第4章概率统计

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概率统计公式大全

1° ,
2° ,
3° ,
4° 。
（3）
离散与连续型随机变量的关系
积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）
分布函数
设为随机变量，是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–∞，x]的概率。
直接判断，充要条件：
①联合概率密度函数可分离变量。
②正概率密度区间为矩形。
二维正
态分布
其中是5个参数
随机变量
的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，?为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）
事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
（2）
（2）
二维随机变量的本质
（3）
联合分布函数
设（X，Y）为二维随机向量，对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章

解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
13 July 2020
华东师范大学
第四章大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章大数定律与中心极限定理
第7页
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第四章大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82

第二版工程数学-概率统计简明教程-第四章随机变量及其分布

P( X
1)

27 64

27 64

27 32
.
30
例7 已知一批螺丝钉的次品率为0.01，且每个螺丝钉是相互独立的，现将这批螺丝钉没10个宝成一包出售，并保证若每包发现多于一个次品则课退款。问卖出的某包螺丝钉被退回的概率多大？
解设X表示每包中的次品数，则X～B(10,0.01)
退回 ↔ 次品多于一个 ↔ X＞1
取球结果为:红或者白，是定性的描述。可这样量化：用X表示抽得的结果，则X只有两种结果，每一种结果分别对应一个数，如 X=1表示取到红球, X=0表示取到白球
特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了
一个对应关系
随机变量的定义
随机变量
设随机试验的样本空间为Ω ，如果对于每一个样本点w∈Ω ，均有唯一的实数X(w)与之对应，称X(w)为样本空间Ω 上的随机变量。
则X服从0-1分布，其分布律为:
X
0
1
P
7
3
10
10
二项分布
在n重伯努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,…,n.
随机变量X的分布律为
P X k Cnk pk (1 p)nk
k 0,1, 2..., n; 其中0< p <1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布(也称Bernoulli 分布）,记为
k 0
15 15 15 15 15
即 10 5c 1 15
c 1
例5 袋中有5个球，分别编号1,2,3,4,5.从中同时取出3个
球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数. 解由于X表示取出的3个球中的最小号码，因此X的所有可

概率论与数理统计(茆诗松)第四章讲义

⎡ T eit ( X − x1 ) − eit ( X − x2 ) ⎤ e − itx1 − e − itx2 ( ) ϕ t dt E dt ⎥ = ⎢ ∫−T ∫−T it it ⎦ ⎣
T
⎡ T cos t ( X − x1 ) + i sin t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) − i sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ = E ⎢∫ it ⎦ ⎣ −T cos t ( X − x1 ) − cos t ( X − x2 ) ⎤ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) dt ⎥ = E ⎢∫ −i −T t t ⎦ ⎣ ⎡ T sin t ( X − x1 ) − sin t ( X − x2 ) ⎤ dt ⎥ ， = E ⎢2∫ t ⎦ ⎣ 0
itx 0
+∞
−λ x
dx = ∫ λ e
0
+∞
−( λ −it ) x
e −( λ −it ) x λ ； dx = λ ⋅ = − (λ − it ) 0 λ − it
x2
+∞
1 −2 （6）标准正态分布 N (0, 1)：密度函数 p ( x) = e , − ∞ < x < +∞ ，特征函数为 2π
1 1 e itx dx = ⋅ ϕ (t ) = ∫ e ⋅ a b−a b − a it
b itx b
=
a
e ibt − e iat ； it (b − a )
⎧λ e − λx , （5）指数分布 Exp(λ)：密度函数 p ( x) = ⎨ ⎩0,
x > 0; x ≤ 0.

概率论与数理统计-第四与五章练习答案

《概率论与数理统计》第四、五章练习学院班级、学号姓名成绩一、单项选择题（每小题2分，共16分）说明：请将答案直接填入下表中！(A)1- (B)0 (C)21 (D)1 2.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则DY DX Y X D +=+)(是X 和Y (A)不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件 (D)独立的充分必要条件3.设X 是一个随机变量，μ=EX ，2σ=DX (0,>σμ为常数)，则对任意常数c ，必有(A)222)(c EX c X E -=- (B)22)()(μ-=-X E c X E(C)22)()(μ-<-X E c X E (D)22)()(μ-≥-X E c X E 4.设随机变量X 和Y 独立同分布，方差存在且不为零，记Y X U -=，Y X V +=，则随机变量U 与V 必然(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零5.假设随机变量)1,0(~N X ，)4,1(~N Y ，且相关系数1=XY ρ，则(A)1}12{=--=X Y P (B)1}12{=-=X Y P(C)1}12{=+-=X Y P (D)1}12{=+=X Y P6.设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X 与Y 一定独立 (B)),(Y X 服从二维正态分布(C)X 与Y 未必独立 (D)Y X +服从一维正态分布7.设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且其方差为02>σ，令随机变量∑==ni i X n Y 11，则 (A)212)(σn n Y X D +=+ (B)211)(σnn Y X D +=- (C)nY X Cov 21),(σ= (D)21),(σ=Y X Cov 8.设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ)1(>λ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布的分布函数，则 D (A))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (B))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (C))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ (D))(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ 二、填空题（每小题2分，共14分）1.设随机变量X 的服从参数为λ的指数分布，则=>}{DX X P 1-e2.设随机变量X 服从二项在区间]2,1[-上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=010001X X X Y ，则方差=DY98 3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==}{2EX X P 121-e 4.设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 21，5 5.设随机变量321,,X X X 相互独立，其中1X 在]6,0[上服从均匀分布，2X 服从正态分布)2,0(2N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则=DY 466.设随机变量X 和Y 的相关系数为，0==EY EX ，222==EY EX ，则=+2)(Y X E67.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式≤≥+}6|{|Y X P 121 三、解答题（每题7分，共49分）1.设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，2=EX ，3=DX ，求条件概率}2|0{≤>X X P【答】5,1=-=b a ；32 2.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0103)(2x x x f X ，试求：（1）随机变量X 的分布函数)(x F X ；（2）数学期望EX 与方差DX ；【解】（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000)(3x x xx x F X （2）43=EX ；532=EX ，803)(22=-=EX EX DX3.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。

概率论与数理统计第4章复习

第四章随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望1. 离散型随机变量数学期望设离散型随机变量X 的分布律为：,...2,1,}{===k p x X P k k 若级数∑kk k p x 绝对收敛，则称级数∑kk k p x 的和为随机变量X 的数学期望，记为E(X)，即∑=kk kp xX E )(。

2. 连续型随机变量数学期望设连续型随机变量X 的概率密度函数为)(X f ，若积分⎰+∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称积分⎰+∞∞-dx x xf )(为随机变量X 的数学期望，记为E(X)，即⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(.数学期望简称期望或均值，他反映了随机变量所有可能取值的一种平均。

3. 随机变量函数的期望（1）设X 是随机变量，)(x g y =为实变量x 的函数。

1）若X 是离散型随机变量，其分布律为：,}{k k p x X P == 1=k ，2,3，...,且级数∑kk k p x g )(绝对收敛，则∑==kk kp xg x g E Y E )()]([)(2）若X 市连续型随机变量，其密度函数为)(x f ，且积分⎰+∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则⎰+∞∞-==dx x f x g x g E Y E )()()]([)(（2）设（X ，Y ）是二维随机变量，),(y x g z =为实变量x ，y 的二元函数。

1）若（X ，Y ）是离散型随机变量，其分布律为：,),(ij i i p y Y x X P ===,.....2,1,=j i 且∑∑ijij j ip y xg ),(绝对收敛，则∑∑==ijij j ip y xg Y X g E Z E ),()],([)(2）若（X ，Y ）是连续型随机变量，其密度函数为),(y x f ，且⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f y x g ),(),(绝对收敛，则⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x f y x g Y X g E Z E ),(),()],([)(。

大学概率统计复习题(答案)

第一章1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____61_______.2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______41_____.3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____.4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________.5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________.6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______．7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________．8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____.9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____.10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 3518第二章1.设随机变量X~N （2，22），则P {X ≤0}=___0.1587____.（附：Φ（1）=0.8413）2.设连续型随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-,0,0;0,1)(3x x e x F x则当x >0时，X 的概率密度f (x )=___ xe 33-_____.3．设随机变量X 的分布函数为F （x ）=⎩⎨⎧≤>--,0,0;0,2x x e a x 则常数a =____1____.4．设随机变量X~N （1，4），已知标准正态分布函数值Φ（1）=0.8413，为使P{X<a}<0.8413，则常数a<___3_________.5．抛一枚均匀硬币5次，记正面向上的次数为X ，则P{X ≥1}=_____3231_______.6.X 表示4次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.5，则X~ _B(4, 0.5)____7.设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则P {}3≤X = ____0.6_______.8.设随机变量X 的分布律为Y =X 2，记随机变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=_____1____________.9.设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，试确定常数a . 110.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ).21 21(1-e -1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0210211)(x e x e x F x x11.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xtA B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩（1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）. A=1 B=-1 P {X ≤2}=λ21--e P {X ＞3}=λ3-e⎩⎨⎧≤>=-0)(x x e x f xλλ 12.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=,01,2,12,0,.x x x x ≤<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他求X 的分布函数F （x ）.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤<-+-≤<≤=21211221102100)(22x x x x x x x x F求（1）X 的分布函数，（2）Y =X 2的分布律.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=313130/191030/170130/11125/120)(x x x x x x x F14.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1） Y =e X 的分布函数及密度函数；（2） Z =-2ln X 的分布函数及密度函数.⎪⎩⎪⎨⎧<<=others e y y y f Y 011)(⎪⎩⎪⎨⎧>=-othersz ez f zZ 0021)(2第三章1．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-,,0;0,0,),()(其他y x ey x f y x（1）求边缘概率密度f X (x)和f Y (y )，（2）问X 与Y 是否相互独立，并说明理由.⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f xX ⎩⎨⎧≤>=-0)(y y e y f y Y 因为 )()(),(y f x f y x f Y X = ，所以X 与Y 相互独立2．设二维随机变量221212(,)~(,, ,,)X Y N μμσσρ，且X 与Y 相互独立，则ρ=____0______.3.设X~N （-1，4），Y~N （1，9）且X 与Y 相互独立，则2X-Y~___ N （-3，25）____.4.设随机变量X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为，则{}==+1Y X P _____516_______. 5．设随机变量(X,Y)服从区域D 上的均匀分布，其中区域D 是直线y=x ，x=1和x 轴所围成的三角形区域，则(X,Y)的概率密度101()2y x f x y others⎧≤<≤⎪=⎨⎪⎩，．6，Y（2）随机变量Z=XY 的分布律.7求：（1）a 的值；（2）（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘分布列；（3）X 与Y 是否独立？为什么？（4）X+Y 的分布列.因为{0,1}{0}{1}P X Y P X P Y ==≠==，所以X 与Y 不相互独立。

概率论与数理统计第三、四章答案

概率论与数理统计第三、四章答案第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。

概率论与数理统计第4章

dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2

( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量，则有性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值解引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻，则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

概率论与数理统计第4章

随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一.它的定义来自习惯上的平均值概念.
5
一、离散型随机变量的数学期望
引例某企业对自动流水线加工的产品实行质量监测，每天抽检一次，每次抽取5件，检验产品是否合格，在抽检的30天的记录中，无次品的有18天，一件次品的有9天，两件次品的有3天，求日平均次品数．
k

这启发我们引出如下连续型随机变量的数学期望定义：
30
二、连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分
x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 x f ( x ) d x 的值为随机

变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即 E ( X ) x f ( x )d x.
n
n 1
n( n 1)( n i ) i 1 n i 1 p q i! i 0
n 1
令i k 1
( n 1)( n i ) i ( n1) i np pq i! i 0
n 1
np C
i 0
n 1
i n 1
pq
i
( n 1 ) i
试问哪个射手技术较好?
12
解设甲、乙射手击中的环数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E ( X 2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好. 乙射手甲射手
Y
1500
0.0952
2000
2500
3000
0.7408

华东理工大学概率论与数理统计课件第四章解读

1 n lim P X i 1 n n i 1
注意辛钦大数定理成立的条件中只需 X i的数学期望存在；而当 X i 的方差存在时，其即为切比雪夫大数定理的直接推论. 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.
返回
例1.
k 互相独立随机变量序列，且
证: 由切比雪夫不等式：P X EX 1
1 1 P X i EX i 1 n i 1 n i 1
n n
D( X )

n
2
得
D( 1 X i ) n i 1
n

2
1
D( X i )
n
i 1 2 2
1
3 k 1 2 3 k 1 2
i
k 的分布
(k=1,2, …),
试证大数定理成立. 解： k 互相独立，且
1
E k 0
2 3
D k k
1 0
3 2
n
2
D( i )
1
n
1
n
2
k
1
n
nn n2
2 3
n
1 3
(n )
14 100 14 86 30 100 30
70
20 20 20 20 P e e 14! 30! 0.0387 0.0083
14
30
返回
例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。
解设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 Yn X i ,

概率论与数理统计第四章

50 1 1 1 ( ) 49 2 100 2
数理统计
28
②
骣n 1 2 2 E (S ) = E 琪 X i - nX 琪 å 琪 n - 1 桫= 1 i
= 1 n- 1 n n 1
2
1 n 2 2 EX i nEX n 1 i 1
2
(n E X
若总体X是连续型随机变量，其概率密度为
f ( x ),
则样本的联合概率密度为
f ( x1 , x 2 , , x n ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f ( x n )
对于离散型总体，有相似的结论。
数理统计 17
例设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本，求样本的概率分布。解总体X的密度函数为
数理统计
30
X EX 1 P DX
X 1 P 1 10
0 .0 2 E X DX
E(X ) 0 D(X ) 1 100
显然
X ( 1 ) m in X i ,
1 i n
X (n) m ax X i ,
1 i n
两者也分别称为最小次序统计量和最大次序统计量. 称
R X ( n ) X ( 1 ) 为样本极差
X n1 ( 2 ) Md 1 (X n X n ( ) (1 ) 2 2 2 n 为奇数（4 - 15） n 为偶数
总体样本
随机变量 X 随机向量
( X 1 , X 2 , , X n )
数理统计
15
在一次试验中，样本的具体观测值称为样本值。记为 ( x 1 , x 2 , , x n ) . 有时候样本与样本值使用同一符号，但含义不同。简单随机样本若 X 1 , X 2 , X n 是相互独立的并与总体

概率论与数理统计第4章题库

第4章数字特征填空题1. 设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比1：2：3，则()E X=_________.答案：1 3知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：123 {1},{0},{1}666 P X P X P X=-=====1231()(1)016663E X=-⋅+⋅+⋅=.2. 设随机变量X的分布律为下表，则DX=_______.答案：23 16知识点：4.10 方差的概念参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.10 离散型随机变量方差的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：34EX =,2223()16DX EX EX =-=. 3．设X 表示2次独立重复射击命中目标的得次数，每次命中目标的概率为0.4，则EX =_____. 答案：0.8知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望参考页: P88 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：()2,0.4X B ~，0.8EX = 4. 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 答案：2316知识点：4.11 常见随机变量的方差参考页: P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.11 两点分布的方差提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：()(1)D X p p =-，12p =时，)(X D 取得最大值.5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率是0.4，则2()E X =_____.答案：18.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：由()10,0.4X B ~得()100.44E X np ==⨯=，()()1100.40.6 2.4D X np p =-=⨯⨯=，()()()22 2.41618.4E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦6. 设X 表示10次独立射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2(1)X +的期望为_________. 答案：27.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：~(10,0.4)X B ，22(1)(1)[(1)]E X D X E X +=+++22.4527.4=+=.7. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且12EX =，8DX =，则n =_____， p =_____.答案：36,13知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：()12E X np ==, ()()18D X np p =-=，解得13p =，36n = 8. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X == .答案：112e - 知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望提示二：4.11 泊松分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：~(1)X P ，22()()[()]2E X D X E X =+=，{}{}2()2P X E X P X ===112e -=. 9. 设随机变量X 的概率分布为{} (0,1,2,)!CP X k k k ===L , 则2()E X =_________. 答案：2知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1难度系数: 2提示一：2.1离散型随机变量的分布律的性质提示二：4.2 泊松分布的数学期望提示三：4.11 泊松分布的方差提示四（同题解）题型：填空题题解：001!!k k C C Ce k k ∞∞====∑∑，故1C e =.1{}!e P X k k -==，~(1)X P ， 22()()[()]112E X D X E X =+=+=.10. 设X 在[1,1]-上服从均匀分布，则E X = _________；12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭_________；12D X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________.答案：12，1ln 32，3ln 41312- 知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.12 均匀分布的概率密度提示二：4.6 连续型随机变量函数的数学期望提示三：4.10 方差的概念提示四（同题解）题型：填空题题解：X 的概率密度为 111()2 0 x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，，E X 111011()22x f x dx x dx xdx +∞-∞-====⎰⎰⎰，12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭11111111()l n (2)2222f x d x d x x x x +∞--∞-=⋅=+=++⎰⎰， 212E X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭221111111111()222223f x dx dx x x x +∞--∞-⎛⎫⎛⎫=⋅=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 22111222D E E X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ln 41312-.11. 设X 服从参数为λ的指数分布，且22()9E X =，则λ=_________. 答案：3知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望提示二：4.11 指数分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：由已知222222112()()()9E X D X E X λλλ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭由0λ>知3λ=.12. 随机变量X 与Y 独立，且~(1,2)X N ，~(2,5)Y N -，则234~X Y -+_______. 答案：(12,53)N知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 正态分布的数学期望提示二：4.11 正态分布的方差提示三：4.9数学期望的性质提示四：4.13方差的性质题型：填空题题解： (234)2()3()412E X Y E X E Y -+=-+=，(234)4()9()53D X Y D X D Y -+=+=234~(12,53)X Y N -+13. 随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ= .答案：12知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望，方差提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.13方差的性质提示四： 2.14 正态分布概率密度的性质题型：填空题题解： ()()()2E X Y E X E Y μ+=+=，()()()1D X Y D X D Y +=+= 由1{1}2P X Y +≤=知21μ=，所以12μ= 14. 设随机变量X 的概率密度为221() ()xx f x x-+-=-∞<<+∞则()E X = _________ ，()D X =_________.答案：112，知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.14 正态分布概率密度提示二： 4.5 正态分布的数学期望提示三： 4.11 正态分布的方差提示四：（同题解）题型：填空题题解：22(1)122121()1x xx f x e--⋅-+-==，()1E X =，1()2D X =. 15．已知1,1,9,16,EX EY DX DY ====X 与Y 独立，则(32)E X Y += ，(32)D X Y -= ．答案：5, 145知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：(32)3()2()5E X Y E X E Y +=+=，(32)9()4()145D X Y D X D Y -=+=16．已知(2)X P ~，[1 2]Y U ~，，且X 与Y 独立，则()E XY =____________， ()4E X Y -= ()12D X Y -=答案：3, 4, 14-知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 2提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三： 4.2 泊松分布的数学期望，方差提示四： 4.5 均匀分布的数学期望，方差题型：填空题题解：3()()()232E XY E X E Y ==⋅=，()34()4()2442E X Y E X E Y -=-=-⋅=- ()112()144()21441412D X Y D X D Y -=+=+⋅=17. 若(,)X Y 的联合概率密度22253()321650251(,)32x xy y f x y eπ--+=，则(,)X Y 服从____________分布，且()E X =______，()E Y =______，()D X =______，()D Y =______，, X Y ρ=______. 答案：30, 0, 16, 25,5知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 3.11二维正态分布联合概率密度提示二： 4.17 二维正态分布5个参数的含义提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：2213(2)545454251(,)42455x xy y f x y eπ--⋅+⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅,(,)X Y 服从二维正态分布()E X =()0E Y =, ()16D X =,()25D Y =,, 35X Y ρ=. 18. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =________. 答案：22()μσμ+知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数参考页: P107 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布相关系数的含义提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.17 二维正态分布5个参数的含义提示四：（同题解）题型：填空题题解：22222()()()()[()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ==+=+.19. 设(,)~(0,0,0.5,0.50)X Y N ，，Y X Z -=，则方差=)(Z D . 答案：21π-知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数参考页: P91, P107 学习目标: 3，4 难度系数: 3提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义提示二： 4.6 连续型随机变量函数的数学期望提示三： 4.10 方差的概念提示四：（同题解）题型：填空题题解：~(0,1)Z X Y N =-，()E Z =22z dz +∞--∞=⎰2202202z z dz +∞--+∞===⎰()()()22 D Z E Z E Z =-()22E Z π=-()222()1D Z E Z ππ=+-=-20. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 为_______.答案：9-知识点：4.14 协方差的概念参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：141016,,999EX EY EXY ===，124(,)9Cov X Y =- 21. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的相关系数XY ρ为_______.答案：0知识点：4.16 相关系数的概念与性质参考页: P106 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：()22222242,,33399EX EX DX EX EX ===-=-= 220,,3EY EY ==()2223DY EY EY =-=, 0EXY =所以，(,)0Cov X Y =，0XY ρ=22．设随机变量,X Y 有()1E X =，()2E Y =, (,)2Cov X Y =，则()E XY =______. 答案：4知识点：4.14 协方差的概念参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：()(,)()()224E XY Cov X Y E X E Y =+=+= 23．设4,9,0.5XY DX DY ρ===，则(2)D X Y -=________.答案：13知识点：4.13 方差的性质参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：(2)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-4()()4D X D Y ρ=+-16940.52313=+-⨯⨯⨯=24．设两个随机变量Y X ,，已知25.0,9,16===XY DY DX ρ，则)(Y X D += _. 答案：31知识点：4.13 方差的性质参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()2ρ=++XY D X D Y 16920.254331=++⨯⨯⨯=25．设,X Y 为随机变量，且()7D X Y +=，4DX =, 1DY =，则XY ρ= . 答案：12知识点：4.13 方差的性质参考页: P103 学习目标: 2难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：7()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++5227XY ρ+⨯=，解得12XY ρ=. 26．设两个随机变量,X Y ，已知16,9,()31DX DY D X Y ==+=，试计算：XY ρ=____________，()D X Y -=____________.答案：1, 194知识点：4.13 方差的性质参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：31()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++即2524331XY ρ+⨯⨯=，解得14XY ρ=()()()2D X Y D X D Y ρ-=+-125243194=-⨯⨯⨯=27.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若,4.0-=X Z ，则Z Y 与的相关系数为 . 答案：0.9知识点：4.16 相关系数的概念与性质参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质提示二： 4.15 协方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：填空题题解：,Y Z ρ===, 0.9X Y ρ==选择题1. 现有10张奖券，其中8张为2元券，2张为5元券，某人从中随机地无放回地抽取了3张，则此人得奖金额的数学期望为（）.（A ）6；（B ）12；（C ）7.8；（D ）9. 答案：（C ）知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.1 离散型随机变量的数学期望提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：X 为得奖金额，383107{6}15C P X C ===，21823107{9}15C C P X C ===， 12823101{12}15C C P X C ===，771()69127.8151515E X =⨯+⨯+⨯=，选（C ）.2. 设~(,)X B n p ，且() 2.4E X =， 1.44DX =（），则,n p 分别为（）. （A ）4,0.6n p ==；（B ）6,0.4n p ==；（C ）8,0.3n p ==；（D ）24,0.1n p ==. 答案：（B ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：~(,)X B n p ,2.4=()E X np =,1.44=(1)D X np p =-（）,解得0.4, 6p n ==，选（B ）.3．设X 服从参数为2的泊松分布，即22{}k P X k e k -==！, 则X 的数学期望和方差分别为（） (A)12和12; (B) 2和4; (C) 12和14; (D) 2和2. 答案：（D ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望提示二：4.11 泊松分布的方差提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：由X 服从参数为2的泊松分布知，()()2E X D X ==，选（D ）.4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，若[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=（）（A ）3 ; (B) -1 ; (C) 1 ; (D) 2 . 答案：（C ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望提示二：4.11 泊松分布的方差提示三：4.9 数学期望的性质题型：选择题题解：221[(1)(2)]()3()2()()3()2E X X E X E X D X E X E X =--=-+=+-+2210λλ-+= λ=1，选（C ）.5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =( ) (A) 2; （B ）4; （C ）12; （D ）14. 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：选择题题解：由X 服从参数为2的指数分布知1()2E X =，选（C ）. 6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，若2()72E X =，则参数λ=（）(A) 6 ; (B) 4 ; (C) 13 ; (D) 16. 答案：（D ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 指数分布的数学期望提示二：4.11 指数分布的方差提示三：无题型：选择题题解：~()X E λ 211(),()E X D X λλ==2272()()()E X D X E X ==+解得 16λ=，选（D ）. 7. 设随机变量X 的分布函数为21 0() 0 0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩，，且μ=)(X Eσ=，则μ与σ的关系为（）.（A ）μ=σ；（B ）μ=2σ；（C ）2μ=σ；（D ）μ=1σ.答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：2.10 连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系提示二：4.5 指数分布的数学期望提示三：4.11 指数分布的方差提示四（同题解）题型：选择题题解：由已知X 的概率密度为22 0() 0 0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，1()2E X =12=，选（A ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[1,7]上服从均匀分布，Y 服从参数为4的泊松分布，记2U X Y =-，则(),E U ()D U 等于（）.（A ）4,19-；（B ）4,13-；（C ）12,19；（D ）12,10. 答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 均匀分布的数学期望与方差提示二：4.2 泊松分布的数学期望与方差提示三：4.9 数学期望的性质提示四：4.13 方差的性质题型：选择题题解：由X 在[1,7]上服从均匀分布知，()4E X =，()3D X = 由Y 服从参数为4的泊松分布知，()4E X =，()4D X =()()2()424E U E X E Y =-=-⨯=-，()()4()34419D U D X D Y =+=+⨯=，选（A ）.9．设X 服从正态分布)2,4(N ，则32Y X =+服从哪个分布（）(A) )18,12(N ; (B) )20,14(N ; (C) )18,14(N ; (D) )8,12(N . 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望提示二：4.11 正态分布的方差提示三：4.9 数学期望的性质提示四：4.13 方差的性质题型：选择题题解：()3()214E Y E X =+=，()9()18D Y D X ==，~(14,18)Y N ，选（C ）. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，~(1,1)X N ，~(2,1)Y N -，则(2)D X Y -=（）（A ）3；（B ）5；（C ）4；（D ）1. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质参考页: P103学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.11 正态分布的方差提示二： 4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：(2)4()()5D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.11. 对任意随机变量X ，若()E X 存在，则[()]E E EX 等于（）. （A ）0; （B ）X ; （C ） 3()EX ; （D ）()E X . 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质参考页: P94 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：由期望性质知[()]()E E EX E X =，选（D ）.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为4和2，则32X Y -的方差是( ). (A) 8; (B) 44; (C) 28; (D) 16. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.13 方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：(32)9()4()44D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.13.设()2,()1,()1,()2,E X D X E Y D Y ====且Y X ,相互独立，则32X Y +的数学期望与方差分别为（）(A) 8和7; (B)8和17; (C) 7和8; (D)17和7. 答案：（B ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质提示二：4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：(32)3()2()8E X Y E X E Y +=+=(32)9()4()17D X Y D X D Y +=+=，选（B ）.14．设X 为随机变量，,0)(≥X E 2)121(2=-X E ,21)121(=-X D ，则()E X =（） (A)22;(B) 1; (C) 0; (D) 2.答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质提示二：4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：由2)121(2=-X E 知，2()6E X =，由11(1)22D X -=知，()2D X =22()()()D X E X E X =-，即26()2E X -=，由()0E X ≥知，()2E X =. 选（D ）. 15. 随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）（A ）{}211P Y X =--=;(B) {}211P Y X =-=;(C) {}211P Y X =-+=; (D) {}211P Y X =+=.答案：（D ）知识点：4.16 相关系数的概念与性质参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.16 相关系数的性质提示二： 4.5 正态分布的数学期望提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：(21)1EY E X =+=，选（D ）.16. 若二维随机变量(,)X Y 满足()()()E XY E X E Y =，则X 与Y （）（A ）相关；（B ）独立；（C ）不相关；（D ）不独立. 答案：（C ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4难度系数: 1提示一： 4.15 协方差的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，所以X 与Y 不相关，选（C ）. 17．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（）（A ）()()()D XY D X D Y =⋅；（B ）()()()D X Y D X D Y +=+；（C ） X 与Y 相互独立；（D ）X 与Y 互斥. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质提示二： 4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）.18．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立；（B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质提示二： 4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）. 19. 若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 不相关; （C ）()0D X =； (D) ()()0D X D Y = 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质提示二： 4.13 方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+- 所以(,)0Cov X Y =，即X 与Y 不相关. 选（B ）. 20. 下列命题正确的是（）（A ）若Y X ,不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+；（B ）若()E XY EX EY =⋅，则Y X ,相互独立；（C ）若()()()D X Y D X D Y +=+，则Y X ,相互独立；（D ）若Y X ,不相关，则Y X ,的联合概率密度(,)()()X Y f x y f x f y =⋅；答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质提示二： 4.9 数学期望的性质提示三： 4.13 方差的性质提示四：（同题解）题型：选择题题解：若Y X ,不相关，则(,)0Cov X Y =.()()()2(,D X Y D X D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选（A ）.21．下列结论正确的是（）（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关；（B ）X 与Y 不独立，则X 与Y 相关；（C ）X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立；（D ）X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质提示二： 4.15 协方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0C o v X Y =，所以X 与Y 不相关，选（A ）.22. 若两个随机变量X 和Y 相互独立，则以下结论不一定成立的是( ). (A) ()D XY DX DY =⋅; (B) ()D X Y DX DY +=+; (C) (,)0Cov X Y =; (D) ()E XY EX EY =⋅. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质提示二： 4.9 数学期望的性质提示三： 4.13 方差的性质提示四：（同题解）题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0Cov X Y =，()()()2(,D X Y DX D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选项（B ）（C ）（D ）均成立，故选（A ）.23. 随机变量X 和Y 相互独立，则等式 ①()()()E X Y E X E Y -=-②()()()E XY E X E Y =g ③()D X Y DX DY -=- ④()()()D XY D X D Y =g 中成立的为（）（A ）①③；（B ）②④；（C ）①④；（D ）①②. 答案：（D ）知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：由期望的性质()E X Y EX EY -=-，X 与Y 相互独立时，有()E XY EX EY =⋅，选（D ）. 24. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记max(,),U X Y =min(,)V X Y =，则()E UV 等于（）.(A) ()()E U E V ； (B) ()()E X E Y ； (C) ()()E U E Y ； (D) ()()E X E V . 答案：（B ）知识点：4.9数学期望的性质参考页: P94 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：()()()()E UV E XY E X E Y ==，选（B ）.25. 设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则（）(A) 1212,EY EY DY DY >>； (B) 1212,EY EY DY DY ==； (C) 1212,EY EY DY DY =<； (D) 1212,EY EY DY DY =>. 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质，4.13方差的性质参考页: P94, P103学习目标: 1 难度系数: 3提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：特值法，设12,X X 均服从标准正态分布()0,1N ，相互独立22212221()]2y y y Y f y e e e ---=，()1~0,1Y N ，2121()02E Y E X E X =+=, 21211()42DY DX DX =+=， 1212,EY EY DY DY =>，故选（D ）.26. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则()E X =（）. （A ）0；(B) 0.3；(C) 0.7；(D) 1.答案：（C ）知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系提示二： 4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示三： 2.14 正态概率密度的性质提示四：（同题解）题型：选择题题解1： 11()()0.3()0.722x f x F x x ϕϕ-⎛⎫'==+⋅⎪⎝⎭1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰120.352(21)()0.7()0.7x t t t dt t dt ϕϕ-=+∞+∞-∞-∞⋅+===⎰⎰，选（C ）.题解2：1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2221()(1)22220.350.352x x dx x dx ---+∞+∞-⋅-∞-∞==⎰⎰2(1)220.70.7x x dx --+∞⋅-∞==⎰，选（C ）.27. 设二维随机变量()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则下列结论错误的是（）.（A ）()()221122,,,X N Y N μσμσ~~；（B ） X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=；（C ）()12E X Y μμ+=+；（D ）()2212D X Y σσ+=+.答案：（D ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义提示二： 4.9 数学期望的性质提示三： 4.13 方差的性质提示四：（同题解）题型：选择题题解：()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则()()221122,,,X N Y N μσμσ~~()12E X Y μμ+=+，X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=()221212()()22XY XY D X Y D X D Y ρσσρσσ+=++=++，选（D ）28. 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为（） (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y . 答案：（A ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义提示二： 3.10 连续型随机变量的条件概率密度提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：对于二维正态分布，X 与Y 不相关，则X Y 与相互独立(,)()()X Y f x y f x f y =，/(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()X f x =，选（A ）.29. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（）（A ） 1-； (B) 0； (C) 12； (D) 1. 答案：（ A ）知识点： 4.16 相关系数的概念与性质参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质提示二：无提示三：无提示四：（同题解）题型：选择题题解：Y n X =-，11~(,),~(,)22X B n Y B n (,)()()C o v X n X D X D Y -=-=-，1XY ρ=-，选（A ）.计算题1. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示求()E X ，2()E X ，2(35)E X +. 答案：0.2, 2.8, 13.4-知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.3 离散型随机变量函数的数学期望参考页: P87，P89 学习目标: 1，3 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：()20.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯2.0-=，2222()(2)0.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯8.2=， 22(35)3()5E X E X +=+222(3(2)5)0.4(305)0.3(325)0.3=⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.13=.2. 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射出，否则一直独立射到子弹用尽. 求(),()E X D X .答案：139，3881知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：123~2121133333X ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎝⎭,9139********)(=⨯+⨯+⨯=X E 923913922321)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,8138)()()(22=-=X E X E X D .3．设一汽车在开往目的地的道路上需要经过三组信号灯，每组信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的数学期望和方差. 答案：78，7164知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：1()234888E X =+⨯+⨯= 22211115()()(),()494888D X E X EX E X =-=+⨯+⨯=所以22215771()()()()8864D X E X EX =-=-= 4. 一盒中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2从盒中有放回的抽取2个球，设X 为被观察到的球上号码的乘积，求()E X . 答案：1知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：分别用12X X ，表示第一次和第二次摸到的球的标号. X 表示两次摸球标号的乘积则X 的所有可能取值有0，1，2，412{0}{(0)(0)}P X P X X ===+=1212{0}{0}{0,0}P X P X P X X ==+=-==11117444416=+-⋅= 12{1}{1,1}P X P X X ====111224=⋅= 1212{2}{1,2}{2,1}P X P X X P X X ====+==1111124424=⋅+⋅= 12{4}{2,2}P X P X X ====1114416⋅=1112414416EX =+⨯+⨯=.5. 对某一目标进行射击，直至击中目标为止. 如果每次击中目标的概率均为(01)p p <<, 求: (1) 射击次数为偶数的概率; (2) 射击次数的数学期望. 答案：（1）12p p -- （2）1p知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：2.1离散型随机变量取值的概率提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：记射击次数为X ，显然X 的分布律如下 1{}(1)k P X k p p -==-， k =1, 2, … （1）所求概率为2111{2}(1)k k k P X k p p +∞+∞-====-∑∑2)1(1)1(p p p ---=p p --=21. （2）1(){}k E X k P X k +∞==⋅=∑11(1)k k kp p +∞-==-∑p1=（注意：级数11(1)k k kx x +∞-=-∑x1=，)2,0(∈x ）. 6. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，求kXY e =的数学期望.答案：((1))kne p p +-知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示二： 2.3 二项分布的分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：~(,)X B n p ， {}(1)l ln l n P X l C p p -==- , 0, 1, 2,,.l n =⋯故 ()()kXE Y E e =0(1)nk lllnln l e C p p -==-∑0()(1)nl k l n ln l C e p p -==-∑n k p p e ))1((-+=. 7. 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，求随机变量1=1Y X+的数学期望. 答案：0.52(1)e --知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示二： 2.3 泊松分布的分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解： 0.5=0110.5()=1+1!k k E Y E e Xk k ∞-⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭∑0.51=00.5=0.5(1)!k k ek -+∞+∑ 0.50.50.50.5=00.5=21=2(1)2(1)!k k ee e e k ∞---⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑. 8. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示.求随机变量2XY =的数学期望和标准差. 答案：2.4, 1.41参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示二： 4.10 方差的概念提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：()(2)X E Y E =423.021.022.022101⨯+⨯+⨯+⨯=-4.2=. 2()(4)X E Y E =443.041.042.042101⨯+⨯+⨯+⨯=-75.7=，22()()[()]D Y E Y E Y =-99.14.275.72=-=，1.41=≈.9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？答案：5.209知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望提示二： 2.3 二项分布的分布律提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：设Z 表示一周内发生故障次数（五天工作日，每天发生0或1次故障）~(5,0.2)Z B ，55{}0.20.8k k k P Z k C -== (k =0, 1, 2, 3, 4, 5)(())E C Z=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048-2 (0.0512+0.0064+0.00032)=3.277+2.048-0.11584=5.209(万元)10. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若，若，若求Y的方差.答案：8 9知识点：4.10 方差的概念参考页:P97学习目标:1难度系数:2提示一：4.3离散型随机变量函数的数学期望提示二：4.10 方差的概念提示三：2.12 均匀分布提示四（同题解）题型：计算题题解：由已知2{1}{0}3P Y P X==>=，1{1}{0}3P Y P X=-=<= Y的分布律为1()3E Y=，2()1E Y=，2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.11. 设X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 , 求)(X E ，()D X .答案：1，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：12201()()(2)E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122323101111141(81)13333x x x =+-=+---=12223201()()(2)E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122434101121434x x x =+-12177154346=+⋅-⋅= 22)]([)()(X E X E X D -=71166=-=. 12．设X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求()E X ，()D X . 答案：0，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念提示三：无提示四（同题解）题型：计算题题解：()()E X xf x dx +∞-∞=⎰011(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰2030213111111102323x x x x --=++-=，22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰01221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰34034111111()()3434x x x x -=++-16=，从而221()()[()]6D XE X E X =-= .13. 设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他求 (1)系数k ; (2) X 的分布函数()F x ; (3)计算{1.5 2.5}P X << (4)求期望()E X ，方差()D X .答案：（1）12- （2）20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ （3）0.0625 （4）2, 03知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：2.10连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系提示三：4.4 连续型随机变量数学期望的定义提示四：4.10 方差的概念题型：计算题题解：(1)2(1)1kx dx +=⎰，12k =-(2)(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，0x <时，()0F x =，2x ≥时，()1F x =.02x ≤<时，2011()(1)24xF x t dt x x =-+=-+⎰20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3){1.5 2.5}(2.5)(1.5)0.0625P X F F <<=-= (4) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰20(1)2x x dx =-+⎰32220011122323x x =-⋅+= 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰220(1)2x x dx =-+⎰42320011122433x x =-⋅+=，从而22()()[()]0D X E X E X =-= .14. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()0102a +bx ,<x <f x =,⎧⎨⎩其他，已知数学期望3()5E X =.求：（1）常数a,b 的值；（2）()XE e . 答案：（1）36, 55（2）935e -知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：4.4 连续型随机变量数学期望的定义提示三：4.6 连续型随机变量函数的数学期望提示四（同题解）题型：计算题题解：（1）10113+2-=f(x)dx =(a +bx )dx =a +b ∞∞⎰⎰33a b ⇒+= 2311()()524E X xf(x)dx x a bx dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰10=解得：36,55a b ==.（2）9()()35X x E e e f x dx e +∞-∞==-⎰。

数学建模第四章概率统计方法建模41传送带的效率

p
1
1
1 m
n
。这样
传送带效率指标为
D
mp
m
1
1
1
n
n n m
1 n 1 2m
m n
1 n 2m
当 n 固定（工人数），钩子数 m 增加一倍，则
可使效率增加一倍。
问题在原来放置一只钩子处放置两只钩子，其余条件不变，每个工人在任何时刻可触到两只钩子。试推导这种情况下传送带的效率。
建模目的
求出一周期内带走的产品数 s 与生产的全部产品
数n之比 D s n。
模型构成
从钩子角度考虑，一周期内的 m 只钩子每只非空
的概率 p ，则 s mp 。
由于任何一只钩子被一名指定工人挂上产品的概
率
m
，挂不上产品的概率1
1 m
，即任一只钩子为空钩
的概率是
1
1 m
n
，非空钩的概率
产一件产品的时间）为常数， n 个工作台均匀排列。
2、每个工人生产出一件产品的时刻在一周期内是等可能的。
3、在一周期内有 m 个钩子通过每一工作台上方，钩子
均匀排列，到达第一个工作台上方的钩子都是空的。
4、每个工人在任何时侯都能且只能触到一只钩子。如果钩子空的，则带去产品，否则放在地上，永远退出传送系统。
一些问题中的不确定现象常常是众多的随机因素影响所致，经过对大量数据的处理或者根据理论上的分析，随机影响可以用一定的概率分布来描述。随机性模型是根据研究对象具有的包含随机因素的规律，以概率论和数理统计为基本工具建立的，其结果通常也是在概率意义下表示出来的。
§1 传送带的效率
模型假设
1、n 个工人，他们的生产是相互独立的，生产周期（生

MATLAB概率统计函数（1）

MATLAB概率统计函数（1）第4章概率统计本章介绍MATLAB在概率统计中的若⼲命令和使⽤格式，这些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中。

4.1 随机数的产⽣4.1.1 ⼆项分布的随机数据的产⽣命令参数为N，P的⼆项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为⼆项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的⼆项分布的随机数，N、P⼤⼩相同。

R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = binornd(N,P,m,n) %m,n分别表⽰R的⾏数和列数例4-1>> R=binornd(10,0.5)R =3>> R=binornd(10,0.5,1,6)R =8 1 3 7 6 4>> R=binornd(10,0.5,[1,10])R =6 8 4 67 5 3 5 6 2>> R=binornd(10,0.5,[2,3])R =7 5 86 5 6>>n = 10:10:60;>>r1 = binornd(n,1./n)r1 =2 1 0 1 1 2>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])r2 =0 1 2 1 3 14.1.2 正态分布的随机数据的产⽣命令参数为µ、σ的正态分布的随机数据函数 normrnd格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。

R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。

R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分别表⽰R的⾏数和列数例4-2>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))n1 =2.1650 2.31343.02504.0879 4.8607 6.2827>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])n2 =0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu为均值矩阵n3 =0.9299 1.9361 2.96404.12465.0577 5.9864>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu为10，sigma为0.5的2⾏3列个正态随机数R =9.7837 10.0627 9.42689.1672 10.1438 10.59554.1.3 常见分布的随机数产⽣常见分布的随机数的使⽤格式与上⾯相同表4-1 随机数产⽣函数表函数名调⽤形式注释Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n)[A,B]上均匀分布(连续) 随机数Unidrnd unidrnd(N,m,n)均匀分布（离散）随机数Exprnd exprnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的指数分布随机数Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为MU，SIGMA的正态分布随机数chi2rnd chi2rnd(N,m,n)⾃由度为N的卡⽅分布随机数Trnd trnd(N,m,n)⾃由度为N的t分布随机数Frnd frnd(N1, N2,m,n)第⼀⾃由度为N1,第⼆⾃由度为N2的F分布随机数gamrnd gamrnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数betarnd betarnd(A, B,m,n)参数为A, B的分布随机数lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n)参数为MU, SIGMA的对数正态分布随机数nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n)参数为R，P的负⼆项式分布随机数ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)参数为N1，N2，delta的⾮中⼼F分布随机数nctrnd nctrnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的⾮中⼼t分布随机数ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n)参数为N，delta的⾮中⼼卡⽅分布随机数raylrnd raylrnd(B,m,n)参数为B的瑞利分布随机数weibrnd weibrnd(A, B,m,n)参数为A, B的韦伯分布随机数binornd binornd(N,P,m,n)参数为N, p的⼆项分布随机数geornd geornd(P,m,n)参数为 p的⼏何分布随机数hygernd hygernd(M,K,N,m,n)参数为 M，K，N的超⼏何分布随机数Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n)参数为Lambda的泊松分布随机数4.1.4 通⽤函数求各分布的随机数据命令求指定分布的随机数函数 random格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的⾏和列例4-3 产⽣12（3⾏4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数>> y=random('norm',2,0.3,3,4)y =2.3567 2.0524 1.8235 2.03421.9887 1.94402.6550 2.32002.0982 2.2177 1.9591 2.01784.2 随机变量的概率密度计算4.2.1 通⽤函数计算概率密度函数值命令通⽤函数计算概率密度函数值函数 pdf格式 Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。

概率统计课后答案

第一章思考题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年,英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2) ()()A B A B 解:(1)()()AB A B AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==. 5．n 张奖券中含有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率.解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则总数为kn C ，而全为白球的取法有k m n C -种，故所求概率为k n k mn C C --1.解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i =B —无一人中奖，则k A A A B 21=，注意到k A ，，A ，A 21不独立也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P(1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=⋅⋅---+!,1k k n m n m k k n n C C k C C ---同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的概率是多少？解：122585410()C C C P A C -=7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过15的概率. 解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]5151[，-，从而所求概率为121525P ⋅==. 8．在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满足： 0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率＝14CDEOAB SS =. 9．从区间(0,1)内任取两个数，求这两个数的乘积小于14的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积小于14:14XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1ln4)4+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P AB . 解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P AB P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、B 相互独立，求()P B . 解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.3P B P A B P A =-=-=；若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06 所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解：设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A {用户至少订有日报和晚报一种}，=AB {用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则=AB {第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(==A B P A P ，则0909.0999010010)()()(===A B P A P AB P 16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P 且5()8P BC =，求()P A B . 解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因 25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程 085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==⇒=舍去，，()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-==17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率为1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =- 121()()()n P A P A P A =-⋅⋅⋅（独立性） 1(1)n ε=--∴12lim ()1n n P A A A →∞=，证毕.18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率.解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则 ()()()1 P D P A B C P A B C ==- 1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=. 19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而所求概率为31231(1)p p p --；（2）同理得2312[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3A —第一第三台机器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-⨯⨯=21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A=，求()P A B . 解：由()0.4B P A =得 ()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B B B P P A A P A P A ===== 23．某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80%，40年内发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年内发生特大洪水的概率.解：设A —某地区后30年内发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年内发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+⋅+⋅= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ==== 25．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********⨯+⨯=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P%70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A P B A P 所以)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B AP B P A P ++==⋅+⋅+⋅=%70%1%80%4%90%950.89427．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以B i 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =32()0.7,()0.85A A P P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得：123123()()()()()()()A A A P A P B P P B P P B P B B B =++0.650.40.70.350.850.250.7175.=⨯+⨯+⨯=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ==== 28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,A A P P B B ==()0.0005,P B =所求概率为().B P A()0.10,()0.9995.AP P B B ==由Bayes 公式得 ()()()()()()()AP B P BB P A A A P B P P B P B B=+0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10⨯===⨯+⨯ 29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1AA A P P PB B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是（1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)i ii P B P A B P B A P B P A B ====∑. 30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A ——需经调试 A ——不需调试 B ——出厂则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P（1）由全概率公式：)()()()()(ABP A P A B P A P B P ⋅+⋅= %941%70%80%30=⨯+⨯=. （2）由贝叶斯公式：9470%94)()()()()(=⋅==A B P A P B P B A P B A P . 31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解：所求的概率为234(1)p p -.32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n 次才取k 次()k n ≤红球的概率解：所求的概率为11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h 后，最多只有一个坏了的概率.解：由二项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+⋅=34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r 根的概率.解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2P A =，则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为222211()()()222n n n n r n r n r n r n rC P n C -----==.第二章思考题1. 随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型. 例：设随机变量[]2,0~U X ，令⎩⎨⎧≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g 则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型.事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当0<y 时，0)(=y F Y ；1≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，()2))(()(y y X P y X g P y F Y =≤=≤= 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y首先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量而言指的是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.习题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ，若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<. 解：1221{}{}{}P x X x P X x P X x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-431X P （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21X P解：41)21(21)1(==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ；（2）1690169)1()43(431=-=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P ；（3）43)21(121121=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>F X P X P .5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，2133353{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所示：由()k kx xF x P≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩ 0 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，()F x 的图形如图所示.X 0 1 2 P0.10.60.36．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的概率分布解：7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第一次取得合格品，事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有19{0}()0.7512P X P A ====， 21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A ====⋅=≈（）（）， 3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===⋅⋅=≈（）（）（）=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A PPPA A A A A A ====⋅⋅⋅=≈（）（）（）（）所以X8.从101-中任取一个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件 1,2,,10P X i ki i ===（），（），由分布律的性质1011ii p==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数N .解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有交通事故发生的概率.解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2!2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为2022!0)0(--===e e X P .11 . 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率.解：设X 表示该仪器在100个工作时内故障发生的次数，1~(100,)1000X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.而100个工作时内故障平均次数为=μ1.010001100=⨯，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---μμμμμμe eeX P故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率. 解：()1,2530 ,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其余，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表示三次重复独立观察中A 出现次数，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)XB ，X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k14.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==⎰，由二项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===. 15.已知X 的概率密度为2,()0,x ax e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩，试求：（1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1(0,)λ内取值的概率.解：（1）由⎰+∞-=021dx eax xλ，解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx +∞-∞=≤=⎰，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++⎰,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ⎧-++>⎪=⎨⎪≤⎩ .（3）511(0)()(0)12P X F F eλλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)内服从均匀分布，求方程210x Xx ++=有实根的概率.解: “方程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=45. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ，求,a b .解：由题意222(0)1a b a a a ⎧+=>⎨⋅=⎩解得：1,1a b ==-18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内的概率达到最大，求λ.解：2(12)(1)(2)()P X P X P X e e g λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ，∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)XN ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <.解：01 1.61(0 1.6)()22P X P X --≤<=≤< 1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电子元件损坏，则（1）123,,A A A 完备，由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，今()()()12002200.810.80.21225P A -⎛⎫=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭，同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=，()310.2120.5760.212P A =--=，从而()0.062P D α==.（2）由贝叶斯公式()()222D P A P A A P D P D β⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭0.5760.0010.0090.062⨯==. 21.随机变求2Y X =的分布律解：. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求2X 及22X X -的概率分布.解．X 的分布为易见，2X 的可能值为0和1；而22X X -的可能值为1-和0，由于2{}P X u =={P X }u =(0,1)u =，可见2X 的概率分布为：由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)X f x x π=+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .解：2y x =的反函数为2yx =，代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+.24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4内概率密度()Y f y . 解法一（分布函数法）当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时，()(Y XF y P X F ==从而 ()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余解法二（公式法）2y x =在()0,2单增，由于反函数x =在()0,4可导，'y x =，从而由公式得()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余25. ,0)0 ,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩（，求X Y e =的密度.解法一（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=，()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -⎧==>⎪∴=⎨⎪≤⎩.解法二（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z .解：X 的密度为1, 01() x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,若其它，（1）函数x y e =有唯一反函数，ln x y =，且1Y e <<，故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它1, 1 y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯一反函数z x e -=，且0Z >，从而()(), () z z X Z f e e f z -->⎧'⎪=⎨⎪⎩z 00,其它 0, zz e ->⎧⎪=⎨⎪⎩0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =.证法一（分布函数法）()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--⋅-=，得证.证法二（公式法）由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，0,>+∞<<-∞σμ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则⎰∞-=xdt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，其反函数)(1x F -存在，又因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值范围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤<⎧=⎨⎩其它即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.第三章思考题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习题三1 解：)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P 2121212121}1{}1{}1{}1{=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P . 由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由∑∑ijijp=1可得：14.0=b ,从而得：.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立. 7.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P3解: )()1,1(11AB P Y X P p ====,121)()(==A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p ====613241)()(=⋅==A B P A P因为: ,32)(1)(:,1)()(=-==+A B P A B P A B P A B P 所以121)()()()()()()()1,0(21=-=-=-=====AB P B A P AB P AB P B P A B P B A P Y X P p 12812161121122=---=p ,结果如表所示. 4 解: X 的边缘分布律为32}2{,31}1{====X P X PY 的边缘分布律为21}2{,21}1{====X P Y P 1=Y 的条件下X 的条件分布为0}1{}1,1{}11{=======Y P Y X P X P1}1{}1,2{}12{=======Y P Y X P Y X P2=X 的条件下Y 的条件分布为,32}2{}1,2{}21{=======X P Y X P X Y P ,31}2{}2,2{}22{=======X P Y X P X Y P5 解：（1）由乘法公式容易求得),(Y X 分布律．易知，放回抽样时,61}1{,65}0{,61}1{,65}0{========Y P Y P X P X P且}{}{},{i X P i X j Y P j Y i X P ====== .1,0;1,0}{}{=====j i j Y P i X P于是),(Y X 的分布律为（2）不放回抽样，则,61}1{,65}0{====X P X P ,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故 ,112}01{,119}00{======X Y P X Y P 又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故6解 ),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--.,0,,,))((1否则d y c b x a d c a b⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a x b x a ab x f X ,0,1)(, )(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-d y cy d y c d c ,0,1 随机变量X 及Y 是独立的.7 解（1）),(y x f =y x y x F ∂∂∂),(2=)9)(4(6222y x ++π （2）X 的边缘分布函数=+∞=),()(x F x F X )22)(22(12ππππ++x arctg =)22(1xarctg +ππ.由此得随机变量X 的边缘分布密度函数==)()(x F dxdx f X X )4(22x +π同理可得随机变量Y 的边分布函数=+∞=),()(y F y F Y )32)(22(12y arctg ++ππππ=)32(1yarctg +ππ Y 的边缘分布密度函数==)()(y F dy dy f y Y )9(32y +π （3）由（2）知)(x f X )(y f Y =)4(22x +π)9(32y +π=),(y x f ，所以X 与Y 独立. 8 解因为X 与Y 相互独立，所以Y X ,的联合概率密度为∞<<-∞∞<<-∞==+-y x e y f x f y x f y x Y X ,,21)()(),(222π⎰⎰⎰⎰≤+---+--=-====120102110222222222,12121}2{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰≤+≤----+--=-====41202122121222222222,2121}1{y x r r y x e ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰>+∞-∞--+-=-====420222222222222,2121}0{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ所以，Z 的分布律为:.1}2{,}1{,}0{212212-----==-====eZ P eeZ P e Z P9解：（1）由⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰∞+∞++-==⇒0)43(121Adxdy e A y x ，即 12=⇒A因此),(y x f =,,00,0,12)43(⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它y x e y x （2）X 的边缘概率密度为当0>x ，)(x f X =⎰∞∞-dy y x f ),(=⎰∞+-0)43(12dy e y x =x e 33-，当0>y ，)(y f Y =⎰∞),(dx y x f =⎰∞+-0)43(12dx e y x =y e 44-，可知边缘分布密度为：)(x f X =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,0,0,33其它x e x)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,00,44其它y e y（3）}20,10{≤<≤<Y X P =⎰⎰--+---=102083)43()1)(1(12e e dxdy e y x10解因为⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰=101021dy y xdx c ， 6,13121==⋅⋅c c对任意10<<x ，)(x f X =⎰∞+∞-dy y x f ),(=⎰=10226x dy xy，所以)(x f X =⎩⎨⎧<<,,0,10,2其它x x对任意10<<y ，)(y f Y =⎰∞+∞-dx y x f ),(=⎰=122,36y dx xy ，所以)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,10,32其它y y故),(y x f =)(x f X )(y f Y ，所以X 与Y 相互独立. 11解由 2ln 12211===⎰e e D x dx xS当21e x ≤≤时，,2121),()(1010xdy dy y x f x f x x X ===⎰⎰其它)(x f X =0. 所以:.41)2(=X f 12解（1）X ，Y 的边缘密度为分布密度为：)(x f X =⎰-<<=xx x x dy 10,21)(y f Y =⎰<<--=111,11yy y dx故)(y x f Y X =)(),(y f y x f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<-,,0,,11其它x y y)(x y f X Y =)(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,1,21其它y x x（2）因为)(x f X )(y f Y y -=1≠),(y x f =1，故X 与Y 不相互独立.13证设X 的概率密度为)(x f ，Y 的概率密度为)(y f ，由于Y X ,相互独立，故),(Y X 的联合密度为),(y x f =)(x f )(y f .于是⎰⎰⎰⎰≤∞+∞-∞+==≤yx x dy y f dx x f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{⎰⎰⎰⎰>∞+∞-∞+==>yx ydx x f dy y f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ 交换积分次序可得：⎰⎰∞+∞+∞-=xdy y f dx x f )()(⎰⎰∞+∞+∞-ydx x f dy y f )()(所以=≤}{Y X P =>}{Y X P 1－}{Y X P ≤故21}{=≤Y X P . 14解设)(A P p =，由于Y X ,相互独立同分布，于是有,)(}{}{)(p A P a X P a Y P B P ==≤=≤=则,1)(p B P -=又=)(B A P )(A P +)(B P －)(A P )(B P =p +（)1p -－p )1p -=9712=+-p p 解得：,32,3121==p p 因而a 有两个值. 由于2121}{)(1-==≤=⎰a dx a X P A P a ，所以，当311=p 时，由21-a =31得35=a当322=p 时，由21-a =32得37=a . 15解（1）Y X +的可能取值为2，3，4.且,41}1{}1{}2{=====+Y P X P Y X P 2141414141}1,2{}2{}1{}3{=⋅+⋅===+====+Y X P Y P X P Y X P ,41}2{}2{}4{=====+Y P X P Y X P 故有:;41}4{,21}3{,41}2{==+==+==+Y X P Y X P Y X P（2）由已知易得 ;21}42{,21}22{====X P X P16解由已知得所以有17证明：对任意的,,,1,021n n k += 我们有∑=-====ki i k Y P i X P k Z P 0}{}{}{（因为X 与Y 相互独立）=∑=-----ki i k n i k i k n i n i i nq p C q p C 0)(2211 =∑=-+-ki k n n k ik n i n q p C C 02121)(（利用组合公式 ∑=+-=ki k n m i k n im C C C）=kn n k kn n qp C -++2121即Y X Z +=～),(21p n n b +18解 Y X Z +=在[0，2]中取值，按卷积公式Z 的分布密度为：,)()()()(1dx x z f dx x z f x f z f Y Y X Z -=-=⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤≤,1,10:,10,10:z x z x x z x 即其中如图，从而：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤==⎰⎰-。

应用统计学第4章概率论基础

4
市场调查和预测分析估计，产品上市后销售量将达到生产能力的 80% 以上（畅销）、 50% ～ 80% （销售一般）、不足 50%（滞销）的可能性分别为40%、30%、30%。另经财务部门所作的财务预测分析，在产品出现”滞销”、” 一般”和”畅销”三种销售状况下，该项目投产后的年净现金流量将分别为100万元、600万元和1000万元。考虑到筹资成本和资金的机会成本，贴现率应取6%。
8
以上案例属于“有追加信息的风险型决策”问题，案例的分析需要用到一些概率知识，包括条件概率、全概率公式、贝叶斯公式和数学期望等，以及项目净现值等知识。在本章的最后一节，我们将运用所学的概率知识对该例进行分析，并且还将讨论信息的价值问题。
9
§4.1 随机试验与随机事件
一．随机试验
人们在研究经济管理以及其他社会问题中，通常总是通过调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观察来获取所需要的资料。对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为试验。如果试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个，每次试验前不能确定将会出现哪一结果，这样的试验就称为随机试验，简称试验。例如，在一批产品中任意抽取一件进行检验；企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；对某产品进行的寿命试验等等都是随机试验。
6
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上市后销售状况之间的统计数据，见表1 表1 销售状况与试用结果间的统计资料

人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件第4章概率与统计分层作业13 离散型随机变量的方差

8
D(Y)=4D(X)= .故选
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A.
3.[探究点一]已知离散型随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,且
2
1
P(X≥1)=3,P(X=3)=6,若
A.19
X 的数学期望
B.16
5
E(X)=4,则
19
C.
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3
1
1
,P(X=0)=C
2
9
2
3
1
3
× × =
4
2 2 1
2 2 4
×9+(-2-3) ×9+(0-3) ×9
=
4
,所以
9
16
.故选
9
4
1
E(X)=9×2+(-2)×9
B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
B )
2
3
× =
4
1
,P(X=-2)=
9
3
4
2
+ 9×0=3,故
×
2 2
2
D(X)=p-p =- - +
2
1
4
+
1
=4
1 2()-1
得最大值,最大值为4 . ()
即
=为
4
2-2 2 -1
=2
2
2()-1
p= 2 时,等号成立.故 () 的最大值为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
0<p<1,所以当

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