2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A版必修1
高中数学函数的基本性质教案人教版必修1A
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大〔小〕值第一课时 函数的单调性三维目标定向〖知识与技能〗〔1〕结合具体函数，理解函数的单调性及其几何意义；〔2〕能利用函数图象理解和研究函数的单调性；〔3〕能利用定义判定一些简单函数的单调性。
〖过程与方法〗借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的数学思想，学会运用概念进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好思维习惯。
〖情感、态度与价值观〗渗透由具体到抽象的认识，通过合作交流，培养学生反思学习、善于思考的习惯。
教学重难点〖重点〗函数单调性的概念。
〖难点〗熟练运用定义判断、证明函数的单调性。
教学过程设计一、问题情境设疑引例：画出一次函数x x f =)(和二次函数2)(x x f =的图象。
〔几何画板〕问题：以上两个图象有什么特征？——“上升〞、“下降〞上升：随着x 的增大，相应的f (x )也增大；下降：随着x 的增大，相应的f (x )减小。
二、核心内容整合1、函数的单调性的概念：问题：如何用数学语言描述“随着x 的增大，相应的f (x )也增大〞？——学生探究。
增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) < f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。
学生类比得出减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1 , x 2，当x 1 < x 2时，都有f (x 1) > f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数。
〖知识提炼〗同增异减注意：〔1〕函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 〔2〕必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当12x x <时，总有12()()f x f x <或12()()f x f x >，分别是增函数和减函数。
高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案_11
教学准备
1. 教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的
纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发
学生学习的积极性．
2. 教学重点/难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什
么特征？
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法②换元法③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？。
高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案_5
教学准备
1. 教学目标
函数奇偶性的性质
2. 教学重点/难点
函数奇偶性的性质
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
1、函数奇偶性的几个性质：
（1）对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
（6）可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函
数又是偶函数、非奇非偶函数。
2、关于奇偶性的几个命题的判定
命题1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充
分条件。
此命题正确。
如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。
一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数。
2019-2020学年新人教A版必修一 函数的性质 教案
函数的性质课程目标知识提要函数的性质函数的性质主要包括函数的单调性、函数的奇偶性以及函数的周期性，同时还包括建立在函数单调性基础上得函数的最值，以及建立在函数的奇偶性基础上的函数的对称性．函数的单调性∙增函数一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f x1<f x2，那么就说函数f x在区间D上是增函数（increasing function）．∙减函数一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f x1>f x2，那么就说函数f x在区间D上是减函数（decreasing function）．∙单调性与单调区间如果函数y=f x在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f x在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D称为y=f x的单调区间．∙函数单调性的证明函数单调性的证明通常利用定义或计算函数的平均变化率ΔyΔx =f x1−f x2x1−x2进行．∙复合函数的单调性判断若函数u=g x在区间a,b上是单调函数，函数y=f u在区间g a,g b或 g b,g a上也是单调函数，那么复合函数y=f g x在区间a,b上是单调函数．当函数u=g x与函数y=f u的单调性一致时，函数y=f g x是单调递增函数；函数u=g x与函数y=f u的单调性不一致时，函数y=f g x是单调递减函数．复合函数的单调性判断法则可以简记为：“同增异减”．函数的最大（小）值∙函数的最大值一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x⩽M；②存在x0∈I，使得f x0=M．那么，我们称M是函数y=f x的最大值（maximum value）．∙函数的最小值一般地，设函数y=f x的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f x⩾M；②存在x0∈I，使得f x0=M．那么，我们称M是函数y=f x的最小值（minimum value）．函数的奇偶性∙奇函数一般地，若函数y=f x的定义域I关于原点对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f−x=−f x，那么函数y=f x称为奇函数（even function）．∙偶函数一般地，若函数y=f x的定义域I关于原点对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f−x=f x，那么函数y=f x称为偶函数（odd function）．∙奇函数和偶函数的图象性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．（3）由于奇函数f x的图象关于原点对称，当f x的定义域包含原点时，必有f0= 0．∙函数的奇偶性与单调性的关系一般地，若f x为奇函数，则f x在a,b和−b,−a上具有相同的单调性；若f x为偶函数，则f x在a,b和−b,−a上具有相反的单调性．函数的对称性∙函数图象关于直线x=a对称若函数y=f x的定义域I关于a对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f x=f2a−x，那么函数y=f x的图象关于直线x=a对称．此时直线x=a是函数y=f x的对称轴．∙二次函数图象的对称性对称．也即二次函数二次函数f x=ax2+bx+c a≠0的图象关于直线x=−b2af x=ax2+bx+c a≠0图象的对称轴是x=−b．2a∙函数图象关于点a,b对称若函数y=f x的定义域I关于a对称，且对定义域I内的任意一个自变量x，都有f x=2b−f2a−x，那么函数y=f x的图象关于点a,b对称．函数的周期性∙函数的周期性如果存在非零实数T，使得对函数y=f x定义域I内的任意一个自变量x，都有f x+T=f x，那么称函数y=f x是周期为T的函数，此时称T为函数y=f x的一个周期．∙最小正周期如果一个周期函数的所有正周期中存在最小值，就称这个值为该函数的最小正周期．∙函数的对称性与周期性函数的对称性引起的周期性a≠b：①如果函数y=f x的图象关于直线x=a对称，且关于直线x=b对称，那么y=f x是周期为2∣a−b∣的函数．②如果函数y=f x的图象关于点a,0对称，且关于点b,0对称，那么y=f x是周期为2∣a−b∣的函数．③如果函数y=f x的图象关于直线x=a对称，且关于点b,0对称，那么y=f x是周期为4∣a−b∣的函数．精选例题函数的性质1. 设f x是R上的奇函数，且当x∈0,+∞时，f x=x1+x3，那么当x∈−∞,0时，f x=．【答案】x1−x32. 已知函数f x在R上是奇函数，当x>0时，f x=x2+4x，则x<0时f x的解析式．【答案】f x=−x2+4x【分析】当x<0时，−x>0又因为当x>0时，f x=x2+4x，所以f−x=−x2−4x=x2−4x，又因为函数f x是奇函数，所以f x=−f−x=−x2−4x=−x2+4x，综上所述x<0时，f x=−x2+4x．3. 函数f x=∣2−x∣的单调递增区间是，单调递减区间是.【答案】2,+∞；−∞,24. 已知f x是定义在−2,0∪0,2上的奇函数，当x>0时，f x的图象如右图所示，那么f x的值域是．【答案】−3,−2∪2,35. 已知f x是定义在R上的偶函数，并满足f x+2=−f x，当2⩽x⩽3，则f x=x，=．则f −112【答案】①③6. 已知函数f x是定义域为R的奇函数，当x>0时，f x=x2−2x．(1)求出函数 f x 在 R 上的解析式；【解】 由于函数 f x 是定义域为 R 的奇函数， 则 f 0 =0．设 x <0，则 −x >0． 因为 f x 是奇函数， 所以 f −x =−f x ，所以 f x =−f −x =− −x 2−2 −x =−x 2−2x ．综上，f x = x 2−2x ,x >00,x =0−x 2−2x .x <0(2)画出函数 f x 的图象．【解】 图象如图．7. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=3x4+1x2；【解】函数定义域为 x∣x∈R,且x≠0，f−x=3⋅−x4+1−x2=3x4+1x2=f x所以，f x=3x4+1x是偶函数(2)x−11+x1−x；【解】1+x1−x⩾0，解得−1⩽x⩽1又因为1−x≠0，所以x≠1，所以，函数定义域为x∈−1,1不关于原点对称所以，x−11+x1−x不是奇函数，也不是偶函数(3)f x=x−1+1−x；【解】f x=x−1+1−x的定义域为x∣x=1所以函数f x=0x=1定义域不关于原点对称，所以f x=x−1+1−x既不是奇函数也不是偶函数． (4)f x=2−1+1−x2【解】f x= x2−1+1−x2的定义域为1−x2⩾0 x2−1⩽0解得x=±1所以函数变形为f x=0x=±1所以f x=2−1+1−x2既是奇函数又是偶函数．8. 讨论函数f x=x+axa>0的单调性．【解】函数的定义域为x∣x≠0．任取x1,x2∈x∣x≠0，且x1<x2，则f x1−f x2=x1+ax1−x2−ax2=x1−x2x1x2−ax1x2=x1−x21−ax1x2.令x1=x2=x0，1−ax02=0可得到x0=±a，这样就把f x的定义域分为 −∞,−a ， −a,0，0,a ，a,+∞ 四个区间，下面讨论它的单调性．若0<x1<x2⩽a，则x1−x2<0，0<x1x2<a，所以x1x2−a<0．所以f x1−f x2=x1+ax1−x2−ax2=x1−x2x1x2−ax1x2>0，即f x1>f x2，所以f x在0,a 上单调递减．同理可得，f x在a,+∞ 上单调递增，在 −∞,−a 上单调递增，在 −a,0上单调递减．故函数f x在 −∞,−a 和a,+∞ 上单调递增，在 −a,0和0,a 上单调递减．9. 用定义法证明f x=1x+1在−1,+∞上是减函数．【解】设x1，x2∈−1,+∞且x1<x2，则f x1−f x2=1x1+1−1x2+1=x2−x1x1+1x2+1，因为x1,x2∈−1,+∞，所以x1+1>0，x2+1>0，所以x1<x2．所以x2−x1>0，所以x2−x1x1+1x2+1>0，即f x1>f x2，所以f x=1x+1在−1,+∞上是减函数．10. 已知函数f x=2x −xα，且f4=−72．(1)求α的值；【解】因为f4=−72，所以24−4α=−72，所以α=1．(2)判断f x在0,+∞上的单调性，并给予证明．【解】f x=2x −x在0,+∞上是减函数．证明如下：设任意x1，x2∈0,+∞，且x1<x2．则f x1−f x2=2x1−x1−2x2−x2=x2−x1⋅2x1x2+1.因为0<x1<x2，所以x2−x1>0，2x1x2+1>0．所以f x1−f x2>0，即f x1>f x2，故f x=2x−x在0,+∞上是减函数．函数的单调性1. 如果函数f x=x2+2a−1x+2在4,+∞上是增函数，则实数a的取值范围为．【答案】−3,+∞2. 函数y=log2x2+4x−12的单调递增区间是．【答案】2,+∞3. 函数f x=ax+1x+2（a为常数）在−2,2内为增函数，则实数a的取值范围是．【答案】a>12【分析】函数f x=ax+1x+2=a+1−2ax+2，由于f x存在增区间，所以1−2a<0，即a>12．4. 若函数y=ax和y=−bx 在区间0,+∞上都是减函数，则函数y=bax+1在−∞,+∞上的单调性是．（填“增函数”“减函数”或“非单调函数”）【答案】增函数5. 已知函数f x=x2+2a−1x+2在区间−∞,3上为减函数，求实数a的取值范围为．【答案】a⩽−26. 已知a>0，函数f x=x+axx>0，证明：函数f x在0,a 上是减函数，在a,+∞ 上是增函数．【解】设x1，x2是任意两个正数，且0<x1<x2，则f x1−f x2= x1+ax1− x2+ax2=x1−x2x1x2x1x2−a.当0<x1⩽x2⩽a时，0<x1x2<a，又x1−x2<0，所以f x1−f x2>0，即f x1>f x2，所以函数f x在0,a 上是减函数；当a⩽x1<x2时，x1x2>a，又x1−x2<0，所以f x1−f x2<0，即f x1<f x2，所以函数f x在a,+∞ 上是增函数．7. 设函数f x=x+2x−1．(1)用定义证明函数f x在区间1,+∞上是单调递减函数；【答案】略．【解】任取x1，x2∈1,+∞，且设x1<x2，则f x1−f x2=x1+2x1−1−x2+2x2−1=3x2−x1x1−1x2−1，因为1<x1<x2，所以x1−1>0，x2−1>0，x2−x1>0，所以3x2−x1x1−1x2−1>0，即f x1>f x2，所以f x=x+2x−1在1,+∞上是单调减函数．(2)若f t2−t+2−2<0，求实数t的取值范围．【答案】t>2或t<−1．【解】解法一：因为f t2−t+2−2=t2−t+2+2t2−t+2−1−2=−t2+t+2 2=−1+32,则f t2−t+2−2<0⇔−1+3t2−t+1<0,即3t2−t+1<1.因为t2−t+1>0，所以32<1⇔t2−t+1>3,即t2−t−2>0.解得t>2或t<−1．解法二：由题意可知f4=2，所以f t2−t+2−2<0⇔f t2−t+2<f4.又因为t2−t+2>1，由（1）可得t2−t+2>4，即t2−t−2>0，解得t>2或t<−1． 8. 已知函数f x=3x，f a+2=18，g x=λ⋅3ax−4x的定义域为0,1．(1)求a的值；【解】由已知得3a+2=18⇒3a=2⇒a=log32．(2)若函数g x在区间0,1上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．【解】方法一：由（1）得g x=λ⋅2x−4x，设0⩽x1<x2⩽1，因为g x在区间0,1上是单调减函数，所以g x1−g x2=2x1−2x2λ−2x2−2x1>0恒成立，即λ<2x2+2x1恒成立．由于2x2+2x1>20+20=2，所以，实数λ的取值范围是λ⩽2．方法二：由（1）得g x=λ⋅2x−4x，因为g x在区间0,1上是单调减函数，所以有gʹx=λln2⋅2x−ln4⋅4x=ln2−2⋅2x2+λ⋅2x⩽0成立．设2x=u∈1,2，上式成立等价于−2u2+λu⩽0恒成立．因为u∈1,2，只需λ⩽2u恒成立，所以实数λ的取值范围是λ⩽2．9. 判断函数f x=x−2x+1x⩾0的单调性，并求出值域．【解】f x=x−2x+1=x+1−3x+1=1−3x+1，设0⩽x1⩽x2，则f x1−f x2=1−3x1+1−1−3x2+1=3x2+1−3x1+1=3x1−x2x1+1x2+1,因为0⩽x1⩽x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0，于是f x1−f x2<0，即f x1<f x2，故函数f x=x−2x+1在0,+∞上为增函数．f x min=f0=−2，无最大值．画出函数的大致图象，如图所示，知函数f x=x−2x+1x⩾0的值域为−2,1．10. 已知f x=xx−ax≠a．(1)若a=−2，试证f x在−∞,−2内单调递增；【解】证明：任设x1<x2<−2，则f x1−f x2=2x1−x2x1+2x2+2．(2)若a>0且f x在1,+∞内单调递减，求a的取值范围．【解】任设1<x1<x2，则f x1−f x2=a x2−x1x1−a x2−a．要使f x1−f x2>0恒成立，所以0<a⩽1．函数的最大（小）值1. 函数f x=2xx+1在1,2上的最大值和最小值分别是．【答案】43，1【分析】f x=2xx+1=2x+1−2x+1=2−2x+1在1,2上是增函数，所以f x max=f2=43，f x min=f1=1．2. 已知x，y均为正数，且xy=2x+y−1，则x+y的最小值为．【答案】5【分析】设x+y=t>0，则y=t−x，代入xy=2x+y−1有x2+1−t x+t−1= 0，此方程有解，则Δ=t2−6t+5⩾0，所以x+y的最小值为5．3. 函数f(x)=sin2x+3cos x−34 x∈0,π2的最大值是．【答案】1【分析】f(x)=sin2x+3cos x−34=−cos2x+3cos x+14，设cos x=t，因为x∈0,π2，所以t∈[0,1]．故f(x)的最大值即为g(t)=−t2+3t+14的最大值，因为t∈[0,1]，所以g(t)在对称轴t=32处取得最大值为1．4. 已知0<x<2，求函数y=x8−3x的最大值．【答案】1635. 已知0<x<1.5，则函数y=4x3−2x的最大值为．【答案】92【分析】因为y=4x3−2x=−8x2+12x=−8 x−342+92，所以当x=34时，函数取得最大值92．(1)用函数单调性的定义讨论函数f x=x+axa>0在0,+∞上的单调性；【解】函数单调性的定义可证明：当x∈0,a 时，f x在0,a 上单调递减；当x∈a,+∞ 时，f x在a,+∞ 上单调递增．证明略．(2)设函数f x=x+axa>0在0,2上的最小值为g a，求g a的解析式．【解】由（1）得，当a⩾2时，f x在0,2上单调递减，f x在0,2上的最小值为f2；当a<2时，f x在0,a 上单调递减，在a,2上单调递增，从而f x在0,2上的最小值为f a ．∴g a=2+a2,a⩾4,2a,0<a<4.7. 设函数f x=x+ax+1，x∈0,+∞． (1)当a=2时，求函数f x的最小值；【解】 把 a =2 代入 f x =x +a x +1，得 f x =x +2x +1= x +1 +2x +1−1，∵x ∈ 0,+∞ ，∴x +1>0，2x +1>0，∴x +1+2x +1⩾2 2．当且仅当 x +1=2x +1，即 x = 2−1 时，f x 取最小值．此时，f x min =2 2−1． (2)当 0<a <1 时，求函数 f x 的最小值．【解】 当 0<a <1 时，f x =x +1+a x +1−1，若 x +1+a x +1⩾2 a ，则当且仅当x +1=ax +1 时取等号，此时 x = a −1<0（不合题意），因此，上式等号取不到．故用以下方法求函数最值．设 x 1>x 2⩾0，则 f x 1 −f x 2 =x 1+ax1+1−x 2−ax 2+1= x 1−x 2 1−ax 1+1 x 2+1，∵x 1>x 2⩾0，∴x 1−x 2>0，x 1+1>1，x 2+1⩾1， ∴ x 1+1 x 2+1 >1，而 0<a <1，∴ax 1+1x 2+1<1，∴f x 1 −f x 2 >0， ∴f x 在 0,+∞ 上单调递增， ∴f x min =f 0 =a ．8. 已知 a ∈R ，函数 f x =x ∣x −a ∣，(1)当 a =2 时，写出函数 y =f x 的单调递增区间；【解】 当 a =2 时，f x =x ∣x −2∣= x x −2 ,x ⩾2x 2−x ,x <2由图象可知，单调递增区间为 −∞,1 ， 2,+∞ ．(2)当 a >2 时，求函数 y =f x 在区间 1,2 上的最小值．【解】 因为 a >2，x ∈ 1,2 ，所以 f x =x a −x =−x 2+ax =− x −a 2 2+a 24当 1<a2⩽32，即 2<a ⩽3 时，f x min =f 2 =2a −4当 a2>32，即 a >3 时，f x min =f 1 =a −1所以 f x min = 2a −4,2<a ⩽3a −1,a >3．9. 已知 x ⩾3，求 y =x +4x 的最小值．【解】 设 f x =x +4x ，且 x 2>x 1⩾3，则f x 2 −f x 1 =x 2+4x 2− x 1+4x 1= x 2−x 1 x 1x 2−4 12>0.所以 f x 2 −f x 1 >0，即 f x 2 >f x 1 ．从而 f x =x +4x 在 3,+∞ 上单调递增，所以f x ⩾f 3 =13,故当 x =3 时，函数 y =x +4x 取到最小值 133．10. 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时，f x =x −x 2． (1)求函数 f x 的解析式；【解】 因为 f x 是定义在 R 上的奇函数， 所以 f −0 =−f 0 ，解得 f 0 =0；令 x <0，则 −x >0，从而 f x =−f −x =− −x −x 2 =x +x 2．因此，f x = x −x 2,x ⩾0,x +x 2,x <0.(2)求函数 f x 在区间 a ,a +1 上的最大值．【解】 画出函数 f x = x −x 2,x ⩾0x +x 2,x <0的图象，两个分段函数图象的对称轴分别是x =−12 和 x =12．注意到区间 a ,a +1 的长度为 1．当 a <−1 时，a +1<0，此时 f x =x +x 2，则 f x max =f a =a +a 2；当 −1⩽a <−12时，−12⩽a +1<12，则 f x max =f a +1 = a +1 − a +1 2=−a −a 2；当 −12⩽a ⩽12 时，12⩽a +1⩽32，则 f x max =f 12 =14；当 a ⩾12 时，a +1⩾32，此时 f x =x −x 2，则 f x max =f a =a −a 2， 所以，函数 f x 在区间 a ,a +1 上的最大值为g a = a +a 2,a <−1,−a −a 2,−1⩽a <−1,1,−1⩽a ⩽1,a −a 2,a >12.函数的奇偶性1. 设f x是定义在R上的奇函数，且f3+f−2=2，则f2−f3 = ．【答案】−22. 函数f x=ax3+bx，若f−2=1，则f2=．【答案】−13. 已知f x=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为a−1,2a，则函数y=f x的解析式为．【答案】f x=13x2+1【分析】b=0,a−1+2a=0,所以a=13,b=0,所以f x=13x2+1．4. 若奇函数y=f x x∈R且x≠0，当x∈0,+∞时，f x=x−1，那么使f x−1<0的x的取值范围为．【答案】−∞,0∪1,25. 设f x是定义在R上的奇函数，且x>0时，f x=x2+1，则当x<0时，f x=．【答案】−x2−1【分析】设x<0，则−x>0，因为x>0时，f x=x2+1，所以f−x=−x2+1=x2+1，因为f x是定义在R上的奇函数，所以f x=−f−x=−x2−1．6. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=5x2+2x+1；【解】函数的定义域为R．f−x=5−x2+2−x+1=5x2−2x+1≠f x，又f−x≠−f x．所以函数f x=5x2+2x+1既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f x=x3+5x13；【解】函数的定义域为R．f−x=−x3+5−x13=−x3−5x13=− x3+5x13=−f x.所以函数f x=x3+5x13为奇函数．(3)f x=x−2x+2x−2；【解】由x+2x−2⩾0，解得x>2或x⩽−2，即函数的定义域为−∞,−2∪2,+∞．因为此定义域不关于原点对称，所以函数f x=x−2⋅x+2x−2既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f x=2+ x2−1；【解】由1−x2⩾0,x2−1⩾0,解得x=1或x=−1，即函数的定义域为−1,1，且f x=0，所以f−x=f x=−f x=0，所以函数f x=2+ x2−1既是奇函数，又是偶函数．(5)f x=x2+2x,x<0 x2−2x,x⩾0；【解】解法一：不妨设x>0，则−x<0，那么有f−x=−x2+2−x=x2−2x，f x=x2−2x，即f−x=f x，又f0=0=f−0，所以对任意x∈R，都有f−x=f x，所以函数f x=x2+2x,x<0x2−2x,x⩾0是偶函数．解法二：可以画出函数f x的示意图（如图所示），又因为这个分段函数图象的两段都是开口大小相同的二次函数图象的一部分，可以知道函数f x=x2+2x,x<0x2−2x,x⩾0是偶函数．(6)f x=x+1,x⩾0 x−1,x<0．【解】函数的定义域为R．f x=x+1,x⩾0 x−1,x<0解法一：因为f0=1≠0，所以函数f x不是奇函数；又因为f1=2，f−1=−2，即f−x=f x不能恒成立，所以函数f x不是偶函数．所以函数f x既不是奇函数，也不是偶函数．解法二：可以画出函数f x的示意图（如图所示），易知函数f x的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称．所以函数f x既不是奇函数，也不是偶函数．7. 已知函数f x=x2−2x，设g x=1x⋅f x+1．(1)求函数g x的表达式及定义域；【解】由f x=x2−2x，得f x+1=x2−1．所以g x=1x ⋅f x+1=x2−1x．定义域为 x∣x∈R且x≠0．(2)判断函数g x的奇偶性，并证明．【解】结论：函数g x为奇函数．证明：由已知，g x的定义域为x∣x≠0，又g−x=−x2−1−x=−g x，∴函数g x为奇函数．8. 已知f x是定义在R上的奇函数，当x⩾0时，f x=2x−1．(1)求f3+f−1；【解】因为f x是奇函数，所以 f 3 +f −1 =f 3 −f 1 =23−1−2+1=6． (2)求 f x 的解析式；【解】 设 x <0，则 −x >0， 所以 f −x =2−x −1， 因为 f x 是奇函数，所以 f x =−f −x =−2−x +1．所以 f x = 2x −1,x ⩾0−2−x +1,x <0．(3)当 x ∈A 时，f x ∈ −7,3 ，求区间 A ．【解】 结合函数图象可得 f x 在 R 上单调递增，且 f 0 =0． 当 x <0 时，−7⩽−2−x +1<0，解得 −3⩽x <0； 当 x ⩾0 时，0⩽2x −1⩽3，解得 0⩽x ⩽2． 所以区间 A 为 −3,2 ．9. 已知函数 f x =k ⋅a −x （k ，a 为常数，a >0 且 a ≠1）的图象过点 A 0,1 ，B 3,8 ． (1)求实数 k ，a 的值；【解】 把 A 0,1 ，B 3,8 的坐标代入 f x =k ⋅a −x ，得k ⋅a 0=1,k ⋅a −3=8,解得 k =1，a =12．(2)若函数 g x =f x −1f x +1，试判断函数 g x 的奇偶性，并说明理由．【解】 由（1）知 f x =2x ，所以g x =f x −1 =2x −1x .此函数的定义域为 R ，又 g −x =2−x −12+1=2x ⋅2−x −2x 2⋅2+2=−2x −12+1=−g x ，所以函数 g x 为奇函数10. 判断下列函数的奇偶性并说明理由： (1) f x =1+a 2x1−a 2x a >0且a ≠1 ；【解】 函数的定义域为 −∞,0 ∪ 0,+∞ ．∵f −x =1+a −2x1−a −2x=1+a −2x ⋅a 2x −2x 2x =a 2x +12x=−f x ,∴函数f x=1+a2x1−a为奇函数．(2) f x=x−1+1−x；【解】由x−1⩾0,1−x⩾0,得x=1，∴函数的定义域为1．由于函数的定义域不关于原点对称，∴f x=x−1+1−x为非奇非偶函数． (3) f x=x2+5∣x∣．【解】函数的定义域为R，且f−x=−x2+5∣−x∣=x2+5∣x∣=f x,∴函数f x=x2+5∣x∣为偶函数．函数的对称性1. 已知函数f x=1x2+1，则f log32+f log914=．【答案】 1【分析】f x+f−x=12+1+12+1=12+1+2x2+1=1，log914=log314log39=−log32，所以f log32+f log914=1．2. 四位同学在研究函数f x=x1+∣x∣x∈R时，分别给出下面四个结论：①函数f x的图象关于y轴对称；②函数f x的值域为−1,1；③若x1≠x2，则一定有f x1≠f x2；④若规定f1x=f x，f n+1x=f f n x，则f n x=x1+n∣x∣对任意n∈N∗恒成立．你认为上述四个结论中正确的有．【答案】②③④3. 函数y=∣x−a∣的图象关于直线x=3对称．则a=．【答案】34. 对于任意x∈R，函数f x满足f x=f4−x，如果方程f x=0恰有2006个根，则这些实根之和为．【答案】4012【分析】因为f x=f4−x，所以f x的图象关于直线x=2对称，所以f x=0的根之和为4×20062=4012．5. 函数f x对一切实数x都满足f12+x =f12−x ，并且方程f x=0有三个实根，则这三个实根的和为．【答案】326. 若函数f x对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足f x+f2a−x=2b，则称f x关于点a,b对称，已知函数f x=x 2+mx+mx的图象关于0,1对称，求实数m的值．【解】由题知，若f x的图象关于点a,b对称，则f x+f2a−x=2b．因为f x的图象关于点0,1对称，所以f x+f−x=2．所以x2+mx+mx +x2−mx+m−x=2，所以x2+mx+m−x2−mx+mx =2，所以m=1．7. 已知函数f x的图象与函数 x=x+1x+2的图象关于点A0,1对称．(1)求f x的解析式；【解】设f x上的任意一点为x,y，则点x,y关于A0,1对称点为−x,2−y，代入 x=x+1x +2，得2−y=x−1x+2，即y=x+1x，所以f x=x+1x．(2)若g x=f x⋅x+ax，且g x在区间0,2上为减函数，求实数a的取值范围．【解】g x=f x⋅x+ax= x+1x x+ax=x2+ax+1，对称轴为x=−a2，要使g x在区间0,2上为减函数，则−a2⩾2，即a⩽−4．所以实数a的取值范围a⩽−4．(1)写出函数y=x2−2x的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=x2−2x的单调递减区间是−∞,1，单调递增区间是1,+∞；其图象的对称轴是直线x=1；区间−∞,1和区间1,+∞关于直线x=1对称，函数y=x2−2x在对称轴两侧的单调性相反．(2)写出函数y=∣x∣的单调区间及其图象的对称轴，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=∣x∣的单调减区间为−∞,0，增区间为0,+∞，图象关于直线x=0对称，在其两侧单调性相反．(3)定义在−4,8上的函数y=f x的图象关于直线x=2对称，y=f x的部分图象如图所示，请补全函数y=f x的图象，并写出其单调区间，观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点？【解】函数y=f x,x∈−4,8的图象如图所示．函数y=f x的单调递增区间是−4,−1，2,5；单调递减区间是5,8，−1,2；区间−4,−1和区间5,8关于直线x=2对称．区间−1,2和区间2,5关于直线x=2对称，函数y=f x在对称轴两侧的对称区间内的单调性相反．(4)由以上你发现了什么结论？（不需要证明）【解】发现结论：如果函数y=f x的图象关于直线x=m对称，那么函数y=f x在直线x=m两侧对称区间内的单调性相反．9. 设二次函数y=f x满足f x−2=f−x−2，且图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段的长为22，求y=f x的解析表达式，并求其单调区间．【解】二次函数y=f x满足f x−2=f−x−2，∴y=f x的对称轴为x=−2．又函数图象在x轴上截得的线段的长为22，∴函数图象与x轴的交点为 −2+0和 −2−0．故设f x=a x+2−2 x+2+2,由函数图象在y轴上的截距为1，得f0=1．∴a=12，∴y=f x的解析表达式为f x=12x2+2x+1．函数在−∞,−2上单调递减，函数在−2,+∞上单调递增．10. 设函数f x=x x−1x−a a∈R，f x的两个极值点为A α,fα，B β,fβ，线段AB的中点为M．(1)如果函数f x为奇函数，求实数a的值；当a=2时，求函数f x图象的对称中心；【解】解法 1：因为f x为奇函数，所以f−1=−f1得−1×−1−1−1−a= 0，故a=−1．当a=−1时，f x=x x−1x+1=x x2−1，有f−x=−f x，则f x为奇函数．当a=2时，f x=x x−1x−2，该图象可由奇函数f x=x+1x x−1的图象向右平移一个单位得到，所以函数f x=x x−1x−2图象的对称中心为1,0．解法2：f x=x3−1+a x2+ax，f−x=−f x恒成立，即−x3−1+a x2−ax=x3−1+a x2+ax解得a=−1．以下同解法1．(2)如果点M在第四象限，求实数a的取值范围；【解】因为fʹx=3x2−21+a x+a，令fʹx=3x2−21+a x+a=0，则α，β为方程3x2−21+a x+a=0的两个实根．所以α+β=21+a3，αβ=a3．fα+fβ2=12α3−1+aα2+aα+β3−1+aβ2+aβ=12α+βα+β2−3αβ−a+1α+β2−2αβ+aα+β=−2a+1327+a a+13=−a+1a−22a−127.因为点Mα+β2,fα+fβ2在第四象限，所以Δ=41+a2−12a>0, a+1>0,a+12a−1a−2>0,解得a>2．即实数a的取值范围是2,+∞．(3)证明：点M也在函数f x的图象上，且M为函数f x图象的对称中心．【解】由（2）得点M1+a3,−a+1a−22a−127又f1+a3=1+a31+a3−11+a3−a=1+a3⋅a−23⋅1−2a3=−a+1a−22a−127,所以点M也在函数f x的图象上．证明M为函数f x图象的对称中心有两种证法：证法1：设P x0,y0为函数f x的图象上任意一点，P x0,y0关于M的对称点为Q21+a3−x0,−2a+1a−22a−127−y0．而f21+a3−x0=21+a3−x03−1+a21+a3−x02+a21+a3−x0=−a+1a−22a−127−x03+a+1x02−ax0=−2a+1a−22a−127−y0.即Q21+a3−x0,−2a+1a−22a−127−y0在函数f x=x x−1x−a的图象上．所以M为函数f x的对称中心．证法2设g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127= x+1+a3 x+1+a3−1 x+1+a3−a +a+1a−22a−127= x+1+a3 x+a−23x+1−2a3+a+1a−22a−127=x3+1+a3+a−23+1−2a3x2+1+a3⋅a−23+a−23⋅1−2a3+1+a3⋅1−2a3x+1+a3⋅a−23⋅1−2a3+a+1a−22a−127=x3−13a2−a+1x.所以g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127为奇函数，对称中心为O0,0．把函数g x=f x+1+a3+a+1a−22a−127的图象按向量OM=1+a3,−a+1a−22a−127平移后得到函数f x的图象．所以M1+a3,−a+1a−22a−127为函数f x的对称中心．函数的周期性1. 已知定义在R上的函数f x满足f2=2−3，且对任意的x都有f x+3=1−f x，则f2015=．【答案】−2−32. 已知定义在R上的函数f x满足f2=15，且对任意的x都有f x+3=−1f x，则f8=；f2015=．【答案】15；−5【分析】由f x+3=−1f x ，得f x+6=−1f x+3=f x，故函数f x是周期为6的周期函数．故f8=f2=15，f2015=f6×335+5=f5=−1f2=−11=−5．3. 设f x是以4为周期的偶函数，且当x∈0,2时f x=x，则f7.6=．【答案】0.4【分析】f7.6=f4+3.6=f3.6=f−3.6=f−3.6+4=f0.4=0.44. 已知定义在R上的函数f x满足f x+5=−f x+2，且当x∈0,5时，f x=x，则f2008的值为．【答案】−1【分析】由f x+5=−f x+2得f x+10=−f x+5+2，∴f x+10=f x，∴f x是以10为周期的函数．故f2008=f8=−f3+2=−3+2=−1．5. 若f x是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f x+4⩽f x+4和f x+ 2⩾f x+2,且f3=4,f2007的值是．【答案】2008【分析】根据f x+2−f x⩾2,可得f x+4−f x=f x+4−f x+2+f x+2−f x⩾2+2=4,即f x+4⩾f x+4.又由已知，得f x+4⩽f x+4,所以f x+4=f x+4,因此f2007=f3+501×4=f3+500×4+4×1=f3+499×4+4×2=f3+498×4+4×3=⋯⋯=f3+0×4+4×501=4+4×501=2008.6. 已知函数f x定义在自然数集上，且对任意x∈N∗都有f x=f x−1+f x+1，其中f1=2008．问f x是不是周期函数？若是周期函数，求出它的一个周期，并求f2008．【解】由f x=f x−1+f x+1，得f x−1=f x−f x+1．所以f x+1−1=f x+1−f x+2．所以f x−1=−f x+2．同理f x=−f x+3，f x=f x+6，所以f x是以6为周期的周期函数．f2008=f4=−f1=−2008．7. 已知函数f x的定义域为−∞,+∞，且对于任意一个x的值，都有f x=f x−1+f x+1．求证：f x一定是周期函数．【解】因为f x=f x−1+f x+1 ⋯⋯①．用x+1替换①式中x，得到f x+1=f x+f x+2 ⋯⋯②．用x+2替换①式中x，得到f x+2=f x+1+f x+3 ⋯⋯③把②③联立，得f x+1=f x+f x+2f x+2=f x+1+f x+3所以f x=−f x+3，即f x+3=−f x．所以f x+6=f x+3+3=−f x+3=−−f x=f x，所以f x是周期函数．8. 已知f x为定义在区间−∞,+∞上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间2k−1,2k+1，已知x∈I0时，f x=x2．(1)求f x在I k上的解析式；【解】由题意f x是定义在R上的以2为周期的函数，由于对一切x∈R，都有f x=f x±2k k∈Z.当2k−1<x⩽2k+1时，有−1<x−2k⩽1,所以f x =f x −2k = x −2k 2,x ∈I k(2)对自然数 k ，求集合 M k = a ∣使方程 f x =ax 在 I k 上有两个不相等的实根 ．【解】 当 x ∈N 且 x ∈I k 时，由（1）的结论可得： x −2k 2=ax ， 化简有x 2− 4k +a x +4k 2=0,解方程，可得x 1=14k +a − a a +8k ,x 2=14k +a + ,所以方程在区间 I k 上恰有两个不相等实根当且仅当：a a +8k >02k −1<124k +a − a a2k +1⩾124k +a + a a 解得集合 M k 为M k = a ∣0<a ⩽12k +1.9. 已知函数 f x 是 −∞,+∞ 上的奇函数，且 f x 的图象关于 x =1 对称，当 x ∈ 0,1 时，f x =2x −1，(1)求证：f x 是周期函数；【解】 因为函数 f x 为奇函数，则 f −x =−f x ，因为函数 f x 的图象关于 x =1 对称，则 f 2+x =f −x =−f x ， 所以 f 4+x =f 2+x +2 =−f 2+x =f x ， 所以 f x 是以 4 为周期的周期函数． (2)当 x ∈ 1,2 时，求 f x 的解析式；【解】 当 x ∈ 1,2 时，2−x ∈ 0,1 ， 又 f x 的图象关于 x =1 对称，则 f x =f 2−x =22−x −1，x ∈ 1,2 ．(3)计算 f 0 +f 1 +f 2 +⋯+f 2013 的值．【解】 因为 f 0 =0，f 1 =1，f 2 =0， f 3 =f −1 =−f 1 =−1， 又 f x 是以 4 为周期的周期函数． 所以 f 0 +f 1 +f 2 +⋯+f 2013 =f 2012 +f 2013 =f 0 +f 1 =1．10. f x是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f x+3⩽f x+3和f x+2⩾f x+2，设g x=f x−x．(1)求证：g x是周期函数；【解】g x=f x−x可得g x+2=f x+2−x−2,g x+3=f x+3−x−3再以f x+3⩽f x+3和f x+2⩾f x+2代换，可得g x+2⩾f x+2−x−2=f x−x=g x ⋯⋯①g x+3⩽f x+3−x−3=f x−x=g x ⋯⋯②由①②可得g x+6⩾g x+4⩾g x+2⩾g x,g x+6⩽g x+3⩽g x于是g x+6=g x即g x是周期函数（6是它的一个周期）．(2)如果f998=1002，求f2000的值．【解】g2000=g6×167+998=g998，即f2000−2000=f998−998，所以f2000=f998+1002=1002+1002=2004．课后练习1. 函数f x在R上为奇函数，且x>0时，f x=x+1，则当x<0时，f x=．2. 定义在R上的偶函数f x在0,+∞上是增函数，若f1=0，则f log2x>0的解集是．3. 函数f x=x2−2ax−3在区间1,2上不是单调函数的充分必要条件是．4. 函数f x=13x−log2x+2在区间−1,1上的最大值为．5. 已知函数f x是R上的增函数，A0,−1，B3,1是其图象上的两点，那么f x+1<1的解集是．6. 已知函数f x=−x2+m在x∈m,+∞上为减函数，则m的取值范围是．7. 若函数y=2k+1x+b在−∞,+∞上是减函数，则k的取值范围是．8. 若函数f x=ax在0,+∞上为增函数，则实数a的取值范围是.9. 已知f x=3a−1x+4a,x⩽1,log a x,x>1.是−∞,+∞上的减函数，那么a的取值范围是．10. 已知函数f x=x2∣x−a∣在区间0,2上单调递增，则实数a的取值范围是 ．11. 若一元二次方程ax2=b（ab>0）的两个根分别是m+1与2m−4，则ba=．12. 已知函数f x=x−1x+2,x⩽3,5，函数f x的最大值和最小值分别为．13. 设函数f x的定义域为R，有下列三个命题：①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f x⩽M，则M是函数f x的最大值；②若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，且x≠x0，有f x<f x0，则f x0是函数f x的最大值；③若存在x0∈R，使得对任意的x∈R，有f x⩽f x0，则f x0是函数f x的最大值．这些命题中，真命题的个数是．14. 函数y=2x−1，x∈2,6的最大值是．15. 函数f x=x⋅∣x∣+x3+3在区间−2015,2015上的最大值与最小值之和为．16. 已知函数f x=ax3−bx+1，a，b∈R，若f2=−1，则f−2=．17. 已知函数f x为奇函数，且当x>0时，f x=x2+1x，则f−1=．18. 奇函数f x，若x>0时，f x=2x−3，则x<0时，f x=．19. 若函数f x=x22x+1x+a的图象关于y轴对称，则a=．20. 已知y=f x是定义在R上的奇函数，当x⩾0时，f x=x2−2x，则f x在x<0时的解析式是．21. 若函数f x=log2∣ax−1∣的图象的对称轴方程是x=2，则非零实数a的值为．22. 若f x=a−x与g x=a x−a a>0且a≠1的图象关于直线x=1对称，则a=．23. 设函数f x对于一切实数x都有f2+x=f2−x，如果方程f x=0有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于．24. 若存在x0∈−1,1使得不等式∣4x0−a⋅2x0+1∣⩽2x0+1成立，则实数a的取值范围是．25. 抛物线f x=x2−6x+1的对称轴方程是．26. 若f x是R上周期为5的奇函数，且满足f1=1，f2=2，则f3−f4=．27. 设g x是定义在ℛ上，以1为周期的函数，若函数f x=x+g x在区间0,1上的值域为−2,5，则f x在区间0,3上的值域为．28. 已知函数f x的定义域为R，且满足f x+1+f x=3，当x∈0,1时，f x=2−x，则f−2009.9=．29. 定义在R上的函数f x满足f x+1=−f x，且f x=1,−1<x⩽0−1,0<x⩽1，则f3=．30. 若函数f x是定义域为R，最小正周期为3π2的函数，且当x∈0,π时，当f x=sin x，则f15π4=．31. 作出函数y=∣x−2∣x+1的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．32. 已知函数f x=x2+2x+ax,x∈1,+∞．(1)当a=4时，求函数f x的最小值；(2)当a=12时，求函数f x的最小值；33. 若函数f x=x2x+1x−a为奇函数，求实数a的值．34. 判断下列函数的奇偶性．(1)f x=5x2+2x+1(2)f x=x3+5x1．(3)f x=x−2x+2x−2．(4)f x=2+ x2−1．(5)f x=x2+2x x<0, x2−2x x⩾0.35. 设函数f x是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f32+x =−f32−x 成立．(1)证明y=f x是周期函数，并指出其周期；(2)若f1=2，求f2+f3的值；(3)若g x=x2+ax+3，且y=∣f x∣⋅g x是偶函数，求实数a的值．36. 已知函数f x=1x．(1)求f x定义域；(2)证明f x在0,+∞上是减函数．37. 已知函数f x=−x2+2x,x>0,0,x=0,x2+mx,x<0,是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f x在区间−1,a−2上单调递增，求实数a的取值范围．38. 用函数单调性定义证明f x=x+ax+ba>b>0在−b,+∞上是减函数．39. 利用单调性的定义证明函数f x=x+2在−2,+∞上是增函数．40. 已知函数f x=x+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数(1)求函数f x的解析式；(2)用单调性的定义证明函数f x在−1,1上是增函数；(3)解不等式f x2−1+f x<0．41. 已知函数f x=ax2−x+a，a∈R．(1)当a=2时，解不等式f x>3；(2)若函数f x有最大值−2，求实数a的值．42. 求函数f x=x+1x 在区间12,1上的最大值和最小值．43. 如图，ABCD是正方形空地，边长为30 m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9 m，3 m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN:NE= 16:9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x m，液晶广告屏幕MNEF的面积为S m2．(1)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(2)当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？44. 某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？45. 已知f e x=x2−2x+32⩽x⩽3．(1)求f x的解析式和定义域；(2)求f x的最值．46. 判断下列函数的奇偶性： (1)f x=x−1x；(2)f x=x；(3)f x=−x2+x+1,x>0, x2+x−1,x⩽0.47. 判断下列函数的奇偶性：(1)f x=3,x∈R；(2)f x=5x4−4x2+7,x∈−3,3；(3)f x=∣2x−1∣−∣2x+1∣；(4)f x=1−x2,x>0 0, x=0 x2−1,x<0.48. 函数f x是R上的奇函数，且当x⩾0时，f x=2x−1，求x<0时函数的解析式．49. 设f x是奇函数，g x是偶函数，并且f x−g x=x2−x，求f x．50. 已知f x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x,y,f x都满足f xy=yf x+xf y．(1)求f1，f−1的值；(2)判断函数f x的奇偶性．51. 已知函数y=f x的图象与y=x2+x的图象关于点−2,3对称，求f x的解析式．52. 已知函数y=f x的图象与x轴有三个不同的交点m,0，n,0，p,0，试分别就下列情况求m+n+p的值：(1)函数f x为奇函数；(2)函数f x的图象关于直线x=2对称．53. 设二次函数f x=ax2+bx+c a,b∈R满足条件：①当x∈R时，f x的最大值为−2，且f x−1=f3−x成立；②二次函数f x的图象与直线y=−2交于A，B两点，且∣AB∣=4．(1)求f x的解析式；(2)求最小的实数n n＜−1，使得存在实数t，只要当x∈n,−1时，就有f x+t⩾2x成立．54. 已知函数f x是定义在R上的增函数，设F x=f x−f a−x．(1)用函数单调性的定义证明：F x是R上的增函数；(2)证明：函数y=F x的图象关于点a2,0成中心对称图形．55. 设函数y=f x的定义域为R，其图象关于点12,12成中心对称，令a k=f kn，其中n是常数且n⩾2，n∈N∗，k=1,2,⋯,n−1，求数列a n的前n−1项的和．56. 设f x是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称．对任意x1,x2∈0,12都有f x1+x2=f x1⋅f x2．(1)设f1=2，求f12及f14；(2)证明f x是周期函数．57. 已知f x是定义在R上的函数，且对任意x∈R，f x+a=12+ f x−f x2，试证：f x为周期函数．58. 如果函数y=f x的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f x+a=f−x成立，则称此函数具有" P a性质"．(1)判断函数y=sin x是否具有" P a性质"，若具有" P a性质"，求出所有a的值；若不具有" P a性质"，请说明理由；(2)设函数y=g x具有" P±1性质"，且当−12⩽x⩽12时，g x=∣x∣．若y=g x与y=mx交点个数为2013个，求m的值．59. 已知函数f x是定义在R上且T=5的周期函数，当x∈0,1时，f x=3x4−3n n∈N∗，当x∈1,4时，f x=log a x+b，又函数y=f x在−1,1上是奇函数且在区间0,1上单调递增．(1)求函数y=f x在1,4上的解析式；(2)求函数y=f x在R上的解析式．60. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，且对任意实数有f x+1=f1−x成立．(1)证明：f x是周期为4的周期函数；(2)若f x=x0<x⩽1，求x∈−5,−4时，函数f x的解析式．。
高中数学 第一章 集合与函数概念 第3节 函数的基本性质(1)教案 新人教A版必修1
第一章第三节函数的基本性质第一课时教学目标1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性．教学方法教师启发讲授，学生探究学习．教学手段计算机、投影仪．教学过程创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图．图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣．归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义．1．借助图象，直观感知问题1：分别作出函数y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，y ＝x 2，y ＝1x的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数y ＝x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y ＝－x ＋2在整个定义域内y 随x 的增大而减小．(2)函数y ＝x 2在[0，＋∞)上y 随x 的增大而增大，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小．(3)函数y ＝1x在(0，＋∞)上y 随x 的增大而减小，在(－∞，0)上y 随x 的增大而减小． 引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f (x )在该区间上为增函数；如果函数f (x )在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f (x )在该区间上为减函数．教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观．描述性的认识．【设计意图】 从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识．2．探究规律，理性认识问题1：下图是函数y ＝x ＋2x(x >0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．【设计意图】 使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性．问题2：如何从解析式的角度说明f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．(3)任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，因为x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)<0，即x 21<x 22，所以f (x )＝x 2在[0，＋∞)为增函数．对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1，x 2.【设计意图】 把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫．3．抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念判断题：①已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数． ②若函数f (x )满足f (2)<f (3)，则函数f (x )在区间[2,3]上为增函数．③若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．④因为函数f (x )＝1x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．通过判断题，强调三点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A ，B 上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增(或减)函数．思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】 让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识．掌握证法，适当延展【例】 证明函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．证明：任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2， 设元f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋2x 1)－(x 2＋2x 2)求差 ＝(x 1－x 2)＋(2x 1－2x 2) 变形＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－2x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－2x 1x 2， ∵2<x 1<x 2， 断号∴x 1－x 2<0，x 1x 2>2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )＝x ＋2x在(2，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．问题：要证明函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2有f x 2－f x 1x 2－x 1>0可以吗？ 引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．【设计意图】 初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．1．小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等．2．作业书面作业：课本习题1.3 A 组第1,2,3题．课后探究：(1)证明：函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数的充要条件是对任意的x ，x ＋h ∈(a ，b )，且h ≠0有f x ＋h －f x h>0. (2)研究函数y ＝x ＋1x(x >0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． 《函数的单调性》教学设计说明一、教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据．对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．二、教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三、教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．四、教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入．(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．。
2019-2020年高中数学 函数的基本性质专题教学案(无答案)新人教A版必修1
2019-2020年高中数学 函数的基本性质专题教学案（无答案）新人教A版必修1求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，的作用范围不变1.y=2.y=3.y=4.5. 6. 7. 8. 9. 02)45()34lg()(-++=x x x x f 训练：1、函数y=的定义域为__________.2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数的定义域是（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知的定义域为，则的定义域为 ，的定义域为5、已知函数定义域是，则的定义域是（ ）A. B. C. D.6、函数的定义域是 .（用区间表示）．7、已知函数的定义域是，则值域为 ．8、函数的定义域是[1，2]，则的定义域是 ．9、下列函数定义域和值域不同的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）10、已知函数的图象如图1所示，则函数的定义域是（ ）(A) [－2,0] (B)(C) [1,5] (D)11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0)12、为何值时，函数的定义域为R ．1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法）2. 求下列函数值域：]2,1[,52)(2-∈+-=x x x x f3. 函数的值域是 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、4. 设函数[]m x x x x f ,0,22)(2∈+-=，求的值域。
5. 求函数的最大值，最小值．6. 函数f(x)=-x 2+2x+3在区间[-2，2]上的最大、最小值分别为（ ）A 、4，3B 、3，-5C 、4，-5D 、5，-5基础训练：1、函数y=2x -1的值域是（ ） A 、R B 、（-∞，0） C 、（-∞，-1） D 、（-1，+∞）2、函数的值域为（ ）A 、B 、C 、D 、3、数y=3x+2 (x≠-2)在区间[0，5]上的最大（小）值分别为（ ）A 、37 ,0B 、32 ,0C 、32 ,37D 、37 ,无最小值4、若函数在区间[a, 2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）A. B. C. D.5、函数在区间上的值域为则m 值为（ ）A. B. C. D.6、函数y=()(-3)的值域是7、函数的值域是（ ）A 、B 、C 、D 、8、下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．D ．1．若⎩⎨⎧≥<+=-)2(2)2()2()(x x x f x f x 则值为（ ）A. 2 B. 8 C. D.2．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x 则=___________3．⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(x x x x x f 若，则实数a 的取值范围是4．已知f(2x)=，则f(1)的值是（ ）A.2 B ． C ．1 D ．5．已知，那么等于（ ） A ． B ．8 C ．18 D ．7．若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于 ( )A.2-sin2xB.2+sin2xC.2-cos2xD.2+cos2x8．已知函数，那么=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++41)4(31)3(21)2()1(f f f f f f f ______9．函数f (x )=x 5+ax 3+bsinx –8，若f (–2)=10，则f (2)= . 10．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若，则的值是( )A 、1B 、或C 、，或D 、（1）已知f(2x+1)=4x+5,则f(x) （2）已知，求；（3）已知y=f(x)是一次函数，且有f[f(x)]=9x+8,求f(x)解析式。
高中数学 1.3 函数的基本性质教案 新人教A版必修1
函数的基本性质教学目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
教学过程一、 函数的单调性 1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy =（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在],[b a 上也是单调函数。
①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。
2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A 版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1课本P38练习第3题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案3 新人教A版必修1一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
2019-2020学年新人教A版必修一 函数 复习 教案
通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,逐步培养学生应用数学思想(数形结合、分类计论思想等)解决实际问题的能力.合作学习一、提出问题①第一节是集合,分为几部分?②第二节是函数及其表示,分为几部分?③第三节是函数的基本性质,分为几部分?④画出本章的知识结构图.二、应用示例【例1】若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()A.P∩Q=⌀B.P⫋QC.P=QD.P⫌Q【例2】求函数y=x2+1的最小值.【例3】求函数y=的最大值和最小值.【例4】函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定()A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数三、变式训练1.设集合M={x|x>1},P={x|x2-6x+9=0},则下列关系中正确的是()A.M=PB.P⫋MC.M⫋PD.M∩P=R2.定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉A∩B},则(A*B)*A等于()A.A∩BB.A∪BC.AD.B3.求函数f(x)=-的单调区间.四、作业课本P44复习参考题第5,7题.参考答案一、提出问题①分为:集合的含义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分.②分为:函数的概念(定义、定义域、值域),函数的表示(列表法、图象法、解析法)两部分;其中又把函数的概念拓展为映射.③分为:单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图所示,二、应用示例【例1】解析:从选项来看,本题是判断集合P,Q的关系,其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域,则集合P是数集;集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合,则集合Q是点集.故P∩Q=⌀.答案:A点评:判断用描述法表示的集合间关系时,一定要搞清两集合的含义,明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集,形如集合{(x,y)|x,y∈P(x,y),x,y∈R}是点集,数集和点集的交集是空集.【例2】解:方法一(观察法)∵函数y=x2+1的定义域是R,∴观察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函数y=x2+1的最小值是1.方法二:(公式法)函数y=x2+1是二次函数,其定义域是x∈R,则函数y=x2+1的最小值是f(0)=1.点评:求函数最值的方法:观察法:当函数的解析式中仅含有x2或|x|或时,通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,≥0等,直接观察写出函数的最值;公式法:求基本初等函数(正、反比例函数,一次、二次函数)的最值时,应用基本初等函数的最值结论(看成最值公式),直接写出其最值.【例3】解:(判别式法)由y=得yx2-3x+4y=0,∵x∈R,∴关于x的方程yx2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时,则x=0,故y=0是一个函数值;当y≠0时,则关于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y2≥0.∴0<y2≤.∴-≤y<0或0<y≤.综上所得,-≤y≤.∴函数y=的最小值是-,最大值是.点评:形如函数y=(d≠0),当函数的定义域是R(此时e2-4df<0)时,常用判别式法求最值,其步骤是:①把y看成常数,将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0;②分类讨论m=0是否符合题意;③当m≠0时,关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R,则此一元二次方程必有实数根,得n2-4mk≥0,即关于y的不等式,解不等式组-此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域,从而得函数的最大值和最小值.【例4】解析:函数f(x)=x2-2ax+a的对称轴是直线x=a,由于函数f(x)在开区间(-∞,1)上有最小值,所以直线x=a位于区间(-∞,1)内,即a<1.g(x)==x+-2a,下面用定义法判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性.设1<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=(x1+-2a)-(x2+-2a)=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)(1-)=(x1-x2)-.∵1<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1>0.又∵a<1,∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2).∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,函数g(x)在区间(1,+∞)上没有最值.答案:D三、变式训练1.解析:P={3},∵3>1,∴3∈M.∴P⫋M.答案:B2.解析:设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7},于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B.答案:D点评:解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质,本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去由它们公共元素组成的集合.3.解:函数的定义域是(-∞,-1]∪[1,+∞).设y=,u=x2-1,当x≥0时,u=x2-1是增函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在[1,+∞)上是增函数.当x≤0时,u=x2-1是减函数,y=是增函数,∴函数f(x)=-在(-∞,-1]上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,-1].点评:复合函数是指由若干个函数复合而成的函数,它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系,其单调性的规律为:“同增异减”,即复合函数y=f[g(x)],如果y=f(u),u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f[g(x)]为增函数,如果具有相异(即相反)的单调性,则函数y=f[g(x)]为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是:①求复合函数的定义域;②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性;③依据复合函数的单调性规律口诀:“同增异减”,判断或写出函数的单调性或单调区间.注意:本题如果忽视函数的定义域,会错误地得到单调递增区间是[0,+∞),单调递减区间是(-∞,0].其避免方法是讨论函数的性质时要遵守定义域优先的原则.。
高中数学人教A版必修1教案-1.3_函数的基本性质_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
2. 教学重点/难点求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
3. 教学用具4. 标签教学过程一．知识点1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的定义域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
新教材高中数学 函数的概念与性质2函数的基本性质 单调性与最大小值第一课时课件新人教A版必修第一册
知识点二 单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函 数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)___单__调__性___,区间D叫做 y＝f(x)的___单__调__区__间_____．
【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的单调区间是函数定义域的子集．( √ ) (2)函数f(x)＝－ 的单调递增区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).
例3 已知函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减,且f(a－1)>f(1－4a),
求a的取值范围．
－1<a－1<1，
1
解：由题意知－1<1－4a<1， 解得 0<a<2 . ①
又因为函数 f(x)在区间(－1，1)上单调递减，
且 f(a－1)>f(1－4a)，
所以 a－1<1－4a，得 a<25 .②由①②得，0<a<25 ，
(×) (3)函数f(x)＝x2－2x(x∈[－1,2])的单调递增区间是[1,2],单
调递减区间是[－1,1].( √) (4)函数y＝2x＋1在[0,3]上单调递增,则[0,3]是函数的单调
递增区间．( × )
2 【解析】 (2)函数 f(x)＝－x 的单调递增区间是(－∞，0) 和(0，＋∞).注意两个区间之间要用逗号或“和”连接． (4)函数在定义域内的某区间递增，这个区间不一定是函数 的单调递增区间，它可能是单调区间的子集．
因为 x1<x2，且 x1，x2∈(0，＋∞)，
所以 x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0.
所以函数 f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)，
2019-2020学年新人教A版必修一 正弦、余弦函数的性质(二) 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 正弦、余弦函数的性质（二） 教案教学目标：1、知识与技能掌握正弦函数和余弦函数的性质．2、过程与能力目标通过引导学生观察正、余弦函数的图像，从而发现正、余弦函数的性质，加深对性质的理解．并会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间．3、情感与态度目标渗透数形结合思想，培养学生辩证唯物主义观点．教学重点：正、余弦函数的周期性；正、余弦函数的奇、偶性和单调性。
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用；正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用。
教学过程：一、复习引入：偶函数、奇函数的定义，反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？二、讲解新课：1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)余弦函数的图形当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
(2)正弦函数的图形观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
2.单调性从y ＝sin x ，x ∈［－23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1.当x ∈［2π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.3.有关对称轴观察正、余弦函数的图形，可知y=sinx 的对称轴为x=2ππ+k k ∈Z y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z练习1。
(新)人教高中数学A版必修一第三章第2节《函数的基本性质》优质说课稿
（新）人教高中数学A版必修一第三章第2节《函数的基本性质》优质说课稿今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第三章第2节《函数的基本性质》。
第三章主要讲函数的概念与性质。
客观世界中有各种各样的运动变化现象.所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.随着学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具;函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进步学习数学的重要基础.同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础.本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法.在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法.本节主要讲函数的基本性质。
本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、说课程标准普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．函数概念与性质：本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。
内容包括：函数性质。
二、教材分析。
本节的主要内容是函数的基本性质。
通过本节的学习，学生能借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；能结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
本节内容分为两部分：单调性与最大（小）值、奇偶性。
教材首先介绍了研究函数性质的意义，由观察函数图像导入新课。
接下来用具体例子研究函数的单调性，并从中归纳并用语言描述出函数的单调性。
2019-2020学年新人教A版必修一 考点05 函数的基本性质 教案
一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总: 1.1函数的奇偶性（1）函数的奇偶性的定义：对于函数)(x f 定义域内定义域内任意一个x ，若有()()f x f x -=-，则函数)(x f 为奇函数；若有()()f x f x -=，那么函数)(x f 为偶函数（2）奇偶函数的性质： ①定义域关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称； ③ 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇． ④ ()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=． ⑤若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．⑥奇函数在相对的区间上具有相同的单调性，偶函数在相对的区间上具有相反的单调性. 1.2函数的单调性（1）单调性定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A . 区间A I ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有12()(),f x f x ＜那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x ＝的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值,,21x x 当12x x ＜时，都有)()(21x f x f >，那么就说()y f x ＝在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x ＝的单调减区间．学%科网 （2）函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论②运算法则法：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；④减函数-增函数是减函数；③导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.④复合函数的单调性：同增异减，即内外单调性相同时，为增函数，不同时，为减函数.⑤图像法：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减.(3)单调性应用：已知含参数的可导函数()f x 在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上()f x '＞0（＜0）恒成立问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意，若满足加上. 1.3对称性与周期性（1）周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．（2）关于函数周期性常用的结论①若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)； ②若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；③若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). ④如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±． ⑤函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒． ⑥函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．⑦函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒． （3）函数()y f x =的图象的对称性结论①若函数)(x f y =关于x a =对称⇔对定义域内任意x 都有()f a x +=()f a x -⇔对定义域内任意x 都有()f x =(2)f a x -⇔()y f x a =+是偶函数；②函数)(x f y =关于点（a ，0）⇔对定义域内任意x 都有()f a x -=－()f a x +⇔(2)f a x -=－()f x ⇔()y f x a =+是奇函数；③若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有)()(x b f a x f -=+,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=； ④若函数)(x f y =对定义域内任意x 都有()()f x a f b x +=--,则函数)(x f 的对称轴中心为(,0)2a b+； ⑤函数(||)y f x a =-关于x a =对称.1.4.函数图像及其应用（1）函数)(x f y =的图象变换①将函数()y f x ω=图像0)((0))||a a a ><向左(向右单位(())y f x a ω=+的图象； ②将函数)(x f y =图像0)((0))||b b b ><向上(向右单位()y f x b =+的图象； ③将函数)(x f y =图像x x x 轴下方部分沿轴对折到轴上方|()|y f x =的图象； ④将函数)(x f y =图像y 擦除轴左侧部分将y 轴部分沿y 轴对折(||)y f x =的图象；⑤将函数)(x f y =图上1ω所有点的横坐标变为原来的倍()y f x ω=的图象;⑥将函数)(x f y =图上A 所有点的纵坐标变为原来的倍()y Af x =的图象. （2）函数图象的识别策略：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复；⑤利用特殊点进行排除.2.命题规律展望：对函数性质的考查是高考命题的重点和热点，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的图像以及几方面的综合，且常以复合函数或分段函数的形式出现，达到一题多考的目的.题型一般为选择题、填空题，属中低档题，或者结合导数研究函数性质的大题，也应为同学们必须得分的题目.二、题型与相关高考题解读 1.函数单调性的判定与性质应用1.1考题展示与解读例 1【2017北京，理5】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数（C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【命题意图探究】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判定，是基础题. 【答案】A【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】判断函数单调性的方法，1.平时学习过的基本初等函数的单调性；2.函数图象判断函数的单调性；3.函数的四则运算判断，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，判断函数的单调性；4.导数判断函数的单调性. 1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的是（ ） A ．y=log 2（﹣x ） B ． C ．y=﹣x 2+1 D ．y=e |x|【答案】D【解析】对于A ，由﹣x ＞0，得x ＜0，函数的定义域为（﹣∞，0），函数为非奇非偶函数；对于B ，y=的定义域为{x|x≠1}，函数为非奇非偶函数；对于C ，y=﹣x 2+1的定义域为R ，在（﹣∞，0）上为增函数；对于D ，y=e |x|，定义域为R ，且f （﹣x ）=f （x ），函数为偶函数，∵当0<x 时，t tee y )1(==-在（﹣∞，0）上为减函数，故选D ．学*科网 【变式2：改编结论】若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 2122a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎭. 【变式3：改编问法】已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，实数a 使得()()212f ax x f a --<-对于任[]0,1x ∈都成立，则实数a 的取值范围是( )A. (),1-∞B. []2,0-C. (22---+D. []0,1 【答案】A2.函数奇偶性的判定与应用 2.1考题展示与解读例3【2018年新课标Ⅲ】已知函数f （x ）=ln （﹣x ）+1，f （a ）=4，则f （﹣a ）= ．【命题意图探究】本题主要考查函数奇偶性的应用，是容易题. 【答案】﹣2【解析】设)1ln()(2x x x g -+=，∵g （﹣x ）=ln （+x ）==﹣ln （﹣x ）=﹣g（x ），∴g （x ）是奇函数，∵41)()(=+=a g a f ，∴3)(=a g ，∴1)(1)()(+-=+-=-a g a g a f =213-=+-．【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式.(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. 2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】设()f x 是定义在上的任意函数，下列叙述正确的是A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x +-是偶函数D. ()()f x f x --是偶函数 【答案】C【变式2：改编结论】已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当=（ ）A ．﹣2B ．2C ．D ．【答案】A【解析】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当=f （﹣ln2）=﹣f （ln2）=﹣e ln2=﹣2，故选A ．学@科网【变式3：改编问法】若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A.3.函数奇偶性与单调性的综合应用 3.1考题展示与解读例2【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【命题意图探究】本题主要考查利用函数奇偶性与单调性解函数不等式，是容易题. 【答案】D【解题能力要求】运算求解能力、转化与化归思想【方法技巧归纳】奇偶性与单调性的综合问题，要重视利用奇、偶函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()()124a f f ->，则a 的取值范围是（ ）A. (),1-∞-B. ()(),13,-∞⋃+∞C. ()1,3-D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在(−∞,0)上单调递增，∴f (x )在(0,+∞)是减函数，则不等式()()124a f f ->,得2|a −1|<4，即|a −1|<2，得−2<a −1<2，得−1<a <3，故选C.【变式2：改编结论】设函数()f x 是定义在R 上的偶函数， ()f x '为其导函数，当0x >时，()()0xf x f x +>'，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A. ()()1,00,1-⋃B. ()()1,01,-⋃+∞C. ()(),11,-∞-⋃+∞D. ()(),10,1-∞-⋃ 【答案】C【变式3：改编问法】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时， ()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________．【答案】[)0,1【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。
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2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案2 新人教A 版必修1教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． 教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 教学过程： 一、引入课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：1．f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．2．f(x) = -2x+1○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．3．f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．二、新课教学（一）函数单调性定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数（increasing function ）．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动） 注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ．2．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（二）典型例题例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．解：（略）巩固练习：课本P38练习第1、2题例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．解：（略）巩固练习：○1课本P38练习第3题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．三、归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论四、作业布置1．书面作业：课本P45习题1．3（A组）第1- 5题．2．提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，○1求f(0)、f(1)的值；○2若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．2019-2020年高中数学《函数的基本性质》教案3 新人教A版必修1一、教学目标1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习 函数的紧迫感.二、教学重点与难点重点：函数的单调性及其几何意义．难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性． 三、学法与教学用具1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（一）创设情景，揭示课题1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）．3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) ．4．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：略例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。
试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．巩固练习：○1课本P38练习第1、2、3题；○2证明函数在（1，+∞）上为增函数．例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．解：（略）思考：画出反比例函数的图象．○1这个函数的定义域是什么？○2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．（四）归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论（五）设置问题，留下悬念1、教师提出下列问题让学生思考：①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？③怎样用定义证明函数的单调性？师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P45习题1、3题（A组）第1-5题。