概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案

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概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解：由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

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习题4.11.设随机变量X 的概率密度为(1) (2)f(x)={2x, 0≤x ≤1,0, 其他; f(x)=12e -|x |, -∞<x <+∞求E(X)解: (1)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx = ∫10x ∙2xdx =2∙x 32|10=23(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫+∞-∞x ∙12e -|x |=02.设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <-1,a +b ∙arcsinx, -1≤x <1,1, x ≥1.试确定常数a,b,并求E(X).解:(1)f (x )=F '(x )={b 1-x 2, -1≤x <10, 其他∫+∞-∞f (x )dx =∫1-1b 1-x 2dx =b ∙arcsinx|1-1=bπ=1, 即b =1π又因当时-1≤x <1F (X )=∫X-1f (x )dx =∫x-11π∙11-x 2dx =1π∙arcsinx|x-1=1π∙arcsinx +12, 即a =12(2)E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫1-1xπ∙11-x 2=03.设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f(x)={1σ2e-x 22σ2, x >0,0, x ≤0.求E(X).解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =1σ2∫+∞0x ∙e -x 22σ2dx =14.设X 1, X 2,….. X n 独立同分布,均值为,且设,求E(Y).μY =1n ∑n i =1X i 解:E (Y )=E (1n ∑ni =1X i )=1n E (∑ni =1X i )=1n ∙n μ=μ5.设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={e -y, 0≤x ≤1,y >0,0, 其他.求E(X+Y).解:E (X +Y )=∫+∞-∞∫+∞-∞(x +y )f (x,y )dxdy =∫+∞0∫10(x +y )e -ydxdy =∫+∞012∙e ‒y +y ∙e ‒y dy =326.设随机变量X 1, X 2相互独立,且X 1, X 2的概率密度分别为f 1(x )={2e -2x, x >0,0, x ≤0,求:f 2(x )={3e -3x, x >0,0, x ≤0,(1)E (2X 1+3X 2); (2)E (2X 1-3X 22); (3)E (X 1X 2解:(1)E (2X 1+3X 2)=2E (X 1)+3E (X 2)=2*12+3*13=2(2)E (2X 1-3X 22)==2E (X 1)-3E (X 22)=1-3*∫+∞x 23e -3xdx =1-3*[-∫+∞x 2d(e -3x)]=1-3*[-x 2∙e -3x|+∞0+∫+∞e -3xdx 2]=1-3*[0+∫+∞e -3x∙2xdx]=1-3*[23∫+∞e -3x∙3xdx ]=1-3*23*13=13(3)E (X 1X 2)=E (X 1)E (X 2)=12*13=167.求E(X).解:E (X )=∑i ∑j x i p ij =0*0.1+0*0.3+1*0.2+1*0.1+2*0.1+2*0.2=0.98.设随机变量X 的概率密度为且E(X)=0.75,求常数c 和.f(x)={cx α, 0≤x ≤1,0, 其他.α解:E (X )=∫+∞-∞xf (x )dx =∫10x ∙cx αdx =0.75习题4.21.设离散型随机变量X 的分布律为X -100.512P0.10.50.10.10.2求E (X ),E (X 2),D (X ).解: E (X )=(-1)*0.1+0*0.5+0.5*0.1+1*0.1+2*0.2=0.45E (X 2)=(-1)2*0.1+0*0.5+(0.5)2*0.1+12*0.1+22*0.2=1.025D (X )=(-1-0.45)2*0.1+(0-0.45)2*0.5+(0.5-0.45)2*0.1+(1-0.45)22.盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X 的期望和方差.解: X 的可能取值为0,1,2P {X =0}=C 22C 25=0.1P {X =1}=C 13∙C 12C 25=0.6P {X =2}=C 23C 25=0.3E (X )=0∗0.1+1∗0.6+2∗0.3=1.2D (X )=(0‒1.2)2∗0.1+(1‒1.2)2∗0.6+(2‒1.2)2∗0.3=0.144+0.024+0.192=0.363.设随机变量X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为f X (x )={2e ‒2x, x >0,0, x ≤0,f Y(y )={4, 0<y ≤14,0, 其他,求D(X+Y).解:D (X +Y )=D (X )+D (Y )=122+(14‒0)212=491924.设随机变量X 的概率密度为f X (x )=12e ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求D(X)解:E (X )=∫+∞‒∞x2e ‒|x |dx =0E(X2)=∫+∞‒∞x 22e‒|x|dx=2∫+∞‒∞x22e‒x=∫+∞‒∞x2e‒x=2=D(X) E(X2)‒[E(X)]2=25.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=1,D(Y)=2,求D(X-Y).解: D(X‒Y)=D(X)+D(Y)=1+2=36.若连续型随机变量X的概率密度为f(x)={ax2+bx+c, 0<x<1,0, 其他,且E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数a,b,c.解:E(X)=∫10x(ax2+bx+c)dx=a4+b3+c2=0.5E(X2)=∫10x2(ax2+bx+c)dx=a5+b4+c3=0.15+(0.5)2=0.4∫+∞‒∞f(x)dx=∫10(ax2+bx+c)dx=a3+b2+c=1解得a=12,b=-12,c=3.习题4.31.设两个随机变量X,Y相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 D .A. 8B. 16C. 28D. 442.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={18(x+y), 0≤x≤2,0≤y≤2,0, 其他求Cov(X,Y).解:E(X)=∫20[∫20x8(x+y)dy]dx=∫20(x28∙y+x8∙y22)|20d x=76E(Y)=∫20[∫20y8(x+y)dx]dy=76E(XY)=∫20[∫20xy8(x+y)dy]dx=43Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=43‒76∗76=‒1363.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={ye‒(x+y), x>0,y>0,0, 其他求X与Y的相关系数ρxy.解:E(X)=∫+∞0(∫+∞0xye‒(x+y)dy)dx=1E(Y)=∫+∞0(∫+∞0y2e‒(x+y)dx)dy=∫+∞0(∫+∞0y2e‒x e‒y dx)dy=∫+∞0y2e‒y dy=‒∫+∞0y2d(e‒y)=‒y2e‒y|+∞0+∫+∞0e‒y d(y2)=0+∫+∞0e‒y∙2ydy=2∫+∞0e‒y∙ydy=2E(XY)=∫+∞0(∫+∞0xy2e‒(x+y)dy)dx=2Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=2‒2∗1=0所以ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=04.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y).布解:f (x,y )=12πσ1σ21‒ρ2e‒12(1‒ρ2){(x ‒μ1)2σ12‒2ρ(x ‒μ1)(y ‒μ2)σ1σ2+(y ‒μ2)2σ22}∵E (X )=0,E (Y )=0∴μ1=0, μ2=0,∵D(X)=16, D(Y)=25∴σ1=4,σ2=5∵Cov(X,Y)=12∴ρ=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=124∗5=35∴f (x,y )=132πe‒2532(x 216‒3xy 50+y 225)5. 证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).证:D (X ‒Y )=E [X ‒Y ‒E (X ‒Y )]2=E [(X ‒E (X ))‒(Y ‒E (Y ))]2=E [(X ‒E (X ))2]‒2E [X ‒E (X )]∙E [Y ‒E (Y )]+E [(Y ‒E (Y ))2]=D (X )+D (Y )‒2Cov(X,Y)6. 设(X,Y)的协方差矩阵为,求X 与Y 的相关系数ρxy.C =(4‒3‒39)解:∵C =(4‒3‒39)∴Cov (X,Y )=‒3, D (X )=4,D (Y )=9∴ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=‒32∗3=‒12自测题4一、选择题1.设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25解: 指数分布的E (X )=1λ, D (X )=1λ22. 设随机变量X,Y 相互独立,且X~B(16,0.5),Y 服从参数为9的泊松分布,则D(X-2Y+1)= C.A.-14B. 13C. 40D. 41解: D (X )=npq =16∗0.5∗0.5=4, D (Y )=λ=9D (X ‒2Y +1)=D (X )+4D (Y )+D (1)=4+4∗9+0=403. 已知D(X)=25,D(Y)=1, ρxy=0.4, 则D(X-Y)= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 C .A. X 与Y 相互独立B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)C. E(XY)= E(X)E(Y)D. (X,Y)~N()μ1,μ2,σ12,σ22,0解: ∵X 与Y 不相关∴ρxy =0, ∴Cov (X,Y )=0∴E(XY)= E(X)E(Y)5.设二维随机变量(X,Y)~N(),则Cov(X,Y)= B .1,1,4,9,12A. B. 3C. 18D. 3612解: ∵ρxy =12=Cov (X,Y )D(X)D(Y)=Cov (X,Y )2*3, ∴Cov (X,Y )=36.已知随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY)= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: ∵X~U (‒1,3),Y~U (2,4)∴E (X )=a +b 2=‒1+32=1, E (Y )=2+42=3E (XY )= E (X )E (Y )=1∗3=37.设二维随机变量(X,Y)~N(),Ø(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .0,0,1,1,0A. X 与Y 都服从N(0,1)正态分布 B. X 与Y 相互独立C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是Φ(x)∙Φ(y)二、填空题1.若二维随机变量(X,Y)~N(),且X 与Y 相互独立,则ρ= 0 .μ1,μ2,σ12,σ22,0解:Cov(X,Y)=0∵2.设随机变量X 的分布律为 3 .X -1012P0.10.20.30.4令Y=2X+1,则E(Y)= 3 .解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=33.已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X)=1,则P{X=1}= .e ‒1解: ∵ D (X )=λ=1∴P {X =1}=λ1e ‒λ1!=e ‒14.设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)= D(Y)=1,则D(X-Y) =2 .5.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,= 6.E (X 2)解: ∵E (X )=λ=2,D (X )=λ=2,∴ E (X 2)=E 2(X )+D (X )=4+2=66.设X为随机变量,且E(X)=2, D(X)=4,则= 8 .E(X2)7.已知随机变量X的分布函数为F(x)={0, x<0x4, 0≤x<41, x≥4则E(X) = 2 .解: f(x)=F'''"(x)={14, 0≤x<40, 其他E(X)=∫40x4dx=08.设随机变量X与Y相互独立,且D(X)=2, D(Y)=1,则D(X-2Y+3)= 6 .三、设随机变量X的概率密度函数为f(x)={32x2, ‒1≤x≤1,0, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2).P{|X‒E(X)|<2D(X)}解:(1) E(X)=∫1‒132x3dx=0D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫1‒132x4=32∙x55|1‒1=35(2)P{|X‒E(X)|<2D(X)}=P{|X|<65}=∫65‒65f(x)dx=∫1‒132x2dx=1四、设随机变量X的概率密度为f(x)={x 0≤x≤12‒x, 1≤x<20, 其他试求: (1)E(X), D(X); (2),其中n为正整数.E(X n)解:(1)E(X)=∫1x2dx+∫21x(2‒x)dx=13+13=1D(X)=E(X2)‒E2(X)=∫10x3dx+∫21x2(2‒x)‒1=14+(143‒154)‒1=16(2)E(X n)=∫1x n+1dx+∫21x n(2‒x)=2(2n+1‒1)(n+1)(n+2)五、设随机变量X 1与X 2相互独立,且X 1~N(), X 2~N().令X= X 1+X 2, Y= X 1-X 2.μ,σ2μ,σ2求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与Y 的相关系数ρxy.解:(1)D (X )=D (X 1+X 2)=D (X 1)+D (X 2)=σ2+σ2=2σ2D (Y )=D (X 1‒X 2)=D (X 1)+D (X 2)=2σ2(2) Cov (X,Y )=E (XY )‒E (X )E (Y )=0ρxy =Cov (X,Y )D(X)D(Y)=0六、设随机变量X 的概率密度为f (x )={2e ‒2x, x >0, 0, x ≤0.(1)求E(X),D(X);(2)令,求Y 的概率密度f Y (y).Y =X ‒E(X)D(X)解:(1)E (X )=∫+∞2xe ‒2x dx =12D (X )=E (X 2)‒E 2(X )=∫+∞02x 2e ‒2x dx ‒14=12‒14=14(2)Y =X ‒E(X)D(X)=X ‒1212=2X ‒1由Y=2X-1得, X’=X =Y +1212=∴f Y (y )={2e‒2(Y +12)∙12,Y +12>00, Y +12≤0{e ‒(y +1), y >‒10, y ≤‒1七、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x,y )={2, 0≤x≤1,0≤y ≤x,0, 其他求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3). P{X +Y ≤1}解:(1)E (X +Y )=∫10dx ∫x 02(x +y )dy =∫102x 2+x 2dx =1(2)E(XY)=∫1dx∫x2xy dy=∫1x3dx=14(3) P{X+Y≤1}=∬x+y≤1f(x,y)dxdy=∫12(∫1‒yy2dx)dy=∫122‒4ydy=12八、设随机变量X的分布律为X-101P 131313记Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); (2) ρxy.解:(1)E(X)=(‒1)∗13+0∗13+1∗13=0D(X)=(‒1‒0)2∗13+(0‒0)2∗13+(1‒0)2∗13=23 E(Y)=(‒1)2∗13+0∗13+12∗13=23D(Y)=(1‒23)2∗13+(0‒23)2∗13+(1‒23)2∗13=29E(XY)=(0∙‒1)∙9+(1∙‒1)∙29+(0∙0)∙19+(0∙1)∙29+(1∙0)∙19+(1∙1)∙29=0Cov(X,Y)=E(XY)‒E(X)E(Y)=0‒0∗23=0ρxy=Cov(X,Y)D(X)D(Y)=0。

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.11．设10个零件中有3个不合格．现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。

解由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。

概率论与数理统计第四章补充习题

第四章补充习题一、填空题1、设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ，=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和。

2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-，方差分别为41和，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。

3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N ，则)(Y X E -= ，=-)(Y X D 。

4、随机变量ξ服从指数分布，参数λ= 时，72)(2=ξE 。

5、设随机变量Y X ,，2)(-=X E ，4)(=Y E ，4)(=X D ，9)(=Y D ，5.0-=XY ρ， =-+-)323(22Y XY X E 。

6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ，若4.0-=X Z ，则=YZ ρ 。

7、设Y X ,同分布，密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ，使t Y X C E 1))2((=+，则=C 。

8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0，则{}=≠0X P 。

9、将一枚均匀硬币连掷3次，用X 表示正面出现的总次数，Y 表示第一次掷得的正面数，则=)(XY E ，=),(Y X Cov ，=XY ρ 。

二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布，记 Y X V Y X U +=-=,，则随机变量V U 与必然（）（A ）不独立， (B) 独立， (C) 相关系数不为零， (D) 相关系数为零。

2、将一枚硬币掷n 次，以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则Y X 和的相关系数等于（）。

（A ）1- (B) 0 (C)21(D) 1。

3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ，则（）。

(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。

概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.

概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.习题4.11. 设随机变量X 的概率密度为(1f x 2x,0 x 1,0,其他; (2 f xe | |, ∞ ∞求E(X 解: (1E Xxf x dx ∞∞ x·2xdx 2·10(2 E X xf x dx x ·e | | ∞∞ ∞∞0 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 F x 0,x 1, a b ·arcsinx, 1 x 1,1,x 1.试确定常数a,b,并求E(X. 解:(1 f x F x√, 1 x 10,其他f x dxb√1 xdx∞∞b ·arcsinx 11 1, 即b 1π⼜因当 1 x 1时 F X f x dx 1π·1√1 xdx 1π·arcsinx x 1X1π·arcsinx 1, 即a 1(2 E X xf x dxπ·3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f x 1σe σ,x 0,0,x 0. 求E(X. 解: E Xxf x dx ∞∞σ x ·eσ dx∞14. 设X 1, X 2,….. X n 独⽴同分布,均值为µ,且设Y∑X ,求E(Y.解: E Y E∑XE ∑X·n µ µ5. 设(X,Y的概率密度为f x,y e ,0 x 1,y 0,0,其他.求E(X+Y.解:E X Y x y f x,y dxdy ∞∞ ∞∞ x y e dxdy∞·e y ·e dy6. 设随机变量X 1, X 2相互独⽴,且X 1, X 2的概率密度分别为f x 2e ,x 0,0,x 0,f x3e0,x 0,求: 1 E 2X 3X ; 2 E 2X 3X ; 3 E X X . 解: 1 E 2X 3X 2E X 3E X 2322 E 2X 3X 2E X 3E X1 3x ∞3e dx1 3x ∞d e1 3 x·e∞0 e ∞dx1 3 0 e ·2x ∞dx1 3 23e ·3x ∞dx1 32 11 3 E X X E X E X7.求E(X.解:E X ∑∑x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2 0.2 0.9 8. 设随机变量X 的概率密度为f x cx α,0 x 1,0,其他.且E(X=0.75,求常数c 和α.解: E X xf x dx x ·cx αdx 0.75∞ ∞习题4.21. 设离散型随机变量X 的分布律为X ‐1 0 0.51 2P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E X ,E X ,D X .解: E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025D X 1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.12 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有5个球,其中有3个⽩球,2个⿊球,从中任取两个球,求⽩球数X 的期望和⽅差. 解: X 的可能取值为0,1,2 P X 0 C C 0.1P X 1 C·CC0.6 P X 2CC0.3 E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 0.3 0.144 0.024 0.192 0.36 3. 设随机变量X,Y 相互独⽴,他们的概率密度分别为 f X x 2e,x 0,0,x 0, f Y y4,0,0,其他,求D(X+Y.解: D X Y D X D Y4. 设随机变量X 的概率密度为f X xe | |, ∞ ∞,求D(X 解: E Xe | |dxE Xx2e | | dx 2 x2ex e 2D X =E X E X 25. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=1,D(Y=2,求D(X ‐Y. 解: D X Y D X D Y 1 2 36. 若连续型随机变量X的概率密度为f x ax bx c,0 1,0,其他,且E(X=0.5,D(X=0.15.求常数a,b,c.解:E X x axbx cdx a 4 b 3 c2 0.5E Xxax bx cdx a 5 b 4 c3 0.15 0.5 0.4f x dxax 2 bx c 10dxa 3 b2c 1 解得a=12,b=‐12,c=3.习题4.31. 设两个随机变量X,Y 相互独⽴,⽅差分别为4和2,则随机变量3X ‐2Y 的⽅差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 442. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为 f x,y 18 x y , 0 x 2,0 y 2,0, 其他求Cov(X,Y. 解:E X x8 x y dydx x 8·y x 8·y 2 20dx 76E Yy8x y dxdy 76E XYxy8 x y dydx 43 Cov X,Y E XY E X E Y4 7 7 13. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为f x,yye , x 0, 0,求X 与Y 的相关系数ρxy. 解:E Xxy e dy ∞ ∞dx 1E Yy e dx ∞∞dyy e e dx ∞∞dyy e ∞dyy ∞d ey e∞0e ∞ d y 0e ·2y ∞dy2e ·y ∞dy 2E XYxy e dy ∞∞dx 2Cov X,Y E XY E X E Y 2 2 1 0 所以ρxy Cov X,YD X D Y 04. 设⼆维随机变量(X,Y服从⼆维正态分布,且E(X=0, E(Y=0, D(X=16, D(Y=25, Cov(X,Y=12,求(X,Y的联合概率密度函数f(x,y. 解:f x,ye ρ µσρ µ µ σσµσE X 0,E Y 0µ1 0,µ2 0, D X 16,D Y 25 σ1 4,σ2 5 Cov X,Y 12ρ Cov X,Y D X D Y 12 3f x,y 132πe 2532 x 216 3xy50 y 2255.证明D(X‐Y=D(X+D(Y‐2Cov(X,Y.证:D X YE X Y E X YE X E X Y E YE X E X 2E X E X ·E Y E Y E Y E YD X D Y 2Cov X,Y6.设(X,Y的协⽅差矩阵为C 4 339,求X与Y的相关系数ρxy.解: C 4 339Cov X,Y 3,D X 4,D Y 9ρxyCov X,YD X D Y31⾃测题4⼀、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X=0.5, D(X=0.25B. E(X=2, D(X=4C. E(X=0.5, D(X=4D. E(X=2, D(X=0.25解: 指数分布的E Xλ,D Xλ2. 设随机变量X,Y相互独⽴,且X~B(16,0.5,Y服从参数为9的泊松分布,则D(X‐2Y+1= C .A.‐14B. 13C. 40D. 41解: D X npq 16 0.5 0.5 4,D Y λ 9D X 2Y 1 D X 4D Y D 1 4 4 9 0 403. 已知D(X=25,D(Y=1, ρxy=0.4, 则D(X‐Y= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y为⼆维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独⽴B. E(X+Y=E(X+E(YC. E(XY= E(XE(YD. (X,Y~N(µ ,µ ,σ ,σ ,0解: X与Y不相关ρxy 0, Cov X,Y 0E XY E X E Y5.设⼆维随机变量(X,Y~N(1,1,4,9,,则Cov(X,Y= B .A.B. 3C. 18D. 36解: ρxy 12 Cov X,YD X D Y Cov X,Y2 3, Cov X,Y 36. 已知随机变量X 与Y 相互独⽴,且它们分别在区间[‐1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: X~U 1,3 ,Y~U 2,4E Xa b 1 3 1,E Y 2 4 3 E XY E X E Y 1 3 37. 设⼆维随机变量(X,Y~N(0,0,1,1,0,?(x为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,1正态分布B. X 与Y 相互独⽴C. Cov(X,Y=1D. (X,Y的分布函数是Φ x ·Φ y⼆、填空题 1. 若⼆维随机变量(X,Y~N(µ ,µ,σ ,σ ,0,且X 与Y 相互独⽴,则ρ=0 .解: Cov(X,Y=02. 设随机变量X 的分布律为 3 .X ‐1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4令Y=2X+1,则E(Y= 3 .解: E(2X+1=(2*‐1+1*0.1+(2*0+1*0.2+(2*1+1*0.3+(2*2+1*0.4=33. 已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X=1,则P{X=1}= e .解: D X λ 1P X 1 λ e λ1!e 4. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X= D(Y=1,则D(X ‐Y = 2 .5. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布, E X = 6 .解: E X λ 2,D X λ 2,E X E X D X 4 2 66. 设X 为随机变量,且E(X=2, D(X=4,则E X = 8 .7. 已知随机变量X 的分布函数为F x 0, x 0x 4, 0 x 41, x 4则E(X = 2 .解: f x F " x, 0 x 40, 其他 E X x 440dx 08. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=2, D(Y=1,则D(X ‐2Y+3= 6 .三、设随机变量X 的概率密度函数为f x 32x , 1 x 1,0, 其他。

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编- 程述汉-舒兴明-第四章第四章习题解答11 •设随机变量X〜B (30,-)，则E (X)=( D ).6A.-；D.5.1E (X) = np = 30 562 •已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间［-1 , 3］和［2, 4］上服从均匀分布，则E(XY)=( A ).A. 3；B. 6；C. 10；D. 12.E(X) =1 E(Y) =3因为随机变量X和Y相互独立所以E(XY) = E(X)E(Y) = 33.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，贝U X2的数学期望E(X 2) = 1&4 .X LI B(10,0.4) E(X) =4 D(X) =2.42 2E(X ) =(E(X)) D(X) =18.44.某射手有3发子弹，射一次命中的概率为-，如果命中了就停止射击,3否则一直射到子弹用尽.设表示X耗用的子弹数.求E (X).解：X123P2/32/91/92 2 1 13E(X)=—十—：2 +3 9 9 95 .设X的概率密度函数为x, 0ExE1f (x) - x, 1 :： x 乞2[0, 其它求 E(X) , E(X2).解: E(X) = J xf(x)dx = J x2dx + J x(2-x)dx =1,0 ' 11 32 27f (x)dx x dx 亠 i x (2「x)dx .- -bo -E(X 2)「；x 2求 E(X) , E(Y),E(XY).解：X-12P 0.650.35E(X)二「0.65 0.35 2 =0.05 .Y-112P0.40.250.35E(Y) = -0.4 0.25 1 0.35 2 =0.55E(XY)=(-1) (-1) 0.25 (-1) 1 0.1 (-1) 2 0.32 (-1) 0.15 2 1 0.15 2 2 0.05 =-0.257 •设二维随机向量(X, Y)的联合概率密度为求(1)E(X Y); (2) E(XY).E(XY) = _；.；(xy)f(x,y)dxdy=讥(广(xy)「dy)dx = 38.设随机变量X与Y相互独立，且D(X)=1, D(Y)=2 , J则D(X-Y)= 3 .D(X _Y) = D(X) D(Y) =39.设正方形的边长在区间］0, 2］服从均匀分布，则正方形面积A=X2的f(x,y)二e0,1°,0 ：x y其它解: y) dxdy( x x y )e y d y dx 3方差为64/45 _________ .4 1E(X)=1, D(X) ,12 3X的密度函数f(x)= 102,0乞x乞26 •设随机向量(X, Y)的联合分布律为:E(X Y)=二y)求 D(X )，D(Y )，D(X-Y ).解：由本章习题5知E(X)=1 , E(X 2)=7，于是有62 21D(X)二 E(X )-(E(X)).6221 4E (XTE (X)「D (X)n 〒.4"be 42E(X )= x f(x)dx = 01 4 16x dx =2 5D(X 2) =E(X 4)—[E(X 2)]210•设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P1/5 1/2 1/5 1/10求 D(X).解：D(X) = E(X 2) -(E(X))2, E(X2 21 2 1 2E(X ) =(-1) -01- 2 551 19 224D(X)=E (X 2)-(E(X))2=5 25 2511•设随机变量X 的概率密度函数为f(x)亠1,求 D(X ).::1I解：E(X) xf (x) dxxe*dx=0, 2E(X 2)x 2f(x)dx=2 x 2e^dx = 2 ,0 212•设随机变量X , Y 相互独立，其概率密度函数分别为x,f x (x)二 2 -x,0 _x _1 1 ：： x _ 2y_ 0其它16 564 45由Y LI E(1)知 E(X) =D(X) =1.由于随机变量X , Y 相互独立，所以D(X -Y)二 D(X) D(Y) =7.613•设 D(X)=1,D(Y)=4，相关系数 P XY =0.5，则 cov(X,Y)=_1 __________ covX,Y)= » D(X)D(Y) =114•设二维随机变量（X, Y ）的联合密度函数为求 cov(X,Y )， ?XY •DJI nI 22。

概率论与数理统计第四章习题参考答案

=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(

数理统计课后答案-第四章

T=
X − μ0 S*
n=
10.4867 − 10.5 × 15 = −0.2192 。 0.235635
2
对 α = 0.05 ，查 t 分布表可得 t1−α ( n − 1) = t 0.975 (14) = 2.1448 。因为
T = − 0.2192 < 2.1448 ，所以接受 H 0 ： μ = 10.5 ；
2
与正常情况相比，是否有显著的差异？（显著水平 α = 0.05 ）解问题相当于要检验 H 0 ： σ = 20 。 n = 25 ， S * = 404.77 。
2
χ2 =
2
(n − 1) S *2
σ
2 0
=
(25 − 1) × 404.77 = 24.286 。 20 2
对 α = 0.05 ，查 χ 分布表可得
对 α = 0.05 ，查 t 分布表可得 t1−α ( m + n − 2) = t 0.975 (15) = 2.1314 。因为 T = 0.1956 = 0.1956 < 2.1314 ，所以接受 H 0 ： μ1 = 产滚珠直径的平均值没有显著的差异。 4.9 甲、乙两台机床加工同一种零件，从这两台机床加工的零件中，随机抽取一些样品，测得它们的外径（单位：mm）如下：机床甲机床乙 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2
α = 0.05 ）。
n = 5 ， X = 4.364 ， S * = 0.054129 。
（1）
T=
X − μ0 S*
n=

概率论与数理统计答案第四章习题

(x2
3000x)dx
1 1500 2
x3 3
1500 0
1 1500 2
(
x3 3
1500
x
2
)
3000 1500
500 4(500) (1000) 1500
X -2 0 2
6.设随机变量X的分布律为 pk 0.4 0.3 0.3 求E(X),E(X2),E(3X2+5).
3
解
E( X ) xk pk (2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2
0),
2t ,
(a 1) a(a),
dx dt
2t
(1)
1,
(1
2)
.
E(X) 02tet
dt
2t
2 0t1 2etdt
2(3 2)
2 1 (1 2)
2
2
E(
X
2
)
0
3
(2t )3
2
2
et
2t
dt
2
2
0
te t
dt
2
2(2)
2
2
20. 设长方形的高(以m计)X~U(0,2),己知长方形的周长(以m计)为 20,求长方形面积A的数学期望和方差.
k 1
3
E( X 2 ) xk2 pk (2)2 0.4 02 0.3 22 0.3 2.8
k 1
3
E(3X2 5) (3xk2 5)pk [3(2)2 5]0.4[302 5]0.3[322 5]0.3 13.4
k1
或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4

概率论与数理统计课后答案第4章

概率论与数理统计课后答案第第4章大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？1 1 卄亠(1){D(x n)}; (2){D(x )}；(3){D(x 0},其中n =1,2;n n解：(1) (2)不是；(3)是。

4.2设分布函数F n(x)如下定义：‘0x 兰-nl /、x + nF n (x)=」---- 一n c x 兰n2n1 x > n问F(x) =lim F n(x)是分布函数吗？n_)pC解：不是。

4.3设分布函数列{ F n(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{F n(x)}在(」：，：：)上一致收敛于F(x)。

证：对任意的；.0,取M充分大，使有1 —F(x) ：：；, —x _ M; F(x) ：：；,—x^ -M对上述取定的M，因为F(x)在［-M,M］上一致连续，故可取它的k分点：捲- -M :: X2 ：…X k4 ：：X k = M ，使有F(X j .J - F(xJ ：：；,1 一i ：：k ，再令x° - - ：：, X k 1 =：:，则有F(X i J —FW) ：：：；,0 G ：：k 1(1)这时存在N，使得当n • N时有| F n(X i) —F(X i)|：：；,0 叮牛 1(2)成立，对任意的X •(-：：,：：)，必存在某个i(0 _i 一k)，使得x・(X i,X i 1)，由(2) 知当n •N时有F n (X)— F n (X i i ) ：：： F(X j .J ；F n (X)_ F n (X i ) . F(X i )-；(4) 由( 1), (3), (4)可得F n (x) -F(x)：：： F(X i 1)-F(x) , F(X i i )-F(X i )；：：：2；,F n (x) - F (x) F (X i ) - F (x) - ； _ F (X i ) - F (X i .1)- ； -2 ；,即有F n （x ）-F （x ）名成立，结论得证4.5设随机变量序列「鳥同时依概率收敛于随机变量 •与，证明这时必有P （二）二1。

《概率论与数理统计》习题四参考答案随机变量的数字特征(熊万民、杨波版)

所以Y X N 1, 42 ，从而 Y X 1 N 0,1 4
于是
Px
y
Py
x
0
P
y
x 4
1
1 4
1 4
1
1 4
0.4013
19.解：
设 X Bn, p, Y n,q,q 1 p ，则
EX np, DX npq, EY nq, DY nqp npq
XY
E X
E X Y E Y
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1 号盒中没有球}，其概率为
33 ，因此 43
PX
=1
1
33 43
4 3 3 43
3
{X=2} 表示 {1 号盒中没有球，而 2 号盒中至少有一个球}，类似地得到：
PX =2
33
23 43
于是
PX
=3
23 13 43
PX
=
4
13 43
E（X）=1
0
1
0 (ax b)dx 1 1.2,b 0.4
EX 2 1 x2 (ax b)dx 13
0
30
DX EX 2 (EX )2 13 0.62 11
30
150
14.
E[(X Y )2 ] E( X 2 2XY Y 2 ) EX 2 2E( XY ) E(Y )2 DX (EX )2 DY (EY )2 2EXEY 10
XY
Cov X, Y
DX DY
0
因此 X 与 Y 不相关
2）fX x
f x, ydy
x 1, fX x 0
x 1, fX
1 x2
1 1 x2
1

概率论与数理统计课后习题答案习题第四章

y 2 i4e −4 y dy =
00
3
1 2 E ( X ) = ∫ xi2 xdx = , 0 3
圣才统计学习网
tj
圣才学习网
求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值
.c
⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, 其他; ⎩0,
5.设随机变量 X 的概率密度为
N
∑ kP{ X = k}
k =0
N
求 E（X），D（X）. 【解】 E ( X ) =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ x(2 − x)dx
0 1
1
2
w.
1 2 0 1
3 ⎡1 3 ⎤ ⎡ 2 x ⎤ = ⎢ x ⎥ + ⎢ x − ⎥ = 1. 3 ⎦1 ⎣ 3 ⎦0 ⎣
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
计
【解】（1） E[U ] = E (2 X + 3Y + 1) = 2 E ( X ) + 3E (Y ) + 1
= 2 × 5 + 3 × 11 + 1 = 44.
因Y , Z 独立E (Y )i E ( Z ) − 4 E ( X )
= 11× 8 − 4 × 5 = 68.

陈国华等主编概率论与数理统计第四章习题答案

( A) 1；
( B) −1 ；
(C )
( D) ρ XY < 1 ．
）．
4．若随机变量 X 和 Y 的协方差等于 0，则以下结论正确的是（
( A) X 和 Y 相互独立；
(C ) D( X − Y ) = D( X ) − D(Y ) ；
( B) D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ；
则Z = ⎨
⎧1000 X + 500(Y − X ), X ≤ Y 1 ， f ( x) = f ( y ) = ,10 ≤ X , Y ≤ 20 Y≤X 10 ⎩ 1000Y ,
E (Z ) =
20
10≤ x , y ≤ 20
20
∫∫
Z
20 x 20 y 1 dxdy = ∫ ∫ 10 ydydx + ∫ ∫ 5( x + y ) dydy 0 0 0 0 100
答案： fY ( y ) =
试求 E ( X | Y = y )
∫
1
0
f ( x, y )dx =
1 f ( x, y ) 2( x + y ) + y (0 < y < 1), f X |Y ( x | y ) = = 2 1+ 2 y fY ( y )
1 0
E ( X | Y = y) = ∫
+∞
的单位数（1 单位等于 1000 千克），它在[200，400]上服从均匀分布，又设每卖出一个单位，而因卖不出去油失效每单位将损失 1000 元，问工厂在每年开工前工厂可获得 3000 元利润，应决定生产多少单位的润滑油，才能使期望利润最大？答案：解：设 X 表示该厂一年内卖出润滑油的单位数，Y 表示利润，且工厂在每年开工前应决定生产 a 单位的润滑油，才能使期望利润最大.则

概率论与数理统计第四章习题答案

ξ
n
≤ 0.84) = P (0.76n ≤ ξ ≤ 0.84n) = P ( ξ − 0.8n ≤ 0.04n) ≥ 1− Dξ 100 = 1− 2 n (0.04n)
由题意所以
P (0.76 ≤ 1−
ξ
n
≤ 0.84) ≥ 0.9
100 ≥ 0.9，从而 n ≥ 1000 n 故，至少应生产1000件产品。
c , r , s , t , u 的值。
3⎞ ⎟ c⎟ ⎠ − ∞ < x < −1 −1≤ x < 0 0≤ x<1
2
乐山师范学院化学学院
解：P (ξ = 1.2) = F (1.2) − F (1.2 − 0) =
1 1 − =0 2 2
1 2 = 3 3 0 = P (ξ = −1) = F ( −1) − F ( −1 − 0) = r − 0 = r ∴ r = 0 1 1 = P (ξ = 0) = F (0) − F (0 − 0) = s − r = s ∴ s = 3 3 1 1 1 a = P (ξ = 1) = F (1) − F (1 − 0) = − s = ∴a = 2 6 6 1 1 2 = P (ξ = 2) = F ( 2) − F ( 2 − 0) = t − ∴t = 6 2 3 又 x ≥ 3时，F ( x ) = 1， ∴u = 1 2 1 1 c = P (ξ = 3) = F ( 3) − F ( 3 − 0) = 1 − = ∴c = 3 3 3 1 1 而 ∑ p i = 1，从而 + a + b + + c = 1， ∴ b = 0 3 6 i 1 1 1 2 因此， a = ，b = 0，c = ，r = 0，s = ，t = ，u = 1. 6 3 3 3 P (ξ > 0.5) = 1 − P (ξ ≤ 0.5) = 1 − P (ξ = 0) = 1 −

概率论与数理统计习题册第四章答案

× (−1) j+1 3 j j
= ∞ (−1) j+1 × 2 = ∞ 2 = +∞
j =1
j j=1 j
∞
∑ 所以级数 x j p j 非绝对收敛，故由定义可知 X 的数学期望不存在。 j =1
四、有 3 只球、4 只盒子，盒子的编号为 1，2，3，4.将球逐个独立地、随机地放入 4 只盒
子中去.以 X 表示其中至少有一只球的盒子的最小编码(例如， X = 3 表示第 1 号，第 2 号盒子
六、设随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为 P( X = 1,Y = 10) = P( X = 2,Y = 5) = 0.5 ，试求 ρ XY .
例 22)
************************************************************************
十二、一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假
设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和
0.5(千小时)，试求线路无故障工作时间 X 的数学期望．
30 30
30 30
P{Y = 4} = C41 = 4 , P{Y = 9} = C91 = 9
30 30
30 30
即 Y 的分布律为
Y
2
3
4
9
pk
2 30
15 30
4 30
9 30
所以 E(Y ) = 2 × 2 + 3× 15 + 4 × 4 + 9 × 9 = 73 . 30 30 30 30 15
f
(x)
=
⎧⎪⎨θ1
−

概率论与数理统计习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．解：E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2E (X 2) =∑∞=12i i p x= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n 个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．(2) 某天恰有n 个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B ｝= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数，求E (X )．解：依题意，X~B (n ，1/n )，所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ，且}6{}5{===X P X P ，求E (X )．解：由题意知X ～P （λ），则X 的分布律P{}k X ==λλ-e k k!，k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得 6=λ，所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ，而 ∑∞=11k k 发散，所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X )．解：由题意知，随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时，=)(x f 3350252xx =⨯--，当x ≤5时，=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf 所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X )．解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它，，，，x x x x x f解：0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ，求数学期望)2(sinX E π．解：X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{， k = 0，1，2，3，4，X 取值为0，1，2，3，4时，2sinX π相应的取值为0，1，0，-1，0，所以)21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114p p p p p C p p C XE --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．解：V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ，所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X ,求E (X )，E (Y )，E (X – Y )．解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，E (XY )解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(1654311010322210102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy y xydxdy y Y E DxDy15.所得利润（以元计）为)12(1000X Y -=,求E (Y )，D (Y )．解： E (Y) = E ［1000(12-X )］=1000E ［(12-X )］=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］=10002E ［(12-X )2］=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1 +（12-14）2×0.1]=1.6×106D (Y )=E (Y 2)-［E (Y )］2=1.6×106- 4002=1.44×10616. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数，求E (X )，D (X )．解：令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π，试求E (X )，D (X )．解：E (X )=011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)=⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ，Y )具有D (X ) = 9，D (Y ) = 4，6/1-=XY ρ，求)(Y X D +，)43(+-Y X D ．解：因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ，所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ，Y )，ρXY ．解：E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4, E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E (X 2)= 02×（3/28+9/28+3/28）+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×（3/28+3/14+1/28）+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -［E (X )］2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- ［E (Y )］2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov (X ，Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ρXY = Cov (X ，Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ÷ (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ，Y )，ρXY ，D (X + Y )．解：52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov )(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-= 752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππOx2x20/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π，所以Cov (X ，Y )=0，ρXY =0，即X 和Y 是不相关.⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他，，其他，01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2 + y 2≤1时，f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．解：由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ，Y )=0，从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ，因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以，当0<x <1, -2<y<2时，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 和Y 不是相互独立的 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时，当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m m xenx nxe e n m xe n m m xe nxe dy n m e ye n m m xde de nx yde n m dye m x dy e y x n m y dy Yf Y Q Q E x xxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m 元，而积压一件产品导致n 元的损失，再者，他们预测销售量Y （件）服从参数θ的解：设生产x 件产品时，获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m 元，卖不掉而退回则每日赔偿n 元，若每日卖报人买进r 份报，求其期望所得及最佳卖报数。

概率论与数理统计答案第四章

概率论与数理统计答案第四章第四章大数定律与中心极限定理4.1 设)(x D 为退化分布：⎩⎨⎧≤>=0001)(x x x D讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？,2,1},01({)3()};1({)2()};({)1(=-++n n x D n x D n x D 其中解：（1）（2）不是；（3）是。

4.2 设分布函数)(x F n 如下定义：⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-+-≤=nx nx n n nx n x x F n 120)(问)(lim )(x F x F n n ∞→=是分布函数吗？解：不是。

4.3设分布函数列)}({x F n 弱收敛于分布函数)(x F ，且)(x F 为连续函数，则)}({x F n 在),(∞-∞上一致收敛于)(x F 。

证：对任意的0>ε，取M 充分大，使有M x x F M x x F -≤∀<≥∀<-,)(;,)(1εε对上述取定的M ，因为)(x F 在],[M M -上一致连续，故可取它的k 分点：Mx x x M x k k =<<<<-=-121 ，使有ki x F x F i i <≤<-+1,)()(1ε，再令∞=-∞=+10,k x x ，则有10,)()(1+<≤<-+k i x F x F i i ε （1）这时存在N ，使得当N n >时有10,|)()(|+≤≤<-k i x F x F i i n ε （2）成立，对任意的),(∞-∞∈x ，必存在某个)0(k i i ≤≤，使得),(1+∈i i x x x ，由（2）知当N n >时有ε+<≤++)()()(11i i n n x F x F x F （3）ε->≥)()()(i i n n x F x F x F （4）由（1），（3），（4）可得εεε2)()()()()()(11<+-≤+-<-++i i i n x F x F x F x F x F x F ， εεε2)()()()()()(1->--≥-->-+i i i n x F x F x F x F x F x F ，即有ε2)()(<-x F x F n 成立，结论得证。

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。