高等代数行列式计算方法

第2章 n 级行列式的计算方法

2.1 定义法

对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义可知，

n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为

12

12

()

12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该

项的值为零。若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。

例1 计算n 级行列式

000010

2

01000

00

00

D n n =

-

2.2 利用行列式的性质

例2 计算n 级行列式

11121212221

2

n n

n n n n

x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=

---.

解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；

当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,

i n =行列式的值不变，得

111212121211

1

1

n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------=

=---

综上可得

111212(1)()()(2)

0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪

=--=⎨⎪≥⎩

2.3 三角化法

由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用

“化零”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。

例4 计算n 级行列式

n x

b b b b

x b b D b

b x b b

b

b

x =

解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把

第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得

(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n b

x b b D x n b

b x b

x n b

b

b

x

+-+-=+-+-

[

]11(1)11b b

b x b

b

x n b b x

b

b b

x

=+-

[]1

00

0(

1)0000

b

b

b x b x n b x b

x b

-=+---

1

[(1)]()

n x n b x b -=+--

例5 计算n 级行列式

1211

211

21

1

2

3

n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x

---=

解 将其他各列全部加到第一列，可得

11211

1

2111

2

1

1123

1

n i n i n i

n i n i

n i n i

i x a a a a x a x a a x a a x

a x a a a x

--=--=--=-=++=

++∑∑∑∑

121211

2

1

1

2

3

11()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x

----==+∑

1211

1

21

2

1

2132

1

1000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----

∑

1

11

1

()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏

2.4 升级法

行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。

例6 计算n 级行列式

112131n a a a a a a a a D a

a

a a

a

a

a

a n

++

=

++

.

解 利用加边法.

1101

10

210n n a a a a a a a

a a

D D a

a

a n

+++

==

+

1110011

2110

a a a n

--=

-

将n D 的第二列乘1，第三列乘2，…，第1n +列乘n 并都加到第一列，可得

1

10

10010

02100

n

k n ka a

a a D n

=+=

∑=(1)1

[1]2!

n n a n ++ 2.5 降级法

按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。此方