数学必修五第三章

一元二次不等式的求解：特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； ②一元二次不等式ax 2+bx+c>0(a>0)解的讨论.对于a<0的不等式可以先把a 化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为>0(或<0)；≥0(或≤0)的形式， （2）转化为整式不等式（组）●求解不等式：11x <-●求不等式11xx ≥+的解集。

●设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<= ●(1) 求不等式的解集：0542<++-x x (2)求函数的定义域：5y = 3.含绝对值不等式的解法：①型如：|x|＜a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}|x a x a -<< ②型如：|x|＞a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}|,x x a x a <->或 变型：{}||(0)|ax b c c x c ax b c +<>-<+<型的不等式的解集可以由解得。

其中-c<ax+b<c)()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f )()(x g x f ⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f等价于不等式组ax b cax b c +<⎧⎨+>-⎩在解-c<ax+b<c 得注意a 的符号型的不等式的解法可以由{}|,x ax b c ax b c +>+<-或来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. ●求解不等式|2|1x -≥●若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于●求解不等式：|2||3|10x x -++≤ 解：零点分类讨论法： 分别令2030x x -=+=和 解得：32x x =-=和在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图 ①当3x ≤-时，（去绝对值符号）原不等式化为：(2)(3)103x x x ---+≤⎧⎨≤-⎩⇒1123x x ⎧≥-⎪⎨⎪≤-⎩⇒1132x -≤≤- ②当32x -<≤时，（去绝对值符号）原不等式化为：32(2)(3)10x x x -<≤⎧⎨--++≤⎩⇒32x x R -<≤⎧⎨∈⎩⇒32x -<≤ ③当2x >时，（去绝对值符号）原不等式化为：2(2)(3)10x x x >⎧⎨-++≤⎩⇒292x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩⇒922x <≤ 由①②③得原不等式的解集为：119|2x x ⎧⎫-≤≤⎨⎩函数图像法：令()|2||3|f x x x =-++则有：21(3)()5(32)21(2)x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪=-<≤⎨⎪+>⎪⎩在直角坐标系中作出此分段函数及()10f x =的图像如图)0(>>+c c b ax由图像可知原不等式的解集为：119|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭4.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a>0)设ax 2+bx+c=0的两根为αβ、，f(x)=ax 2+bx+c,① 两根都大于0，即0,0αβ>>，则有000αβαβ∆≥⎧⎪+>⎨⎪∙>⎩② 两根都小于0，即0,0αβ<<，则有002(0)0b a f ∆≥⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩③ 两根有一根小于0一根大于0，即0αβ<<，则有(0)0f <④若两根在两实数m,n 之间，即m n αβ<≤<则有02()0()0b m n af m f n ∆≥⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ ⑤若两个根在三个实数之间，即m t αβ<<<<则有()0()0()0f m f t f n >⎧⎪<⎨⎪>⎩常由根的分布情况来求解出现在a 、b 、c●若方程222(1)230x m x m m -++--=有两个正实数根，求m 的取值范围。

解：由①型得000αβαβ∆≥⎧⎪+>⎨⎪∙>⎩⇒2224(1)4(23)02(1)0230m m m m m m ⎧+---≥⎪+>⎨⎪-->⎩⇒111,3m m m m ≥-⎧⎪>-⎨⎪<->⎩或⇒3m >所以方程有两个正实数根时，3m >。

●方程2210x x m -+-=的一根大于1，另一根小于1，求m 的范围。

解：因为有两个不同的根，所以由0(1)0f ∆>⎧⎨<⎩⇒2222(1)4(1)01110m m ⎧--->⎪⎨-+-<⎪⎩⇒2211m m ⎧-<<⎪⎨⎪-<<⎩⇒11m -<<●二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小，则a 的取值范围是 ●解关于x 的不等式m 2x 2+2mx-3<0●不等式(a-1)x 2 +2(a-1)x-2<0恒成立，求a 的取值范围。

第三节 二元一次不等式组与简单线性规划1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．3、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．4、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．5、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． （一）由B 确定：①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域． （二）由A 的符号来确定：先把x 的系数A 化为正后，看不等号方向：①若是“>”号，则0x y C A +B +>所表示的区域为直线l:0x y C A +B +=的右边部分。

②若是“<”号，则0x y C A +B +<所表示的区域为直线l:0x y C A +B +=的左边部分。

（三）确定不等式组所表示区域的步骤： ①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测：由上面（一）（二）来确定③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。

●画出不等式组所表示的平面区域。

4画出下列不等式组表示的平面区域，25035250x y y x y x +->⎧⎪>-⎨⎪-->⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.110,100,3623,242y x y x y x 6、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． ●如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是●设实数x 、y 满足x ＋2xy －1＝0，则x ＋y 的取值范围是___________。

第四节 基本不等式 1、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、ba 、b 的几何平均数．2、均值不等式定理：若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥ 3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．24、极值定理：设x 、y 都为正数，则有：⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值●已知54x <，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值。

解：∵54x <，∴450x -<由原式可以化为:当15454x x -=-，即2(54)1x -=⇒31(2x x ==，或舍去）时取到“=”号 也就是说当1x =时有max ()2f x =●设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为●若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，(1) 求a 的值；(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.●已知0x >，函数4y x x=+的最小值 1．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 2．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是3．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是( )A ．ba 11<B ．b a 11>C ．2a b >D ．22a b >4．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有最大值，最小值。

5．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。