(完整版)概率论第四章答案

习题4-1

1. 设随机变量X

求()E X ；E (2－3 X );

2()E X ；2(35)E X +.

解 由定义和数学期望的性质知

2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,()0,

0.x

e x

f x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解

()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞

-====⎰e d ,

220

1

()()3

X

x x E Z E e

e e dx ∞

---==⋅=

⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第

55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]

上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为

1

,060,()600,

.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它

记Y 为游客等候电梯的时间,则

5,05,25,525,()55,2555,65,

5560.

X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪

⎨

⎪⎪⎩≤≤≤≤

因此, 600

1

()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

===

⎰

⎰

()

5255560

5

25

55

1(5)(25)(55)(65)60

x dx x dx x dx x dx =

-+-+-+-⎰⎰

⎰⎰

=11.67(分钟)..

14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？

解 设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量

⎩⎨

⎧=.

A ,0,A 1

不发生事件发生事件，X 则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值

1,

,

0.c a X Y c X -=⎧=⎨

=⎩， 于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-⨯=+⨯==-+. 据题意有10%ap c a -+=⨯, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.

习题4-2

1. 选择题

(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)](

)E X

-=.

(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解

22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+

23[()4()4]E X E X =-+

23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=⨯+++=.

可见，应选(D).

(2) 设

~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).

(A)

10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.

解 因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,

n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).

(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2

(,)N μσ

, 则有( ).

(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.

(C)

()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2

()2D X Y σ-=.

解 注意到0)()()(=-=-Y E X E Y X

E .由于X 与Y 相互独立,所以

22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).

(4) 在下列结论中, 错误的是( ).

(A) 若

~(,),().X B n p E X np =则

(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.

(D) 若

2~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

σ

-.

解

)1,1(~-U X , 则3

1

12212)()(22==-=

a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ).

解 由数学期望和方差的性质有

E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,

(32)9()4()D X Y D X D Y -=+

})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯=

13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=.

3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,

22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .

解 由题设知

2

1122(60)()3,()3,()0,()4,

12

E X D X E X D X -==

===3321111

(),()39

E X D X λλ====.

由期望的性质可得

123123()(23)()2()3()

13203 4.

3

E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯

=

又

123,,X X X 相互独立, 所以

123123()(23)()4()9()

1344920.

9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯

=

4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为

12

的正态分布, 求

||X Y -的的期望和方差.

解 记U

X Y =-. 由于11

~(0,),~(0,)22

X N Y N , 所以

()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.

由此~(0,1)U N . 进而