04 第四章 旋转流变仪的测量原理

的 设 备多 采 用电 子拖 曳 马达 来产 生 力矩 。一 般 商用 应 力控 制 型流 变仪 的 力矩 范围 为 10−7 到 10−1 N ⋅ m ，由此产生的可测量的剪切速率范围为10−6 到 103 s−1 ，实际的测量范围取决于夹具结
构、物理尺寸和所测试材料的粘度。 实际用于粘度及流变性能测量的几何结构有同轴圆筒(Couette)、锥板和平行板等。本章主要
轴圆筒间的剪切速率和速度分布可分别近似为：
γ& rθ
≈−
Ωi KR R−KR
=− Ωi 1−K
Vθ
≈
Ωi KR 1−K
1−
r R

(4-16)
将方程(4-16)代入方程(4-15)，积分并简化得：
π rr (R)−π rr (KR)≈(K −1)N1=(K −1)ψ 1γ&r2θ
(4-17)
=
ρ
Vθ2 r
+σ
θθ
−σ r
rr
(4-14)
对 r 从 r=KR 积分到 r=R ，得
∫ ∫ π rr (R)−π rr
(KR)=
R ρVθ2 KR r
+σ θθ
−σ r
rr
dr=
R ρVθ2 KR r
− N1(r) dr
r
(4-15)
其中 π rr (KR) 和 π rr (R) 分别为在内、外圆筒壁上测得的总应力。当圆筒间的距离很小时，同
γ& rθ
=Ω 1−K
(4-10)
此时流体的粘度可以表示为：
η
=
T (1 − K )
2πR 2 ΩL
(4-11)
当同轴圆筒的间距不是很小时，筒间流场的剪切速率就会发生变化，根据非牛顿粘度的定义，
我们可以得到分别用内筒壁上的剪切速率和外筒壁上的剪切速率确定的粘度：
η(γ&rθ (KR)) =

2
Tn1 − K n
在毛细管中，剪切速率从中心线的零变化到壁上的最大值，而在同轴圆筒中，在设计良好的情况
下，同轴圆筒间剪切速率的变化是比较小的。因此对于多数应用来讲，假设指数定律的成立是可行
的。这可写作：
σ rθ
=
−mγ&rθ n
= −mr
d dr
Vθ r
n
(4-3)
其中剪切速率在柱坐标系中可表示为：
于末端效应产生的额外长度。很明显，这是一种经验方法： Lc 可能会与流体的性质和旋转速率有
关。它并不适用于粘弹性流体，而且当 Lc 大于 L 的 10％时，这种方法也同样不适用。
考虑到校正深度 Lc ，剪切应力可以表示为：
T
• Ω2
• •• •
• Ω1
Lc
L
图 4-4 同轴圆筒末端效应的确定
−σ
rθ
4-2.1 粘度的测量
考虑如图 4-2 所示的情况，半径为 KR 的内筒静止，半径为 R 的外筒以角速度 Ω 旋转，假设
稳态、等温流动，并且忽略末端效应，即假设唯一非零的速度分量为切向速度，并且只是径向位置 的函数(Collyer et al. 1988, Macosko 1994)：
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R
KR
Ω
其中ψ1 是第一法向应力差系数。
实际上，在现有的商用流变仪中，还没有能够应用同轴圆筒来测量第一法向应力差系数，因为 从技术上讲，准确测量旋转圆筒的曲面壁上的法向应力或压力是非常困难的(Carreau et al. 1997)。
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4-2.3 末端校正
在粘度的计算中，需要用到的一个参数是被剪切液体的有效浸没深度 L ，如果不存在末端效
基础上。假设应力张量可以写作：
σ rr (r) σ =σ rθ (r)
0
σ rθ (r) σ θθ (r)
0
0
0

σ zz (r)
(4-13)
R
KR
Ωi
z
πrr(R)
πrr(KR)
图 4-3 同轴圆筒中法向应力的确
动量方程在 r 方向上可以简化为：
d dr
(
p+σ
rr
)=
dπ rr dr
于半径为 R 的平板和锥板之间，锥板的顶角很小(通常θ0 < 3o )。在外边界，样品应该有球形的自
由表面。对于粘性流体，锥板也可以置于平板下方，锥板或平板都可以旋转。在锥顶角很小的情况
下，在板间隙内速度沿θ 方向的分布是线性的，可以表示为：
Vφ
=
Ω
π 2

−
θ

r
θ0
是从牛顿流体得出的，我们也假设对于粘弹性流体它也成立。因此，一般建议锥顶角应该小于 3o 。
锥板结构是一种理想的测量结构，它主要的优点在于(Collyer et al. 1988, Macosko 1994)： (i) 剪切速率恒定，在确定流变学性质时不需要对流动动力学作任何假设。不需要流变学模 型； (ii) 测试时仅需要很少量的样品，这对于样品稀少的情况显得尤为重要，如生物流体和实验室 合成的少量聚合物； (iii) 体系可以有极好的传热和温度控制； (iv) 末端效应可以忽略，特别是在使用少量样品，并且在低速旋转的情况下。 锥板结构也存在一些缺点，主要表现在： (i) 体系只能局限在很小的剪切速率范围内，因为在高的旋转速度下，由于惯性的作用，聚合 物熔体不会留在锥板与平板之间。对于低粘度和有轻微弹性的流体，可以使用杯来代替平板(图 46)，这样可以得到大的剪切速率；
Vθ
L
内筒静止
Ω
图 4-1 同轴圆筒流变仪的示意图
V = {Vr ,Vθ ,Vz }= {0,Vθ (r),0}
积分简化的θ方向动力学方程可以得到：
σ rθ
=
C1 r2
KR R
图 4-2 同轴圆筒间的流动 (4-1)
(4-2)
为了确定 C1 ，我们必须作进一步的假设或使用适当的流变模型。与毛细管流变仪不同的是，

(4-9)
在稳态条件下，内圆筒上的扭矩等于施加于外圆筒上的扭矩(方程 4-9)。对于非牛顿流体，指
数定律的指数 n 可以从扭矩T 与角速度 Ω 的双对数曲线的斜率确定，参数 m 可以从其截距得到。
当同轴圆筒间距很小时( K→1 ，或 K >0.97 )，筒间流场的剪切速率可以看作是常数：
第四章 旋转流变仪的测量原理
4-1 概述 旋转流变仪是现代流变仪中的重要组成部分，它们依靠旋转运动来产生简单剪切流动，可以用
来快速确定材料的粘性、弹性等各方面的流变性能。 旋转流变仪一般是通过一对夹具的相对运动来产生流动。引入流动的方法有两种：一种是驱动
一个夹具，测量产生的力矩，这种方法最早是由 Couette 在 1888 年提出的，也称为应变控制型， 即控制施加的应变，测量产生的应力；另一种是施加一定的力矩，测量产生的旋转速度，它是由 Searle 于 1912 年提出的，也称为应力控制型，即控制施加的应力，测量产生的应变。对于应变控 制型流变仪，一般有两种施加应变及测量相应的应力的方法：一种是驱动一个夹具，并在同一夹具 上测量应力，应用这种方法的流变仪有 Haake，Conraves，Ferranti-Shirley 和 Brookfield 流变 仪；而另一种是驱动一个夹具，在另一个夹具上测量应力，应用这种方法的流变仪包括 Weissenberg 和 Rheometrics 流变仪。对于应力控制型流变仪，一般是将力矩施加于一个夹具，并 测量同一夹具的旋转速度。在 Searle 最初的设计中，施加力矩是通过重物和滑轮来实现的。现代
(KR)
=
2πK
T
2R2 (L
+
Lc
)
(4-18)
为了避免末端效应，可以采用圆筒长度与间距比大于 100 的同轴圆筒，这种情况下，末端效应 可以忽略不计。内圆筒的末端与外圆筒的相互作用可以通过改变内圆筒底部的形状。实际上，内圆 筒底部的形状可以为锥形，锥顶角的选择要使锥面与圆筒底部间的液体所受的剪切速率等于同轴圆


(4-19)
其中 Ω 是施加在锥板(或平板)上的旋转角速度。应变速率张量的θφ 分量为剪切速率：
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γ&
= γ&θφ
=
sin θ r
∂

∂θ

Vφ sin θ

≈
−Ω θ0
θ
Ω
θ1
θ0
r
R
(4-20)
F 图 4-5 锥板结构的示意图
因此，在锥顶角很小的情况下，剪切速率是常数，并且相应的流动为简单剪切流动。这个结果
多数应用，流体的粘度足够大时，一直到剪切速率为104 s−1 ，我们都可以忽略涡流的影响。如果所
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测试流体的粘度很小( <0.01Pa⋅s )，就必须考虑这些扰动的出现对粘度测量影响的可能性。
4-2.2 第一法向应力差的测量
从原理上讲，同轴圆筒可以用来测量法向应力差(如图 4-3)，这是基于流动为简单剪切的近似
现 Taylor 涡流，这对于实际测量的准确性有很大的影响。选择外筒旋转的目的就是要保证在较大 的旋转速率下也尽可能保持筒间的流动为层流。一般同轴圆筒间的流场是不均匀的，即剪切速率随 圆筒的径向方向变化。当内、外筒间距很小时，同轴圆筒间产生的流动可以近似为简单剪切流动。 因此同轴圆筒是测量中、低粘度均匀流体粘度的最佳选择，但它不适用于聚合物熔体、糊剂和含有 大颗粒的悬浮液。
图 4-6 锥板－杯式结构 (ii) 对于含有挥发性溶剂的溶液来讲，很难消除溶剂挥发和自由边界带来的影响。为了减小这 些影响的作用，可以在外边界上涂覆非挥发性流体，如硅油或甘油。但是要特别注意所涂覆的物质 不能在边界上产生明显的应力； (iii) 对于多相体系，如固体悬浮液和聚合物共混物，如果其中分散粒子的大小和板间距相差不 大，就会引起很大的误差。对于多相体系的最佳选择是同轴的平行板夹具；