1）、Q （1，2）、M （2，3）和N )41,21(四点中，函数xa y =的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 （ ） A ．P ． B ．Q. C ．M. D ．N.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是 （ ） A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =1， 0<b<2,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a =－2,b=0,则函数g(x )的图象关于y 轴对称D ．若 a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分） 已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明. （3）设q ≠1，S n 是等比数列}{n a 的前n 项和，求：nn n n n n n n C S C S C S C S C S 134231201)1(+-++-+-2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文史类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)21,21(-. 5．arctg2. 6．[1,3].7．.611arccos 8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．19011910．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32. 又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38.19．[解]x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数.研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a ba S ab lh S b h a l ab ab ba 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a a b ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即 得.229,211==b a 以下同解一. 21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u OA AB OA AB v u 即则由得 },3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u AB OA OB v u v u 因为或 所以v －3>0,得v =8,故AB ={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y = 由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10. 设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10（3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a a a a a a x a x x x a a x x a x x x x y y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点.。
2019专升本高数题库(含历年真题)
2019专升本高数题库(含历年真题)章节练习极限、连续1、【单项选择】当x一0时，与3x2+2x3等价的无穷小量是( )．正确答案：B2、【单项选择】正确答案：B3、【单项选择】正确答案：B 4、【单项选择】ABCD正确答案：B 5、【单项选择】B 1C正确答案：D6、【单项选择】当 x一0时，kx是sinx的等价无穷小量，则k等于( )正确答案：B7、【单项选择】正确答案：A8、【单项选择】正确答案：C 9、【单项选择】正确答案：B 10、【单项选择】正确答案：A 11、【单项选择】正确答案：D 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】ABCD正确答案：B1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：所给极限为重要极限公式形式．可知3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】当x一0时f(x)与sin 2x是等价无穷小量，则正确答案：由等价无穷小量的定义可知【评析】判定等价无穷小量的问题，通常利用等价无穷小量的定义与极限的运算．7、【案例分析】正确答案：8、【案例分析】正确答案：9、【案例分析】正确答案：10、【案例分析】正确答案：11、【案例分析】正确答案：a=012、【案例分析】正确答案：13、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B2、【单项选择】设函数f(x)=COS 2x，则f′(x)=( )．正确答案：B3、【单项选择】设正确答案：B4、【单项选择】曲线Y=x-3在点(1，1)处的切线的斜率为( )正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D6、【单项选择】设Y=e-3x，则dy等于( )．正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】设，y=COSx，则y′等于( )(1分)正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B11、【单项选择】正确答案：B12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】设，f(x)在点x0处取得极值，则( )ABCD正确答案：A14、【单项选择】设Y=e-5x，则dy=( )正确答案：A15、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C16、【单项选择】曲线y=x3+1在点(1，2)处的切线的斜率为( )正确答案：C17、【单项选择】设 y=2^x，则dy等于( )正确答案：D18、【单项选择】正确答案：A19、【单项选择】正确答案：D20、【单项选择】设Y=sinx+COSx，则dy等于( )．(1分)正确答案：C1、【案例分析】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：【评析】求函数f(x)的单调区间，应先判定函数的定义域．求出函数的驻点，即y′=0的点；求出y的不可导的点，再找出y′>0时x的取值范围，这个范围可能是一个区间，也可能为几个区间求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：15、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得16、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．17、【案例分析】正确答案：一元函数微分学1、【单项选择】正确答案：B 2、【单项选择】正确答案：B设正确答案：B正确答案：C5、【单项选择】设y=lnx，则y″等于( )正确答案：D正确答案：C7、【单项选择】设函数f(x)在[0，b]连续，在(a，b)可导，f′(x)>0．若f(a)·f(b)<0，则y=f(x)正确答案：B8、【单项选择】正确答案：A 9、【单项选择】正确答案：A 10、【单项选择】正确答案：B 11、【单项选择】正确答案：B 12、【单项选择】正确答案：D13、【单项选择】ABCD正确答案：A正确答案：A 15、【单项选择】正确答案：C 16、【单项选择】正确答案：C正确答案：D18、【单项选择】求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值正确答案：注意函数的定义域为【评析】判定f(x)的极值，如果x0为f（x)的驻点或不可导的点，可以考虑利用极值的第一充分条件判定．但是当驻点处二阶导数易求时，可以考虑利用极值的第二充分条件判定．2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为S(x)．(1)写出S(x)的表达式；(2)求S(x)的最大值正确答案：4、【案例分析】求函数的极大值与极小值．正确答案：5、【案例分析】设Y=y((x)满足2y+sin(x+y)=0，求y ′正确答案：将2y+sin(x+y)=0两边对x求导，得6、【案例分析】求函数的单调区间和极值正确答案：函数的定义域为函数f(x)的单调减区间为(-∞，0]，函数f(x)的单调增区间为[0，+∞)；f(0)=2为极小值．7、【案例分析】证明：正确答案：【评析】8、【案例分析】求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．正确答案：9、【案例分析】求曲线在点(1，3)处的切线方程曲线方程为，点因此所求曲线方程为或写为设Y=2ex-1则y″=e-x正确答案：11、【案例分析】正确答案：12、【案例分析】设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____正确答案：13、【案例分析】设y=fx)可导，点a0=2为fx)的极小值点，且f2)=3，则曲线y=f(x)在点(2，3)处的切线方程为______．正确答案：由于y=f(x)可导，点x0=2为f(x)的极小值点，由极值的必要条件可知f′(2)=0．曲线y=fx)在点(2，3)处的切线方程为y-3=f′(2)(x-2)=0，即y=3为所求切线方程14、【案例分析】设Y=xsinx，求Y′正确答案：一元函数积分学1、【单项选择】正确答案：C 2、【单项选择】ABCD正确答案：D 3、【单项选择】正确答案：A 4、【单项选择】正确答案：B 5、【单项选择】正确答案：A 6、【单项选择】ABCD正确答案：B 7、【单项选择】正确答案：A 8、【单项选择】正确答案：B9、【单项选择】BD正确答案：D 10、【单项选择】正确答案：C 11、【单项选择】正确答案：C 12、【单项选择】正确答案：D 13、【单项选择】正确答案：C 14、【单项选择】正确答案：D 15、【单项选择】正确答案：D 16、【单项选择】正确答案：B 17、【单项选择】正确答案：A 18、【单项选择】等于( )正确答案：D 19、【单项选择】正确答案：A 1、【案例分析】正确答案：2、【案例分析】正确答案：3、【案例分析】正确答案：4、【案例分析】正确答案：5、【案例分析】正确答案：6、【案例分析】正确答案：7、【案例分析】(1)求曲线Y=ex及直线x=1，x=O,y=0所围成的平面图形(如图3—3所示)的面积A．(2)求(1)中平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积Vx(1分)正确答案：8、【案例分析】【评析】定积分的分部积分运算u，u'的选取原则，与不定积分相同．只需注意不要忘记积分限．如果被积函数中含有根式，需先换元，再利用分部积分．正确答案：。