高等代数行列式计算方法
行列式的计算方法(最全版)PTT文档
12 1 3
0 2 3 14 0 2 3 14
160
0 0 8 47 0 0 8 47
0 0 8 37
0 0 0 10
方法3 拆行（列）法
由行列式拆项性质，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再 得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
例3 求解行列式
axby aybz azbx D aybz azbx axby
azbx axby aybz
解 按第一列拆开,再提公因子得
x a ybza zbx y a ybza zbx Day a zbxa xbybz a zbxa xby
z a xbya ybz x a xbya ybz
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
xyz D= ( a 3 b 3 ) y z x
行列式的计算方法
行列式的计算是高等代数中的难点、重 点，特别是高阶行列式的计算，学生在学 习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握
计算高阶行列式的方法很多，但具体 到一个题，要针对其特征，选取适当的方 法求解。
方法1 定义法
利用n阶行列式的定义计算行列式,此法适用于0比较多的行列式。
例1 求下列行列式的值
zxy
方法4 降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法.
它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
递推降阶法用于需经多次降阶才能求解，并且较低 阶行列式与原行列式有相同结构的情况。
例4 求解下列行列式：
x y 00 0
Dn anxDn1 ①
把 Dn-1 按同样的方法展开得
高等代数第一章行列式第二讲
（其中第一个行列式从最后一行起，每行减前一行，第二个行列式按 最后一列展开。）
练习
1、计算
1 2 3 n 2 1 2 n-1 3 2 1 n-2 4 3 2 n-3 n n 1 n 2 1
Dn
提示： Dn=(-1)n+1(n+1)2n-2 （从最后一 行起，每行减前 一行，然后在每列上加上 第一列）
1+a1x1 Dn 1+a1x 2
2+a 2 x1 1 a 2 x1 a1x1 2+a 2 x 2 1 a 2 x 2 a1x 2
2 (x1 x 2 )(2a1 a 2 ) 2
当n 1时，D1 1 a1x1
（6）变换元素法：将行列式的每个元素加同一个数.
令D= ij
1 1 =x （a1 -x）（a n -x）( + + x a1 -x + 1 ) a n -x
（7）加行加列法：在行列式中加一行一列后再计算。
4、计算 1 2 x1
n x1
1 2 x2 xn 2 1 x2 2 x2
n x2
1 2 xn xn n 1 xn 2 xn
n xn
1 x1 2 解：考虑D= x1
1 ) (x i x k ). x n 1 k i n 1 1 1 x n ( + + + ) (x i x k ) x x2 x n 1 k i n 1 + ) (x i x k ) x n 1 k i n +
（8） 拉普拉斯展开法（Laplace）：
利用Laplace公式：D=M1A1+M2A2+…+MtAt计算。
行列式的计算方法
引言 (1)一、行列式的定义及性质 (2)(一）行列式的定义及相关公式 (2)（二）n级行列式的性质： (4)二、行列式的计算 (6)（一）行列式的基本计算方法 (6)1、定义法： (6)2、三角形法： (7)3、降阶法： (12)4、换元法： (14)5、递推法： (15)6、数学归纳法: (16)7、目标行列式法： (18)(二）行列式的辅助计算方法 (19)1、加边法： (19)2、析因子法： (21)3、连加法： (21)4、拆项法： (22)5、乘积法： (23)结束语 (24)参考文献： (26)行列式的计算方法摘要行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分,是高等数学的一个基本的概念.行列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科分支都有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决实际问题带来了许多方便。
本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。
辅助方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性。
关键词行列式，计算方法，线性方程组。
The Calculation of DeterminantLiuHui（College of Mathematics and Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linear equation group first，moreover all has the widespread application in other discipline branches，we can say that it is an important study tool which in mathematics，the physics as well as the engineering course many curricula。
高等代数行列式计算方法
行列式计算方法1、 定义法：适用于0比较多的行列式．2、 按行（列）展开 ─ 降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.3、 利用7条基本性质，化为三角形行列式4、 其他方法1）、析因子法例：计算221123122323152319x D x-=-解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =， 1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0D =， 2x ∴=±为D 的根．故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +-+-设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+-+-令0x =，则112312231223152319D ==-，即：1(1)2(2)12.a ⋅⋅-⋅⋅-=- 3.a ∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-2）、可转为箭形行列式的行列式：箭形行列式：01211122,0,1,2,3.n n i nna b b b c a D c a a i n c a +=≠=箭形行列式解法：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的i ic a -倍加到第1列，得：11201()ni i n n i ib c D a a a a a +==-∑注：某些行列式可转为箭形行列式计算，例如12111111)1111na a a a +++12)na x x xa xb x xx a方法：第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习． 3）、行（列）和相等加于第1列（行）()1 (1)1(1)1)(1)(1)1a b ba nb b b b b b a b a n ba b a b a a n b bbaa nb b aba+-+-=+-+-都加于第列提出公因子()121100()(1)00n b b a b a b a n b a b--=-+--第至第行分别减去第行1 1231123123411341(1))211321132122111221n n n n n n n n b n n n n n n n nn n n n --+---------都加到第列提取公因子123101111(1)20111101111n nn n n n n--+--减去 从最后一行起逐行其前一行111111(1)111121111n n n n n n--+--依第列展开111110(1)200n n n n n n n n ---+- 从最后一行起逐行减去其前一行1111(1)20n nnn n nn---+--从最后一列起逐列加上其前一列(1)(1)1122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n nn nn n-+--++=--=-4）、加边法适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化简可转为箭形行列式．加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会．a ） 1121221212,0n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++=≠+b ） 12121212120,00n nn n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++=≠++解：a ）12112122121000n n nn n na a a ab a a D a a b a a a a b +++加边121211001001n na a ab b b ---都减去第一行11111211001b 0(1).ni n i ij nni n i ia a ab b j b a b b b b =-=+=+∑∑第列的倍加于第一列（j=2,3,,n+1）b ） 2112121111222212121111101001n n n nnnnnn n n n a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a ++++----++--++都减去第一行加边1212111111222222223n 21100001011101011120011020112n n nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a +++--------------再加边第至列都减去第列12112221220111012120012102022102n nnn a a a a a a a a a +-------- 第列乘以3n 21122(3,42)jj a j n +-=+ 第至列都加于第列第列的倍都加于第列12121111112211122002000002002i n i nn a n a a a a a a a -------∑∑22112,111122(2)(2)[(2)]1122nn n i i n n i j jin a a a a a a a n a n a -=-=-=----∑∑∑注意：A B A CC=5）、三对角型行列式── 递推公式法a ）9500495004900095049n D =解：1121150049594920,549nn n n n D D D D -----=-按第列展开即有 11254(5)n n n n D D D D ----=- 于是有 221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D ------=-==-=(6145)n-= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n nn n n n D D D D D D ------=-==-=-= 即1111545445nn n n n n nn n D D D D D -++-⎫-=⎪⇒=-⎬-=⎪⎭方法总结：先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）．0001000100.00001n a b ab a b ab a b b D a b ab a b+++=++）解：121()nn n D a b D abD --+-按第列展开∴ 211221()()n n n n n D a D b D a D b D a D -----=-==- 且 211221()()n n n n n D b D a D b D a D a D-----=-==-而 2221,D a ab b D a b =++=+22221 ();n n n n D aD b a ab b a ab b ---=++--=∴ 22221().n nn n D bD aa ab b a ab a ---=++--=由以上两式解得： 11(1)n n n n a b a b D a bn a a b++⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩6） 拆项法（主对角线上、下元素相同）12)n n a x a a a a x a a D aaa x ++=+解：11221100nnn n a x a a a x a a a a x a a a x a D aa a x aaa--+++++依最后一列拆开1211n n n a x a a a a x a x D aaa--++=+12111n 00000n n n x a x a x D a--+第一个行列式第至列都 减去第列1211n n n x x x a x D --=+1122121232.n n n n n n n D x x xaxD x x x a x D -------=+=+ 继续下去，可得：111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D -----=+++++但 1212122a x a D a x a x x x aa x+==+++ 所以：121211221323()n n n n n n n D x x x a x x x x x x x x x x x x x --=+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时,注：也可以用加边法做 1111011n nn a a a a a x a x a D aaa x x +-==+-111101,200ni ii na a a x x i n x a x =+≠==∑当时, b ） n a b b b ca b b D cc a b ccc a = 解：000nc b b b a c b b b ca b b a b b D c c a b c a b cccacca-+依第一列拆开111()11n nb b b a b bc a c D c a b c ca -=+-11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc ba b--=+------11()()n n c a b a c D --=-+-①又：000nbb b b a bc a b b c a b b D c c a b c c a b cccaccca-+依第一行拆开11111()n c a b bb a b D cc a b ccca-=+-11()()n n b a c a b D --=-+-②所以：a b a c ⨯-⨯-①（）-②()，得 ()()nnn c b D c a b b a c -=---()．1[()()]/[(1)]()n nn n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b -≠=----==+--当时，当时，7）、 数学归纳法a ） 证明：12121111111(1)111n n ina a D a a a a a ++==++∑(120n a a a ≠ )证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立．假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑，则对于1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得：1122111110111111101111011*********11111111k kkk a a a a D a a a ++++++=+++1211101100111011111k k k a a a D a +=+ 121k k k a a a a D +=+ 121121211111(1)(1)kkk k k k i i iia a a a a a a a a a a a ++===+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．b ） 证明：cos 112cos 112cos cos 2cos 112cos 112cos n D n ααααααα==证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立．2n =时，22cos 12cos 1cos 212cos D αααα==-=，结论成立．假设当1n k =-、2k -时结论成立，则当n k =时，将k D 按第k 行展开得：11cos 1012cos 1012cos 2cos (1)102cos 011k kk k kD D ααααα+++=+-111cos 112cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D αααααα++--=+-=-由归纳假设，得：12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=--=-2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=-+cos cos sin sin k k αααβ=+cos(1)k α=+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．c ） 计算：22222121221212n a aa aa D a aa aa=解：分析 12D a =；2222312a aD a a==；2233212412aaD a aaa==；……，于是猜想：(1)nn D n a=+同c )方法用数学归纳法证明（自证）． 8） 有关范德蒙行列式范德蒙行列式：122221212221211112111()n n ni j j i nn n n n n n n nx x x x x x Dx x xxxx x x ≤<≤------==-∏证明： 12222122221211112111n n n n n n nn n n nx x x x x x D x x x x x x ------=1n x 第行开始，每行减去其前一行的倍211222113322112222111110()()0()()0()()n n n n n n n n n nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------1依第列展开2131n 12213212122222132121()()()()()()n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------提出每列公因子232222131n 12322223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x x ------2131n 11()()()n x x x x x x D -=---于是：213141n 13242n 22213141n13242n 2()()()() ()()() ()()()() ()()() n n n D x x x x x x x x D x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x --=-------===------- n 1 ()n x x --简写为： 1222212111112111()n n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏a ） 12222122221212111n nn n n n n n n n nx x x xxxD xxxx x x---=解：比较范德蒙行列式，缺少2n -次幂行，所以应补之．于是考察1n +阶范德蒙行列式122222121111121211111()n n n n n n nnnnnnn x x x x x x x xf x x x x x x x x x----+=（1）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（2）视x 文字，一方面，由（1）知n D 是行列式()f x 中元素1n x -的余子式.1n n M +，即：1,1,1,1(1)n n n n n n n n n D M A A +++++==-=-于是将()f x 按其第1n +列展开可得()f x 中1n x -的系数为n D -．另一方面，从()f x 的表达式（2）及根与系数的关系知，()f x 中1n x -的系数为：121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤-=-+++-∏∴ 121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤=+++-∏b ） 2221212111nn n n n nxxxD xxx=解：考虑1n +级范德蒙行列式12222212111112121111()n nn n n n n n n n nnx x x x xxxxg x xxxx x x xx----=（3）121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=----∏（4）一方面，由（3）知n D 是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++==-于是将()g x 按其第1n +列展开，即知()g x 中x 的系数为3(1)n n D +-另一方面，由()f x 的表达式（4）知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x -≤<≤-+++-∏∴ 323121211(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x +-≤<≤-=-+++-∏∴ 2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤=-+++-∏。
计算行列式的方法
计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。
行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。
行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。
这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。
方法二，利用性质简化计算。
行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。
比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。
通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。
方法三，高斯消元法。
高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。
通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。
这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。
方法四，利用特殊矩阵的性质。
对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。
这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。
方法五，利用行列式的几何意义。
行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。
通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。
综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。
希望以上内容对您有所帮助。
高等代数 第二章 行列式计算方法小结
0 0 0
0 0 0 .
0 0
0 0
ab a b 1 ab
展开 按 c 1 D ( a bD )n a b D n 1 n 2
n 2 D a D b ( D a D ) b ( D a D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
n 2 D b D a ( D b D ) a ( D b D ) n n 1 n 1 n 2 2 1
1 又，当 x 时，1，2行相同，有D 0 ， x 1 为D的根． 2时，3，4行相同，有 D 0, 当 x
为D的根． x 2
1 , 1 , 2 , 2 故 D 有4个一次因式:xxxx
行列式的计算
设 D a ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 2 ) , 令 x 0, 则
1 xx 0 Dx xx ( 1 a ) 当x 时, 12 n n 12 n x i 1 i
行列式的计算
n
0 ( i1 , 2 n ) 当x 时也可以用加边法做： i
D n
1 a 0 a x 1 a a
n
a a a xn
1 a 1 x1 1
a 0 xn
1 1 a a i 1 x i Dn 0 x1 0
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式 1 1 11 x1 x2 xn x x21 x22 x2n x2 f ( x)
xn11 xn12 xn1 xn2
行列式的计算
xn1n xn1 xnn xn
( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x x ) 1 2 n i j
行列式的计算
行列式的计算方法
行列式的计算方法摘 要：行列式的求解是高等数学中一个非常重要的内容，通常是用行列式的性质和相关定理求解。
通过对课本知识的理解,加上参考网上与课外书有关资料，找出十种行列式的计算方法,整理如下：1． 定义法例 计算行列式0010020010000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n n na aa a n---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nn n a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n nn nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)nnD =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b b a b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b D a n bb a b a n bb ba +-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-1000[(1)]0000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
行列式计算方法归纳总结
数学与统计学学院中期报告学院:专业:年级:题目:学生姓名: 学号:指导教师姓名职称:年月日目录1 引言 (1)2行列式性质 (2)3行列式计算方法 (6)3.1定义法 (6)3.2递推法 (9)3.3化三角法 (9)3.4拆元法 (11)3 .4加边法 (12)3.6数学归结法 (13)3.7降价法 (15)3.8利用普拉斯定理 (16)3.9利用范德蒙行列式参考文献......................................................................................................... 错误!未定义书签。
8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。
关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式The concept and application of determinant Summary:This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。
行列式的计算技巧总结
行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1.行列式的概念及性质 (2)n阶行列式的定义 (2)行列式的性质 (2)2.行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)定义法 (4)利用行列式的性质 (5)降阶法 (7)升阶法（加边法） (9)数学归纳法 (11)递推法 (12)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14)拆行（列）法 (14)构造法 (17)特征值法 (18)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)三角形行列式 (19)“爪”字型行列式 (19)“么”字型行列式 (21)“两线”型行列式 (22)“三对角”型行列式 (23)范德蒙德行列式 (25)5.行列式的计算方法的综合运用 (26)降阶法和递推法 (27)逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27)构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结 (29)参考文献 (30)学习体会与建议 (31)摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式 计算方法1．行列式的概念及性质 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211a a a a =21122211a a a a ，=333231232221131211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义． 设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n 21nj j 2j 1a a a ⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，， 的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即nnn n nn a a a a a a a a a212222111211=()()n21n21n 21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a a n2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nn n2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.nnn n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=.例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121.解：mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 . 2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式． 即nn nn nnnnnn B A B C A •=0，nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa aa()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法． 例9计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -=()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =. 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析 例11计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-1100010000001100001010001D 133221.110100001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式 4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a22113332232211312110000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000 . “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nnnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. “么”字型行列式 4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c 2101122，nnna b c a b c a b c a2221110，n n n c a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.“两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式．4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a0000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.“三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析 例17求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法 通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ. 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：50～104.[2]钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002：24～58[3]刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]杨鹏辉.行列式的计算技巧.宜春学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]张新功.行列式的计算方法探讨.重庆师范大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.江苏教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 陈林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.河北理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。
浅谈高阶行列式的几种基本计算方法
浅谈高阶行列式的几种基本计算方法
行列式的概念是随着求解线性方程组而发展起来，是线性代数中的一个重要工具，在数学本身、物理学、工程技术等其他学科领域有着广泛的应用。
方法一、定义法
由行列式定义可以知道，阶行列式值等于所有取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和。
随着行列式阶数的增大，计算量越来越大，在行列式阶数较低或含有很多零元素的情况下选择利用定义法计算行列式的值。
例1 计算行列式。
解行列式D中每行只有一个非零元，由定义仅考虑非零项，其符号为，故。
利用定义法计算出三角行列式及对角行列式的结果都是主对角线元素的乘积。
方法二、化三角形法
参考文献
[1] 戴斌祥. 线性代数[M]. 北京：北京邮电大学出版社，2013. 12.
[2] 李师正. 高等代数解题方法与技巧[M]. 北京：高等教育出版社，2010.
11.
[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2014. 6.。
高等代数行列式计算方法
第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。
由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。
若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。
例1 计算n 级行列式000010020010000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2 计算n 级行列式111212122212nnn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。
故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。
例4 计算n 级行列式n xb b b bx b b Dbb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n b x b bD x n bb x bx n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]100(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解 将其他各列全部加到第一列，可得11211121112111231n i n i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。
《高等代数行列式》课件
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
行列式的计算方法
行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。
高等代数行列式的计算方法小结
... ... ...
...
a1 a2 a3 · · · xn
其中 xi ̸= ai, i = 2, 3 · · · n.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
爪形行列式
解 把上面行列式的第一行的 −1 倍依次加到其余各行得，
...
.
cn
an
称这类行列式为爪形行列式.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
化三角形法
分析 得分两种情形讨论. 如果 a2, · · · , an 都不是 0 就可以通过把
第
j
列的
−
ci ai
倍加到第
1
列得到三角行列式.
a2
c2
...
...
D = (−1)i+1bi(−1)i−2
ai−1 ci−1
ci
ci+1 ai+1
...
...
cn
an
= −a2 · · · ai−1biciai+1 · · · an.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
. .. . . ..
化三角形法
1
+
a1
+
∑n
i=2
ai a1
1
1 ··· 1 1
a2
a3 ...
an
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
高等代数中的行列式与矩阵 关系与计算方法
高等代数中的行列式与矩阵关系与计算方法高等代数中的行列式与矩阵：关系与计算方法高等代数是现代数学的一门重要学科，其中行列式与矩阵是其核心内容之一。
本文将介绍行列式与矩阵的关系以及计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 行列式的概念与性质行列式是一个方阵所具有的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，其定义如下：det(A) = a₁₁·a₂₂·...·aₙₙ - a₁₂·a₂₁·...·aₙₙ₋₁ +a₁₃·a₂₃·...·aₙₙ₋₂ - ... + (-1)^(n+1)·a₁ₙ·a₂ₙ₋₁·...·aₙ₁其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质：- 若矩阵A的两行或两列互换，则行列式的值变号。
- 若矩阵的某一行（列）元素全为0，则其行列式的值为0。
- 若矩阵的某行（列）有两个元素相同，则其行列式的值为0。
- 若矩阵的某行（列）是另一行（列）的倍数，则其行列式的值为0。
- 两个矩阵进行加减运算时，其行列式的值也分别相加减。
2. 矩阵的概念与性质矩阵是由数字按照矩形排列而成的数表，常用来表示线性方程组和线性变换。
一个矩阵由m行n列的元素构成，记作A =[aᵢₙ]ᵢ₌₁₋₁,...,m ₋ j₌₁,...,n。
矩阵具有以下性质：- 矩阵的行数与列数分别称为其阶数。
- 若两个矩阵的对应元素相等，则这两个矩阵相等。
- 矩阵的加法与减法满足交换律和结合律。
- 矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。
- 矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换，记作Aᵀ。
3. 行列式与矩阵的关系行列式与矩阵之间有着紧密的联系。
一个方阵A的行列式可以用它的元素构成的矩阵来表示，即：|A| = det(A) = [a₁₁, a₁₂, ..., a₁ₙ][a₂₁, a₂₂, ..., a₂ₙ][..., ..., ..., ...][aₙ₁, aₙ₂, ..., aₙₙ]其中，aᵢₙ代表矩阵A的第i行第j列的元素。
行列式的计算
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。
2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。
行列式的计算方法
解
原式
6 1 1 1 6 3 1 1 6 1 3 1 6 1 1 3 6 23 6
1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 6
1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2
例6 计算行列式
1 D 7 5 3
2 8 0
1 2 2
3 2 1 4
如何来计算呢？
证明
由行列式定义知
D1989
j1 j2 ... j1989
(1)
( j1 j2 ... j1989 )
a1 j1 a2 j2 a1989 j1989 ,
当 ( j1 j2 j1989 ) (1989,1988,, 2,1) 时，相应项含有1989的幂，此项为奇数，而其余诸 项均含有1990的幂，因此这些项都是偶数，所以
3 ... n 1 4 ... 5 ...
... n 3 ... n 2
3 4 5 ... 1 2 1 [ n(n 1)] ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 n 1 n 1 ... n 3 n 2 n 1 n 1 ... n 3 n 2 n 1 2 ... n 2 n 1 n 1 2 ... n 2 n 1
1 15
1
2
1
3
0 2 3 14 0 0 0 0 8 47 8 37
1 0 0
2 0 0
1
3 160
0 2 3 14 8 47 0 10
例7
将下列行列式化成三角形行列式进行计算
246 1014
427 327 543 443
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2章 n 级行列式的计算方法2.1 定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。
由定义可知，n 级行列式共有!n 项，每一项的一般形式为1212()12(1),n n r j j j j j nj a a a -若每一项n 个元素的乘积中有零因子，则该项的值为零。
若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。
例1 计算n 级行列式0000102010000000D n n =-2.2 利用行列式的性质例2 计算n 级行列式111212122212n nn n n nx y x y x y x y x y x y D x y x y x y ------=---.解 当1n =时，11D x y =-； 当2n =时，1212()()D x x y y =--；当3n ≥时，把第一行的1-倍分别加到第i 行，2,3,,,i n =行列式的值不变，得11121212121111n n n n x y x y x y x x x x x x D x x x x x x ------==---综上可得111212(1)()()(2)0(3)x y n D x x y y n n -=⎧⎪=--=⎨⎪≥⎩2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。
故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。
例4 计算n 级行列式n xb b b bx b b D bb x b bbbx =解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，，n 列加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)x n b b b b x n bx b b D x n bb x bx n bbbx+-+-=+-+-[]11(1)11b bb x bbx n b b xbb bx=+-[]1000(1)0000bbb x b x n b x bx b-=+---1[(1)]()n x n b x b -=+--例5 计算n 级行列式121121121123n n n n x a a a a x a a D a a x a a a a x---=解 将其他各列全部加到第一列，可得11211121112111231n i n i n in i n in i n ii x a a a a x a x a a x a a xa x a a a x--=--=--=-=++=++∑∑∑∑1212112112311()11n n n i n i a a a x a a x a a x a a a x----==+∑121112121213211000()000n n i i n a a a x a x a a a x a a a a a x a --=--=+-----∑1111()()n n i i i i x a x a --===+-∑∏2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。
例6 计算n 级行列式112131n a a a a a a a a D aaa aaaaa n++=++.解 利用加边法.110110210n n a a a a a a aa aD D aaa n+++==+11100112110a a a n--=-将n D 的第二列乘1，第三列乘2，…，第1n +列乘n 并都加到第一列，可得1101001002100nk n ka aa a D n=+=∑=(1)1[1]2!n n a n ++ 2.5 降级法按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。
此方法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。
例7 计算n 级行列式12342345134562432131231n n D n n =-. 解 观察行列式的每行之和为定值（1+2+…+n ），因此将各列加到第一列后，则12341345114562(1)13213211231n n n n D n +=-12340111101111(1)01111201111n n n n n-+=- 由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。
即第二行减第一行，……第n 行减第1n -行得11111111(1)21111nn n n n --+=-(1)(2)2111111(1)(1)2111n n nn n nn----+=-- (1)(2)22(1)(1)(1)()2n n n n n n ---+=---(1)12(1)2n n nn n n --+=-2.6 归纳法通过计算一些初始行列式123,,D D D 等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。
例8 计算n 级行列式cos 10...0012cos 1 (000)12cos ...00..................000...2cos 10...12cos n D θθθθθ=.证明 由于122cos ;cos 12cos 1cos 2.12cos D D θθθθθ===-=3cos 102cos 11012cos 1cos 12cos 12cos 012cos D θθθθθθθ==-2cos (4cos 1)2cos cos3θθθθ=--=所以当1,2,3n =时，结论成立。
猜想：cos .n D n θ=以下用数学归纳法证明 当1,2,3n =时已成立。
假设1,n k n k =-=时的行列式猜想成立，即1cos(1),cos k k D k D k θθ-=-=。
下证明1n k =+时行列式结论也成立。
现将按最后一行展开，得112cos k k k D D D θ+-=-由归纳假设，12cos cos cos(1)k D k k θθθ+=--2cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos(1)k k k k k k θθθθθθθθθθθ=--=-=+所以对一切自然数n 结论成立。
综上所述cos .n D n θ=2.7 递推法利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值 。
例9 计算n 级行列式1231...............n n na y y y y x a y y y x x a yyD x x x a y xxxxa -=.解 由行列式性质，按最后一列展开得1231...0...0......0...n n n a y y y y x a y y y x x a yy D x x x a y xxxxy a y-+++=++-1231...............n a y y y y x a y y y x x a yy x x x a y xxxxy -=1231...0...0......0...n n a y y y x a y y x x a yx x x a xxxxa y-+-12311...00...000...()000...0...n n n a x y x y x y x a x y x y x a x y xa y D a x xxxxy-----------=+--111()()n n n i i a y D y a y --==-+-∏行列式转置同理有 n D 111()()n n n i i a x D x a y --==-+-∏若x y =，解得：122()()n nn n i j i i j iD a a y y a y ==≠=-+-∑∏∏若x y ≠，解得：111[()()]n nn i i i i D x a y y a x x y ===----∏∏ 2.8 拆分法把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。
例10 计算n 级行列式...........................n x a a a bx a a D bbxab b b x=. 解 将n D 第一行元素拆为...........................n x a a a b x a a D bbxab b b x=...........................a a a ab x a a bb x a bbbx=00...0........................x a b x a a b bx abb b x -+11()()n n a x b x a D --=-+- （1） 再将n D 第一列元素拆为()...0...0..................0...n x b b a a a bx a a D b bx abb b x -++=++...0...0 0...x b a a ax a a bx a b b x -=...........................b a a a b x a a b b x a b b bx+11()()n n x b D b x a --=-+- （2）.联立上述（1），（2）两递推公式1111()()()()n n n n nn D a x b x a D D x b D b x a ----⎧=-+-⎪⎨=-+-⎪⎩. 当a b ≠时()()n nn b x a a x b D b a---=-当ab =时[]1(1)()n n D x n a x a -=+--.第3章 几类特殊行列式的计算方法3.1 一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即12112212000n n nna a a a a a -=-- （n 为奇数）2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即1112122200n n nna a a a a a 11212212000n n nna a a a a a=11220000nna a a =1122nn a a a =3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即111,11212,1100n n n n a a a a a a --12,121,1000n n nn n n nna a a a a a --=.1(1)2,1212,1110000(1)n n n n nn n n a a a a a a ---==-4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111m n m mm n nna ab b a a b b =11111111****000m m mm n n nna a a ab b b b 111111110000****m m mm n n nna a a ab b b b =11111111(1)m nmnm mm n nna ab b a a b b =-3.2 箭形行列式对于形如的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。