14 度量空间的列紧性与紧性
距离空间的列紧性与紧性选讲全
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定理5.3 (全有界集的性质) 设X是距离空间，AX是全有界集， 则（1）A一定是有界集;（2）A一定是可分的。
证 (1) AX是全有界集 对=1, A的一个有限的1—网B ={x1,x2,…,xn}A xA, k, 使xS(xk,1), 即(xk,x)<1 A有界。
(2) AX是全有界集 （只要证明A有可数的稠密子集） 对k=1/k, A的有限1/k—网Bk={x1(k) ,x2(k),…,xnk(k)}A
{xn}的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。 因此，A是全有界集。
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2 全有界集与列紧集的关系 定理5.5 (豪斯道夫定理—全有界集与列紧集的关系) (1) 设X是距离空间，AX是列紧集A是全有界集 (2) 设X是完备距离空间, 则AX是列紧集A是全有界集
证 (1) 设AX是列紧集 {xn}A，子列{xn(k)}, xn(k)xX (k) {xn(k)}是{xn}的基本子列 A是全有界集。
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定义5.3 (全有界集) 设X是距离空间，AX. 如果>0, A的有 限的—网B={x1,x2,…,xn}, 则称A为全有界集.
例3 闭区间[0,1]使R中的全有界集。 证 >0, 取n>1/, 则有1/n<.
构造有限点集 B={0, 1/n, 2/n, …, (n-1)/n}[0,1] x,yB是相邻两点，有(x,y)=1/n<. B 中各点的开球的全体覆盖了A B是[0,1]区间一个有限的—网 [0,1]区间是全有界集。 注 1) 对全有界集A, 一定能找到它的有限—网BA. 2) 全有界集A的有限的—网的构造方法： 首先，构造一个 有限点集 B={x1,x2,…, xn}A 然后，选取网中 个开球的公共半径，x,yB是相邻两点，有(x,y)<.
度量空间C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明
定义 1.4 [1] 设 ( X , ρ ) 是距离空间， A 是 B 的子集，如果 ∀ε > 0 ，都存在着 A 的一个有限 ε 网，则
称集合 A 是完全有界的。
3. 主要结论
( ) 定理 2.1 C Rn 空间的子集 U 列紧的充要条件是
1) 对任意 k 属于 C ，当 x ≤ k 时，存在 Ck > 0 ，使得 sup u ( x) ≤ Ck ，对 ∀u ∈U 。 x ≤k
有限 ε 网。
定义 1.3 [1] C (M ) 空间：设 M 是一个紧的距离空间，带有距离 ρ ，C (M ) 表示 M → R1 的一切连续
映射的全体。定义
d (= u,v) max u ( x) − v ( x) ,(∀u,v ∈ C (M )). x∈M
通过验证可知 (C (M ), d ) 是完备的距离空间。 定理 1.2 [1] (Arzela-Ascoli)为了 F ⊂ C (M ) 是一个列紧集，当且仅当 F 是一致有界且等度连续的函数
Abstract
Set sequence compactness is an important concept in functional analysis. Using the sequence compactness, one can turn infinite dimensional problems to finite dimensional problems. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for set sequence compactness on metric space C(Rn).
− u*
度量空间C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明
集，则存在 U
的一个
ε′ 3
网且是个有穷集，记
N
ε′ 3
=
{u1
,
u2
,
,
un
}
⊂
U
即 对 ∀ε
>0
， u(x)∈U
，
∃ui
∈
N
ε 3
，使得
u ( x) − ui ( x)
<ε 3
ε ′ ⋅ 2k
。这就表明当取
ε
′
>
0
时，其中
0
<
1
3 −ε
′
⋅
2k
<ε 3
，
3
= ρ (u ( x),ui ( x))
摘要
集合列紧在泛函分析中是一个重要的概念。可以将无限问题化为有限情形进行讨论。本文给出了距离空 间C(Rn)中集合列紧的充分必要条件。
关键词
列紧性，C(Rn)，ε网，一致有界，等度连续
文章引用: 赵明泽, 闫宝强. 度量空间 C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 589-594. DOI: 10.12677/aam.2019.84065
族。
定义 1.4 [1] 设 ( X , ρ ) 是距离空间， A 是 B 的子集，如果 ∀ε > 0 ，都存在着 A 的一个有限 ε 网，则
称集合 A 是完全有界的。
3. 主要结论
( ) 定理 2.1 C Rn 空间的子集 U 列紧的充要条件是
1) 对任意 k 属于 C ，当 x ≤ k 时，存在 Ck > 0 ，使得 sup u ( x) ≤ Ck ，对 ∀u ∈U 。 x ≤k
度量空间中的自列紧集、紧集、连通集与连续映射
由 d x, r r 和 d r, s r s 得 d s, x d r, s d r, x r s r s 。所
以 x N 。同理可得，若 x N ，则 x M 。所以 M N 。
因为集 A 是连通的，所以集合 A \ M N 不空(若空则 M 、 N 分离集 A )。
自列紧集(列紧闭集)与连续映射 1.度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。 证明: 设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的自列紧子集。
设 f : A Y 是连续映射,象集为 B f X Y 。设yn 是 B 的序列。对任意
正整数 k，设 yk 的某个原象是 xk A X ，这样得到 X 的序列xn 。因为 X 是自
R 的定义是函数值小于 y0 的自变量集合)。同理，对于任意点 s S ，存在邻域
U s, s 使得U s, s A S 。
对任意点 r R ，s S ，设s s 2 ；设 dr inf d r, s s S ，显然 dr 0
(否则，便不存在不包含 S 的点的邻域)， d r, s s d r, s s 0 。
紧集与连续映射 1.度量空间的紧子集在连续映射下的象是紧集。 证明:
设 X、Y 是度量空间， A 是 X 的紧子集。设 f : A Y 是连续映射,象集为
B f XY 。
设 B 的一个开覆盖为 G 。任意 S G 是开集，所以对任意 y S ，存在邻域
U y, y S 。对于任意 x f 1 y ( f 1 y 是 y 的原象集)，因为 f : A Y 是连
所以，对任意 r R ，s S 都有 d r, s s dr 4 。对任意 r R ，设r dr 4 。
14 度量空间的列紧性与紧性
定理1、4、2设,就是维殴氏空间,那么
(1)就是列紧集当且仅当就是有界集;
(2)就是紧集当且仅当就是有界闭集.
证明(1)必要性显然成立;利用闭球套定理可以证明:如果就是有界得无限集,则具有极限点,从而可证充分性.
(2)由(1)易得.□
注4:由于中得非空紧集就就是有界闭集,定义上得连续函数具有最大与最小值,这一事实在度量(距离)空间中依然成立.首先说明连续映射将紧集映射为紧集.
(2)必要性:设就是得任一点列,取,,因为就是全有界集,故存在有限网,记为.
以有限集得各点为中心,以为半径作开球,那么这有限个开球覆盖了,从而覆盖了,于就是至少有一个开球(记为)中含有得一个子列.
同样以有限集得各点为中心,以为半径作开球,那么这有限个开球覆盖了,于就是至少有一个开球(记为)中含有得一个子列.依次可得一系列点列:
再由为紧集知存在,使得,于就是
令,有,因此就是在上取得得最大值.□
1
刻画列紧性得重要概念之一就是全有界性,通过以下得讨论可知:(1)度量空间中得列紧集必就是全有界集;(2)在完备度量空间中,列紧集与全有界集二者等价.
定义1、4、2网
设就是度量空间,,给定.如果对于中任何点,必存在中点,使得,则称就是得一个网.即
图4、1就是得一个网示意图
例如:全体整数集就是全体有理数得0、6网;平面上坐标为整数得点集就是得0、8网.
图4、2整数集就是全体有理数得0、6网示意图
定义1、4、3全有界集
设就是度量空间,,如果对于任给得,总存在有限得网,则称就是中得全有界集.
注5:根据定义可知就是中得全有界集等价于,,使得,其中表示以中心,以为半径得开邻域.
度量空间的列紧性与紧性
证明当 是全有界集时， ， ,使得 ．不妨设 有 ，选取 ，显然 以及 ，因此
．□
注6：在 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．
定理1.4.4全有界集的特性
图4.1 是 的一个 网示意图
例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是 的0.8网．
图4.2整数集 是全体有理数 的0.6网示意图
定义1.4.3全有界集
设 是度量空间， ，如果对于任给的 ， 总存在有限的 网,则称 是 中的全有界集．
注5：根据定义可知 是 中的全有界集等价于 ， ,使得 ，其中 表示以 中心，以 为半径的开邻域．
： ．
： ．
．
： ．
且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为 的子列，即
是 的子列．下证 是基本列．
，取 ，使得 ，那么当 时，不妨设 ，则有 ，记开球 的中心为 ，那么有
，
故 是 的基本子列．□
推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设 是度量空间， ．
(1)若 是列紧集，则 是全有界集；
(2)若 是完备的度量空间，则 是列紧集当且仅当 是全有界集．
证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知 是全有界集；
(2)必要性 ：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．
充分性 ： ，因为 是全有界集，所以 含有基本子列 ，又知 完备，于是 在 中收敛，可见 的任何点列都有收敛 的子列，即 是列紧集．□
反过来， 是有界集， 未必列紧．反例：空间 上的闭球 有界，而不是列紧集(见例1.1)．□
空间几何的紧性
空间几何的紧性在数学中，空间几何是一门重要的学科。
其中，空间的性质是经常被研究的一个问题。
在这些性质中，紧性是最为重要的特征之一。
紧性是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。
因此，我们可以把紧性理解为空间的有限性质。
紧性在很多领域中都有应用，如物理学、工程学和经济学等。
为了更好地掌握空间几何的紧性，我们首先应该了解什么是紧空间。
一、什么是紧空间紧空间是指空间中每一种可能的序列都有可能趋于一个有限的极限值。
可以用数学语言描述：如果X是一个紧致度量空间，那么它必须满足以下三条性质：（1）X是一个 Hausdorff 空间，即存在一个满足下列性质的拓扑结构：对于X中的任意分离点x、y，都存在它们的开邻域U、V，使得U和V是不交的。
（2）X是完全可列的，即X可以表示成一个可列的闭集的并集。
（3）X中的每一点都存在一个紧集K，K包含于X的某个开集内。
易证：一个紧空间的闭子集和开子集都是紧的。
二、紧空间的基本性质紧性是空间理论中的一个基本性质，它有很多重要的性质和定理。
这里仅列举几个基本的定理，供读者参考：（1）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么X一定是有限的。
（2）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全有界的。
（3）如果X是一个紧致的Hausdorff空间，那么它一定是完全连通的。
（4）一个紧致Hausdorff空间的闭子集和开子集都是紧致的。
三、紧几何和流形由于紧性在几何学中有很多的应用，因此我们可以很容易地将其与流形联系起来。
流形是一种具有局部欧几里德空间性质的几何对象，它可以用“相似”的方式来描述。
考虑一个紧的欧氏空间，我们可以将其构造成一个开拓空间。
这个空间不仅有完整的欧氏结构，而且它是有限的。
因此，我们可以利用欧氏流形的性质来研究此类紧几何结构。
四、紧性的应用在数学中，紧性应用非常广泛。
例如，在微积分中，我们可以利用紧性来证明一些基本定理，如Bolzano-Weierstrass定理和Arzelà-Ascoli定理等。
度量空间中开集、闭集、自列紧集和紧集
度量空间中邻域、有界集、开集、聚点、闭集、自列紧集、紧集和连通集的概念 设X 是度量空间，0x X ∈，A X ⊆ 。
1.邻域设δ是正实数，点0x X ∈ 的“δ邻域”是指集合(){}0,,x d x x x X δ<∈ ，记作()(){}00,,,U x x d x x x X δδ=<∈ 。
2．有界集集合A X ⊆是“有界集”是指:存在点0x X ∈和正实数δ使得()0,A U x δ⊆。
3.开集集合A X ⊆是“开集”是指:对任意点x A ∈,存在正数x ε，使得(),x U x A ε⊆。
4.聚点和孤立点点0x X ∈是集合A X ⊆的“聚点”是指:0x 的任意邻域包含有A 中的点。
点0x X ∈是集合A 的“孤立点”是指:0x A ∈但点0x 不是A 的聚点。
5.闭集集合A X ⊆是“闭集”是指:A 的所有聚点都属于A （或A 没有聚点）。
6.自列紧集集合A X ⊆是“自列紧集”是指:A 的任意序列有收敛于A 中某点的子序列。
7.紧集集合A X ⊆是“紧集”是指:A 的任意开覆盖可以选出有限覆盖。
8.连通集集合A X ⊆是“连通集”是指:不存在X 的非空开子集M 、N 满足M A ⋂≠∅、N A ⋂≠∅、A M N ⊆⋃且M N ⋂=∅。
(等价说法：度量空间X 是连通的，若存在X 的非空开子集M 、N 满足X M N =⋃且M N ⋂=∅。
两个说法等价性在于：前一个说法中，若把A 看作X 的度量子空间，那么M A ⋂和N A ⋂实际上是A 的开子集。
)度量空间中开集、闭集、自列紧集和紧集的之间的关系 1.度量空间的开子集的余集是闭集。
证明：设X 是度量空间，A 是X 的开子集,\B X A = 。
(1)若B 没有聚点，那么B 是闭集。
(2)若B 有聚点，任取B 的一个聚点x ，那么x 的任意邻域含B 中的点，所以x 的任意邻域都不包含于A 。
又因为A 是开集，所以x A ∉,所以x B ∈。
压缩映射原理更弱的条件
压缩映射原理更弱的条件
压缩映射原理是非线性分析的一个重要原理，它用来描述两个度量空间之间的映射关系。
一般来说，压缩映射原理需要满足以下条件：
1. 完备度量空间：度量空间中的序列极限点都属于该空间。
2. 紧性条件：在度量空间中，每个序列都至少有一个收敛子序列。
3. 压缩条件：映射的Lipschitz常数小于1，即对于度量空间中的任意两点x和y，有d(f(x), f(y)) <= L * d(x, y)，其中L为Lipschitz常数。
如果希望使用更弱的条件来描述压缩映射原理，可以放宽完备度量空间和紧性条件。
其中，完备度量空间可以被换成柯西序列完备度量空间。
柯西序列完备度量空间指的是对于度量空间中的柯西序列，该序列一定有极限点。
同时，紧性条件也可以被替换为部分有界条件。
部分有界条件指的是度量空间中存在一个R > 0，使得任意两点之间的距离都小于R。
当一个映射满足柯西序列完备度量空间和部分有界条件时，可以证明这个映射是一个压缩映射。
度量空间
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
实分析中的泛函序列与紧性分析
实分析中的泛函序列与紧性分析泛函序列与紧性分析是实分析中常见的重要概念和方法。
在实分析中，泛函序列是一个由函数构成的序列，而紧性分析则是研究集合的紧性质。
本文将详细介绍泛函序列和紧性分析在实分析中的应用和相关理论。
一、泛函序列的定义与性质在实分析中，泛函序列是由函数构成的序列。
具体而言，设X是一个给定的非空集合，F是从X到实数集R的映射的全体，则F的子集序列为一组满足G={fn}，其中fn是F中的函数，n∈N。
泛函序列的收敛性可以类比于数列的收敛性。
泛函序列的收敛性：1. 逐点收敛：对于给定的x∈X，如果对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|fn(x)-f(x)|<ε，那么称序列{fn}逐点收敛于f(x)，记作fn→f(x)。
2. 一致收敛：如果对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，|fn(x)-f(x)|<ε对所有的x∈X都成立，那么称序列{fn}一致收敛于f(x)，记作fn→f(x)（在整个集合X上）。
泛函序列的收敛性有以下性质：1. 逐点收敛的序列也是一致收敛的序列，但反之不一定成立。
2. 一致收敛的序列的极限函数必定是连续函数。
3. 如果{fn}一致收敛于f(x)，则对于任意的ε>0，存在正整数N，当n>N时，有|fn(x)-f(x)|<ε。
二、紧性分析的概念与定理在实分析中，紧性是一种重要的概念，用于研究集合的紧性质。
在度量空间中，紧性是指集合的每个开覆盖都存在有限子覆盖。
下面介绍紧性分析的相关概念和定理。
1. 紧集：设X是一个度量空间，A是X的子集。
如果A的任意开覆盖都存在有限子覆盖，那么称A是紧集。
2. 紧度量空间：如果度量空间X中的任意序列都有收敛的子序列，则称X是紧度量空间。
紧性分析有以下重要定理：1. 紧集的闭子集也是紧集。
2. 紧集的有限并集是紧集。
3. 紧空间中的闭子空间是紧空间。
4. 紧度量空间是完备的。
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
度量空间中自列紧集、紧集、连通集与连续映射.docx
开集与连续映射1. 定义在度量空间的开子集上的函数，连续？开集的逆象是开集。
证明：设X、丫是度量空间，A是X的开子集，设有映射f : A > Y。
⑴充分性：设映射f:A > Y连续，需证开集的逆象是开集。
设S是丫的任一开子集，并设S的逆象是R = f ' S。
任取x三R，那么 f x • S。
因为A是开集，所以存在正数 s使得U xf x A。
因为S是开集，所以存在正数；x使得U f x , ；x ］二S。
因为f : A > Y是连续映射，故存在正数x 使得f U x, x - A\=U f x , ；x 三S。
设、:x =mi n^x，J,那么u x宀U A且U X,'：x U x, x，所以f U x,、x 二f U x,、x ' A-=f U x, x ' A-=U f x ,J -S ，那么U , x x壬。
所以S的逆象R =f ° S是开集。
⑵必要性：设开集的逆象是开集，需证映射f：A > Y连续。
任取x・A。
任取正数汶，设S二U f x , ；x，显然S是Y的开子集。
设S的逆象是R=f，S，那么R是开集，所以存在正数:x使得U x,r R。
因为R二f’S ，所以fR S 二U fx,；x 。
又因为U x「x R ,所以f U x, :x 二f R^=S =U f x , * 。
所以映射f ：A》Y 连续。
自列紧集（列紧闭集）与连续映射1. 度量空间的自列紧子集在连续映射下的象是自列紧集。
证明：设X、Y是度量空间，A是X的自列紧子集。
设f ： A > Y是连续映射,象集为B二f X Y。
设「y/是B的序列。
对任意正整数k，设y k的某个原象是X k • A X，这样得到X的序列IxJ。
因为X是自列紧集，存在I x J 的子列4叫｝收敛于x°€X。
因为f : A T Y连续，所以序列X N n/收敛于f X o B。
第二讲 列紧性、常用线性赋范空间
线性映射，则
是一个线性同构，且
推论
线性且非零，则
子空间，对任何 ，
。 是 的一个极大 是一张超平面。
拓扑结构
准范数，半范数，范数， 空间，Frechet 空间， 空间，Banach 空 间
常用空间
例 1 空间 ，
例2
，
例3 ，
例4
有界开， ，
例 5 紧度量空间，
，
例6
，
是一个测度空间，
这时范数的三角不等式就是著名的 Minkowski 不等式 其证明要用到基本的 Holder 不等式，若
，由
完备，只须证 完全有界，为此要构造 的有穷 ‐网。
利用 的紧性将 中的元采样投射到 中，利用 中有界集的列
紧性即可。
例
有界开凸集，
表示 上一阶连续可微函数全体，
对任意
，令
则
构成完备度量空间，且
中的有界集映成 的紧集,即 是紧嵌入。
Problem 研 究
点特性。
Exe P19 2，5，9
，把 的不动
证明 （1）反证，若 不完全有界，则存在
限
‐网。从而
，使得 无有 ，
则 无收敛子列。
(2) 任取 中序列 ，对 的 1‐网， ； 对 的 1/2‐ 网 ，
及 及
的子列 的子列
由 完备知
； ，对 的 1/k‐网， ； ，则对角线子列
收敛。
及
的子列
是 Cauchy 列，
命题 4 完全有界的度量空间 可分的。
线性空间线性同构的充要条件是它们同维数。
定理 2 若 是有限维线性空间，则 的每一个真子空间的维数严格小
于 的维数，故真子空间不能与全空间线性同构。若 是无限维线性
拓扑学第四章-紧致性
第四章 紧致性紧致性是数学分析中的重要概念。
尽管这个概念出现的较早，但是，从本质上讲，它是一个拓扑概念，也是一个最基本的拓扑性质。
我们先回忆一下度量空间紧性〔列紧性〕概念〔在实直线上，紧性是描述闭区间性质的，而在实分析中，闭区间具有良好的性质〕。
§4-1 度量空间(,)X d 中紧性〔简单复习〕定义1 设A 是(,)X d 的一个子集。
如果A 中任一无穷点列有子列收敛于X 中的一点，则称A 是相对列紧的；如果A 中每个收敛子列的极限点都属于A ，则称A 是列紧的； 如果(,)X d 本身是列紧的，则称为列紧空间。
注释：这里的紧性之所以成为列紧，是因为用序列收敛描述的。
●下面的结论是显然的〔由于都是过去的知识，所以不加证明的给出〕 〔1〕 有限子集总是列紧的。
〔2〕 列紧空间是完备的〔但，完备空间未必是列紧的〕。
〔3〕 假设A 是(,)X d 的列紧子集，则A 是(,)X d 的有界闭集。
〔4〕 在一般度量空间中，〔3〕成立，反之未必；如果(,)X d 是列紧空间，则 A 列紧 ⇒ A 是闭集。
〔5〕 列紧的度量空间必是可分的。
●进一步分析：列紧性能用来刻画闭集，但是，它是利用“序列”形式刻画的。
人们找出了一种非序列刻画的方式。
定义2 设A 是(,)X d 的一个子集。
是X 的一族开集，满足U U A ∈⊃，则称为A 在X中的开覆盖；假设中只有有限个子集，称为有限开覆盖；假设X 本身的每一开覆盖都有一有限子覆盖，则称X 为紧致空间〔有的书成为紧空间〕 ★ 理论上可以证明：对于度量空间来说，列紧性与紧致性是等价的。
即列紧空间⇔紧致空间〔这在泛函分析书中都有介绍〕。
§4-2 拓扑空间的紧性在数学分析中，人们很早就注意的，实直线上闭区间[,]a b 具有某些极好的性质，它对于证明极大值定理、一致连续性定理等起着至关重要的作用。
但是，如何在拓扑空间上表述这个特性，长期不得而知。
所以，最早人们认为[,]a b 上这个特性取决于[,]a b 上任何一个无穷子集都有极限点，进而提出了列紧性概念。
7.9 距离空间的列紧性与紧性(选讲)
B在A中稠密 ；又BA是至多可数集，故A可分.
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定理5.4 (全有界集的充要条件) 设X是距离空间，AX,则A是全 有界集A中任何点列必存在基本子列。 证 “” 设AX是全有界集， {xn}A，对k=1/k, A的有限k—网Bk={x1(k) ,x2(k),…,xnk(k)}A,使
推论5.1 (有界集与列紧集的关系) 设X是距离空间， AX是列紧集A是有界集
证 A是列紧集 A是全有界集A是有界集
注 在R中，有 1) A是列紧集A是有界集 2) A是自列紧集A是列紧闭集A是有界闭集
推论5.2 (列紧集与可分集的关系) 设X是距离空间，则 (1) AX是列紧集A是可分集； (2) X是列紧空间X是可分的。
(2) “” 在(1)中已证。 “” 设A是全有界集，{xn}A{xn}有基本子列{xn(k)} X完备{xn(k)}{xn}A收敛A是列紧集
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注：在不完备的距离空间中, 全有界集不一定是列紧集. 例如，C[-1,1]按距离 不完备，其中的点列{xn}:
是基本列，因而A={xn}是(C[-1,1],1)中的全有界集， 但是它在C[-1,1]中没有收敛子列，故A={xn}不是列紧集。
R2的一个3/4—网。 例2 设A={(x,y)|x,y均为无理数}, B={(x,y)|x,yQ},则>0, B都
构成了A的一个—网，从而也构成了R的一个—网。（由 于有理数在R中的稠密性） 注: 1）B是A的一个—网yA, xB, 使(x,y)<； 2）A的—网可以是A的子集，也可以不是A的子集.
泛函分析中的拓扑空间与度量空间
泛函分析中的拓扑空间与度量空间泛函分析是数学的一个分支，主要研究函数空间和函数的极限、连续性、收敛性等性质。
在泛函分析中，拓扑空间和度量空间是两个基本的概念。
它们都是对集合中元素之间的距离或接近程度进行度量的方法。
本文将介绍拓扑空间和度量空间的定义、性质及其在泛函分析中的应用。
一、拓扑空间拓扑空间是一种抽象的数学结构，用来描述集合中元素之间的接近程度。
拓扑空间由一个集合X和定义在X上的一组开集构成。
1.1 定义拓扑空间由三个部分构成：集合X，开集的集合T和满足以下条件的性质：（1）空集和整个集合X都是开集；（2）有限个开集的交集仍然是开集；（3）任意多个开集的并集仍然是开集。
1.2 性质拓扑空间具有以下性质：（1）邻域性质：对于拓扑空间中的任意一点x，存在一个邻域N(x)，使得N(x)包含x在内的某些点。
（2）连通性：两个点在拓扑空间中可以通过一系列路径相连。
（3）紧性：在拓扑空间中，如果任何开覆盖都存在有限的子覆盖，则称该空间是紧的。
二、度量空间度量空间是一种特殊的拓扑空间，其中定义了度量函数（或距离函数）。
度量函数可以衡量集合中的两个元素之间的距离，从而定义拓扑空间的开集。
2.1 定义度量空间由一个集合X和定义在X上的度量函数d构成。
度量函数d满足以下性质：（1）非负性：对于度量空间中的任意x和y，d(x, y) ≥ 0；（2）同一性：对于度量空间中的任意x和y，d(x, y) = 0当且仅当x = y；（3）对称性：对于度量空间中的任意x和y，d(x, y) = d(y, x)；（4）三角不等式：对于度量空间中的任意x、y和z，d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。
2.2 性质度量空间具有以下性质：（1）完备性：度量空间中的柯西序列都收敛于该空间中的某个点；（2）紧性：度量空间中的闭子集都是紧的；（3）连通性：度量空间中的路径连通，任意两点之间存在路径相连；（4）可分性：度量空间中存在可数的稠密子集。
14 度量空间的列紧性与紧性
1.4度量空间的列紧性与紧性1.4.1度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例1.4.1设22[,]{|()|()|}X L f L f x dx ππππ-=-=<∞⎰，对于,f g X ∈，定义 122(,)(|()()|)d f g f x g x dx ππ-=-⎰， 令{()}{sin }n f x nx =，那么{()}n f x 是有界的发散点列．证明由于所以{()}n f x 为有界点列．对于任意的,n m ∈N ，有因此{()}n f x 不是基本列，当然不是收敛列．□定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace设X 是度量空间，A X ⊂．(1)如果A 中任何点列都有收敛于X 的子列，则称A 为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2)如果A 是列紧集，也是闭集，则称A 为紧集；(3)如果X 本身是列紧集(必是闭集)，则称X 为紧空间．注1：若A 是X 的列紧集，{}n X A ⊂且0()n x x n →→∞，那么0x A ∈？若A 是X 的紧集，0x A ∈？． 定理1.4.1设(,)X d 是度量空间，下列各命题成立：(1)X 的任何有限集必是紧集；(2)列紧集的子集是列紧集；(3)列紧集必是有界集，反之不真．证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．反过来，A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．证明(1)若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间．(2)若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X 中的基本列收敛，因此X 为完备的空间．□ 关于n 维殴氏空间n R 中的列紧集、紧集的特性有如下定理．定理1.4.2设n A ⊂R ，n R 是n 维殴氏空间，那么(1)A 是列紧集当且仅当A 是有界集；(2)A 是紧集当且仅当A 是有界闭集．证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A 是有界的无限集，则A 具有极限点，从而可证充分性．(2)由(1)易得．□注4：由于R 中的非空紧集A 就是有界闭集，定义A 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．引理1.4.1设f 是从度量空间(,)X d 到(,)Y ρ上的连续映射(称为算子)，A 是X 中的紧集，那么()f A 是Y 中的紧集．证明设()E f A =，首先证明E 是Y 中的列紧集．{}n y E ∀⊂，{}n x A ∃⊂，使得()n n y f x =，1,2,n =．由于A 是紧集，所以点列{}n x 存在收敛的子列{}k n x ，且0k n x x A →∈，又知f 是X 上的连续映射，于是0lim lim ()()k k n n k k y f x f x E →∞→∞==∈． 即{}n y 有收敛于E 的子列{}k n y ，因此E 为Y 中的列紧集．再证E 是闭集．设{}n y E ⊂，0()n y y n →→∞，根据A 的紧性和连续映射f 可得，对应的点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}k n x ，0k n x x A →∈．从而00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E →∞→∞→∞====∈， 即E 是闭集．□定理1.4.3最值定理设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．证明设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得1()n f x M n >-，即可得11()n M f x M M n n-<≤<+-． 再由A 为紧集知存在{}{}k n n x x ⊂，使得*k n x x A →∈(k →∞),于是令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□1.4.2度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义1.4.2ε网设X 是度量空间，,A B X ⊂，给定0ε>．如果对于A 中任何点x ，必存在B 中点x'，使得(,)d x x'ε<，则称B 是A 的一个ε网．即(,)x B A O x ε∈⊂图4.1B 是A 的一个ε网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是2R 的0.8网．图4.2整数集Z 是全体有理数Q 的0.6网示意图定义1.4.3全有界集设X 是度量空间，A X ⊂，如果对于任给的0ε>，A 总存在有限的ε网,则称A 是X 中的全有界集．注5：根据定义可知A 是X 中的全有界集等价于0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)n i i A O x ε=⊂，其中(,)i O x ε表示以i x 中心，以ε为半径的开邻域．引理1.4.2A 是度量空间X 的全有界集当且仅当0ε∀>，12{,,,}n x x x A ∃⊂,使得1(,)n i i A O x ε=⊂． 证明当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)2n i i A O x ε=⊂．不妨设1i n ∀≤≤有(,)2i O x A εφ≠，选取(,)2i i y O x A ε∈，显然12{,,,}n y y y Y ⊂以及(,)(,)2i i O x O y εε⊂，因此 11(,)(,)2n n i i i i A O x O y εε==⊂⊂．□ 注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理1.4.4全有界集的特性设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1)A 是有界集；(2)A 是可分集．证明(1)设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂,使得1(,1)n i i A O x =⊂． 现令121max{(,)}i i n M d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集．(2)设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集．由引理1.4.2知对于1n nε=(1,2,n =)，存在()()()12{,,,}n n n n n k B x x x A =⊂，使得()11(,)nk n i i A O x n =⊂，下面证明1n n B ∞=是A 的稠密子集． x A ∀∈，0δ∀>，存在0n ∈N ，使得01n δ<，由于0n B 是A 的01n 网，故001n n n i x B B ∞=∃∈⊂，使001(,)n d x x n δ<<，从而，0(,)n x O x δ∈，即1n i B ∞=在A 中稠密，显然1n i B ∞=是可列集，故A 可分．□ 注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集．例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}，，N =是有界集，却不是全有界集．定理1.4.5全有界的充要条件设X 是度量空间，A X ⊂，则A 是全有界集当且仅当A 中的任何点列必有基本子列．证明(1)充分性⇐：反证法．若A 不是全有界集，则存在00ε>，A 没有有限的0ε网，取1x A ∈，再取2x A ∈，使120(,)d x x ε≥，(这样的2x 存在，否则1{}x 为A 的0ε网)．再取3x A ∈，使130(,)d x x ε≥，230(,)d x x ε≥(这样的3x 存在，否则12{,}x x 为A 的0ε网)．以此类推，可得{}n x A ⊂，而{}n x 没有基本子列，产生矛盾，故A 是全有界集．(2)必要性⇒：设{}n x 是A 的任一点列，取1k k ε=，1,2,k =，因为A 是全有界集，故A 存在有限k ε网，记为k B ．以有限集1B 的各点为中心，以1ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A ，从而覆盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}kx S ⊂． 同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}kx ，于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列： (1){}k x ：(1)(1)(1)(1)123,,,,,k x x x x ． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,,,k x x x x ．,,,．(){}i k x ：()()()()123,,,,,i i i i k x x x x ．且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即是{}n x 的子列．下证(){}k k x 是基本列．0ε∀>，取K ，使得12K K εε=<，那么当,k p K >时，不妨设p k >，则有()p p k x S ∈，记开球k S 的中心为*k x ，那么有 ()()()**()(,)(,)+(,)2p k p k p k p k k k k k k d x x d x x d x x εεεε≤≤+=<，故(){}k k x 是{}n x 的基本子列．□推论1.4.2豪斯道夫(Hausdorff)定理设X 是度量空间，A X ⊂．(1)若A 是列紧集，则A 是全有界集；(2)若X 是完备的度量空间，则A 是列紧集当且仅当A 是全有界集．证明(1)因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知A 是全有界集；(2)必要性⇒：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．充分性⇐：{}n x A ∀⊂，因为A 是全有界集，所以{}n x 含有基本子列{}k n x ，又知X 完备，于是{}k n x 在X 中收敛，可见A 的任何点列都有收敛X 的子列，即A 是列紧集．□注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集．例如：让X 表示[0,1]上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于11lim (1)33n n e n →∞+=，所以X 不是完备的度量空间、X 不是列紧集．由于0ε∀>，存在正整数n ，使得1n ε<，那么121{0,,,,,1}n n n n -是X 的ε网，所以X 是全有界．综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：紧集⇒列紧集⇒全有界集⇒⎧⎨⎩有界集可分集紧集⇐闭列紧集⇐完备全有界集 定理1.4.6[,]C a b 中点集列紧的的充要条件设[,]A C a b ⊂，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．(1)A 一致有界：0M ∃>，x A ∀∈，对任何[,]t a b ∈有()x t M ≤成立；(2)A 等度连续：0ε∀>，0δ∃>(δ与t 及x 无关)，当12,[,]t t a b ∈及12t t δ-<时，x A ∀∈有12()()x t x t ε-<． 注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．推论1.4.3阿尔采拉(Arzela)引理设{[,],}i i F f f C a b i I =∈∈是[,]C a b 的一致有界且等度连续的函数族，则从F 中必可选出在[,]C a b 上一致连续的子序列{()}n f t ．定理1.4.7设(1)p A l p ⊂≥，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．(1)A 一致有界：0M ∃>，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()p pk k x M ∞=<∑；(2)A 等度连续：0ε∀>，N ∃，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()p pk k N x ε∞=+<∑． 例1.4.2设0(,)X d 为离散的度量空间，A X ⊂，证明：A 是紧集的充要条件为A 是有限点集．(2-18)证明(1)充分性⇐：设A 是有限点集，则A 必为闭集，又无点列，故为紧集．(2)必要性⇒：反证法．假设A 为无限点集，则必有可列子集A A '⊂，且A '种元素各不相同，不妨设为12{,,,,}{}n n A x x x x '==，当m n ≠时，根据离散度量空间中距离的定义知0(,)1m n d x x =，从而{}n x 无收敛子列，这与A 的紧性矛盾，故A 必为有限集．□例1.4.3设X 为紧的度量空间，M 是X 的闭子集，证明M 是紧集．(2-21)证明1由于M 是闭子集，所以只需证明M 是列紧集．设{}n x 是M 的一个点列，显然{}n x X ⊂，又知X 是紧的度量空间，于是{}n x 存在收敛于X 的子列{}k n x ，即M 是列紧集．□证明2由于X 是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以M 是列紧集．又知M 是闭子集，因此M 是紧集．□ 注10：在离散的度量空间中，A 是紧集⇔A 是有限点集．在n 维欧氏空间n R 中，A 是紧集⇔A 是有界闭集．在完备度量空间中，A 是紧集⇔A 是全有界闭集．紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．。
紧度量空间定义
紧度量空间定义
紧度量空间是一种重要的数学概念，它是指一个度量空间中的任何开覆盖都有有限子覆盖。
具体来说，设X是一个度量空间，若对于X的任何开覆盖{Uα}，都存在有限个开集U1, U2, ..., Un使得{U1, U2, ..., Un}也是X的开覆盖，那么X就称为紧度量空间。
紧度量空间具有许多重要性质。
首先，它是紧致的，即任何序列都有收敛子序列。
其次，它是完备的，即任何Cauchy序列都收敛于X中的一个点。
此外，紧度量空间还是一类度量空间中最好的性质之一，它在数学中有着广泛的应用，例如在拓扑学、函数分析、微积分学和流形理论等领域。
在实际应用中，紧度量空间也有着很多重要的应用，例如在经济学中，紧度量空间可以用来刻画市场中的竞争条件；在物理学中，紧度量空间可以用来描述时空的拓扑结构等。
因此，深入理解紧度量空间的定义和性质对于我们研究和解决实际问题都具有重要意义。
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第一章 度量空间11.4 度量空间的列紧性与紧性1.4.1 度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：R 的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例1.4.1 设22[,]{|()|()|}X L f L f x dx ππππ-=-=<∞⎰，对于,f g X ∈，定义122(,)(|()()|)d f g f x g x dx ππ-=-⎰，令{()}{sin }n f x nx =，那么{()}n f x 是有界的发散点列．证明 由于112222(,0)(|()0|)((sin ))n n d f f x dx nx dx ππππ--=-=⎰⎰11221cos 21cos 2222nx nx dx dx dx ππππππ---⎛-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 所以{()}n f x 为有界点列．对于任意的,n m ∈N ，有121222(,)(|sin sin |)2cos sin 22n m m n n m d f f nx mx dx x x dx ππππ--⎛⎫+-⎛⎫=-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰121cos()1cos()422n m x n m x dx ππ-⎛++--⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ ()12(1cos())(1cos())n m x n m x dxππ-=++⋅--⎰因此{()}n f x 不是基本列，当然不是收敛列．□定义1.4.1 列紧集、紧集与紧空间Sequentially compact set, Compact set, Compact space 设X 是度量空间，A X ⊂．(1) 如果A 中任何点列都有收敛于X 的子列，则称A 为列紧集(或致密集、或相对紧集)； (2) 如果A 是列紧集，也是闭集，则称A 为紧集； (3) 如果X 本身是列紧集(必是闭集)，则称X 为紧空间．注1：若A 是X 的列紧集，{}n X A ⊂且0()n x x n →→∞，那么0x A ∈？若A 是X 的紧集，0x A ∈？．定理1.4.1 设(,)X d 是度量空间，下列各命题成立： (1) X 的任何有限集必是紧集； (2) 列紧集的子集是列紧集；1.4 度量空间的列紧性与紧性2(3) 列紧集必是有界集，反之不真． 证明 (1)、(2)易证．下面仅证(3)．假设A X ⊂是列紧集，但A 无界．取1x A ∈固定，则存在2x A ∈，使得12(,)1d x x ≥．对于12,x x ，必存在3x A ∈，使得13(,)1d x x ≥、23(,)1d x x ≥．由于A 是无界集，可依此类推得到X 的点列{}n X 满足：只要i j ≠，就有(,)1i j d x x ≥．显然点列{}n X 无收敛子列，从而A 不是列紧集导致矛盾，故A 是有界集．反过来，A 是有界集，A 未必列紧．反例：空间2[,]X L ππ=-上的闭球(0,B O =有界，而不是列紧集(见例1.1)．□注2：R 中的开区间(0,1)是列紧集，却不是紧集．(由于R 中的有界数列必有收敛子列，所以(0,1)中的数列必有收敛子列，但(0,1)不是闭集，故列紧不紧．)注3：自然数{1,2,,,}n N =不是列紧集．(N 无界) 推论1.4.1 (1) 紧空间是有界空间；(2) 紧空间是完备空间．证明 (1) 若X 为紧空间，那么X 本身为列紧集，而列紧集有界，故X 为有界空间． (2) 若X 为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知X 中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得X 中的基本列收敛，因此X 为完备的空间．□关于n 维殴氏空间n R 中的列紧集、紧集的特性有如下定理． 定理1.4.2 设n A ⊂R ，n R 是n 维殴氏空间，那么 (1) A 是列紧集当且仅当A 是有界集； (2) A 是紧集当且仅当A 是有界闭集．证明 (1) 必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果A 是有界的无限集，则A 具有极限点，从而可证充分性．(2) 由(1)易得．□注4：由于R 中的非空紧集A 就是有界闭集，定义A 上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．引理1.4.1 设f 是从度量空间(,)X d 到(,)Y ρ上的连续映射(称为算子)，A 是X 中的紧集，那么()f A 是Y 中的紧集．证明 设()E f A =，首先证明E 是Y 中的列紧集． {}n y E ∀⊂，{}n x A ∃⊂，使得()n n y f x =，1,2,n =．由于A 是紧集，所以点列{}n x 存在收敛的子列{}kn x ，且0kn x x A →∈，又知f 是X 上的连续映射，于是0lim lim ()()k k n n k k y f x f x E →∞→∞==∈．即{}n y 有收敛于E 的子列{}kn y ，因此E 为Y 中的列紧集．再证E 是闭集．设{}n y E ⊂，0()n y y n →→∞，根据A 的紧性和连续映射f 可得，对应的点列{}n x (()n n y f x =)存在收敛的子列{}kn x ，0kn x x A →∈．从而00lim lim lim ()()k k n n n n k k y y y f x f x E →∞→∞→∞====∈，即E 是闭集．□第一章 度量空间3定理1.4.3 最值定理设A 是度量空间X 中的紧集，f 是定义在X 上的实值连续函数(泛函)，即:f X →R ，那么f 在A 上取得最大值与最小值．证明 设()E f A =，由上述引理知E 是R 中的紧集．所以E 是R 中的有界集，于是上、下确界存在，设sup{()|}M f x x A =∈，inf{()|}m f x x A =∈．下证M 是f 在A 上取得的最大值，同理可证m 是f 在A 上取得的最小值．由确界性的定义知，n ∀，n x A ∃∈，使得1()n f x M n >-，即可得11()n M f x M M n n-<≤<+-．再由A 为紧集知存在{}{}kn n x x ⊂，使得*kn x x A →∈(k →∞), 于是11()k n k kM f x M M n n -<≤<+- 令k →∞，有*()f x M =，因此M 是f 在A 上取得的最大值．□1.4.2 度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义1.4.2 ε网设X 是度量空间，,A B X ⊂，给定0ε>．如果对于A 中任何点x ，必存在B 中点x'，使得(,)d x x'ε<，则称B 是A 的一个ε网．即(,)x BA O x ε∈⊂图4.1 B 是A 的一个ε网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是2R 的0.8网．图4.2 整数集Z 是全体有理数Q 的0.6网示意图定义1.4.3 全有界集1.4 度量空间的列紧性与紧性4设X 是度量空间，A X ⊂，如果对于任给的0ε>，A 总存在有限的ε网,则称A 是X 中的全有界集．注5：根据定义可知A 是X 中的全有界集等价于0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)ni i A O x ε=⊂，其中(,)i O x ε表示以i x 中心，以ε为半径的开邻域．引理 1.4.2 A 是度量空间X 的全有界集当且仅当0ε∀>，12{,,,}n x x x A ∃⊂,使得1(,)ni i A O x ε=⊂．证明 当A 是全有界集时，0ε∀>，12{,,,}n x x x X ∃⊂,使得1(,)2ni i A O x ε=⊂．不妨设1i n ∀≤≤有(,)2i O x A εφ≠，选取(,)2i i y O x A ε∈，显然12{,,,}n y y y Y ⊂以及(,)(,)2i i O x O y εε⊂，因此11(,)(,)2nn i i i i A O x O y εε==⊂⊂．□注6：在n R 中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理1.4.4 全有界集的特性设X 是度量空间，A X ⊂，若A 是全有界集，则(1) A 是有界集；(2) A 是可分集． 证明 (1) 设A 是全有界集，取1ε=，由定义知，n ∃∈N 及12{,,,}n x x x X ⊂,使得1(,1)ni i A O x =⊂．现令121max{(,)}i i nM d x x ≤≤=+，则易知1(,)A O x M ⊂，可见A 是有界集．(2) 设A 是全有界集，下证A 有可列的稠密子集． 由引理 1.4.2知对于1n nε=(1,2,n =)，存在()()()12{,,,}nn n n n k B x x x A =⊂，使得()11(,)nk n i i A O x n =⊂，下面证明1n n B ∞=是A 的稠密子集．x A ∀∈，0δ∀>，存在0n ∈N ，使得01n δ<，由于0n B 是A 的01n 网，故001n n n i x B B ∞=∃∈⊂，使001(,)n d x x n δ<<，从而，0(,)n x O x δ∈，即1n i B ∞=在A 中稠密，显然1n i B ∞=是可列集，故A 可分．□注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集． 例如全体实数对应的离散度量空间0(,)R d 中的子集{1,23}，，N =是有界集，却不是全有界集．定理1.4.5 全有界的充要条件设X 是度量空间，A X ⊂，则A 是全有界集当且仅当A 中的任何点列必有基本子列． 证明 (1)充分性⇐：反证法．若A 不是全有界集，则存在00ε>，A 没有有限的0ε网，第一章 度量空间5取1x A ∈，再取2x A ∈，使120(,)d x x ε≥，(这样的2x 存在，否则1{}x 为A 的0ε网)．再取3x A ∈，使130(,)d x x ε≥，230(,)d x x ε≥(这样的3x 存在，否则12{,}x x 为A 的0ε网)．以此类推，可得{}n x A ⊂，而{}n x 没有基本子列，产生矛盾，故A 是全有界集．(2)必要性⇒：设{}n x 是A 的任一点列，取1k kε=，1,2,k =，因为A 是全有界集，故A 存在有限k ε网，记为k B ．以有限集1B 的各点为中心，以1ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了A ，从而覆盖了{}n x ，于是至少有一个开球(记为1S )中含有{}n x 的一个子列(1)1{}k x S ⊂．同样以有限集2B 的各点为中心，以2ε为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了(1){}k x ，于是至少有一个开球(记为2S )中含有1{}k x 的一个子列(2)2{}k x S ⊂．依次可得一系列点列：(1){}k x ：(1)(1)(1)(1)123,,,,,k x x x x ． (2){}k x ：(2)(2)(2)(2)123,,,,,k x x x x ． ,,,．(){}i k x ：()()()()123,,,,,i i i i k x x x x ．且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为{}n x 的子列，即()(1)(2)(3)()123{}{,,,,,}k k k k x x x x x =是{}n x 的子列．下证(){}k k x 是基本列．0ε∀>，取K ，使得12K K εε=<，那么当,k p K >时，不妨设p k >，则有()p p k x S ∈，记开球k S 的中心为*k x ，那么有()()()**()(,)(,)+(,)2p k p k p k p k k k k k k d x x d x x d x x εεεε≤≤+=<，故(){}k k x 是{}n x 的基本子列．□推论1.4.2 豪斯道夫(Hausdorff)定理 设X 是度量空间，A X ⊂． (1) 若A 是列紧集，则A 是全有界集；(2) 若X 是完备的度量空间，则A 是列紧集当且仅当A 是全有界集．证明 (1) 因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知A 是全有界集；(2) 必要性⇒：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．充分性⇐：{}n x A ∀⊂，因为A 是全有界集，所以{}n x 含有基本子列{}kn x ，又知X 完备，于是{}kn x 在X 中收敛，可见A 的任何点列都有收敛X 的子列，即A 是列紧集．□注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集．例如：让X 表示[0,1]上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于11lim (1)33n n en →∞+=，所以X不是完备的度量空间、X 不是列紧集．由于0ε∀>，存在正整数n ，使得1nε<，那么1.4 度量空间的列紧性与紧性6 121{0,,,,,1}n n nn-是X 的ε网，所以X 是全有界． 综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：紧集⇒列紧集⇒全有界集⇒⎧⎨⎩有界集可分集紧集⇐闭列紧集⇐完备全有界集定理1.4.6 [,]C a b 中点集列紧的的充要条件设[,]A C a b ⊂，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立．(1) A 一致有界：0M ∃>，x A ∀∈，对任何[,]t a b ∈有()x t M ≤成立；(2) A 等度连续：0ε∀>，0δ∃>(δ与t 及x 无关)，当12,[,]t t a b ∈及12t t δ-<时，x A ∀∈有12()()x t x t ε-<．注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．推论 1.4.3 阿尔采拉(Arzela)引理 设{[,],}i i F f f C a b i I =∈∈是[,]C a b 的一致有界且等度连续的函数族，则从F 中必可选出在[,]C a b 上一致连续的子序列{()}n f t ．定理1.4.7 设(1)p A l p ⊂≥，则A 是列紧集的充要条件为以下两条成立． (1) A 一致有界：0M ∃>，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()ppk k x M ∞=<∑；(2) A 等度连续：0ε∀>，N ∃，12(,,,,)k x x x x A ∀=∈，有11()ppk k N x ε∞=+<∑．例1.4.2 设0(,)X d 为离散的度量空间，A X ⊂，证明：A 是紧集的充要条件为A 是有限点集．(2-18)证明 (1)充分性⇐：设A 是有限点集，则A 必为闭集，又无点列，故为紧集． (2)必要性⇒：反证法．假设A 为无限点集，则必有可列子集A A '⊂，且A '种元素各不相同，不妨设为12{,,,,}{}n n A x x x x '==，当m n ≠时，根据离散度量空间中距离的定义知0(,)1m n d x x =，从而{}n x 无收敛子列，这与A 的紧性矛盾，故A 必为有限集．□例1.4.3 设X 为紧的度量空间，M 是X 的闭子集，证明M 是紧集．(2-21)证明 1 由于M 是闭子集，所以只需证明M 是列紧集．设{}n x 是M 的一个点列，显然{}n x X ⊂，又知X 是紧的度量空间，于是{}n x 存在收敛于X 的子列{}k n x ，即M 是列紧集．□证明2 由于X 是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以M 是列紧集．又知M 是闭子集，因此M 是紧集．□注10：在离散的度量空间中，A 是紧集⇔A 是有限点集．在n 维欧氏空间n R 中，A 是紧集⇔A 是有界闭集． 在完备度量空间中， A 是紧集⇔A 是全有界闭集．紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．泛函分析导论- 23 -。