求无向连通图的生成树
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例:见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”:删除边破坏回路,同时保持图的连 通性,直到没有回路为止。 a
注意,具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树,但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树,这是树的一个特
性;树还有另外一个重要性质是:它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V,E>,若|V|≥2,则T中至 少存在两个悬挂结点(树叶)。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例:下图为根树,右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系,有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点,若从u到v有一条边或,则 结点v称为结点u的“儿子”,或称u是v的“父 亲”;若从u到w有一条路,称u是w的“祖先”, 或称w是u的“子孙”或“后代”,同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学 图论-树
中序遍历(次序:左-根-右) 前序遍历(次序:根-左-右) 后序遍历(次序:左-右-根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例:给定二叉树,写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高.将平凡树也称为根树。 右图中树高为( )。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中,由于各有向边的方向是一 致的,所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头,并将树根画在最上方.
等长码:0-000;1-001;2-010;3-011;4-100; 5-101;6-110;7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游(遍历)
二叉树的周游:对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1)做一条绕行整个二叉树的行走路线(不能穿过树枝) 2)按行走路线经过结点的位臵(左边、下边、右边) 得到周游的方法有三种: 中序遍历(路线经过结点下边时访问结点) 访问的次序:左子树-根-右子树 前序遍历(路线经过结点左边时访问结点) 访问的次序:根-左子树-右子树 后序遍历(路线经过结点右边时访问结点) 访问的次序:左子树-右子树-根
2、根树中顶点的关系
定义:设T为一棵非平凡的根树, v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代; v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T),称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同,则称vj与vk是兄 弟
离散数学课件16.1-2无向树和生成树
生成树
❖ 设G=<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
生成树的名词解释
生成树的名词解释生成树(Spanning Tree)是图论中的一个重要概念,用来描述在一个无向连通图中连接所有顶点的极小连通子图。
在一个无向连通图中,如果能够找到一颗包含所有顶点且边数最少的子图,那么这个子图就是该图的生成树。
生成树的概念最早由Otto Schönflies于1885年提出,并且在图论研究和实际应用中得到了广泛的运用。
生成树在电网规划、通信网络设计、计算机网络以及城市交通规划等领域都有着重要的应用价值。
生成树的定义可以用简洁的方式表述:在一个无向连通图中,生成树是保留了原图的所有顶点,但只保留了足够的边来使得这个子图连通,并且不包含任何环的一种连通子图。
换句话说,生成树是一个无向连通图中的极小连通子图,它连接了所有的顶点,并且不存在回路。
生成树具有很多重要的性质和应用。
首先,生成树的边数比原图的顶点数少一个。
这是因为生成树是一个连通子图,而且不包含任何环。
因此,生成树中的边数等于原图的顶点数减去1。
这个性质经常用于生成树的构造和推导。
其次,生成树可以用于表示图中的最小连接网络。
在一个无向连通图中,如果存在多个连通子图,那么通过连接这些子图的最少的边,就可以得到一个生成树。
这个生成树可以看作是一个最小的连通网络,其中所有顶点都能够通过最短路径相互到达。
此外,生成树还可以用于网络设计和优化问题。
在电网规划、通信网络设计和计算机网络中,生成树常常被用于实现信息的传输和路由的优化。
通过构造合适的生成树,可以使得信息的传输路径更加简洁和高效。
生成树有多种构造算法,其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法,它从一个任意选定的顶点开始,逐步构建生成树。
具体地,Prim算法每次选择与已有的生成树连接边权值最小的顶点,并将其加入生成树。
重复这个过程,直到生成树包含了所有的顶点。
Kruskal算法是一种基于边的方法,它首先将图中的边按照权值从小到大排序,然后依次将边加入生成树,直到生成树包含了所有的顶点为止。
图的最小生成树
保证不形成回路
(2)TE=TE+(u0,v0), 边(u0,v0)并入TE (3)U=U+{v0},顶点V0 并入U
特点: 以连通为主、选代价最小的邻接边
说明:Prim算法的起始点(可不写,默认为0)
翻译训练1.学生结合课下注释和工具书自行疏通文义,并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成,若能以节奏划分引导学生明确文意最好;若学生理解有限,亦可在解读文意后把握节
奏划分。2.以四人小组为单位,组内互助解疑,并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3.教师选择疑难句或值得翻译的句子,请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例:若夫日出而林霏开,
【练习】请用kruskal算法找出下图最小生成树。
练习
利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 算出该最小生成树的代价
最
1
10
小
生
成
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
二
1
10
6 Prim算法
2
11
5
6
3
14 6
4
2
11
5
6
3
初始条件
点集合={u0}, TE={φ}。
5
18
4
普里姆(Prim)最小生成树算法
1
③
④
3
42
⑤
6
利用Prim演算法找最小生成树
以A点为起始点
L :A D B C E F T : h c d e a
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树 -回复
采用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法,求最小生成树-回复普里姆算法和克鲁斯卡尔算法是求解最小生成树问题的两种重要方法。
本文将详细介绍这两种算法的原理和步骤,并比较它们的优缺点和适用场景。
一、普里姆算法普里姆算法(Prim's Algorithm)是一种贪心算法,用于求解带权无向连通图的最小生成树。
它的基本思想是从一个起始顶点开始,逐步向最小代价的边添加顶点,直到生成一颗包含所有顶点的最小生成树。
下面是普里姆算法的具体步骤:1. 随机选择一个顶点作为起始顶点,并将其添加到最小生成树集合中。
2. 从最小生成树集合中已有的顶点出发,寻找与其相连的边中具有最小权值的顶点,将该顶点添加到最小生成树集合中。
3. 重复第二步,直到最小生成树集合包含所有顶点为止。
普里姆算法的时间复杂度为O(V^2),其中V为顶点数。
它的优点是简单易懂、容易实现,并且适用于稠密图。
然而,普里姆算法对于稀疏图的效率较低,因为需要频繁地搜索和更新权值最小的边。
二、克鲁斯卡尔算法克鲁斯卡尔算法(Kruskal's Algorithm)是一种基于边的贪心算法,用于求解带权无向连通图的最小生成树。
它的基本思想是通过选择代价最小的边,并判断是否会形成环路,最终构建出一颗最小生成树。
下面是克鲁斯卡尔算法的具体步骤:1. 将图中的所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 依次选择权值最小的边,判断如果添加该边会形成环路,则将其舍弃;否则将其添加到最小生成树的边集合中。
3. 重复第二步,直到最小生成树的边数等于顶点数减一为止。
克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(ElogE),其中E为边数。
相比普里姆算法,克鲁斯卡尔算法适用于稀疏图,并且对于大规模图的求解效率更高。
然而,克鲁斯卡尔算法的缺点是在构建最小生成树时需要尝试的边较多,因此在边数较多的情况下,算法的效率可能不高。
三、比较与总结普里姆算法和克鲁斯卡尔算法都是求解最小生成树问题的经典算法,它们各自具有不同的优点和适用场景。
考研数据结构图的必背算法及知识点
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树:无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景:假设要在n个城市之间建立通信联络网,则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时,自然会考虑这样一个问题,如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路,相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间,最多可能设置n(n-1)/2条线路,那么,如何在这些可能的线路中选择n-1条,以使总的耗费最少呢分析问题(建立模型):可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路,其中网的顶点表示城市,边表示两城市之间的线路,赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树,每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树,对连通图的不同遍历,就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示:G5G5的三棵生成树:可以证明,对于有n个顶点的无向连通图,无论其生成树的形态如何,所有生成树中都有且仅有n-1条边。
最小生成树的定义:如果无向连通图是一个网,那么,它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树,我们称这棵生成树为最小生成树,简称为最小生成树。
最小生成树的性质:假设N=(V,{E})是个连通网,U是顶点集合V的一个非空子集,若(u,v)是个一条具有最小权值(代价)的边,其中,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
解决方案:两种常用的构造最小生成树的算法:普里姆(Prim)和克鲁斯卡尔(Kruskal)。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆(Prim)算法:有线到点,适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G=(V,E)为连通图,其中V为网图中所有顶点的集合,E为网图中所有带权边的集合。
无向连通图的生成树kruskal
采用kruskal(克鲁斯卡尔)算法求无向连通网图的一棵最小生成树。
#include<iostream>using namespace std;const int MaxSize=6; // 顶点数const int m=9; //边数int vertexNum, arcNum; //顶点数和边数char vertex[MaxSize]; //顶点数组int parent[MaxSize];struct EdgeType{int from, to;int weight;};EdgeType edge[m];void edgesz(char a[], int n, int e){int i,j,k,w;vertexNum=n; arcNum=e;for (i=0; i<vertexNum; i++) vertex[i]=a[i];for (k=0; k<arcNum; k++) //依次输入每一条边{cin>>i>>j>>w; //边依附的两个顶点的序号及权值edge[k].from=i;edge[k].to=j;edge[k].weight=w;}}int FindRoot(int parent[], int v){int t;t=v;while ( parent[t]>-1) t=parent[t];return t;}void DubbleSort(EdgeType r[],int n){int exchange,bound,j,k;exchange=n-1; //第一趟的区间为1-- nwhile(exchange) //当还未完全有序{ bound=exchange; //传递本趟最后交换位置exchange=0;for(j=0;j<bound;j++) //一趟扫描if (r[j].weight>r[j+1].weight){k=r[j].from;r[j].from=r[j+1].from;r[j+1].from=k;k=r[j].to;r[j].to=r[j+1].to;r[j+1].to=k;k=r[j].weight;r[j].weight=r[j+1].weight;r[j+1].weight=k;exchange=j; } //记录交换位置}}//kruskal(克鲁斯卡尔)算法int main(){int i;char a[MaxSize];cout <<"输入"<<MaxSize<<"个顶点数据:"<<endl;for (i=0;i<MaxSize;i++) cin >>a[i];cout <<"依次输入"<<m<<"条边的每一条边两个顶点的序号及权值:"<<endl;edgesz(a, MaxSize, m);DubbleSort(edge,m);cout <<"无向连通图的(Kruskal)生成树为:"<<endl;Kruskal();cout << endl;return 0;}。
离散数学及其应用课件:树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
求无向图的最小生成树算法——Prim与Kruskal
1.算法思想
对于图G=(V,E),用Prim算法求最小生成树T=(S,TE)的流程如下
① 初始化:设S、TE为空集,任选节点K加入S。
② 选取一条权值最小的边(X,Y),其中X∈S,且not (Y∈S) 即,选取一条权值最小的、连接着S中一点与S外一点的边。
以上操作重复|V|-1次结束。由于每次加入S的点i都在当时取到了符合流程②的边min{lowcost},而lowcost[i]=w(i,closest[i]),所以此时的最小生成树的各边就是(i,closest[i]),i∈V且not (i=x)【需要注意的是出发点x的closest[x]还是x,所以应忽略,实际取到x-1条边】。把i从1取到|V|,便得到最小生成树T的每条边。
为了比较快速地选边,我们用两个数组lowcost、closest动态地维护每一个点到S的最短距离。在某一状态下,lowcost[i]表示所有与i相连且另一端点在S中的边中的权值最小值,closest[i]表示在S中且与i相连的点中与i之间距离最小的点。显然,lowcost[i]=w(i,closest[i])。需要注意的是两个数组记录的都是边而不是路径。若i没有边直接连向S,则lowcost[i]=∞。另外,若i已在S中,则lowcost[i]=0。
lowcost[j] = w[k][j];
closest[j] = k;
} //由新加入S中的k点使某些点到S的距离缩短,所以更新各点的lowcost和close= 1; i <= n; i++)
if(i != closest[i]){
设出发点为x。初始时对于任意k∈V,closest[k]=x,lowcost[k]=w(k,x)【w(i,j)表示i、j间的距离。初始化时,若两点间没有边则w(i,j)赋为一个足够大的整数(如maxint),并且所有点到自身的距离赋为0,即w(i,i)=0】
《数据结构与算法》考研真题精选-2
《数据结构与算法》考研真题精选一、选择题1.图中有关路径的定义是()。
A.由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列B.由不同顶点所形成的序列C.由不同边所形成的序列D.上述定义都不是2.设无向图的顶点个数为n,则该图最多有()条边。
A.n-1 B.n(n-1)/2 C.n(n+1)/2 D.0 E.n23.一个n个顶点的连通无向图,其边的个数至少为()。
A.n-1 B.n C.n+1 D.nlogn;4.要连通具有n个顶点的有向图,至少需要()条边。
A.n-l B.n C.n+l D.2n5.n个结点的完全有向图含有边的数目()。
A.n*n B.n(n+1)C.n/2 D.n*(n-l)6.一个有n个结点的图,最少有()个连通分量,最多有()个连通分量。
A.0 B.1 C.n-1 D.n7.在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于所有边数()倍,在一个有向图中,所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的()倍。
A.1/2 B.2 C.1 D.48.用有向无环图描述表达式(A+B)*((A+B)/A),至少需要顶点的数目为( )。
A.5 B.6 C.8 D.99.用DFS遍历一个无环有向图,并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点,则输出的顶点序列是( )。
A.逆拓扑有序B.拓扑有序C.无序的10.下面结构中最适于表示稀疏无向图的是(),适于表示稀疏有向图的是()。
A.邻接矩阵B.逆邻接表C.邻接多重表D.十字链表E.邻接表11.下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵?()A.有向图B.无向图C.AOV网D.AOE网14.用相邻矩阵A表示图,判定任意两个顶点Vi和Vj之间是否有长度为m 的路径相连,则只要检查()的第i行第j列的元素是否为零即可。
A.mA B.A C.A m D.Am-115. 下列说法不正确的是()。
A.图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次C.图的深度遍历不适用于有向图B.遍历的基本算法有两种:深度遍历和广度遍历D.图的深度遍历是一个递归过程16.无向图G=(V,E),其中:V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)},对该图进行深度优先遍历,得到的顶点序列正确的是()。
无向连通图的生成树
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define M 20#define MAX 20typedef struct{int begin;int end;int weight;}edge;typedef struct{int adj;int weight;}AdjMatrix[MAX][MAX];typedef struct{AdjMatrix arc;int vexnum, arcnum;}MGraph;void CreatGraph(MGraph *);//函数申明void sort(edge* ,MGraph *);void MiniSpanTree(MGraph *);int Find(int *, int );void Swapn(edge *, int, int);void CreatGraph(MGraph *G)//构件图{int i, j,n, m;printf("请输入边数和顶点数:");scanf("%d %d",&G->arcnum,&G->vexnum);for (i = 1; i <= G->vexnum; i++)//初始化图{for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){G->arc[i][j].adj = G->arc[j][i].adj = 0;}for ( i = 1; i <= G->arcnum; i++)//输入边和权值{printf("\n请输入有边的2个顶点");scanf("%d %d",&n,&m);while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) {printf("输入的数字不符合要求请重新输入:");scanf("%d%d",&n,&m);}G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1;getchar();printf("\n请输入%d与%d之间的权值:", n, m);scanf("%d",&G->arc[n][m].weight);}printf("邻接矩阵为:\n");for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++){for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){printf("%d ",G->arc[i][j].adj);}printf("\n");}}void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{int i, j;for ( i = 1; i < G->arcnum; i++){for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++){if (edges[i].weight > edges[j].weight){Swapn(edges, i, j);}}}printf("权排序之后的为:\n");for (i = 1; i < G->arcnum; i++){printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight); }}void Swapn(edge *edges,int i, int j)//交换权值以及头和尾{int temp;temp = edges[i].begin;edges[i].begin = edges[j].begin;edges[j].begin = temp;temp = edges[i].end;edges[i].end = edges[j].end;edges[j].end = temp;temp = edges[i].weight;edges[i].weight = edges[j].weight;edges[j].weight = temp;}void MiniSpanTree(MGraph *G)//生成最小生成树{int i, j, n, m;int k = 1;int parent[M];edge edges[M];for ( i = 1; i < G->vexnum; i++){for (j = i + 1; j <= G->vexnum; j++){if (G->arc[i][j].adj == 1){edges[k].begin = i;edges[k].end = j;edges[k].weight = G->arc[i][j].weight;k++;}}}sort(edges, G);for (i = 1; i <= G->arcnum; i++){parent[i] = 0;}printf("最小生成树为:\n");for (i = 1; i <= G->arcnum; i++)//核心部分{n = Find(parent, edges[i].begin);m = Find(parent, edges[i].end);if (n != m){parent[n] = m;printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight); }}}int Find(int *parent, int f)//找尾{while ( parent[f] > 0){f = parent[f];}return f;}int main(void)//主函数{MGraph *G;G = (MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));if (G == NULL){printf("memory allcation failed,goodbye");exit(1);}CreatGraph(G);MiniSpanTree(G);system("pause"); return 0;}。
无向树及生成树
2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)
解出n=8, 4度顶点为1个.
T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4
有3棵非同构的无向树
生成树
生成树的存在性
定理任何无向连通图都有生成树.
证用破圈法.若图中无圈,则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边,这不破坏连通性,重复进行
直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.
推论1设n阶无向连通图有m条边,则mn1.
推论2设n阶无向连通图有m条边,则它的生成树的余树
有mn+1条边.
基本回路与基本回路系统
定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成
树,设e1, e2, … , emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er
(1)G是树(连通无回路);
(2)G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;
(3)G中无回路且m=n1;
(4)G是连通的且m=n1;
(5)G是连通的且G中任何边均为桥;
(6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
下次课预习要点:
有向树
根树、树根、树叶、内点、分支点
设G=<V,E,W>,将非环边按权从小到大排序:e1, e2, …, em.
(1)取e1在T中
(2)检查e2,若e2与e1不构成回路,则将e2加入T中,否则弃去e2.
(3)检查e3,…,重复进行直至得到生成树为止.
实例
例求图的一棵最小生成树
复习思考题、作业题:
设G=<V,E>是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中,设八进制数字出现的频率如下:
0:25%
1:20%
2:15%
3:10%
4:10%
5:10%6:5% Nhomakorabea7:5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字?若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树,C 为 G 中任意一个
圈,则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树,设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝,Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)1.最小生成树:无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景:假设要在n个城市之间建立通信联络网,则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时,自然会考虑这样一个问题,如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路,相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间,最多可能设置n(n-1)/2条线路,那么,如何在这些可能的线路中选择n-1条,以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题(建立模型):可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路,其中网的顶点表示城市,边表示两城市之间的线路,赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树,每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树,对连通图的不同遍历,就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示:G5G5的三棵生成树:可以证明,对于有n 个顶点的无向连通图,无论其生成树的形态如何,所有生成树中都有且仅有n-1 条边。
1.3最小生成树的定义:如果无向连通图是一个网,那么,它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树,我们称这棵生成树为最小生成树,简称为最小生成树。
最小生成树的性质:假设N=(V,{ E}) 是个连通网,U是顶点集合V的一个非空子集,若(u,v)是个一条具有最小权值(代价)的边,其中,则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树。
1.4 解决方案:两种常用的构造最小生成树的算法:普里姆(Prim)和克鲁斯卡尔(Kruskal)。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆(Prim)算法:有线到点,适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G=(V,E)为连通图,其中V 为网图中所有顶点的集合,E 为网图中所有带权边的集合。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法在图论中,生成树是指一个无向连通图的一个子图,它包含图中的所有顶点,并且是一个树。
生成树计数算法是指计算一个无向连通图中生成树的数量的方法。
本文将介绍图论中的一些常见生成树计数算法。
1. Cayley公式Cayley公式是最简单的生成树计数算法之一,它适用于完全图。
完全图是指图中的任意两个不同顶点之间都有一条边相连。
假设完全图有n个顶点,那么生成树的数量为n^(n-2)个。
Cayley公式的证明可以利用普鲁夫树(Prüfer Tree)的概念,这里不再详述。
2. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是另一种生成树计数算法,它适用于任意连通图。
矩阵树定理的原理是利用图的拉普拉斯矩阵(Laplacian Matrix)的性质。
图的拉普拉斯矩阵定义为:对于一个n个顶点的图,其拉普拉斯矩阵L的定义为:L=D-A,其中D是一个对角矩阵,对角线上的元素是该顶点的度数,A是图的邻接矩阵。
根据Kirchhoff矩阵树定理,一个图的所有生成树的数量等于该图的任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
主子式是指原矩阵去掉若干行和列后形成的子矩阵。
基于这个定理,我们可以通过计算图的拉普拉斯矩阵的主子式来得到生成树的数量。
3. Prufer编码Prufer编码是一种用序列表示带标号图中生成树的方法。
给定一个有n个顶点的生成树T,Prufer编码可以将T转化为一个长度为n-2的序列,该序列的元素由图中的顶点标号组成。
具体的编码方法如下:- 第一步:选择标号最小的叶子节点,并将与之相邻的节点记录下来。
- 第二步:删除该叶子节点,并将该叶子节点的标号记录下来。
- 重复以上两步,直到所有顶点都被删除为止。
通过Prufer编码,我们可以将生成树的计数问题转化为序列的计数问题。
在给定n个顶点的情况下,长度为n-2的Prufer序列的数量为n^(n-2)。
除了上述介绍的几种生成树计数算法外,还有其他更复杂的算法,如Chow定理、Matrix-Tree定理等。
最小生成树算法实验报告_2
作业1最小生成树的生成算法1.1算法应用背景在实际生活中, 图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。
例如, 用图的顶点代表城市, 顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路, 用边的权代表道路的长度或通信线路的费用, 则最小花费生成树问题, 就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。
其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。
1.2算法原理在一给定的无向图G = (V, E) 中, (u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边(即), 而w(u, v) 代表此边的权重, 若存在T 为E 的子集(即)且为无循环图, 使得的w(T) 最小, 则此T 为G 的最小生成树。
许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。
例如:要在n个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同;另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。
这就需要找到带权的最小生成树。
1.3算法描述1)最小生成树之普里姆算法描述:令G=(V,E,W), 为简单期间, 令顶点集为V={0,1,2…, n-1}。
假定与顶点i, j相关联的边为ei, j, ei, j的权用c[i][j]表示, T是最小花费生成树的边集。
这个算法维护两个顶点集合S 和N, 开始时: 令T=Ф,S={0},N=V-S。
然后, 进行贪婪选择, 选取i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j;并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}.重复上述步骤, 直到N为空, 或找到n-1条边为止。
此时, T中的边集, 就是所要求取的G中的最小花费生成树。
由此, 可描述普里姆算法的步骤如下:(1)T=Ф, S={0},N=V-S。
(2)如果N为空, 算法结束;否则, 转步骤(3)。
(3)寻找使i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j。
(4)S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j};转步骤(2)。
克鲁斯卡尔算法求最小生成树的最短路径
克鲁斯卡尔算法求最小生成树的最短路径在计算机科学领域中,克鲁斯卡尔算法是一种经典的图论算法,用于求解最小生成树和最短路径的问题。
在本文中,我将深入探讨克鲁斯卡尔算法的原理和应用,以及其在实际生活中的意义和影响。
我将从简单的概念入手,逐步深入,帮助你更好地理解和掌握这一重要的算法。
1. 算法原理克鲁斯卡尔算法是一种基于贪心策略的算法,用于求解带权无向连通图的最小生成树。
其基本思想是从图中的所有边中选择权值最小的边,且保证不构成回路,重复这个过程直到所有的顶点都已经联通。
通过这种方式,最终得到的就是图的最小生成树。
算法的具体步骤可以分为以下几个部分:- 将图中的所有边按照权值进行排序- 依次考虑所有的边,若当前边的两个顶点不属于同一连通分量,则将其加入最小生成树中- 重复上述步骤直到所有的顶点都已经联通2. 算法应用克鲁斯卡尔算法在实际生活中有着广泛的应用。
以通信网络建设为例,假设我们需要在若干个城市之间铺设光纤网络,我们希望在网络总成本最低的前提下建立通信链路。
这时候,我们可以将城市看作图的顶点,城市之间的光缆看作边的权值,然后利用克鲁斯卡尔算法求解最小生成树,就可以得到一个在总成本最低的情况下连接所有城市的方案。
3. 个人理解对于我个人而言,克鲁斯卡尔算法是一种非常优雅的算法。
它简单而高效地解决了一个看似复杂的问题,展现了计算机科学中贪心策略的魅力。
在学习和了解这一算法的过程中,我深刻体会到了算法设计的巧妙以及数学结构在计算机科学中的重要性。
我也意识到算法并不仅仅是理论上的概念,它们在实际生活中有着广泛的应用,并对我们的生活产生着深远的影响。
在本文中,我对克鲁斯卡尔算法的原理和应用进行了深入的探讨,希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一算法。
通过分析算法的原理和应用,我相信读者们将对克鲁斯卡尔算法有更深入的理解,并能够在实际问题中灵活运用这一算法。
希望本文能够为读者们带来一些启发和帮助,让我们一起探索和学习计算机科学的奥秘吧!克鲁斯卡尔算法的应用广泛,不仅仅局限于通信网络建设,还涉及到诸如城市规划、交通规划、电力系统设计等领域。
第二十七讲--无向树
图 8.6―3
4
二、生成树
下面研究图G关于给定生成树T的基本回路系统与基本割集系统 之间的关系。
二、生成树
定理7:设 D={e1,e2,e3,…,ek}是一个基本割集,其 中 e1 是树枝 ,e2,e3,…,ek是生成树的弦。则 e1包 含在对应于ei(i=2,3,…,k)的基本回路中,而不包 含在任何其它的基本回路中。 举一例,以加深对定理的理解。如图8.6―4 所示,生成树是{a,b,e,h,i},其中一枝为e,包含e的 割集为{e,d,f},则由弦d决定的基本回路{a,b,e,d} 和由弦f决定的基本回路{e,h,i,f}都含有e,而其余 两个基本回路都不含e。
5. 设G=<V,E>是无向图, 若存在边子集 E`⊂E ,使得图G删除E`后所得子图 二、生成树 G-E`的连通分支数W(G- E`)>W(G); 而删除E`的任一真子集E“后所得子图G-E”的连通分支数W(GE“)=W(G), 则称E`为G的一个边割集。 若G的一个边割集中只含有一条边,则称该边为割边。
第二十七讲
讲授内容:
树
第二十七讲
树
1.无向树
无向树,森林 树的等价定义 基本结论
2.生成树
生成树 基本回路 基本割集 基本回路与基本割集的关系
讲授重点:树基本概念,等价定义,最小生成树 讲授难点:基本回路与基本割集的关系
3.最小生成树及其求解算法
取小法 去大法
一、无向树
1.无向树:连通而无简单回路的无向图称为无向树,简称树(tree)
图 8.6―1 例如图8.6―1(a)、(b)所示的都是树,(c)所示的是森林。
一、无向树
证明:轮转法
一、无向树 证明: 1) 树的定义 连通而无简单回路
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
求无向连通图的生成树
一、实验目的
⑴掌握图的逻辑结构
⑵掌握图的邻接矩阵存储结构
⑶验证图的邻接矩阵存储及其遍历操作的实现二、实验内容
(1)建立无向图的邻接矩阵存储
(2)对建立的无向图,进行深度优先遍历(3)对建立的无向图进行广度优先遍历
三、设计与编码
(1)本实验用到的理论知识
(2)算法设计
(3)编码
pp : Defines the entry point for the console application.
=key){k=i;flag=1;break;};
return flag;
};
int Graph::CreateGraph(int vertexnum,Edge *E,int edgenum) { i;
A[i].tag=0;
A[i].=A[i].=A[i].tag=0;
A[i].first=0;
};
VertexLen=vertexnum;
ead;rear=E[i].Tail;
if(!Find(rear,k) || !Find(front,k))return(-2);eight;
q->next=A[rear].first;
A[rear].first=q;
A[rear].++;
A[front].++;
if(Type>2)
{
q=new Enode;
if(!q)return(0);
q->key=rear;
q->next=A[front].first;
A[front].first=q;
q->Weight=E[i].weight;
};
};
return(1);
};
void Graph::Dfs(int key,int &flag)
{
ag=flag;
if(Type>2)cout<<"连通分量="<<flag<<'\t';
cout<<"顶点键值="<<key<<endl;
for(w=A[key].first;w ;w=w->next)
if(!A[w->key].tag)Dfs(w->key,flag);
};
int Graph::DfsDravers(int v0) ..\n";
if(!(Find(v0,k))){cout<<"find=="<<k<<endl;return(0);};ag){
if(Type>2)cout<<"---连通分量"<<componentnum<<"---"<<endl;
Dfs(i,componentnum);componentnum++;
};
};
return(componentnum-1);
};
int Graph::Bfs()
{
int i,comp=1; .
struct queue{int key;queue * next;};
Enode *pe;
queue *f,*r,*q,*p=new queue;
if(!p)return(-1); ag=0;ag==0)
{
A[i].tag=comp;
p->next=0;
f->next=p;r=p;
while(f->next)irst;
while(pe)
{
if(A[pe->key].tag==0)
{ag=comp;
p->key=pe->key;
p->next=0;
if(f==r)f->next=p;
r->next=p;r=p;
};
pe=pe->next;
};ag=A[i].; ag==0){que[r++]=i;A[i].tag=-1;loop=0;};
if(loop)return(0);
while(f<r)
{irst;pe;pe=pe->next)
{
A[pe->key].tag--;
if(A[pe->key].tag==0){que[r++]=pe->key;A[pe->key].tag=-1;};
};
};
num=r;
if(r<VertexLen)return(0);ead=1;b[0].Tail=0;b[0].weight=1;
b[1].Head=3;b[1].Tail=1;b[1].weight=1;
b[2].Head=0;b[2].Tail=2;b[2].weight=1;
b[3].Head=1;b[3].Tail=4;b[3].weight=1;
b[4].Head=4;b[4].Tail=2;b[4].weight=1;
b[5].Head=4;b[5].Tail=3;b[5].weight=1;
ead=0;b[6].Tail=1;b[6].weight=1;
b[7].Head=1;b[7].Tail=3;b[7].weight=1;
b[8].Head=2;b[8].Tail=0;b[8].weight=1;
b[9].Head=4;b[9].Tail=1;b[9].weight=1;
b[10].Head=2;b[10].Tail=4;b[10].weight=1;
b[11].Head=3;b[11].Tail=2;b[11].weight=1;
//b=={{1,0,1},{3,1,1},{0,2,1},(1,4,1},{4,2,1},{2,3,1}};
(num,b,6);
if()>2)cout<<"连通分量数="<<(2)<<endl;
cout<<"--------------"<<endl;
if()>2)cout<<"连通分量数="<<()<<endl;
if()<3)
{
if(stack,temp))cout<<"拓扑排序成功!\n";
else cout<<"该图有环!\n";
cout<<"部分或全部的拓扑序列为:(顶点总数="<<()<<")\n";
for(int i=0;i<temp;i++)cout<<stack[i]<<'\t';cout<<"已排序顶点数目="<<temp<<endl;
};
delete[5]stack;
//printf("Hello World!\n");
return 0;
}
四、运行与调试
运行结果为:
该图有环!
部分或全部拓扑序列为:<顶点总数=5>
2 0 已排序顶点数目=2
Press any key to continue
五、总结与心得。