机械振动之简谐振动

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§4- 2 谐振动的运动学
一、谐振动的运动学方程
以弹簧振子为例，其动力学方程为
d2x dt 2
2x
0
该方程的解 x A cos t 0 即为谐振动的运动学方程
式中A和0为由初始条件所决定的两个积分常数。
v
dx dt
A
sin( t
0)
a
dv dt
A 2
cos( t
m
d2x dt 2
k(x
l)
mg
式中 l 是弹簧挂上重物后的静伸长
A 0 xF
mg x
因为 kl mg
m d 2 x kx, dt 2
即有：d 2 x dt 2
2
x
0
这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐
标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原
系统动力学特征相同的谐振子系统。
0
)
能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是
(2)初位相
t 0
t=0 时的Fra Baidu bibliotek相 0
(0, 2 ) or ( , )
x0 v0
A cos 0 Asin 0
tg 0
v0
x0
取使x0 、 v0 均满足的值
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用分析法确定初位相
X
0 X0=+A ❖ t=0时, x0=0, v0<0
令 2 g
l
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为 0 cost 0
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３、复 摆
构成：刚体绕水平光滑轴转动
1）定义：
条件：同单摆
2）复摆运动微分方程
⊙⊙
h
●c
M mgh sin M mgh
mg
──式中h指质心到悬点的距离
由定轴转动的转动定律：
I
d 2
dt 2
固有振动周期
单摆 弹簧振子 复摆
2 g
l
2 k
m
2 mgh
I
T 2
T 2
T 2
l g
m k
I mgh
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3、位相：(位——位置；相——变化的态势）
位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之 相──取其具有周期性。）
1
x v
Acos(t 0 ) Asin(t
自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系
统内部回复力作用下运动。
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（1）平衡位置与坐标原点：
平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原 点。
（2）弹性回复力的特点： K
回复力与位移正比而反 向（线性回复力），即
F= -kx
此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。
x Acos(t 0 ) Acos(t T ) 0
Acos(t 0 2 )
T 2
或 T 2
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(2)频率：单位时间内所完成的完全振动的次数 1 T 2
(3)圆频率：２秒内完成的完全振动的次数
即＝２
(4)固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率
固有角频率
（3）惯性的作用
F 0 xX
整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。
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（4）弹簧振子的运动微分方程
以振子为对象, 由牛顿定律：
d2x m dt 2 kx
令 2 k
m
则得
d2x dt 2
2
x
0
解微分方程得： x A cos(t 0 )
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２、单摆
构成 : 一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联
条件 : 在重力作用下,在竖直平面内作小角度的摆动( 50 )
（1）平衡位置与坐标原点：
铅直位置为角平衡位置，o为角坐标 原点。
（2）回复力矩的特点： 重力对过悬点0/的水平轴的力矩为： M mgl sin
负号表示力矩方向始终与角位置方 向相反
谐振动的运动学方程 x A cos(t 0 )
式中A、 0 是由初始条件所决定的两个积分常数
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例1: 弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧 重量和阻力，试证其在平衡位置附近的 振动是谐振动。
证：以平衡位置A为原点，向下为x
轴正向， 设某一瞬时m的坐标为x， 则物体在振动过程中的运动微分方程 为
mgh
令 2 mgh
I
则得
d 2
dt 2
2
0
方程的解为
0 cos t 0
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二、简谐振动的特征
1、动力学特征：
振动系统所受的力是线性回复力（力矩）
F= -kx M mgl
M mgh
其谐振动的微分方程：
d2x dt 2
2x
0
2、运动学特征：
物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。
简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡
位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正
弦）规律变化的振动。
x A cos(t 0 )
2
§4-1 简谐振动的动力学特征
一、几个谐振动的实例
１、弹簧振子
构成：轻质弹簧与刚体联结 条件：位移在弹性限度内，
无阻尼时的自由振动
X
0
阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射
ll
oooo/
/
T
R
0 mg0
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根据麦克劳林展开 sin 1 3 1 5
3! 5!
略去高阶无穷小后
M mgl
（3）惯性的作用：
此处的惯性指摆球对过 0 的水平轴的
转动惯量
I ml 2
（4）单摆的运动微分方程
由定轴转动的转动定律：
ml
2
d 2
dt 2
mgl
v
X
0
❖ t=0时, x0=-A, v0=0
X
-A 0
❖ t=0 时，x0=A, v0=0.
vx00
Acos0 Asin 0
A
0
0 0
vx00
Acos0 Asin 0
0
0
0
2
vx00
Acos0 Asin 0
A 0
0
15
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❖ t=0时, x0=0, v0>0 v
0)
2x
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二、描述谐振动的三个物理量
1、振幅A──由初始条件x0、v0决定
x V
Acos(t 0 Asin(t
)
0
)
令 t=0 则
x0 Acos0 (1)
V 0
Asin0
(2)
12 22
得
A
x0 2
V0 2
2
2、周期T（频率、圆频率ω 、固有圆频率）
（1）周期T：完成一次完全振动所需的时间
第4章 机械振动
§4-1 简谐振动的动力学特征 §4-2 谐振动的运动学 §4-3 简谐振动的能量 §4-4 简谐振动的合成 §4-5 阻尼振动 受迫振动 共振
1
狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复
运动，称为机械振动。
广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在某一 数值附近反复变化。
振动中最简单最基本的是简谐振动。