导数及其应用高考题精选(含答案)

导数及其应用高考题精选

1.（2010 ·海南高考·理科T3）曲线2

x

y x =+在点()1,1--处的切线方程为（ ）

（A ）21y x =+ （B ）21y x =- （C ）23y x =-- （D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

【规范解答】选 A.因为 2

2

(2)y x '=+，所以，在点()1,1--处的切线斜率1

2

2

2(12)

x k y =-'

==

=-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A.

2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：

万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3

1812343

y x x =-+-，

则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）

(A) 13万件 (B) 11万件 (C) 9万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故

选C.

3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2

x ,y=3

x 围成的封闭图形面积为（ ） （A ）

1

12

(B) 1

4 (C) 13 (D)

712

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A,由题意得: 曲线y=2x ,y=3x 的交点坐标为

(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为123

0x -x )dx=

⎰（111

1-1=3412

⨯⨯,故选A.

4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P 在曲线y=4

1

x e +上，α为

曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） (A)[0,4

π) (B)[,)42

ππ 3(,

]24

ππ

(D) 3[

,)4

π

π 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan α的范围，再根据正切函数的性质求α的范围。 【规范解答】选D.

[)224,1444'1

1(1)()2121

0'0,1'01tan 0,30D 4

x

x x x x x x x

x x y e e e y e e e e e e x e

y y ααπ

απαπ=

+---∴===≥=-+++++=<∴-≤<-≤<∈∴

≤

又。设倾斜角为，则又，，。故选

5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）4

2

1

dx x

⎰等于（ ） A 、2ln 2- B 、2ln 2 C 、ln 2- D 、ln 2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

【思路点拨】记住x 1

的原函数.

【规范解答】选D .421

dx x

⎰=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2

)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,k N *∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是________

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由0y =，即可求得切线与x 轴交点的横坐标。

【规范解答】由y=x 2(x>0)得，2y x '=，

所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：

22(),

k k k y a a x a -=-

当0y =时，解得2

k

a x =， 所以1135,1641212

k

k a a a a a +=

++=++=. 【答案】21

7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m 正三角形薄片沿一条平

行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2

(S =梯形的周长）

梯形的面积

,则

S 的最小值是____ ____。

【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x ，然后用x 分别表示梯形的周长和面积，从而将S 用x 表示，利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ，

则：22

2

(3)(01)1x S x x -==<<- 方法一：利用导数的方法求最小值。

2

2(3)()1x S x x -=-

，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-

222222(26)(1)(3)(2)2(31)(3)

(1)(1)x x x x x x x x -⋅---⋅----==--

1

()0,01,3

S x x x '=<<=，

当1(0,]3

x ∈时，()0,S x '<递减；当

1

[,1)3x ∈时，()0,S x '>递增； 故当1

3

x =时，S

。