刚体定轴转动的转动定律

R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M

T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m

R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: o x dx B x A dm L L o 2 2
J 端点 x dm
2 m
L 2 L 2
m 1 mL2 x dx L 12
v 2ah
圆盘的转动惯量为 1 J MR2 2 联立以上五式，可得物体m 落下h 高度 时的速率为 mgh v2 M 2m 小于物体自由下落的速率 2gh.
解法二 利用动能定理求解. 对于物体m 利用质点的动能定理有
1 1 2 2 mgh Th mv mv0 2 2 其中 v 0 和 v 是物体的初速度和末速度.
微分形式：Mdt d J dL
积分形式： Mdt J J 0
t0 t t
或 Mdt L L0
t0
3. 角动量守恒定律
若：M 0 即系统所受的合外力矩为零.
——角动量守恒的条件
则：dL d J 0 ， L J 常量. 或
——角动量守恒的内容 注意：在推导角动量守恒定律的过程中 受到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适 用范围却远远超过了这些限制. 如: 滑冰运动员的表演.
mgh v2 M 2m
解法三 利用机械能守恒定律求解.
若把滑轮、物体和地球看成一个系统， 则在物体落下、滑轮转动的过程中，绳子的 拉力T 对物体做负功（ Th），对滑轮做正 功（ Th ）即内力做功的代数和为零，所以 系统的机械能守恒. 若把系统开始运动而还没有运动时的状 态作为初始状态，系统在物体落下高度h 时 的状态作为末状态，则 2 1 1 1 2 2 v MR mv mgh 0 2 2 R 2 解之可得物体 m 落下h 高度时的速率.

m
d
对于定轴转动而言： M r F r F
注意:
z
o
r
F//
F F
P
(1)力矩是对点或对轴而言的;
(2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M 0；使刚体顺时针绕定轴转动时 M 0.
2. 刚体定轴转动的转动定律 z , 对质元 mi ，由 牛顿第二运动定律得 F内力 F外力 F内力 mi ai o i F外力 ri 其中 a i 是质元 mi 绕 m i i 轴作圆运动的加速度， 写为分量式如下：
o
2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率 y dW F dr F ( F cos )ds dr ( Fr sin )d P d r dW Md o W Md
0
x
dW d N M M dt dt
3. 刚体定轴转动的动能定理
对于滑轮由刚体定轴转动的转动定理有 1 1 2 2 TR J J 0 2 2 其中 是在拉力矩TR 的作用下滑轮转 过的角度， 0 和 是滑轮的初末角速度.
由于滑轮和绳子间无相对滑动，所以物 体落下的距离应等于滑轮边缘上任意一点所 经过的弧长，即 h R . 1 又因为v0 0, 0 0, v R, J MR 2 . 2 联立以上各式，可得物体 m 落下h 高度 时的速率为
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 ) o 对于第i 个质元,动能为
1 2 1 Eki mi vi mi ri2 2 2 2 对于整个刚体,动能为
vi ri
m i
Ek Eki
i 1
N
1 1 N 2 2 mi ri J 2 2 2 i 1
J mi ri
i 2
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
J r 2dm
m
适用于连续分布刚体转动惯量的计算
在国际单位制（SI）中，转动惯量的单 kg m 2 . 位为千克二次方米，即
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体质量大的 转动惯量大； （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴 越远转动惯量越大； （3）对同一刚体而言，转轴不同，质量 对轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同.
解 受力分析如图所示. 对于上下作平动的两物体， 可以视为质点，由牛顿第 二运动定律得
T1 对m ：T1 mg ma1 T2 对M：Mg T2 Ma2 a1 m 若以顺时针方向转的 M 力矩为正，逆时针转的方 a2 Gm 向为负，则由刚体定轴转 GM 动的转动定律得 1 2 T2 R T1 R M阻 J m R 2
a
l
子弹在射入杆后与杆一起摆动的过程中 只有重力做功，所以由子弹、杆和地球组成 的系统机械能守恒，因此有
1 1 2 2 2 Ml ma 2 3 l mga 1 cos 30 Mg 1 cos 300 2
0
联立上述这两个方程得子弹的初速率为
r远日 5.26 1012 m
7.如图所示，一个长为l 、质量为M 的 匀质杆可绕支点o自由转动.一质量为m 、速 率为v 的子弹以与水平方向成角 600的方向射 入杆内距支点为a 处，使杆的偏转角为 300. 问子弹的初速率为多少？ 解 把子弹和匀质杆作为 0 一个系统, 分析可知在碰 30 撞过程中角动量守恒. 0v 设子弹射入杆后与杆 60 一同前进的角速度为 ,则 1 2 0 2 m v cos 60 a Ml ma 3
2.求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的 转动惯量. （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴； （2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴. 解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 oo 为轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在 棒上取长度元 dx ，则由转动惯量的定义有: J 端点 x 2dm m o x dx B x L m A x 2 dx 0 dm L 1 2 L o mL 3
3.2.4 例题分析
1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量 分别为m 和M 的物体，且 M m . 滑轮可 看作是质量均匀分布的圆盘，其质量为 m ， 半径为R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如 图所示.由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到 了摩擦阻力矩 M阻 的作用. 设绳不可伸长 且与滑轮间无相对滑动.求物体的加速度及 绳中的张力.
o R M阻 m

据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动， 所以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的 加速度相等，即
a a1 a2 a R
联立以上三个方程，得
M阻 ( M m)g R a m M m 2
mM阻 m ( 2 M )mg 2 R T1 m ( g a ) m M m 2 MM阻 m ( 2m ) Mg 2 R T2 M ( g a ) m M m 2 注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩 时，此时有 T1 T2 ，物理学中称这样的滑轮 为“理想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德 机.
F外力ri sin i F内力ri sin i mi ri2
2 F外力ri sin i F内力ri sin i mi ri 外力矩为M 内力矩为零 i i i
M J 刚体定轴转动的转动定律
转动惯量 J
3. 转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度 描述.
W外力 W内力 Ek Ek Ek 0
W外力 Md , W内力 0,
0
Ek 0
1 2 J 0 , 2
1 Ek J 2 . 2
1 微分形式：Md d J 2 2 积分形式： Md 1 J 2 1 J 2 0 0 2 2
6. 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个 椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 4 -1 r近日 8.75 1010 m , 速率v近日 5.46 10 m s 2 -1 ；它离太阳最远时的速率 v远日 9.08 10 m s ，这时它离太阳的距离 r远日 ？ v远日
F外力 cos i F内力 cos i mi ain F外力 sin i F内力 sin i mi ai
其中 ain 和 ai 是质元 mi 绕轴作圆运动 的法向加速度和切向加速度，所以
法向： F外力 cos i F内力 cos i mi ri 2 法向力的作用线过转轴,其力矩为零. 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
vi m i L ri
z
对于绕固定轴oz 转 动的整个刚体而言: N 2 L mi ri J i 角动量的方向沿轴的正向或负向,所以 可用代数量来描述.
2. 角动量定理（动量矩定理）
d d J dL MJ dt dt dt
3.2 刚体定轴转动动力学
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.2.4 例题分析
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
对于定点转动而言：
M Fd Fr sin M r F o
r
M
F
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 角动量( 动量矩 ) 对于定点转动而言： L r P r m v 在国际单位制（SI） 中，角动量的单位为 o
r
L
P mv

m
kg m 2 s 1
r sin
对于绕固定轴oz的 转动的质元 mi 而言: Li ri mi vi 2 mi ri k