2016年高考导数试题及答案(精选)
【福建省】2016届高考数学年(理科)导数专题练习答案
x
2
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）对任意的 x1 [1, e ] ，都存在 x2 [1,4] ，使得 f (x1) g(x2 ) ，求 b 的取值范围；
（Ⅲ）已知方程 f (x) cx 有两个根 x1 ， x2 （ x1 x2 ），若 g(x1 x2 ) 2c 0 ，求证： b 0 ．
2
2
10 ． 已 知 f1( x) s i nx c oxs， 记 f2 (x) f1(x) ， f3 (x) f2(x) ， … ， fn (x) fn1(x)(nN*, n 2) ， 则
f1
(
π 4
)
f2
(π 4
)
.
.
.
.. .f2
0
11 33
B． 3 或 1
C． 2 或 2 33
D． 1或 1 3
6．若不等式 2xlnx x2 ax 3 0 对 x(0,) 恒成立，则实数 a 的最小值是（ ）
A． 4
B．0
C．
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分．
7． 1 (x sinx)dx ________． 1
A． f (a) f (b) f (c)
B．函数 f (x) 在 x c 处取得极大值
C．函数 f (x) 在 x e 处取得极小值
D．函数 f (x) 的最小值为 f (d)
5．已知函数 f (x) 1 x3 x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c 的值为（ ） 3
8．若函数 f (x) 1 x3 1 x2 ax 1 恰在[1,2] 上单调递增，则实数 a 的值为________． 32
2016高考真题含答案
2016高考真题含答案题目：2016高考真题2016高考数学试题一、选择题1. 若函数f(x)经过点(2, 5)，则f(x)可能是以下哪个函数？(A) f(x) = 2x + 1(B) f(x) = 3x - 1(C) f(x) = 2x - 1(D) f(x) = x^2 + 1答案：C2. 若a,b为正数，且(a+b)^2=81，下列结论中正确的是：(A) a^2 + b^2 = 81(B) a^2 + 2ab + b^2 = 9(C) a + b = √81(D) a - b = 3答案：B3. 若函数f(x)的图像关于点(1, 3)对称，则函数f(x)可能是以下哪个函数？(A) f(x) = 2x + 1(B) f(x) = x^2 - 1(C) f(x) = x^3 + 3x(D) f(x) = √x答案：B二、填空题4. 一个球从100m的高度自由落下，在每次撞地后弹起的高度是它下一次落下的高度的1/2，求第10次落地时共经过的距离。
答案：300m5. 某池塘有一种蚊蜂，蚊每10天滋生2000只，蜂每30天滋生200只，现已知某天时，池塘内共有6200只蚊蜂，该天距今多少天？答案：29天三、解答题6. 已知等比数列{an}的前三项分别为a₁=2，a₂=6，a₃=18，求公比r及第n项的表达式。
解答：由题意，可得 a₂/a₁ = a₃/a₂则 6/2 = 18/6得 r = 3又可得 a₃/a₂ = a₄/a₃则 18/6 = a₄/18得 a₄ = 54所以，公比r为3，第n项的表达式为：aₙ = 2 * 3^(n-1)四、解答题7. 已知在一个三角形ABC中，∠B = 120°，AC = 3，AB = 2√3，则BC的长度为多少？解答：由三角形ABC，我们可以通过余弦定理求得BC的长度。
设BC = x根据余弦定理：x^2 = 3^2 + (2√3)^2 - 2 * 3 * 2√3 * cos(120°)x^2 = 9 + 12 - 12√3 * (-1/2)x^2 = 21x = √21所以，BC的长度为√21。
2016年高考数学理真题分类汇编：导数及其应用
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为【答案】D二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程 是_______________。
【答案】21y x =--三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′x x x a x f －－－ 322)(1(=x ax x )－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1） 当＜２＜a 0时，1>2a， (0,1)∈x 或),(∈+∞2a x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，32322+11=2)(1(=)(′xx x x x x x f 2－－)－－于是)2+1112+ln =)(′)(322xx x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′xx x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21=)2(h ． 所以23=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′)(h x h x x f x f ））－． 即23)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
导数说题——16年全国卷21题
题目价值：
• 凭借导数的性质及其应用解决函数问题已经成为 高考数学解答题的必考题型，纵观近几年高考题 ，我们发现导数题年年变，但形变质不变。所以 ，学生解决数学问题，一定要追根溯源，提炼出 题目想要考察的的最原始的数学思想、技巧、方 法和知识点；而教师一定要注重对学生的启发和 引导，引导学生回归教材，研究教材，在此基础 上加强训练学生一题多解，多题一解的能力，使 学生做到举一反三，以不变应万变
y
O
1
2
x y=aபைடு நூலகம்
所以当且仅 a 0时，f ( x)有两个零点
方法一的分析：
重点：判断函数图像的大体走势，画出大 致图像。 难点：结合图像对函数的分析；计算量大。 突破：利用函数单调性与导数的关系和极限 思想解决。
方法2：求导，利用函数的单调性、极值、 最值，分类讨论a的取值范围
f ( x) ( x 2)e x a( x 1)2
说题流程：
命题立意 考点总结
学情分析
重点难点分析 技巧方法
解题过程
学生易错
拓展变式
题目价值
命题立意：
以函数求参和证明不等式为背景 • 选修2-2—导数及其应用 必修一—函数的应用(方程的跟与函数的零点) 必修五—不等式的证明 • 运算求解能力、归纳推理论证能力、数据处理能 力、创新意识； 分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化思想、 函数与方程思想、极限思想。
拓展变式：
1、2015年山东卷理科数学
2016年高考数学真题解析之导数真题(理科)
1 x
2 x2
2 x3
)
x
ln
x
3 x
1 x2
2 x3
1
，
x [1,2] ，
令 g(x)
x ln x, h(x)
3 x
1 x2
2 x3
1， x [1,2] .
则 f (x) f '(x) g(x) h(x) ，
由
g
'(x)
x 1 x
0
可得
g(x)
（Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）若 f（x）存在极值点 x0，且 f（x1）= f（x0），其中 x1≠x0，求证：x1+2x0=3；
1 （Ⅲ）设 a＞0,函数 g（x）= |f（x）|,求证：g（x）在区间[0,2]上的最大值不．小．于．4 .
5．设函数 f (x) cos 2x ( 1)(cos x 1) ，其中α＞0，记 f (x) 的最大值为 A.
2．（Ⅰ）当 x （0, 1 ) 时， f '(x) <0， f (x) 单调递减；当 x （ 1 ，+) 时， f ' (x) >0，
2a
2a
f (x) 单调递增；（Ⅱ） a Î [1 ,+¥) .
2 【来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版） 【解析】 试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的
试卷第 2页，总 2页
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参考答案 1．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【来源】2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版） 【解析】
2016年高考导数试题及答案(精选)
1.(新课标1)已知函数有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.解：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若2ea<-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x xg x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．2(新课标2)(I)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x xx x e x e x e f x x x -+--==≥++且仅当0x=时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x -+++==+由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+于是0h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x xe x e e x x x +=>+++单调递增所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e 3. (新课标3)设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记的最大值为A .（Ⅰ）求f ＇（x ）；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明≤2A .解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<.当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.4(山东 )已知()221()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立解（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(xx ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a时，/3(1)()(a x f x x x x -=+.（1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a时，120<<a，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述， 当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x--=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x .则)()()()(/x h x g x f x f +=-，由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号.又24326'()x x h x x--+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，所以在]2,1[上存在x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ，所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减，由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号，所以23)2()1()()(/=+>-h g x f x f ，即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(导数及其应用)
（II）当 a b 4 时， f x x3 4x2 4x c ， 所以 f x 3x2 8x 4 ．
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令 f x 0 ，得 3x2 8x 4 0 ，解得 x 2 或 x 2 ．
3
f x 与 f x 在区间 , 上的情况如下：
x
f x
（I）求曲线 y f x.在点 0, f 0 处的切线方程；
（II）设 a b 4 ，若函数 f x 有三个不同零点，求 c 的取值范围；
（III）求证： a2 3b＞0 是 f x.有三个不同零点的必要而不充分条件.
【答案】（Ⅰ）
y
bx
c
;（Ⅱ）
c
0,
32 27
;（III）见解析.
ln x, 0 x 1,
4.（2016 四川文、理）设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= ln x, x 1,
图象上点 P1，P2 处的切线，
l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,& BPD 30 .
过 P 作直线 BD 的垂线，垂足为 O .设 PO d
则
SPBD
1 2
BD d
1 2
PD
PB sin
BPD ，
即 1 x2 2 3x 4 d 1 x 2sin 30 ，解得 d
x
.
2
2
x2 2 3x 4
而 BCD 的面积 S 1 CD BC sin BCD 1 (2 3 x) 2 sin 30 1 (2 3 x) .
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2016年数学全国高考1卷试题及答案
2016年数学全国高考1卷试题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效().4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【答案】D【答案】B【解析】【答案】C【解析】【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，小明到达时间总长度为40，等车不超过10分钟，符合题意的是是7:50-8:00，和8:20-8:30，故所求概率为，选B.（5）已知方程x2m2+n –y23m2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) 【答案】A（6）如图，某几何体的三视图是三个半径()相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C）（D）【答案】C【解析】12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点学.科网，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =.(14)5(2x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。
2016年高考数学卷导数综合题解析
ｇ（ ） 在 区间 （ １ ， ＋。 。 ） 上 单调递 增． 故 ｇ（ １ ） 一 １是
ｇ（ ） 在 区 间（ 一。 。 ， ＋Ｃ × 。 ） 上 的最小 值．
从 而 ｇ（ ｚ） ＞ ０，ｚＥ （ 一。 。， ＋。 。 ） ．
综上 厂 （ ｚ ） ＞Ｏ ， ｚＥ（ 一。 。 ， ＋。 。 ） ．
１ ４ ＋ｚ ｊ ＋４ ｙ 一４ ｘ ０ —８ ｙ ０ ＋４ ｘ ０ Ｙ ｏ
一
２
ｚｏ Ｙ ０ —２ ｙ ｏ —ｚ ｏ ＋２ １ ８ —４ ｚ ｏ 一８ ０ ＋４ ｘ ｏ Ｙ ｏ ２ Ｘｏ Ｙｏ 一２ ｙ ０ 一ｚ ０ ＋２ 一
问题 的能力 、 数 学学 科素 养都 有很 高 的要 求 ．
１ 利用二次求导 ， 弄 清 函数 性 质
利用 导数 解决 函数 问题 时 ， 一 般 步骤 为 确 定 函数
以， 当 ｚ Ｅ（ 一。 。 ， １ ） 时， ｇ （ ｚ） ＜０ ， ｇ（ ｚ） 在 区 间 （ 一ｃ ｘ ３ ， １ ） 上单调 递减 ； 当Ｉ ｚ Ｅ（ １ ， ＋。 。 ） 时， ｇ （ ｚ） ＞Ｏ ，
：＝
妻言
耋
可能 出现． 解 题 的关键是 抓住 切 点 ， 没 给切 点 的要 先设 出切 点 坐标 （ ｚ 。 ， 。 ） ， 再 利 用切 点处 的 导数 等于 切 线 的斜 率和 切 点 是 原 函 数 的 图象 与切 线 的公 共 点 构 造
２ ｚ ０ Ｙ ｏ 一２ ｙ ｏ — ０ ＋２
的定 义域 ； 求函数的导数 ； 判 定 导 函数 的零 点 或 导 函 的高 考 试 题 中 ，
许 多学 生在 求 导 函数 的零 点 时 遇 到 障碍 ， 求 导 函数 的
2016年江苏省高考数学试题(含附加题+答案)
XC中高考资料第 1 页 共 15 页绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ .3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 ▲ .4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 5.函数y =232x x --的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ . 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用.doc
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A2、（2016年全国I 高考）函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为 【答案】D 二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln2-2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。
【答案】21y x =-- 三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+， （1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间. 【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ②由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=- ∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【解析】(Ⅰ) 求导数322)11(=)(′xx x a x f －－－当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x ax a x x a x ax x x f ))－－)－－（1）当＜２＜a 0时，1>2a，(0,1)∈x 或),(∈+∞2ax ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，)(1,∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，1=2a， )(0,∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2<0a， )(0,∈ax 2或∞)(1,∈+x ，0>)(′x f ，)(x f 单调递增， ,1)(∈ax 2，0<)(′x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，212+ln =)(x x x x x f －－，于是)2+1112+ln =)(′)(322x x x x x x x x f x f 2－－－(－－－，－1－1－322+3+ln =xx x x x ，]2,1[∈x令x x x ln =)g(－ ，322+3+=)h(xx x x －1－1，]2,1[∈x ， 于是)(+(g =)(′)(x h x x f x f ）－， 0≥1=1=)(g ′x x x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；又42432+=+=)(h ′x x x x x x x 6－2－362－3－设6+23=)(θ2x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；。
2016年高考数学文真题分类汇编：导数及其应用 Word版含答案
2016年高考数学文试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________. 【答案】32、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件. 解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点． 当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点， 所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞， 则()112'2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增； 当0a >时， 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >， 所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增， 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减， 所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减， 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。
2016年高考数学理试题分类总汇编导数及其应用.doc
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题一1 nx,0 ：： x ：： 1,1、 ( 2016年四川高考)设直线 l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P i ，P 2In x,x A 1,处的切线，11与I 2垂直相交于点P,且|1，|2分别与y 轴相交于点A , B,则△ PAB 的面积的 取值范围是(A ) (0,1)( B ) (0,2) ( C ) (0,+ R ) ( D ) (1,+ R )【答案】A2、 ( 2016年全国I 高考)函数y=2x 2- e |x|在［-2,2］的图像大致为、填空题y = ln(x ■ 1)的切线，则 b 二 ________【答案】1 -1n 22、(2016年全国III 高考)已知f x 为偶函数，当x ：：： 0时，f(x) =ln(-x) • 3x ，则曲1、(2016年全国II 高考)若直线 y 二kx • b 是曲线y = In x • 2的切线，也是曲线线y二f x在点(1,-3)处的切线方程【答案】y=「2x_1 三、解答题1、(2016年北京高考) 设函数f(x)二xe a°・bx，曲线y = f (x)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x - 4，(1 )求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间.【解析】(I’)’ f(x)二xe a」・bx••• f (x) =e a- -xe a- b=(1—x)e a* b•••曲线y = f(X)在点(2, f (2))处的切线方程为y =(e -1)x 4••• f (2) =2(e -1) 4 , f (2) =e —1即f (2) =2e a2 2b =2(e -1) - 4 ①f (2) =(1—2)e a， b =e—1 ②由①②解得：a =2 , b =e(II )由(I)可知：f (x) =xe" ex, f (x) =(1 -x)e2」e令g(x) =(1-x)e2」,•- g (x) = -e2」一(1 _x)e2» =(x _2)e2丄• g(x)的最小值是g(2) =(1-2)e2' =-1•- f (x)的最小值为f ⑵=g(2) • e 二e「1 0 即f (x) 0对-x・R恒成立•f(x)在-::，；上单调递增，无减区间•“2x —12、(2016 年山东高考)已知f(x)二a x-I nx 2 ,a，R.x(I)讨论f (x)的单调性；(II )当a =1时，证明f(x)> f' x •孑对于任意的x，〔1,2 1成立.)求导数 f '(x)二 a(1— -)—2x — 2x (x —1)(ax 2—2)(n )当 a =1 时，f(x)= x — l nx+^F^ , xf(x) = (x —^=1— 1二+刍x x x是 f(x)— f (x) = x — In x +2x —1—(— 1 x x “ 3 1 2二 x — In x —1 + — + ~2 — 3 , x ：二[1,2]xx x31 2【解析】(Ix 3当a<0时,x €(o,1) , f '(x)>0 ,f (x)单调递增,f(x)单调递减;当a >f( x)=(x -1)(ax2-2)x 3a(xT )(x —、a )(x+； ax 3(1)当0v a <2时,2>1, ax €(0,1)或 x乙2，+马，f '(x)>°，f (x)单调递增,€(1,) , f (x) < 0 , f (x)单调递减; \ a⑵ 当a = 2时,2= 1, x €(0,+旳,f (x) >0 , f(x)单调递增, a(3)当 a>2时，0<十2<1 ,\ ax2鬥或 x 5…(x)>0，f (x)单调递增,x €(： 2,1), ■- af (x) < 0 , f (x)单调递减;令 g(x) = x — In x , h(x) = —l+_+p — 3 , x [1,2]x x x于是 f (x)— f '(x) = g(x ) + h(x),1 g'(x) = 1 ------------------- x—1 x>0 ,g(x)的最小值为g(1) = 1 ；x又 h(x)= 32 3 + x 6 —3 x 2—2 x + 6 " 2 x4= x4 x设 6(x) = —3x 2—2x+6, x [1,2]，因为 6(1) = 1 , 0(2) = —10 , 所以必有x 0 € [1,2]，使得0x 。
【精品】2016年高考数学(新课标版) 专题21 函数与导数大题 含解析
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值（Ⅱ）若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围.【解析】（1）利用导数的几何意义进行求解；（2）构造函数“()()()F x kg x f x =-”，对k 的取值范围进行分类讨论，进而得到答案.2.【2013⋅新课标全国】已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.【答案】（1）(0)4f =，'()()24x xf x e ax b ae x =++--，故'(0)4(0)4f f ⎧=⎨=⎩，解得4a b ==； （2）2()(44)4x f x e x x x =+--，'()(44)424(2)(42)x x x f x e x e x x e =++--=+-；令0x =，所以2x =-或1lnln 22x ==-，所以当x 变化时，'()f x 、()f x 变化如下表所示：所以极大值2(2)4f e -=-. 3.【2014高考全国1】设函数1()ln x x be f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1) 2.y e x =-+（I ）求,;a b（II ）证明：() 1.f x >4.【2014高考全国1文】设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围.【解析】（1）'()(1)a f x a x b x=+--，由题设知'(1)0f =，解得1b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-，'1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a-=+--=---5.【2015全国卷1理】已知函数21()()ln 4f x x axg x x =++=-，． (Ⅰ) 当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(Ⅱ) 用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数()min{()()}h x f x g x =，(0)x >，讨论()h x 零点的个数．【解析】（Ⅰ）设曲线y =f (x )与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010,430,x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩ 解得012x =，34a =-． 因此，当34a =-时，x 轴为曲线y =f (x )的切线方程． （Ⅱ）①当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而{}()min (),()()0h x f x g x g x =≤<，()h x 无零点．②当1x =时， （ⅰ）若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，{}(1)min (1),(1)(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；（ⅱ）若54a <-，则5(1)04f a =+<，{}(1)min (1),(1)(1)0h fg f ===，故1x =不是()h x 的零点．③当(0,1)x ∈，g()ln 0x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．（ⅰ）若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单增．1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当0a ≥时，()f x 在(0,1)没有零点．（ⅱ）若30a -<<，则()f x 在单调递减，在单调递增，故在(0,1)中，当x =()f x 有最小值，最小值为14f =．若0f >，即304a -<<，()f x 在(0,1)没有零点；若0f =，即34a =-，()f x 在(0,1)有唯一零点；若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点． 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点． 6.【2015全国卷1文】已知函数2()e ln x f x a x =-．(Ⅰ) 讨论()f x 的导函数()f x '零点个数；(Ⅱ) 证明：当0a >时，2()2ln f x a a a+≥．7.【2015全国卷2理】设函数2()e mx f x x mx =+-．(Ⅰ) 证明：()f x 在(0)-∞，单调递减，在(0)-∞，单调递增；(Ⅱ) 若对于任意12[11]x x ∈-，，，都有12|()()|e 1f x f x --≤，求m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）()(1)2mx f x m e x '=-+若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>； 若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -<，()0f x '>． 所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的,()m f x 在单调递减，在单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，所以对于任意1212,[1,1],|()()|1x x f x f x e ∈--≤-的充要条件是(1)(0)1,(1)(0)1,f f e f f e -≤-⎧⎨--≤-⎩即1,1,m m e m e e m e -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩ ① 设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e '=-当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立；当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m e m e ->-；当1m <-时，()0g m ->，即1m e m e -+>-．综上，m 的取值范围是．8.【2015全国卷2文】已知函数()ln (1)f x x a x =+-．(Ⅰ) 讨论函数()f x 的递增性；(Ⅱ) 当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围．【热点深度剖析】2013年高考理科考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想；文科考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与函数的极值，考查学生的基本推理能力. 2014年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力；文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用，考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.2015年文理4份试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题.近三年的高考试题基本上形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程进而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为和不等式相联系，考查不等式恒成立问题、证明不等式等综合问题，难度较大. 从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应用．预测2016年高考函数大题以对数函数，指数函数，反比例函数以及一次函数，二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，与不等式结合考查恒成立问题．【重点知识整合】1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆. 注意：在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.3.导数的物理意义：函数()s s t =在点0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '=4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x'=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=.5.求导法则：法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'；法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=；法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 6.复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'7.导数与函数的单调性1.函数()y f x =在某个区间内有导数，如果()0f x '>，那么函数在这个区间上是增函数,该区间是函数的增区间；若()0f x '<，那么函数在这个区间上是减函数，该区间是函数的减区间.2.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数8. 导数与函数的极（最）值1.极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.2.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点.3.极值：极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs 大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f .（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.4.当()f x 在点0x 连续时，判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '；()2求方程()0f x '=的根；()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .9.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．注意：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.10.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p.【应试技巧点拨】1.利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线()y f x =上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点.２．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论． 在利用“若函数()f x 单调递增，则()'0f x ≥”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．３．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．(2)求导数()'f x ．(3)①若求极值，则先求方程()'0f x =的根，再检验()'f x 在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程()'0f x =根的大小或存在情况，从而求解．４．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤(1)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．５.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.６.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【考场经验分享】1．利用导数讨论函数的单调性需注意的几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内()'0f x >(或()'0f x <)是函数()f x 在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 2．可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系． (2)若()f x 在(),a b 内有极值，那么()f x 在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3.如果一个函数单调性相同的区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”连接，只能用逗号或“和”字隔开，如把增区间写为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”是不正确的，因为“(－∞，－23)∪(1，＋∞)”不是一个区间，该函数在(－∞，－23)∪(1，＋∞)上不是单调递增的．４．利用导数解决不等式问题的类型：(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．(2)比较两个数的大小：一般的解决思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个函数的大小．(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．５.函数的解答题，一般放在最后一道题的位置，难度较大，尤其是第二问，与不等式联系，是拉开分数的试题，故关于此题，要端正好心态，对于第一问一般不难，是学生必须带分的部分，做题要仔细，特别是与单调区间有关，首先要考虑定义域，另外，求导要准确，这是基础；对于第二问，往往需要通过不等式等价转化，构造函数，通过求导研究函数的单调性最值，然后达到证明不等式的基本模式. 【名题精选练兵篇】1.【2016届江苏省南师附中等四校高三联考】设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(xf y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）∵()xaf x e x'=-，∴()1f e a '=-， 由题设得：()()110e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩（2）由（1）得()ln 1xf x e x =--，∴()1(0)xf x e x x'=->， ∴()()210xf x e x''=+>，∴函数()f x '在()0,+∞是增函数，∵()120,1102f f e ⎛⎫''=<=-> ⎪⎝⎭，且函数()f x '图像在()0,+∞上不间断， ∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：∴函数()f x 存在极小值()0f x∴()000min01ln 11110x h x e x x x '=--=+->=>⎡⎤⎣⎦， ∴()1,,02x h x ⎡⎫'∈+∞>⎪⎢⎣⎭， ∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增． ∴()1122min1111ln ln 22222h x h e e ⎛⎫==-=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，结合（*）有121ln 22m e ≥+， 即实数m 的取值范围为121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭2．【2016届湖北省龙泉中学等校高三9月联考】 定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 及二次函数()g x 满足: 211()2()ln xf x f x x+-=,(1)(3)3,g g =-=，且()g x 的最小值是1-. （Ⅰ）求()f x 和()g x 的解析式;（Ⅱ）若对于12,[1,2]x x ∈，均有2112211()2()2ln 222g x ax x f x +≤++-成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设()()(),0(),(),0f x x x g x x ϕ>⎧⎪=⎨≤⎪⎩讨论方程[]()1x ϕϕ=-的解的个数情况.(Ⅱ)设()2()()2G x g x ax x a x =+=++,211()2ln(1)2ln 222F x x x =-++-, 依题意知:当12x ≤≤时, max min ()()G x F x ≤∵222(2)(1)()0111x x x x F x x x x x +-+-'=-==≥+++,()F x 在[1,2]上单调递增, min ()(1)0F x F ∴==()()1302280G a G a =+≤⎧⎪∴⎨=+≤⎪⎩，解得4a ≤-， ∴实数a 的取值范围是(,4]-∞-；(Ⅲ) 图像解法：()x ϕ的图象如图所示: 令()T x ϕ=,则()1T ϕ=-121,1T T e ∴=-=-而()1x ϕ=-有两个解, ()1x e ϕ=-有1个解.[]()1x ϕϕ∴=-有3个解.代数解法：令()T x ϕ=,则() 1.T ϕ=-3．【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知函数()ln 1x xf x x =+和直线():1l y m x =-．（1）当曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离； （2）若对于任意的[)()()1,,1x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围； （3）求证：2141ni ii=-∑．()*n N∈【解析】（1）()()21ln 1x xf x x ++'=+∴()112f '=，于是2m =-，直线l 的方程为220x y +-= 原点O 到直线l的距离为5（3）由（2）知，当1x >时，12m =时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立， 不妨令()*2121k x k N k +=∈-， 所以221121************k k k k k k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--++⎝⎭， ()()()*214ln 21ln 21441k k k k N k +⋅-<∈⎡⎤⎣⎦-()()()()()22211ln 3ln1441111ln 3ln144211ln 21ln 21441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎨⨯-⎪⎪+--<⎪⨯-⎩累加可得 ()()*211ln 21441ni in n N i =+<∈-∑，()*2141ni i n N i =<∈-∑4．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】设函数(),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数.（1）若曲线()y f x =在点 22(,())e f e 处的切线方程为2340x y e +-=，求实数,a b 的值； （2）当1b =时，若存在 212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值.① 当14a ≥时，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222min124e f x f e ae ==-≤，故21124a e≥-. ② 当14a <时，由于()2111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 当00a a -≥⇒≤时，()0f x '≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min 14f x f e e ae ==->，不合题意. 当0a -<即104a <<时，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈使 ()0f x '=，且满足：当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当()20,x x e ∈时， ()0f x '>，()f x 为增函数；所以()()000min 01ln 4x f x f x ax x ==-≤，()20,x e e ∈. 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾. 综上得a 的最小值为21124e-. 5．【2016届江苏盐城三模】已知函数()ln f x m x =（m R ∈）. （1）若函数()y f x x =+的最小值为0，求m 的值；（2）设函数22()()(2)g x f x mx m x =+++，试求()g x 的单调区间； （3）试给出一个实数m 的值，使得函数()y f x =与1()(0)2x h x x x-=>的图象有且只有一条公切线，并说明此时两函数图象有且只有一条公切线的理由.（2）由题意，得22()ln (2)g x m x mx m x =+++， 则222(2)(2)(1)()mx m x m x m mx g x x x +++++'==， ①当0m ≥时，()0g x '≥，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0m <时，由()0g x '=，得2m x =-或1x m =-，综上所述，()g x 的单调区间如下：①当0m ≥时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；②当m =()g x 在(0,)+∞上单调递减； ③当0m <<时，函数()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为02m-（，）与1+m -∞（，）；④当m <()g x 的增区间为1(,2m m --），减区间为10m -（，）与+2m-∞（，）.（3）12m =符合题意.理由如下：此时1()ln 2f x x =.设函数()f x 与()h x 上各有一点111(,ln )2A x x ，2221(,)2x B x x -，则()f x 以点A 为切点的切线方程为11111ln 222y x x x =+-，()h x 以点B 为切点的切线方程为22222122x y x x x -=+，6．【2016届湖北省沙市中学高三下第三次半月考】设函数f(x)＝aln x ＋12a -x 2－bx(a ≠1)，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f(x 0)＜1aa -，求a 的取值范围． 【解析】（1）f '(x)＝ax＋(1－a)x －b.由题设知f '(1)＝0，解得b ＝1，（2）f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋12a -x 2－x ， f '(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝11a a x x a -⎛⎫- ⎪-⎝⎭(x －1)． （i ）若a≤12，则1aa-≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f '(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)<1a a -的充要条件为f(1)<1a a -，即12a -－1<1aa -，解得1.7．【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】已知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈． （1）若(1)0f =，求函数()f x 的最大值；（2）令()()(1)g x f x ax =--，讨论函数()g x 的单调区间；（3）若2a =-，正实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x ++=，证明：12x x +≥ 【解析】（１）因为(1)102a f =-=，所以2a =，此时2()ln ,0f x x x x x =-+>，2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>，由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f = （2）21()()(1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =--=-+-+， 所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>． 所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数，当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==， 令()0g x '=，得1x a =，所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>，当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数． 综上，当0a ≤时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间； 当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1(,)a+∞8．【2016届辽宁省沈阳东北育才学校高三二模】已知函数：()ln 3(0)f x x ax a =--≠. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1,2]a ∈，若函数23()[2()]2x g x x m f x '=+-在区间()3,a 上有最值，求实数m 的取值范围.【解析】（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞， 且 1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）2332()[2()](),22x mg x x m f x x a x x '=+-=++- 2()3(2)1,g x x m a x '∴=++-()g x 在区间(,3)a 上有最值， ()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩9．【2016届青海省平安一中高三4月月考】已知函数()()ln f x x a x =+有极小值2e --.（1）求实数a 的值； （2）若k Z ∈，且()1f x k x <-对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【解析】（1）()1ln f x a x '=++，令()10a f x x e--'>⇒>，令()100a f x x e--'<⇒<<故()f x 的极小值为()112a a f e e e -----=-=-，得1a = (2) 当1x >时，令()()()()2ln 2ln ,111f x x x x x xg x g x f x x x +--'==∴=---， 令()()112ln ,10x h x x x h x x x-'=--∴=-=>，故()y h x =在()1,+∞上是增函数. 由于()()31ln30,42ln40,h h ''=-<=->∴存在()03,4x ∈,使得()00h x '=. 则()()01,,0x x h x '∈<，知()g x 为减函数；()()0,0x x h x '∈+∞>知()g x 为增函数,()()000000min 0ln ,,1x x x g x g x x k x x +∴===∴<-又()0max 3,4,,3x k Z k ∈∈∴=.10．【2016届河北省衡水中学高三下学期一模】设a 为实数，函数()()211xf x x e a x -=--.（1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值； （2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.（2）由题意，知()()21x g x x a e -=-，则()()()'212122x xg x x x a e x x a e --=-+=-++根据题意，方程220x x a -++=有两个不同的实根()1212,x x x x <440a ∴∆=+>，即1a >-，且122x x +=121211,2x x x x x <∴<=-且，由()()'211x g x f x λ≤其中()()'212xf x x x e a -=--，得()()()()1111222111111222x x x x a ex x e x x λ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦21120x x a -++=所以上式化为()()()()1111221111112222x x x x e x x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦又120x ->，所以不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.①当10x =，11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；②当()10,1x ∈时，1111210x x eeλ---+≤恒成立，111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++ ③()1,0x ∈-∞时，1111210x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21ee λ≤+ 11. 【林省实验中学2015届高三第三次模拟】已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的最大值；（Ⅱ）设2()()(0)≥g x f x ax a =-，l 是曲线()y g x =的一条切线，证明：曲线()y g x = 上的任意一点都不可能在直线l 的上方； （Ⅲ）求证：12482(1)(1)(1)[1]e 233559(21)(21)nn n -+⋅+⋅++<⨯⨯⨯++（其中e 为自然对数的底数，n ∈N *）．（Ⅲ）由（Ⅰ）知ln(1)≤x x +在(1,)-+∞上恒成立，当且仅当0x =时，等号成立，故当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x +<，又因为112112()(21)(21)2121n n n n n --=-++++，所以12482ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)nn n -++++⨯⨯⨯++12482ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559(21)(21)nn n -=++++++++⨯⨯⨯++12482233559(21)(21)n n n -<++++⨯⨯⨯++1111111112[()()()()]2335592121n n -=-+-+-++-++1122()1122121n n =-=-<++，所以12482(1)(1)(1)[1]233559(21)(21)nn n e -+++⋅⋅+<⨯⨯⨯++．12．【辽宁省朝阳市三校协作体2015届高三下学期开学联考】设函数()()()1ln 1f x ax a x =-++，其中0a >.（1）当0x >时，证明不等式()ln 11xx x x<+<+； （2）设()f x 的最小值为()g a ，证明()10g a a-<<.13 ．【江西省九江市2015年第一次高考模拟】设函数ln ()ab xf x x=，1()()2g x x a b =-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点1,(1))f （处的切线方程为(1)y ae x =-. （1）求b 的值；（2）若对任意1[,)x e∈+∞，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围. 【解析】（1）由ln ()ab x f x x=，得2(1ln )()ab x f x x -'=，由题意得(1)f ab ae '==， ∵0a ≠，∴b e =；14．【湖南省怀化市2015届高三上学期期中】已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x (Ⅰ)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 单调递增区间；(Ⅲ)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,[所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =(Ⅱ)由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++.令a a x x h xln )1(2)(-+=，则0ln 2)('2≥+=a a x h x ，所以当0,1a a >≠时, ()f x '在R 上是增函数，又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+； （Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立,而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可.又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:15. 【湖北省黄冈市2015届高三上学期元月调研】已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中.a R ∈（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =-+在区间(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）证明：211sinln 2.(1)nk k =<+∑ 【解析】（Ⅰ）11()ln ()(0)ax F x ax x F x a x x ax-'=-=-=>，，①当0a ≤时，()0F x '<，()(0,)F x +∞在递减，()F x 无极值；②当0a >时，令()0F x '=，得1x a=，11()(0,)(,)F x a a ∴+∞在递减，在递增，11()()1ln 11F x F a a a∴==-=∴=极小， ；（Ⅱ）()sin(1)ln (0,1)G x a x x =-+在上是增函数，1()cos(1)0(0,1)G x a x x x'∴=--+≥∈对恒成立，cos(1)0x ->，0a ∴≤当时，()0G x '≥恒成立，当0a >时，()0G x '≥等价于1cos(1)x x a≥-，设()cos(1),()(0,1)h x x x h x =-显然在递增，1()(1)1101h x h a a∴<=∴≥<≤，，即，故a 的取值范围是1a ≤；16. 【河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研】已知函数1e )(--=ax x f x(a 为常数)，曲线y ＝f (x )在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1. (Ⅰ)求a 的值及函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)证明：当0>x 时，1e 2+>x x ；(Ⅲ)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ . 【解析】（Ⅰ）由1e )(--=ax x f x ，得a x f x -='e )(. 又11)0(-=-='a f ，∴2=a .∴12e )(--=x x f x ，2e )(-='x x f . 由02e )(>-='x x f ，得2ln >x . ∴函数)(x f 在区间)2ln ,(-∞上单调递减，在),2(ln +∞上单调递增.(Ⅱ)证明：由（Ⅰ）知4ln 112ln 2e )2(ln )(2ln min -=--==f x f . ∴4ln 1)(-≥x f ，即4ln 112e -≥--x x ，04ln 22e >-≥-x x . 令1e )(2--=x x g x ，则02e )(>-='x x g x . ∴)(x g 在),0(+∞上单调递增，∴0)0(1e )(2=>--=g x x g x ， ∴1e 2+>x x .(Ⅲ)首先证明：当0>x 时，恒有331e x x>. 令331e )(x x h x -=，则2e )(x x h x -='. 由(Ⅱ)知，当0>x 时，2e x x >，所以0)(>x h ，所以)(x h 在),0(+∞上单调递增， ∴01)0()(>=>h x h ，所以331e x x >. ∴)31ln(3x x >，即x x ln 33ln >+. 依次取n n x 1,,23,12+= ，代入上式，则 12ln 33ln 12>+， 23ln 33ln 23>+， ，nn n n 1ln 33ln 1+>++. 以上各式相加，有)12312ln(33ln 12312n n n n n +⨯⨯⨯>+++++ ， ∴()1ln 33ln )131211(+>++++++n n nn ， ∴()n n n n --+>++++3ln 1ln 3131211 ， 即()n n n n e31ln 1312113+>++++ 【名师原创测试篇】1．已知函数1)(--=ax e x f x （a ∈R ），()212g x x =． (Ⅰ) 求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)已知当1,1x n >-≥时，nx x n +≥+1)1(，求证：当2,n N x n *∈<时，不等式2)1(x e nxn n x n ≤--成立．2. 设x e x f x sin )(+=，ax x g =)(，且)()()(x g x f x G -= (Ⅰ)0=x 是否为)(x G 的极值点？如果是，并求a ； (Ⅱ)若1)(≥x G 在),0[+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)),,0[1+∞∈∃x ),,0[2+∞∈∃x 使得2131)(x x f =成立，求12x x -的最小值 【解析】(Ⅰ)由已知ax x e x G x-+=sin )(，则a x e x G x-+=cos )('，令02)0('=-=a G 解得a=2， 当0<x 时，0)('<x G ，当0>x 时，()011sin )(''=-≥-=x ex G x，所以)('x G 在),0[+∞上单调递增，≥)('x G 0)0('=G ，故0=x 为)(x G 的极值点 ；(Ⅱ)由1)0(=G ，a G -=2)0('，()011sin )(''=-≥-=x e x G x ，从而)('x G 在),0[+∞上单调递增，≥)('x G a G -=2)0('，当2≤a 时，≥)('x G 0222)0('=-≥-=a G ，所以)(x G 在),0[+∞上单调递增，1)0()(=≥G x G ，符合题意 ，当2>a 时，)('x G 在),0[+∞上单调递增，且02)0('<-=a G ，所以存在),0(+∞∈m ，当),0[m x ∈时，0)('<x G ，当),(+∞∈m x 时，0)('>x G ，即)(x G 在),0[m 递减，在),(+∞m ，递增，所以),0[m x ∈时，1)0()(=≤G x G ，不符合题意，综上2≤a ； (Ⅲ) )31sin (311121x x e x x x-+=-，由(Ⅱ)知)31sin (3111x x e y x -+=在),0[+∞上单调递增， 所以3)31sin (3111≥-+=x x e y x ，故12x x -的最小值为3. 3. 已知函数()4(,)af x x b a b x=++∈R 为奇函数. （Ⅰ）若()15f =，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当2a =-时，不等式()f x t ≤在[]1,4上恒成立，求实数t 的最小值； （Ⅲ）当1a ≥时，求证：函数()(2)()x g x f c c R =-∈在(],1-∞-上至多一个零点.（Ⅲ）证明：()c ax g xx -+⋅=224，设任取任意实数121-≤<x x ，()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=-c a c a x g x g x x x x 22122422421121112221222422422x x x x x x x x a a +++-⋅-+⋅=()()212121212222224x x x x x x x x a ++---⋅=()()21212122224x x x x x x a ++--⋅=，因为11-≤<x x ，所以221-<+x x ，12424221=⋅<⋅-+x x ，因为1≥a ，所以1-≤-a ，所以02421<-⋅+a x x ，又因为02221<-x x ，1220x x >，所以0)()(21>-x g x g ，即。
2016年高考数学理真题导数及其应用
2016年高考数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)2、（2016年全国I 高考）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为二、填空题1、（2016年全国II 高考）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．2、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。
三、解答题1、（2016年北京高考） 设函数()a x f x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.2、（2016年山东高考）已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.3、（2016年四川高考）设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) ＞-e 1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。
4、（2016年天津高考）设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈，其中R b a ∈,(I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于．．．41错误！未找到引用源。
2016年高考理科导数大题
1. （2016年新课标Ⅰ理数）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围；(II)设12x x ，是()f x 的两个零点，证明：12 2.x x +<2. （2016年新课标Ⅱ理数）(I)讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20;xx e x -++>(II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（） 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.3. （2016年新课标Ⅲ理数）设设函数()()()cos21cos +1f x x x αα=+-，其中0α>，记()f x 的最大值为A .（Ⅰ）求'f x （）； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明()'2f x A ≤.4. （2016年北京理数）设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为()14y e x =-+， （I ）求,a b 的值；(I I) 求()f x 的单调区间。
5. （2016年江苏理数）已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠.（1） 设122a b ==，. ① 求方程()=2f x 的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.6. （2016年山东理数）已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立7. （2016年上海理数）已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.8. （2016年四川理数）设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R . （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间1+∞（，）内恒成立(e 2.718=⋯为自然对数的底数)。
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1.(新课标1)已知函数有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1，x 2是的两个零点，证明：+x 2<2.解：（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =，则()(2)xf x x e =-，()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >，则当(,1)x ∈-∞时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-，(2)f a =，取b 满足0b <且ln2a b <，则223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->，故()f x 存在两个零点． （iii ）设0a <，由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-，则ln(2)1a -≤，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点． 若2ea<-，则ln(2)1a ->，故当(1,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，所以()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <，由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞，22(,1)x -∈-∞，()f x 在(,1)-∞上单调递减，所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-，即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-，而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=，所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)x xg x xe x e -=---，则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时，'()0g x <，而(1)0g =，故当1x >时，()0g x <．从而22()(2)0g x f x =-<，故122x x +<．2(新课标2)(I)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数2x =(0)x e ax a g x x-->（） 有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x xx x e x e x e f x x x -+--==≥++且仅当0x=时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=-所以(2)(2),(2)20x x x e x x e x ->-+-++>（II ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x -+++==+由（I ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+于是0h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x xe x e e x x x +=>+++单调递增所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e 3. (新课标3)设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记的最大值为A .（Ⅰ）求f ＇（x ）；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明≤2A .解：（Ⅰ）'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---．（Ⅱ）当1a ≥时，'|()||sin 2(1)(cos 1)|f x a x a x =+-+2(1)a a ≤+-32a =-(0)f =因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--．令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a-=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-．令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >．（ⅰ）当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>．又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a -++==． 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩． （Ⅲ）由（Ⅰ）得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-.当105a <≤时，'|()|1242(23)2f x a a a A≤+≤-<-=.当115a <<时，131884a A a =++≥，所以'|()|12f x a A ≤+<.当1a ≥时，'|()|31642f x a a A ≤-≤-=，所以'|()|2f x A ≤.4(山东 )已知()221()ln ,x f x a x x a R x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立解（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；3232/)1)(2(22)(xx ax x x x a a x f --=+--=. 当0≤a， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a时，/3(1)()(a x f x x x x -=+.（1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，0)(/≥x f ，)(x f 单调递增； （3）2>a时，120<<a，当)2,0(a x ∈或x ∈),1(+∞时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；当x ∈)1,2(a时，0)(/<x f ，)(x f 单调递减. 综上所述， 当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减；当20<<a时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增；当2>a ，)(x f 在)2,0(a内单调递增，在)1,2(a内单调递减，在),1(+∞内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，/22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x--=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=xx x x h x x x g ，]2,1[∈x .则)()()()(/x h x g x f x f +=-，由01)(/≥-=xx x g 可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号.又24326'()x x h x x--+=，设623)(2+--=x x x ϕ，则)(x ϕ在x ∈]2,1[单调递减，因为10)2(,1)1(-==ϕϕ，所以在]2,1[上存在x 使得),1(0x x ∈ 时，)2,(,0)(0x x x ∈>ϕ时，0)(<x ϕ，所以函数()h x 在),1(0x 上单调递增；在)2,(0x 上单调递减，由于21)2(,1)1(==h h ，因此21)2()(=≥h x h ，当且仅当2=x 取得等号，所以23)2()1()()(/=+>-h g x f x f ，即23)()(/+>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 恒成立。