概率论第4章习题参考解答
概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后解答
概率论 习题四 答案1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①,又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=……由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因11(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =2 1()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它 (5)e ,5,()0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其它 求()E XY .【解】方法一：先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x==⎰5(5)5()e d5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令 由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯= 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为()X f x =⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e ()Y f y =⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） ()E X Y +;（2） 2(23)E X Y -.【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX E X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞===-+⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e d y .4yY E Y y f y y y +∞+∞--∞===⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1) 113()()().244E X Y E X E Y +=+=+= (2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx x ke求（1） 系数c ;（2）()E X ;（3） ()D X . 【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d k x k x x +∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .k x E X x f x x x k x dx k +∞+∞--∞===⎰⎰故2222214π()()[()].24D X E X E X k k k ⎛-=-=-= ⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求()E X 和()D X . 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为41e ,0,()40,0.xx f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设12,,,n X X X 是相互独立的随机变量，且有2(),(),1,2,,i i E X D X i n μσ===,记 11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证22211()1ni i S X nX n ==--∑；（3） 验证22()E S σ=.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因为222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因为2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因为 2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E S E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知()2D X =，()3D Y =，(,)1Cov X Y =-,计算：(321,43)Cov X Y X Y -++-【解】Cov(321,43)3()10ov(,)8()X Y X Y D X C X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故(,3)(,3)0Cov X Cov Y ==,其余类似). 16.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为221,1,(,)π0,.x y f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它 试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰ 同理E (Y )=0. （注意到积分区域的对称性和被积函数是奇函数可以直接得到0） 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性，当1x ≤时，()X f x =当 1y ≤时，()Y f y =. 显然 ()()(,)X Y f x f y f x y ≠ ,故X 和Y 不是相互独立的. 17.设随机变量(,)X Y 的分布律为验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表：由期望定义易得()E X =()E Y =()E XY =0.从而()E XY =()E X ()E Y ,再由相关系数性质知xy ρ=0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求(,)Cov X Y ，xy ρ. 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3x x x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰112001d 2d 6x x x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差(,)Cov X Y 和相关系数xy ρ. 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知条件得：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X YD Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西—许瓦兹（Cauchy -Schwarz ）不等式. 【证】考虑实变量t 的二次函数2222()[()]()2()()g t E V tW E V tE VW t E W =+=++因为对于一切t ，有2()0V tW +≥，所以 ()0g t ≥，从而二次方程 ()0g t =或者没有实根，或者只有重根，故其判别式Δ≤0， 即 222[2()]4()()0E VW E W E V ∆=-≤故 222[()]()()E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .【解】由题设可知：设备开机后无故障工作的时间1()5XE ，其概率密度为 151,0()50,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩根据题意 {}min ,2Y X =，所以Y 的分布函数为 {}{}()min ,2F y P X y =≤当0y <时，{}{}{}()min ,20F y P X y P X y =≤=≤=； 当02y ≤<时，{}{}{}115501()min ,215x y yF y P X y P X y e dx e --=≤=≤==-⎰； 当2y ≥时，{}{}()min ,21F y P X y =≤=；于是Y 的分布函数为：150,0,()1,02,1,2y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。
概率论第四章 习题答案
1 ⎛2⎞ 1 DX = EX − ( EX ) = − ⎜ ⎟ = . 2 ⎝ 3 ⎠ 18 1 2 DZ = 4 DX = 4 × = . 18 9
【解毕】
9．在一次拍卖中，两人竞买一幅名画，拍卖以暗标的形式进行，并以最高价成交．设两人 的出价相互独立且均服从（1，2）上的均匀分布，求这幅画的期望成交价． 解：设两人的出价分别为随机变量 X , Y ，则这幅画的期望成交价为 Z = max { X , Y } 由题意知， X 与Y 独立，且 X ∼ U (1, 2); Y ∼ U (1, 2) 先求 Z 的分布函数 当 1 < z < 2 时， F ( z ) = P ( Z £ z ) = P (max { X , Y } £ z ) = P ( X £ z ,Y £ z )
= P( X £ z ) P (Y £ z ) = ( z -1)2
当 z £ 1 时， F ( z ) = 0 ；当 z ³ 2 时， F ( z ) = 1 于是 Z 的密度函数为 f ( z ) = ï í
ì2( z -1),1 < z < 2 ï ï 0, 其它 ï î 5 3
EZ = ò
+¥
3 X .求： （ 1）常数 a, b, c; （2） Ee . 4
【解】 （1）由概率密度的性质知，有
+∞ 2 4
1=
又因为
−∞
∫
f ( x )dx = ∫ axdx + ∫ ( cx + b )dx = 2a + 6c + 2b.
0 2
+∞
2
4
2 = EX =
−∞
∫ xf ( x )dx = ∫ xiaxdx + ∫ x ( cx + b )dx
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.习题4.11. 设随机变量X 的概率密度为(1f x 2x,0 x 1,0,其他; (2 f xe | |, ∞ ∞求E(X 解: (1E Xxf x dx ∞∞ x·2xdx 2·10(2 E X xf x dx x ·e | | ∞∞ ∞∞0 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 F x 0,x 1, a b ·arcsinx, 1 x 1,1,x 1.试确定常数a,b,并求E(X. 解:(1 f x F x√, 1 x 10,其他f x dxb√1 xdx∞∞b ·arcsinx 11 1, 即b 1π⼜因当 1 x 1时 F X f x dx 1π·1√1 xdx 1π·arcsinx x 1X1π·arcsinx 1, 即a 1(2 E X xf x dxπ·3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f x 1σe σ,x 0,0,x 0. 求E(X. 解: E Xxf x dx ∞∞σ x ·eσ dx∞14. 设X 1, X 2,….. X n 独⽴同分布,均值为µ,且设Y∑X ,求E(Y.解: E Y E∑XE ∑X·n µ µ5. 设(X,Y的概率密度为f x,y e ,0 x 1,y 0,0,其他.求E(X+Y.解:E X Y x y f x,y dxdy ∞∞ ∞∞ x y e dxdy∞·e y ·e dy6. 设随机变量X 1, X 2相互独⽴,且X 1, X 2的概率密度分别为f x 2e ,x 0,0,x 0,f x3e0,x 0,求: 1 E 2X 3X ; 2 E 2X 3X ; 3 E X X . 解: 1 E 2X 3X 2E X 3E X 2322 E 2X 3X 2E X 3E X1 3x ∞3e dx1 3x ∞d e1 3 x·e∞0 e ∞dx1 3 0 e ·2x ∞dx1 3 23e ·3x ∞dx1 32 11 3 E X X E X E X7.求E(X.解:E X ∑∑x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2 0.2 0.9 8. 设随机变量X 的概率密度为f x cx α,0 x 1,0,其他.且E(X=0.75,求常数c 和α.解: E X xf x dx x ·cx αdx 0.75∞ ∞习题4.21. 设离散型随机变量X 的分布律为X ‐1 0 0.51 2P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E X ,E X ,D X .解: E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025D X 1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.12 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有5个球,其中有3个⽩球,2个⿊球,从中任取两个球,求⽩球数X 的期望和⽅差. 解: X 的可能取值为0,1,2 P X 0 C C 0.1P X 1 C·CC0.6 P X 2CC0.3 E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 0.3 0.144 0.024 0.192 0.36 3. 设随机变量X,Y 相互独⽴,他们的概率密度分别为 f X x 2e,x 0,0,x 0, f Y y4,0,0,其他,求D(X+Y.解: D X Y D X D Y4. 设随机变量X 的概率密度为f X xe | |, ∞ ∞,求D(X 解: E Xe | |dxE Xx2e | | dx 2 x2ex e 2D X =E X E X 25. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=1,D(Y=2,求D(X ‐Y. 解: D X Y D X D Y 1 2 36. 若连续型随机变量X的概率密度为f x ax bx c,0 1,0,其他,且E(X=0.5,D(X=0.15.求常数a,b,c.解:E X x axbx cdx a 4 b 3 c2 0.5E Xxax bx cdx a 5 b 4 c3 0.15 0.5 0.4f x dxax 2 bx c 10dxa 3 b2c 1 解得a=12,b=‐12,c=3.习题4.31. 设两个随机变量X,Y 相互独⽴,⽅差分别为4和2,则随机变量3X ‐2Y 的⽅差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 442. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为 f x,y 18 x y , 0 x 2,0 y 2,0, 其他求Cov(X,Y. 解:E X x8 x y dydx x 8·y x 8·y 2 20dx 76E Yy8x y dxdy 76E XYxy8 x y dydx 43 Cov X,Y E XY E X E Y4 7 7 13. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为f x,yye , x 0, 0,求X 与Y 的相关系数ρxy. 解:E Xxy e dy ∞ ∞dx 1E Yy e dx ∞∞dyy e e dx ∞∞dyy e ∞dyy ∞d ey e∞0e ∞ d y 0e ·2y ∞dy2e ·y ∞dy 2E XYxy e dy ∞∞dx 2Cov X,Y E XY E X E Y 2 2 1 0 所以ρxy Cov X,YD X D Y 04. 设⼆维随机变量(X,Y服从⼆维正态分布,且E(X=0, E(Y=0, D(X=16, D(Y=25, Cov(X,Y=12,求(X,Y的联合概率密度函数f(x,y. 解:f x,ye ρ µσρ µ µ σσµσE X 0,E Y 0µ1 0,µ2 0, D X 16,D Y 25 σ1 4,σ2 5 Cov X,Y 12ρ Cov X,Y D X D Y 12 3f x,y 132πe 2532 x 216 3xy50 y 2255.证明D(X‐Y=D(X+D(Y‐2Cov(X,Y.证:D X YE X Y E X YE X E X Y E YE X E X 2E X E X ·E Y E Y E Y E YD X D Y 2Cov X,Y6.设(X,Y的协⽅差矩阵为C 4 339,求X与Y的相关系数ρxy.解: C 4 339Cov X,Y 3,D X 4,D Y 9ρxyCov X,YD X D Y31⾃测题4⼀、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X=0.5, D(X=0.25B. E(X=2, D(X=4C. E(X=0.5, D(X=4D. E(X=2, D(X=0.25解: 指数分布的E Xλ,D Xλ2. 设随机变量X,Y相互独⽴,且X~B(16,0.5,Y服从参数为9的泊松分布,则D(X‐2Y+1= C .A.‐14B. 13C. 40D. 41解: D X npq 16 0.5 0.5 4,D Y λ 9D X 2Y 1 D X 4D Y D 1 4 4 9 0 403. 已知D(X=25,D(Y=1, ρxy=0.4, 则D(X‐Y= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y为⼆维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独⽴B. E(X+Y=E(X+E(YC. E(XY= E(XE(YD. (X,Y~N(µ ,µ ,σ ,σ ,0解: X与Y不相关ρxy 0, Cov X,Y 0E XY E X E Y5.设⼆维随机变量(X,Y~N(1,1,4,9,,则Cov(X,Y= B .A.B. 3C. 18D. 36解: ρxy 12 Cov X,YD X D Y Cov X,Y2 3, Cov X,Y 36. 已知随机变量X 与Y 相互独⽴,且它们分别在区间[‐1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: X~U 1,3 ,Y~U 2,4E Xa b 1 3 1,E Y 2 4 3 E XY E X E Y 1 3 37. 设⼆维随机变量(X,Y~N(0,0,1,1,0,?(x为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,1正态分布B. X 与Y 相互独⽴C. Cov(X,Y=1D. (X,Y的分布函数是Φ x ·Φ y⼆、填空题 1. 若⼆维随机变量(X,Y~N(µ ,µ,σ ,σ ,0,且X 与Y 相互独⽴,则ρ=0 .解: Cov(X,Y=02. 设随机变量X 的分布律为 3 .X ‐1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4令Y=2X+1,则E(Y= 3 .解: E(2X+1=(2*‐1+1*0.1+(2*0+1*0.2+(2*1+1*0.3+(2*2+1*0.4=33. 已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X=1,则P{X=1}= e .解: D X λ 1P X 1 λ e λ1!e 4. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X= D(Y=1,则D(X ‐Y = 2 .5. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布, E X = 6 .解: E X λ 2,D X λ 2,E X E X D X 4 2 66. 设X 为随机变量,且E(X=2, D(X=4,则E X = 8 .7. 已知随机变量X 的分布函数为F x 0, x 0x 4, 0 x 41, x 4则E(X = 2 .解: f x F " x, 0 x 40, 其他 E X x 440dx 08. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=2, D(Y=1,则D(X ‐2Y+3= 6 .三、设随机变量X 的概率密度函数为f x 32x , 1 x 1,0, 其他。
概率论第四章习题答案
第四章复习题答案一、单项选择1.设随机变量X 具有分布P{X=k}=51,k=1，2，3，4，5，则E （X ）=（ B ） A.2 B.3 C.4D.52．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21)，则E(X-Y)=（ A ）A ．-1B ．21C ．2D ．5 3．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=61，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ B ）()(),XY Cov X Y D X D Y ρ=A ．2161 B ．361 C ．61 D ．1 4. 设随机变量X 和Y 独立同分布，X ~N (μ,σ2)，则（ B ） A.2X ~N (2μ,2σ2) B.2X -Y ~N (μ,5σ2) C.X +2Y ~N (3μ,3σ2)D.X -2Y ~N (3μ,5σ2)5.设EX 2=8，DX =4,则E (2X )=（ D ） A.1 B.2 C.3 D.46.对任意两个随机变量X 和Y ，由D （X ＋Y ）＝D (X )＋D (Y )可以推断（ A ） A.X 和Y 不相关B.X 和Y 相互独立C.X 和Y 的相关系数等于-1D.D （XY ）＝D (X )D (Y )7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ D ） A ．-2 B ．0 C ．21D ．2 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～B (16，0.5)，Y 服从参数为9的泊松分布，则D (X -2Y +3)=( C )A.-14B.-11C.40D.439．已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的期望为（ D ）A ．-21B ．0C ．21D ．2 二、填空1.设随机变量X 服从正态分布N （2，4），Y 服从均匀分布U （3，5），则E （2X-3Y ）= ___-8___. 2．设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为则E (XY )=__2______.3．设X ，Y 为随机变量，已知协方差Cov(X ，Y )=3，则Cov(2X ，3Y )=____18___. 4．设X~N （0，1），Y~B （16，21），且两随机变量相互独立，则D(2X+Y)= __8______ 5．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （X ）=__23______.6．已知E （X ）=2，E （Y ）=2，E （XY ）=4，则X ，Y 的协方差Cov （X,Y ）=____0_____. 7.设随机变量X ～N (0，4)，则E (X 2)=_____4____.8．设X ～N (0，1)，Y =2X -3，则D (Y )=____4__． 三、计算1.某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X 服从泊松分布，则X~P （λ），若已知P （X=1）=P （X=2），且该柜台销售情况Y （千元），满足Y=21X 2+2.试求：（1）参数λ的值；21!2!e e λλλλ--=,=2λ.（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率；{}{}21101-P X P X e -≥=-== （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）. ()==2E Y λ2. 2021年东京奥运会即将召开，某射击队有甲、乙两个射手，他们的射击技术可用下表给出。
概率论第四章习题解答(全)
(0.9)10 (0.9)9 3486 0.3874 0.7361
则需要调整设备的概率
P{Y 1} 1 P{Y } 1 0.7361 0.2639
（3）求一天中调整设备的次数 X 的分布律 由于 X 取值为 0，1，2，3，4。 p 0.2369 ，则 X B (4, 0.2369) 于是
个随机变量，其概率密度为
1 x, 0 x 1500, 15002 1 f ( x) ( x 3000),1500 x 3000, 2 1500 0, 其它
求 E( X ) 解 按连续型随机变量的数学期望的定义有
0 1500
E ( X ) xf ( x)dx xf ( x)dx
X p
2
3
4
9
1 8
5 8
1 8
1 8
所以
1 5 1 1 15 E( X ) 2 3 4 9 。 8 8 8 8 4
（2）因为 Y 的取值为 2,3，4，9 当 Y 2 时，包含的字母为“O”，“N”，故
P{Y 2}
1 C2 1 ； 30 15
当 Y 3 时，包含的 3 个字母的单词共有 5 个，故
P (Ck ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 )
而
P{ X 1} P ( A1 )
1 2
1 1 P{ X 2} P ( A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 3 2 1 2 1 1 1 P ( A2 | A1 A2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) ， 4 3 2 4 3 一般地，若当 X k 时，盒中共有 k 1 只球，其中只有一只白球，故 P ( X k ) P ( A1 A2 Ak 1 Ak ) P ( Ak | A1 A2 Ak 1 ) P ( Ak 1 | A1 A2 Ak 2 ) P ( A2 | A1 ) P ( A1 ) 1 k 1 k 2 1 2 1 1 1 k 1 k k 1 4 3 2 k k
概率论与数理统计第四章习题参考答案
=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi
−
⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i
−
nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)
−
nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95
⎭
故，正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为（-2.565，3.315）。
（2）当σ 未知时，由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ，所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解：X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a
≤
x
≤
b
，
⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n ， (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )
−
n
D(
概率论第四章习题答案
概率论第四章习题答案概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性和不确定性。
在概率论的学习过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对概率论知识的理解和运用。
本文将针对概率论第四章的习题进行解答，以帮助读者更好地掌握这一章节的内容。
第一题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取2名学生，求选出的两名学生都是男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取2名学生，共有C(30, 2)= 435种可能的选法。
然后，计算选出的两名学生都是男生的样本空间。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
所以，选出的两名学生都是男生的概率为P = 45/435 = 1/9。
第二题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取4名学生，求选出的学生中至少有1名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取4名学生，共有C(30, 4)= 27,405种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生的样本空间。
从20名女生中选取4名学生，共有C(20, 4) = 4,845种可能的选法。
所以，选出的学生中至少有1名男生的概率为P = 1 - 4,845/27,405 =22,560/27,405 ≈ 0.822。
第三题：某班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。
从中随机选取6名学生，求选出的学生中至少有3名男生的概率。
解答：首先，计算总的样本空间。
从30名学生中选取6名学生，共有C(30, 6) = 593,775种可能的选法。
然后，计算选出的学生中全是女生或者只有1名男生或者只有2名男生的样本空间。
从20名女生中选取6名学生，共有C(20, 6) = 38,760种可能的选法。
从10名男生中选取1名学生，共有C(10, 1) = 10种可能的选法。
从10名男生中选取2名学生，共有C(10, 2) = 45种可能的选法。
概率论第四章习题解答
X9
EX 9
9
9
8 9
20
2024年8月31日7时4分
P104 练习4.2 题1 SD 1
1,1
f XY
x,
y
1 0
0 x 1, x y x 其它
yx
DZ D2X 1 4DX
EX xf x, ydxdy
0D
y x 1
1 0
x x
xdy
dx
1 2x2dx 2
P113 习题四 一 填空题 7 X与Y相互独立
f
X
x
2x
0
0
x 其它
1，fY
y
x y t
FT t PT t P X Y t fXY x, y dxdy
x yt
1当t 0时：FT t 0dxdy 0
0
x yt
2 当0 t时：FT
t
t
dx
tx 25e5x5 ydy
0
0
1 e5t 5te5t
t,0
x
FT
t
1
e5t
0
5te5t
t0 t0
33
2 EX 2
xi2 pij
i1 j1
20.1 30.3 30.1 2
33
3 EY 2
yi2 pij
12 0.212 0.112 0.1 22 0.1
22 0.132 0.332 0.1 4.8
i1 j1
12 0.2 12 0.1 12 0.1
12 0.1 12 0.1 0.6
2024年8月31日7时4分
P100 练习4.1 题12
2
f XY
x,
y
x
概率论第4-6章课后习题答案
习题四1.设随机变量X的分布律为1 0 12求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)11111 ()(1)012;82842 E X=-⨯+⨯+⨯+⨯=(2)2222211115 ()(1)012;82844 E X=-⨯+⨯+⨯+⨯=(3)1 (23)2()32342E X E X+=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为故()0.58300.34010.07020.00730405E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,=52()[()]i iiD X xE X P==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X的分布律为1 0 1P p1 p2 p3且已知E （X ）=,E(X2)=,求P1，P2，P3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②, 222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式001{}{}1().NNk k k P X k kP X k NN n E X NN ========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x+∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰故221()()[()].6D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X.【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X 2Y ），D （2X3Y ）.【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2)22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）.【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k=210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x fY （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值102()2d ,3E X x x x ==⎰5(5)5()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为fX （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e fY （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X+Y ）;（2） E （2X 3Y2）.【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x+∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰ 401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c;（2） E （X ）;（3） D （X ）.【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k +∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =.(2)2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x+∞+∞--∞==⎰⎰22220π2e d .2k x k x x k +∞-==⎰(3)222222201()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].4D X E X E X k k ⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元). 14.设X1，X2，…，Xn 是相互独立的随机变量，且有E （Xi ）=μ，D （Xi ）=σ2，i=1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S2=∑=--n i i X X n 12)(11.（1） 验证)(X E =μ，)(X D =n 2σ；（2） 验证S2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3） 验证E （S2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑ 22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n n σσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii iii i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X n σ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov （3X2Y+1，X+4Y3）.【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤. 2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E(Y)=0. 而Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰,由此得XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性，当|x|≤1时，2212112()1.ππx X x f x y x ----当|y|≤1时，1()Yf y x.显然()()(,). X Yf x f y f x y≠故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为1 0 111验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表111由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY.【解】如图，SD=12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d D E X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xxx y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y == 而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-.从而11362()()111818XY D X D Y ρ-===-⨯19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY.【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D X E X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+-又π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XY D X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z1=X 2Y 和Z2=2X Y 的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故121212Cov(,)5513.26()()134Z Z Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V2），E （W2）存在，证明： ［E （VW ）］2≤E（V2）E （W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈ 显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈ 可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =- 故222[()]()()}.E VW E V E W ≤ 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)=1λ=5.依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1eλx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==, 0,1,2,3.k =Z=k 0 1 2 3Pk120 920 920 120因此，19913()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有3(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯=24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大 【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()125(12)(1)21(10)(1)0(()e ),d 2x E T u u x u ϕϕϕπ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X 的概率密度为f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯= 2211()41()()22D Y E Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+= 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩. 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0; 当t≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x tT f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=15,D(Ti)=125(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=25.又因T1,T2独立，所以D （T ）=D （T1+T2）=225.27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差.【解】设Z=XY ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 且X 和Y 相互独立，故Z~N （0，1）. 因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =- 而22/21()()1,(||)||e d 2πz EZ D Z E Z z z +∞--∞===⎰2/2022e d π2πz z z +∞-==⎰，所以2(||)1πD X Y -=-.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】记q=1p,X 的概率分布为P{X=i}=qi1p,i=1,2,…，故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i q p i i q p iq p∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p ∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以22222211()()[()].p pD XE X E X p p p --=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U=X+Y 的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)·E(Y)].由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D X E X E X =-=-=同理可得31(),().218E Y D Y == 11015()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=-于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-=30.设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布，随机变量X=1,1,1,1,U U -≤-⎧⎨>-⎩ Y=1,1,1, 1.U U -≤⎧⎨>⎩若 试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X+Y ）.【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率. P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰ P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{∅}=0, P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰.故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X+Y 及（X+Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 204()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯=211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f(x)=x-e 21，（∞<x<+∞）(1) 求E （X ）及D （X ）；（2） 求Cov(X,|X|),并问X 与|X|是否不相关 （3） 问X 与|X|是否相互独立，为什么【解】(1)||1()e d 0.2x E X xx +∞--∞==⎰2||201()(0)e d 0e d 2.2x x D X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰所以X 与|X|互不相关.(3) 为判断|X|与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<得出X 与|X|不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY=1/2，设Z=23YX +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ； （3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯而1Cov(,)()()3462XY X Y D X D Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯=(2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以0.()()XZ D X D Z ρ==(3) 由0XZρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X+Y=n ，则有D （X+Y ）=D （n ）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=12,从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++2,24XY n nρ=+ 故XY ρ= 1.34.设随机变量X 和Y 的联合概率分布为1 0 10 1试求X 和Y 的相关系数ρ.【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY 的概率分布为YX 10 1 P所以E （XY ）=+= Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=×=0从而XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P(A)<1，0<P(B)<1,则称Y Xρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1.【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)P(A)·P(B)=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生; 1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X 和Y 都服从01分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(A ),D(Y)=P(B)·P(B ), Cov(X,Y)=P(AB)P(A)·P(B)所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为fX(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y=X2，F （x,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y);(3)1(,4)2F -.解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =；当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y<4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=()Y f y =；当y≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =.故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他(2)210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--,2233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.(3) 2111(,4){,4}{,4}222F P X Y P X X -=≤-≤=≤-≤11{,22}{2}22P X X P X =≤--≤≤=-≤≤-11{1}24P X =-≤≤-=. 37. 习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计P{10<X<18}.【解】设iX 表每次掷的点数，则41ii X X ==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而22291735()()[()].6212i ii D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑所以235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.而至少要生产n 件，则i=1,2,…,n,且 X1，X2，…，Xn 独立同分布，p=P{Xi=1}=. 现要求n,使得1{0.760.84}0.9.nii XP n=≤≤≥∑即0.80.9niXnP -≤≤≥∑由中心极限定理得0.9,Φ-Φ≥整理得0.95,10⎛Φ≥ ⎝⎭查表 1.64,≥n≥, 故取n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X~B （200，）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ 查表知1.64,= ,m=151.所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk （k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=∑=201k kV，求P{V ＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2,…,20由中心极限定理知，随机变量201205~(0,1).10010020201212kk VZ N =-⨯==⨯⨯∑近似的于是105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩⎭ 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭即有 P{V>105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 【解】设100根中有X 根短于3m ，则X~B （100，） 从而{30}1{30}11000.20.8P X P X ≥=-<≈-Φ⨯⨯1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 （2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩第人治愈其他令1001.i i X X ==∑(1) X~B(100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ= (2) X~B(100,，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ=7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则 p=,n=1000,X~B(1000,， E(X)=50，D(X)=. 故130{20} 6.895 6.895P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率.【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ==()1030300,E T =⨯= ()3000.D T = 故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ=9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）. 【解】设至少需n 件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100， E(T)=10n ，D(T)=100n.从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95,1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为,,.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. （1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则Xi 的分布律为易知E （Xi=）,D(Xi)=,i=1,2, (400)而400iiX X =∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).iXN -⨯=∑近似地于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ1(1.147)0.1357.=-Φ=(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,由拉普拉斯中心极限定理得3404000.8{340(2.5)0.9938.4000.80.2P Y -⨯⎛⎫≤≈Φ=Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭11. 设男孩出生率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B （10000，）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P{X≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ= ⎪⨯⨯⎝⎭12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入 （2）至多有多少人能够进入【解】用Xi 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,...,1000）. 令 Sn=X 1+X2+ (X1000)(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥，事件{}.10000.90.190nn m S ≤=≤ ⎪⨯⨯⎝⎭ 由中心极限定理知：{}1{}10.95.10000.90.1n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥ ⎪⨯⨯⎝⎭ 从而 0.05,90Φ≤ ⎪⎝⎭故 1.65,90=-所以 m==≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥.{}0.95.90n P S M ≤≈Φ= ⎪⎝⎭查表知90=,M=900+=≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大 【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B （10000，）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为{120}100000.0060.994100000.0060.994P X ϕ=≈⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭21(60/59.64)230.1811e 59.6459.64259.640.0517eϕπ--== ⎪⎝⎭=⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为{060}100000.0060.994100000.0060.994P X ≤≤≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯ (0)0.5.59.64⎛=Φ-Φ≈ ⎝14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考） 【解】令Z=X-Y ，有()0,()()()()2()() 3.E Z D Z D X Y D X D Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P Z E Z P X Y --≥=-≥≤==15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. （1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值. （1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是，因此，X~B(100,，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于.【解】设Xi （i=1,2,…,n）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X =5,=()50,n E T n ==依中心极限定理，当n~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).n ≈Φ>=Φ ⎪⎝⎭因此可从2n >解出n<,即最多可装98箱. 习题六1.设总体X~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n=100~(0,1)/X Z N n σ-=即60~(0,1)15/10X Z N -=(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=2.从正态总体N （，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（,）内的概率不小于，则样本容量n 至少取多大 【解】~(0,1)5/X Z N n -=2.2 4.2 6.2 4.2(2.2 6.2)()55P X P n Z n --<<=<< 2(0.4)10.95,n =Φ-=则Φn =，故n >, 即n>，所以n 至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N （1000，σ2）（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002，试求P（X＞1062）.【解】μ=1000,n=9，S2=10021000~(8)100/3X Xt t-==10621000(1062)()( 1.86)0.05100/3P X P t P t->=>=>=4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.【解】~(0,1)Z N=，由P(|X-μ|>4)=得P|Z|>4(σ/n)=,故210.02σ⎡⎤⎛-Φ=⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即0.99.Φ=⎝⎭查表得2.33,σ=所以5.43.σ==5.设总体X~N（μ，16），X1，X2，…，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2＞a）=，求a之值.【解】2222299~(9),()0.1.1616S aP S a Pχχχ⎛⎫=>=>=⎪⎝⎭查表得914.684,16a=所以14.6841626.105.9a⨯==6.设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量Y=∑∑==-ni ii i X X n 62512)15(，n ＞5服从何种分布【解】2522222211~(5),~(5)inii i i X X X n χχχ====-∑∑且12χ与22χ相互独立.所以2122/5~(5,5)/5X Y F n X n =--7.求总体X~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的概率.【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N(20,310),Y ~N(20,315)，且X 与Y 相互独立.则33~0,(0,0.5),1015X Y N N ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭那么~(0,1),X YZ N =所以(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ⎛->=>=- ⎝2(10.6628)0.6744.=-=8.设总体X~N （0，σ2）,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y=()21521221121022212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 .【解】~(0,1),iX N σi=1,2, (15)那么122210152222111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑且12χ与22χ相互独立,所以222110122211152/10~(10,5)2()/5X X X Y F X X X ++==++所以Y~F 分布，参数为（10,5）.9.设总体X~N （μ1,σ2）,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,1n X 和Y1，Y2，…，2n X 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==2)()(21121221n n Y Y X X E n j j n i i = .【解】令 1222212111211(),(),11n n i i i j S X X S Y Y n n ===-=---∑∑则122222112211()(1),()(1),n n i j i j X X n S y y n S ==-=--=-∑∑又2222221122112222(1)(1)~(1),~(1),n S n S n n χχχχσσ--=-=-那么1222112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑2221212221212[()()]2[(1)(1)]2E E n n n n n n σχχσσ=++-=-+-=+-10.设总体X~N （μ,σ2），X1，X2，…，X2n （n≥2）是总体X 的一个样本，∑==ni i X n X 2121，令Y=∑=+-+ni i n iX X X12)2(，求E(Y).【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn 相互独立.令 2211, ()/1,nni i i i Z Z S Z Z n n ====--∑∑则21111,222nn i i i i X X Z Z n n =====∑∑ 故 2Z X = 那么22211(2)()(1),n ni n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑所以22()(1)2(1).E Y n ES n σ=-=-11. 设总体X 的概率密度为f(x)=x-e 21 (-∞<x<+∞),X1，X2，…，Xn 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S2，求E(S2). 解： 由题意，得1e , 0,2()1e ,0,2xx x f x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩于是 22222220()()()()1()()d e d 021()()d e d e d 2,2xx x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞==-=======⎰⎰⎰⎰⎰所以2()2E S =.。
(完整版)概率论第四章答案
习题4-11. 设随机变量X求()E X ；E (2－3 X );2()E X ；2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3Xx x E Z E ee e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？解 设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量⎩⎨⎧=.A ,0,A 1不发生事件发生事件，X 则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值1,,0.c a X Y c X -=⎧=⎨=⎩， 于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-⨯=+⨯==-+. 据题意有10%ap c a -+=⨯, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X-=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36. 解22[3(2)]3(44)E X E X X -=-+23[()4()4]E X E X =-+23{()[()]4()4}D X E X E X =+-+ 3(3144)36=⨯+++=.可见，应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A)10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.解 因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之,n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C)()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.解 注意到0)()()(=-=-Y E X E Y XE .由于X 与Y 相互独立,所以22)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =.(D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.解)1,1(~-U X , 则3112212)()(22==-=a b X D . 选(B). 2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ).解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+})]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯=13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=.3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布,22~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .解 由题设知21122(60)()3,()3,()0,()4,12E X D X E X D X -=====3321111(),()39E X D X λλ====.由期望的性质可得123123()(23)()2()3()13203 4.3E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-⨯+⨯=又123,,X X X 相互独立, 所以123123()(23)()4()9()1344920.9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+⨯+⨯=4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为12的正态分布, 求||X Y -的的期望和方差.解 记UX Y =-. 由于11~(0,),~(0,)22X N Y N , 所以()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.由此~(0,1)U N . 进而2222220 (||)(||)||x x xE X Y E U x dx xe dx e+∞---+∞+∞-∞-====⎰2222(||)()()[()]101E U E U D U E U==+=+=.故而2222 (||)(||)(||)[(||)]11D X Y D UE U E Uπ-==-=-=-.5. 设随机变量]2,1[~-UX, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1XXXY求期望()E Y和方差)(YD.解因为X的概率密度为1,12,()30,.Xxf x-=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y的分布率为00--11{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞=-=<===⎰⎰,{0}{0}0P Y P X====,+2002{1}{0}31()d d3XP Y P X f x x x∞==>===⎰⎰.因此121()1001333E Y=-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y=-⨯+⨯+⨯=.故有2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量1,1,1, 1.UXU--=>-⎧⎨⎩若≤若1,1,1, 1.UYU-=>⎧⎨⎩若≤若求E(X+Y), D(X+Y).解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1-211}{1}41d 4P U x =-==⋅⎰≤, {1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤1111}21d 4x -==⋅⎰, 211{1,1}{1,1}41d 4P X Y P U U x ===>->==⋅⎰.于是得X 和Y 的联合密度分布为(2) Y X +和)(Y X +的概率分布分别为由此可见22()044E X Y +=-+=;2()[()]2D X Y E X Y +=+=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.解 对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解 仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解(32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==,求2[()]E XY +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ 得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律于是 , . 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ .解 由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此25944)()(4)2()(=+⨯=+=-=Y D X D Y X D Z D ,Cov(,)Cov(,2)2Cov(,)Cov(,)2()08X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=.因此80.825XZ ρ===⨯. 6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2~(1,3)X N , 2~(0,4)Y N ; X 与Y 的相关系数1,232XYX YZ ρ=-=+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问X 与Z 是否相互独立?为什么?解 (1) 由于)3,1(~2N X , )4,0(~2N Y , 所以16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,而1Cov(,)3462XY X Y ρ==-⨯⨯=-.因此 31021131)(21)(31)23()(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E Z E ,1111()()()()2Cov(,)329432X Y D Z D D X D Y X Y =+=++111916Cov(,)943X Y =⨯+⨯+3)6(3141=-⨯++=.(2) 由于1111Cov(,)Cov(,)()Cov(,)9(6)0,323232XY X Z X D X X Y =+=+=⨯+⨯-= 所以0XZ ρ==.(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立.7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±.因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XYρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XYρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.总习题四1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1{},1,2,33P X i i ===. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==.(1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律; (2) 求()E U .解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P UV ==.注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+=={1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==9231313131=⨯+⨯=.(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律所以13522()1239999E U =⨯+⨯+⨯=. 2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.解 令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2~(3,)XB . 即X 的分布律为从而3127543686(){}01231251251251255k E X kP X k ====⨯+⨯+⨯+⨯=∑. 3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为212,01,(,)0,.y y x f x y ⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤其它求22(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.解 112404()(,)1245xE X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰. 11240003()(,)1235xE X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.112500031()(,)12362x E XY xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞∞-∞-∞==⋅===⎰⎰⎰⎰⎰.122222220()()(,)()12xE X Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞-∞+=+=+⋅⎰⎰⎰⎰155012423216(4)5653015x x dx =+=+==⎰. 4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为1sin(),0,0,222(,)0,.≤≤≤≤其它ππx y x y f x y ⎧+⎪=⎨⎪⎩求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).解22001()(,)sin()24E X xf x y dxdy x x y dxdy πππ+∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.22222200()(,)1sin() 2.282E X x f x y dxdyx x y dxdy ππππ+∞+∞-∞-∞==+=+-⎰⎰⎰⎰于是有2216)]([)()(222-+=-=ππX E X E X D . 利用对称性,有2216)(,4)(2-+==πππY D Y E .又()(,)E XY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22001sin()2xy x y dxdy ππ=+⎰⎰220022001sin()21[sin cos cos sin ]2xdx y x y dyxdx y x y x y dyππππ=+=+⎰⎰⎰⎰12-=π.所以协方差2Cov(,)()()()1216X Y E XY E X E Y ππ=-=--.5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求(1)();()E X Y D X Y --；(2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y .解 (1) 记Y X -=ξ.由于)21,0(~),21,0(~N Y N X ,所以,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.由此)1,0(~N ξ. 所以2222(||)(||)||x x E X Y E x dx xedx ξ+∞+∞---∞-==⎰22x e+∞-==101)]([)()()|(|2222=+=+==ξξξξE D E E .故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-E E D Y X D .(2) 注意到2||)(),max(Y X Y X Y X -++=, 2||),min(Y X Y X Y X --+=.所以ππ21221|]}[|)()({21)],[max(==-++=Y X E Y E X E Y X E ,ππ21221|]}[|)()({21)],[min(-=-=--+=Y X E Y E X E Y X E .6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为,02,02,8(,)0,.x yx y f x y +⎧⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).解 注意到),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以()(,)8Gx yE X xf x y dxdy x x y ∞∞-∞-∞+==⎰⎰⎰⎰d d222000117()(1)846dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰,22()(,)E Xx f x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰222232000115()()843dx x x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰, 因而 36116735)]([)()(2222=-=-=X E X E X D .又()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞-∞=⎰⎰22220001144()()8433dx xy x y dy x x dx =+=+=⎰⎰⎰. 由对称性知2275()(),()()63E Y E X E Y E X ====, 3611)()(==X D Y D . 这样，4491Cov(,)()()()33636X Y E XY E X E Y =-=-=-, 111XY ρ==-,5()()()2Cov(,)9D X Y D X D Y X Y +=++=.7. 设A , B 为随机事件, 且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===, 令 10A X A =⎧⎨⎩，发生,，不发生, 10B Y B =⎧⎨⎩，发生,，不发生.求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数XY ρ.解 由1()(|)3()P AB P B A P A ==得1111()()33412P AB P A ==⨯=, 进而由1(|)2P A B = ()()P AB P B =得1()2()6P B P AB ==. 在此基础上可以求得(1)1{1,1}()12P X Y P AB ====,111{0,1}()()()61212P X Y P AB P B P AB ====-=-=,111{1,0}()()()4126P X Y P AB P A P AB ====-=-=,{0,0}()1()1[()()()]P X Y P AB P A B P A P B P AB ====-=-+-U 11121[]46123=-+-=.故(X , Y )的概率分布为(2) 由(1)因此211(),(),44E X E X ==22113()()[()]41616D XE X E X =-=-=, 22211115(),(),()()[()]6663636E Y E Y D Y E Y E Y ===-=-=. 又由(X , Y )的分布律可得21111()00011011312121212E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故11115XYρ-⨯===.。
概率论第4-6章课后习题答案
习题四E(X) = (-l)x- + 0x —+ lx- + 2x —=—;【解】(1) 8 2 8 4 2 ⑵£区)=(一］% + 0弓+ % + 2.卜春£(2X+3) = 2£(X) + 3 = 2x- + 3 = 4⑶ 22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.故£(X) = 0583x0+0340x1 + 0.070x2 + 0.007x3 + 0x4 + 0x5= 0・50hD(X) = ±［兀-E(X)］胡=(O-O・5O1)2X O・583+(1-O・5O1)2X O・34O+…+ (5-0.501)2x0= 0.432.3•设随机变量X的分布律为且已知 E (X) sE(X2)s求Pl. P2. P3・【解】因A + A + A = l…①,又E(X) = (-l)A+0・；^ + l・& = /^-A =0」②,£(X2)=(-1)2・/；+O2・&+12・&=A+^=O・9■■③由①②③联立解得人=g £ = 0丄& = 054.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E (X) =n,问从袋中任取1球为白 球的概率是多少 【解】记A 可从袋中任取1球为白球卜则 N PG4)全鯉公迖另P{ AIX =灯"{ X =灯 A-0 N b I N =工万P 泌 * = -DP{X*} *■0 N /V Jt.(>5・E 心需5•设随机变量X 的概率密度为 X, 0<%<1,2 - A, 1 < X < 2,(X 其他. f(X) 求 E (X), D CX). [解]E(X)=匚 (x)dx =£x -dx + [ x(2 - x}dxE( X 2)=匚 x-f(x)dx =J ： x'dv + j\'(2-%)cLv = £ 故 D(X)"X)-阳 r 6•设随机变量X, Y, Z 相互独立，且E (X) =5, E (Y) =11. E ⑵=8.求下列随机变的 数学期望.(1) (2) U=2X+3Y+1； V=YZ 4X. 【解】 ⑴ ElU] = E(2X+3Y + l) = 2E(X} + 3E(Y} + \= 2x5 + 3x11 + 1=44. ⑵ EIV] = EIYZ-4X] = E[YZ]-4E(X) 因人 Z 独立E(y>E(Z)-4E(X)= 11x8-4x5 = 6 &7•设随机变量 X, Y 柑互独立，且 E (X) =E(Y) =3, D (X) =12. D (Y) =16,求 E (3X 2Y), D C2X 3Y).【解】⑴ £(3X -2r)= 3£(X)-2£(y)=3x3-2x3 = 3.⑵ D(2X-3y)= 2'D(X) + (-3)-Dr = 4x12 + 9x16=192.8.设随机变量ex. Y)的概率密度为k. 0<%< to< y < X,f(x,八仏其他试确世常数k,并求E (XY) • 阳因匸匚心曲T ：时沁二EgE{XY} = J J x)/(x, y)dxdy = [xtkj^ 2ydy = 0.259•设X, Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fa 、y)=/xW*/r(y)=- 2甘7, 0<x<ty>5,0.其他，于是2儿 0. fX(X) 求 E(XY) • 【解】方法一： 0<%<1,其他;,严，y>5, fY (y)其他先求X & j Y 的均值£(X) = J x*2Adv = —,E(Y) = [ ■ 5] e"^dz + £ ze^dz = 5 + 1 =6.由X 仃Y 的独立性，得 £(xr)= E(X)・E(y)= -x6 = 4. 方法二：利用随机变量函数的均值公式•因X 与Y 独立，故联合密度为H-OO .ye->-00ye E(XY) = £ A3'*2.ve~*'■^'dxdy = £ 2x -dv*J^ ye~^= — x 6 = 4. 5 ) 0 5W.设随机变Sx, Y 的槪率密度分别为 2e-\ %>0, 0, x<0; < 4e^\ y>a fY(Y)=k 求(1) E (X+Y); (2) E (2X 3Y2) •fx(X)9P(X=O) = —= 0.750,123 2 9P{X=2) = — x — x — = 0.041,12 II 10于是，得到X的概率分布表如卜•：3 9P{X =l| = — x —= 0,204,12 II3 2 19P{X=3} = —X—X —x- = 0・005【解］（X）= J1^（x）叫7兀・2产血=［7严］『匚e-^dx= e dx = —.Jo 2E(Y)=匚曲(y)dyj「.v4e^'dy =右E(尸)=匚必(y)dy =匸y-*4e-*'cly = ^ = |从而⑴ E（X + Y）-E（X） + E（y）--+才一二E(2X -3Y-) = 2E(X}-3E(Y-} = 2x--3x- = -⑵ 2 8 811•设随机变量X的概率密度为x>0,0, X V 0.f(X)求(1)系数C； (2) E (X) ; (3) D(X) •【解】⑴由匚ETX叫烽“得"2£(%) = J xf (x)d(x) = £d%=2叮宀=££(x2)=匸/・2心&& P4 一兀故12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变SX,求E <X）和D CX）.【解】设随机变SX表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0, 1. 2, 3•为求英分布律，下而求取这些可能值的概率，易知・12 II 10 9由此可得 £(X) =0x0.750 + 1x0.204 + 2x0.041+3x0.005 = 0.301-£(X -) = 0'x750 + Px0.204 + 2-x0.04I + 3-x0,005 = 0413D(X) = E(X-)-[£(%)]- =0.413-(0.301)- =0.322.13•—工厂生产某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为-e \ A>0, 40,为确保消费者的利益，工厂规左出售的设备若在一年内损坏可以调换•若售出一台设备，工 厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 200元P{ Y = 100} = P{ X > 1} =「扌 P{y=-2oo} = P{x <1} = 1-「"故E(Y) = 100x 「"+(-200)x0-「")= 300&"4一200 = 33.64 (元)14•设XI, X2,…，Xn 是相互独立的随机变量，且有E (Xi)=山D (Xi) =o2, i=lr 2, 记• S2=£(%) = £(丄====1/2 匕丿《 tr «ZT ftD(X) = D 二工Xj =4D (EXJXN 间相互独立二・±DXtV n j-l 丿/-I=矿 r-1x< 0. (1)b验证E(X)=n ，D(X) = n(2)丄（iz ・j 亍）验证S2J_] j(3) 验证E (S2) =o2・【证】X*-对=x(x：+亍-2无O = ZX： + "亍-2乂f Xfr-l r-l r・l r-l=f X： + "X2 -2X.«X = £X： -《戸2r・l /-I故宀占討用(3)因F(X,) = «,£>(Xj) = b［故£(X；) = D(XJ + (EXj)2 = b2+«2・同理因从而T ■* _ _ ____________ *> 疔. _ £{X) = //,D(X) = —£(X") = _ + w-«，故《E(s-) = E(XX/-H F) =_^iE(f x：)-M(r)］ j-l n 一I r-1=占［£丘*2)-“E(亍)］Z 1<T" ->—+irI ««-1=b\15•对随机变量X 和Y,已知D (X) =2, D (Y) =3, Cov(X,Y)= 1, 计算：Cov (3X 2Y+1, X+4Y 3) •［解］Cov(3X-2r + tX+4y-3) = 3D(X) + 10Cov(X,y)-8D(y)= 3x2 + 10x(-l)-8x3 = -28（因常数与任一随机变量独立，故Cov（X3）=Cov{V；3）=0, Jt余类似）. 16•设二维随机变量（X, Y）的概率密度为1 -> ■一,A - + V' < b7t0, 其他.f （X. y）=试脸证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设》= {（3）1宀亡1}.fCX) = J" J (X,y)<i'dy = — JJ .vdxdy1f" fl=九J?8S&・g=0.同理E(Y)=0.而c°v(xy)=匚匚［-呦・卜-砒)］心、用与=—必勺心心=丄［J sin&COS&心d& = 0兀x-+y'<l 兀由此得Qx厂°,故X仃Y不相关.下面讨论独立性，当冈•时，办刚轻纠必时，恥)厲存V"显然()')*/(& y)・故X和Y不是相互独立的.17•设随机变量(X, Y)的分布律为3验证X和Y是不柑关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X, Y及XY的分布律，尖分布律如下表X 1 01P 3 2 38 8 8Y 1 01P 3 2 38 8 8XY 1 01P 2 4 28 8 8由期望；d^义易得E (X) =E (Y) =E (XY) =0. 从而E(XY)=E(X)・E(Y),再由相关系数性质知pXY=0.X即X 与Y 的相关系数为0,从而X 和Y 是不相关的.P{X=-1}・ P{Y = -1} = 2X -H 丄又8 8从而X 与Y 不是柑互独立的.18.设二维随机变量（X. Y ）在以 匀分布，求 Cov （X. Y ）, pXY.题18图2, (X, y) € D, 0,其他.E(X) = 0 易(兀刃 dxdy = £ chf 々dy = | E( X 2) = JJ x-f(x, y)d.xdy = £ 时「2x'dv = *D(X) = E(X^)-lE(X)f=--- 从而6 2丿 同/5皿）卞E(XY) = JJ A>y'(x,>)dYd>' = JJ 2x>'dxdy = £ d.v£ 々jydy =—Q/)0 0 12cov(x,r)= £(xy)-£(x)-£(y)=—--x-=-—12 3 3 3o19•设（X, Y ）的概率密度为【解】如图，SD=2 ,故（X, Y ） 的概率密度为X+>'=l8 = P{X=7y = _l}（0, 0）, （0, 1）,（1, 0）为顶点的三角形区域上服从均 "18而 所以从而Cov(X.y)g ""(疔加)一一2—sin(x + y)> 0<x< —,0< v<—, 2 2*20, 其他.E(X) = J J 对ay)dxdy = [ dxj^ 兀・—sin(x +y)dy =中.E(X 2)= J3J7F 运 sinCv+y)dy = + + + 2.从而£>(X) = E(X2)一[E(X)F=^ + f-210 2同理Z/2 z/2 JT E(XY} = j dvj Qsin(x+ y)cUdy = —1,u2Cov （x,r ）= £（xr ）-£（x ）＞£（r ）= 故I 兀_4 IQ ■ - - 7D (X ).7W S +ZS-216 2Cov(x,r) (71-4)" _ 7t" -8兀 + 16 TU' +8 兀一 32 兀2 + 8兀一 32 20.已知二维随机变量（X, Y ）的协方差矩阵为Ll 4」，试求zrx 相关系数. 【解】由已知知：D （X ）=l,D （Y ）=4,Cov （X,Y ）=l.从而 2Y 和 Z2=2X Y 的 D(Zi)= D(X-2y)= D(X) + 4D(Y) - 4Cov(X") = 1+4x4-4x1 = 13, D(Z,) = n(2X-r)= 4D(X) + P(r)-4Cov(X,y)= 4xl+4-4xl=4, Cov(ZpZ,) = Cov(X-2y,2X-y) = 2Cov{x,x)-4Cov(y,x)-cov(x,r)+2Cov(y,r) = 2D(X)-5Cov(X.Y) + 2Q(y)= 2xl-5xl + 2x4 = 5・f （X, y ）=求协方差Cov （X, Y ）和柑关系数pXY ・故21.对于两个随机变量V, W.若E(V2). E (W2)存在，证明: [E (VW)] 2<E (V2) E (W2). 这一不等式称为柯西许瓦兹(CouchY Schwarz)不等式.[证]令g(F) = E{[V + fWF},FeR. 显然0< g(t) = E[(y + tW)-] = ElV- + 2tVW + rW-]= £[V -] + 2M£iny]+z^£[W'],Vr€/?.可见此关于t 的二次式非负，故其判别式AG,0>A = [2£(VW)]'-4£(W')>£(V')= 4l[E(VW)f -E(V-}^EiW-)}.故[E(viy)F<E(W)・E(w2)}・22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数2出的指数分布.设备立时开机，出现 故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作 的时间Y 的分布函数F (丫).【解】设Y 表示毎次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(ME(X)二久=5. 依题意 Y=min{X,2). 对于 y<0j{y)=P{Y<y}=0. 对于 y>2,F{y)=P(X<y)=l.对于0<y<2,当x>0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X<x}=l eXx,所以F(y)=P{Y<y}=P{min(X,2)<y}=P{X<y}=l e y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装 有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数Z 的数学期望：(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】(1) Z 的可能取值为0, 1. 2, 3. Z 的概率分布为P{Z 旳=芒'Q = 9 Z?) = 5 =仝 /7T从一匹百品Z 「辰矿*7 -HP因此, I 9 9 I 3£（Z ） = 0X - + !X - + 2X - + 3X - = -（2）设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品r 根据全概率公式有 3 P （A ） = XP{Z = R}・P{AIZ = k} *■（> 1^9192131 20 20 6 20 6 20 6 4 24•假设由自动线加工的某种零件的内径X （亳米）服从正态分布N （儿1）,内径小于10或 大于12为不合格品，其余为合格品•销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销 售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系 若 %<10,若 10<X<12, 若X >12. < 20,T —5,T= J 问：平均直径A 取何值时，销售一个零件的平均利润最大 ［解］E （T ） = -P{X vl0} + 20P{10<X<12}-5P{X >12} = -P{X-u<10-u} + 2QP{\Q-u<X-u<\2-u}-5P{X-u>\2-u} = -e （io-M ）+2O ［e （i2-"）-e （io-»）］-5［i-e （i2-«）］= 25e （12-w ）-2ie （10-M ）-5・ 兰4 = 250（12-“）乂（一1）-210（10-“）><（-1）丄 dit 0（这里卩心话严 25「3 円2 = 21「3加两边取对数有 ln25--（12_M ）2=ln21_-（10_H ）） 2 解得 M = ll -丄 In 艺=11 一丄］nl ・19al0・9128 2 21 2 （毫米）由此可得，当u=10.9亳米时，平均利润最大. 25•设随机变量X 的概率密度为 1 X —cos —, 0 < A < n, 2 20. 其他.对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于只“的次数，求Y2的数学期望.（2002研考）1, x>-.3(/ = 1,2,3,4)0. X<-・ 3y = D~B(4 丿)则 j•因为jrTTjr1V1p = PiX>-, = l-P,X.-,^P{X.-, = £ -cos-dv = -^£(}；) = -,D(}^) = -.£(y)= 4x - = 2,D(Y) = 4x-x- = \ = E(Y-)-(EY)-2 2从而 E (尸)=D(Y) + [E(Y)f = 1 + 2, = 5.26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=l,2)flK 从参数为5的指数分布，首先 开动其中一台，当;ft 发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时 间T=T1+T2的概率密度fr(t).数学期望E (T)及方差D (T). 【解】由题意知：因"丁2 独立，所以 lT(t)=fl(t)*f2(t). 当 tvo 时，fr(t)=o ； 当GO 时，利用卷积公式得片⑴=£ W •厶(F 一 X)dx = £ 5e 亠・5ef T J A = 25re$ 故得25宀 />0, 0,f < 0・由于 Ti 吒(5)”故知 E(Ti)= 5 ,D(Ti)= 25 {i=i^2)2因此，有 E(T)=E{T1+T2)=^.2又T1J2 独立，所以 D (T) =D (T1+T2) =25【解】令所以Z(0 =•5汽 r>0, 0, t <0.所以Q(小EXlEWr 宁一古=宁27•设两个随机变量X, Y 相互独立，且都服从均值为0.方差为3的正态分布，求随机变 量IX Y|的方差.D(X-y)= P(Z) = £(IZ|-)-l£(IZI)]-E(Z-) = D(Z) = 1、E(l Z I)=匚I z I -y=e-^''-dz=急2%弋,所以 28•某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<l). 产品合格与否相互独立，当出现 一个不合格产品时，即停机检修•设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E (X) 和 D(X) •【解】记q=l p ，X 的概率分布为P{X=i}=qi…，E(X) = nqip = P (工孑丫 = P -故i-l1-1\ 1X X X£(灯)=立 n = X(〜脚5+£衍5 又1-1 f-2 1-1=pq (工 dy+— = pq 角 P _ 2pq 1 _ 1 + q _ 2 - p (D ， p p- p-【解】设Z 二X Y ・ 且X 和Y 相互独立, 因X ~ N 0, FI “丿丿由于故 Z~N (0, 1) • (IS P+—p题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点(0, 1). (1. 0)及(1, 1)为顶点的三角形区域上 服从均匀分布.(如图)，试求随机变S U=X+Y 的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) =D{X)+D(Y)+2[E{XY) E(X)-E{Y)]. 由条件知X 和Y 的联合密度为2, (X, y) e G. 0, t <0.G = {(x,y)10<x< 1.0< y < hx + y > 1}・H 寸 /x w = P /(X y)dy = f' 2dy = 2儿 从而 J Y Ji 因此E(X) = £机(X)" = f 2A-dv = -,£(X -) = J^2x^cU =-,2 ° 2D{X) = E(X-)-lE(X)f .2 9 18同理可御EE 詁”占E( X Y) = Jj 2xydxdy = 2 J ：兀时］ydy =春,G7 12Cov(X.Y} = E(XY}-E{X).E(Y} = — -- = -—,12 936于是30•设随机变量U 在区间[2,2]上服从均匀分布,1,Y=1}=P{U< 1,U>1}=P{ 0 }=0,y1OIX随机变量7 u<-t h U > —1.一1・ u<u t 若u>l ・X=试求(I) X 和Y 的联合概率分布；(2) D (X+Y). 【解】(1)为求X 和Y 的联合概率分布， (1， P{x=Y=就要讣算(X. Y)的4个可能取值ib( 1,1)41, 1)及(ij)的概率• 1,Y=1}=P{U<1,U<1}=p© 一 1}=「空=「空二'J J Y 4J-2 4 4P{X=P{X=1,Y= 1}=P{U> 1,U<1}= p(-l<£/<l) = £^ = iP{x=hy = i} = p{t/>-iQ>i} = P{c/>i}f 罟=1 故得X 与Y 的联合概率分布为(71) (1-1)（X 』）~.4⑵因D （x+y ）= E[（x+y ）2]-（E （x+y ）F^x+Y 及如〉2的概率分布相应为"-2 0 2'"0 4' x+y~1 1 1 (x+y)--I 1_4 2 4._2 2.E(X + y)= (-2)x- + 2x- = 0, 从而 4 4 £t(X + r)-] = 0x-+4x- = 2,2 2所以 D(x+y)= E[(x+y)']-[£(x+y)r = 2・—e31•设随机变量X 的概率密度为f （x ）= 2 求Cov （XJX|b 并问X 与|X|是否不相关 问X 与|X|是否相互独立，为什么£>(X)=匚(x-O)'.ie-'^d.v = = 2.⑵ Cov(XJX) = £(XelXI)-£(X)<£(IXI) = £(XJXI)=J x\x b —e""dx = 0,2所以X 与|X|互不相关.⑶ 为判断1X19 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作岀判断，为此，对世义域8vx<:+8中的子区间（0户g ）上给出任意点xO ・则有{-Xo<X <xJ = {IXI<xJc{X <xj.8<X<+8⑴求E (X)及D (X)； (2) (3)【解】E(x)=r\丄“啊1・=0・ ⑴ Jp 2所以 OvP {\X\<x,]<P{X<x,}<i. 故由P{X<x,JXI<xJ = P(IXI<xJ >P {IXI<_rJ>P{X<xJ得出X 与|X|不相互独立.32•已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (1. 32)和N (0, 42).且X 与Y 的相关系数X Y-- 1—设 Z= 32求Z 的数学期望E (Z)和方差D (Z)； 求X 与Z 的相关系数pXZ ； 问X 与Z 是否相互独立，为什么= _x9.-xl6^2x-x-Cov(X,npXY= (1) (2) (3)【解】E(Z) = E 养 ⑴V d L)cov( X V)=PxY = 匕严x4"6所以p(Z) = ..4-6x- = 3.( y y 1 I 1Cov(X,Z) = Cov %,- + - =-Cov(X,X)+ -Cov(X,r)L 3 2 丿 3 2 所以= £D (X) +舟x(-6) =善一3=0,丿厶」_ Cov(X,Z) 私"a(莎 e(z)"_cZ~N 亦3 ,X~N(1,9)⑶由Qxz —U,得X 与z 不相关•又因 2 )立.33•将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正而向上和反而向上的次数•试求X 和Y 的相关系 ,所以X 与Z 也相互独数【解】由条件知X+Y=n.则有D(X+Y) =D (n) =0.D{Z} = D 3X “ 再由 X^B(n,pKY^B(n,q)t 且 p=q= 2 ,从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)・P(A),D(Y)=P(B)・P(B),从而有 D{X) = npq = - =D(Y}所以0 = D(X+Y) = L>(X) + D(Y) + 2p XY J D (X)・J D (Y)n r nn + 2% •孑故p,YX P所以E (XY)= Cov(KY)=E(XY) +=E(X)・E(Y)= x=0PxY =035.对于任意两事件A 和B, 0<P{A)<l. 0<P(B)<l,则称p= JP(A)P(B)P(7)P(®)为事件A 和B 的相关系数■试证： (1)事件A 和B 独立的充分必要条件是p=0； ⑵ lp|G.【证】(D 由P 的立义知，p=0当且仅当P(AB) P(A)・P(B)=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的运义，即p=0是A 和B 独立的充分必要条件. ⑵引入随机变ilx 与Y 为_J1,若A 发生， x = k 若砂生；从而发生,0■若亍发由条件知，X 和Y 都服从01分布，即0 1l-P(A) P(A)0 1 l-P(B) P(B)34•设随机变量X 和Y 的联合概率分布为试求X 和Y 的相关系数p.【解】由已知知E(X)=,E(Y)=.而XY 的概率分布为Cov(KY)=P(AB) P(A)・P(B)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|p|<l.36.设随机变量X的概率密度为4 00<%< 2,其他.fX(x)= I令Y=X2, F (x,y)为二维随机变量(X, Y)的分布函数，求:⑴Y的概率密度fY(y)：(2) Cov(X,Y)：F(-亍4)⑶ 2 •解：(1) Y的分布函数为Fy(y} = PlY<y} = P{X-<y}当ySO时，当OVyCl时,Fy(y)=P{—"<x<"}=p{—77<x<o}+P{o<x<"}=扌77当l<y<4时, Fy(y) = P{-l<X<O} + P{O<X<“} = l+i“乙当朗时，F『(y) = i, /r(y)= o 故Y的概率密度为• 3—=.0<y<l,8"齐(y) = o—=J<y<4,8"a s其他⑵ fE(X)二匚必(x)dx = J ：i 皿+ J ：]dv 冷£(r)=£(X')=J^x -/y(A-)ch=j"-!-x'dx + J^i.v'dv = -)® 12 0 4 6 E （XY ）二 E （尸）二 办（X 他=f ；丄&■ +『丄才&. = 7/2£(xy)-£(x)-£(y)=- Cov(X,Y) = 3F(—,4) = P{X<-一,y<4) = P{X <-一.X- <4) 2 2 =P{X <-夕-2<X<2} = P{-2<X<-j}37. 习题五1•一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X •估计P{10<X<18}.I 斛设g 每次痂点数’贝广沪E(Xi) = 1X — 2x — 3 X — 4 X —5 x — 6 x —=—,6 6 6 6 6 62£(Xf) = Pxi + 2'xl + 3'xi + 4'x -!- + 5'xi + 6'xi= — f 6 6 6 66 6 64 4 7£(X) = E(》Xd£(XJ = 4x - = 14. 从而心 i 2」」35 35D(X) = D(XX,) = XD(X,) = 4x- = yP{10<X <I8} = P{IX-14I<4)>I-^^=«O.271, 4'\2从而又X1,X2,X3,X4独立冋分布D(XJ = E(X ：) - [E(Xj)F=y-(右^35所以2. 假设一条生产线生产的产品合格率是•要使一批产品的合格率达到在76%与84%Z 间的概 率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件1,若第i 个产品是合格品，(X 其他悄形•II ZXjP {0.76 < 上^— < 0.84} > 0.9. nHP 響“-0& <铤 < 讐一°&} >0.9V/ix0.8x0.2 /?x0・8x0・2 J" x 0.8 x 0.2由中心极限定理得整理得 n>z 故取 n=269.3.某车间有同型号机床200部，毎部机床开动的概率为，假左徉机床开动与否互不影响， 开动时毎部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因 供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确此车间同时开动的机床数目最大值m,而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单 位电能就可满足要求•令X 表同时开动机床数目，则X~B (200,),£(X)= I4O,D(X) = 42,0.95 = P{0<X <m} = P{X <m)=① 川 一140— =1-64,所以供电能151x15=2265 (单位).4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=r 2•“ 20).设它们是相互独立的随机变量,20【解】令而至少要生产n 件，则i=l,2,...,n,且XI, X2 .... Xn 独立同分布，P=P{Xi=l}=.现要求n,使得£Xj -0&/-) 0.84” 一0・8" 70.16/1-e '0・76n-0・8n 、 >09 10/H -140査表知且都在区间(0, 10)上服从均匀分布•记V=*-« ，求P{V>105}的近似值・100 >75} = l-P{X<75}al-e 75-100x0.8<5/100x0.8x0.2100【解】易知:E{Vk)=5,D(Vk)= 12由中心极限定理知，随机变量20工% 120x5 V _20X 5近傾的Y 12I!卩有 P{V>105>5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少【解】设W0根中有X 根短于3e 则X-B (100.)从而= l-e(2・5) = l-O ・9938 = O ・OO62・6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为•医院检验员任 意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝 这一断言.(1)(2) 100 X令 心(1) X~B(100 八于是 P{V>105} = P 彳 V-20x5 105-20x5=P<Z-①(0・387) = 0・34&P{X>3O} = l-P{X<3O}Ql-e 30-100x0・2 、J100x0.2x0.8j 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问接受这一断言的概率是多少:膽治愈-2…期0,其他.【解】= l-e(-l ・25) = e(l ・25) = 0・8944・(2) X~B(100 八IOOP{》Xj >75} = l-P{X<75}al-e =1-<1>(旦)=1一6(1・09) = 0」379・7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任取1000件，苴中有20件 废品的槪率.【解】令1000件中废品数X,则P 弓 n=10COX~B(1000八E(X)=50r D(X)=.故严X=2°} =而亍S 備苗厂6：895^ &895丿8. 设有30个电子器件•它们的使用寿命T1•…，T30服从参数入二［单位：(小时〉・1］的指数分 布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间, 求T 超过350小时的概率.E(TJ = — = — = 10, 【解】 几0・19. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年il 划中一年至少需多少元才能以95%的概率 保证够用(假注一年有306个工作日，毎个工作日为8小时).【解】设至少需n 件才够用.则E(Ti)=10, D(Ti)=100,E(T)=10n» Dfr)=100n.P{^7； >306x8) = 0.95, 0.05①①从而心即 故 75-100x0.7<f 20-50 <P 6.895 16.895 込 | = 4・5X 10*D(7；) = ^ = 100,£(7) = 10x30 = 300, D(T) = 3000.P{T>350}al-e・913) = 0・1814・ ‘306x8-10" < 10亦I On-24480.95 = e10亦 .所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变S,设一个学生无家长、1 名家长、2划家长来参加会议的概率分别为".若学校共有400名学生，设^$学生参加会议的 家长数相打独立，且服从同一分布.(1)(2)【解】而 j，由中心极限定理得11. 设男孩出生率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X-B (10000.)要求女孩个数不少于男孩个 数的概率，即求P{X<5000}-由中心极限世理有12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为•以95%概率估计，在一 次行动中：(1) 至少有多少个人能够进入(2) 至多有多少人能够进入【解】用Xi 表第i 个人能够按时进入掩蔽体(i=t2”1000).令 Sn=Xl+X2+ (X1000)(1)设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P{m<Sn<1000}>•事件400ZOOxi.W%" 7400x0-19 5/4X T9P{X >450} = 1 -P{X<450}Ql-eF 是 450-400x1」= l-e （l ・ 147） = 0.1357.⑵以Y 记有一名家长来参加会议的学生数•则¥-6(400,由拉普拉斯中心极限圧理得P "<3402340-400 X 0.8 ,7400x0-8x0.2 > = e （2・5）= 0.993& P{X <5000}沁 5000-10000x0.515 Z0000x0.515x0.485 丿= e （-3） = l-e （3） = 0・00135・ 求参加会议的家长数X 超过450的概率求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的槪率.易知 E （Xi=） ,D （Xi ）=J=1.2,...4OO-{加<»}=加-1000X 0.9 V » -900171000x0.9x0.1由中心极限定理知:所以mHN884人 (2)设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P{O<Sn<M}>. M-900査表知帧 sM=900+=^916人.13.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人毎年付12元保险费，在一年内一个人死 亡的概率为，死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费■求：(1)保险公司没有利润的概率为多大； (2) 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大 【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B(10000,) •⑴公司没有利润当且仅当"1000X=10000X 12"HP"X=120". 于是所求概率为Rv =i?m 〜 =化,VI 0000x0.006x0.994 &10000x0・006x0.994 丿_ 妙64 卑1759.64 ) ~ ^^'759.64= 0.0517xe 皿⑻】"⑵ 因为“公司利润260000”当且仅当“0»统0”于是所求概率为14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2.方差分别为1和4.而相关系数为试根据契比雪 夫不等式给出P{|X-Y|n6}的估计*(2001研考〉 【解】令Z=X-Y>有£(Z) = 0,P(Z) = P(X -y)= £>(X) + £)(r)-2pj^.p7^W<7^00 =3. P{/«<5J = I -P{5…</«}^1-<D 心 000x0.9」“"WIOOOxO.QxOJ“7-900 从而 < 0.05, I 帧Jp{Sc<M}ae如_900、 = 0.95.120-10000x0.006 60P {0<X<60}g 60-10000x0.006 I J10000X 0.006 X 0.994 厂① 0-10000 x 0.006 I 710000x0.006x0.994 J 60 a 0.5.所以D （ Y _ y\ 3 1P{IZ-E （Z ） 1>6） = P {IX-Yln6}< —, 6' 36 1215. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中.被盗索赔户占20%.以X 表示在随机抽查 的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布：（2） 利用中心极限左理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（I ） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗 户出现的槪率是.因此，X-B （100,,故X 的概率分布是 P{X=R}=C ：OO OTO ・8）叫二 £ = 12 (100)（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14<X<30}的概率・由中心极限；4^ 理，得= e （2・5）-e （-l ・5） = 0.994-[-9.33] = 0・927・16•—生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的•假设每箱平均重50千克，标准差 为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限；4^理说明每辆车最多可以装 多少箱，才能保障不超载的概率大于•【解】设Xi （i=Un ）是装运i 箱的重量（单位：千克人n 为所求的箱数.由条件知，可 把Xi, X2, Xn 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重Tn=Xl+X2+...+Xn 是独立同 分布随机变量之和，由条件知：E （XJ = 50,£（7；,） = 50/1,T -50/1近似地” r - N （（U ）依中心极限定理，当n 较大时，5" ，故箱数n 取决于条件P{7； <5000} = pj 三二^即最多可装98箱.习题六P {14<X<30}ae 30-100x0.2 14-100x0.2 < J100x0・2x0& 1-7100x0.2x0.8 > 1000-10/7 > 0.977 = e （2）・因此可从 麻1000-叫2解出n<.1•设总体X-N (60. 152),从总体X中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.【解】n=60,o2=152,n=100upP (IX-60l> 3) = P (IZI> 30/15) = l-P(IZk 2)=2[l-e( 2)] = 2(1-0.9772) = 0・0456・2•从正态总体N G 52)中抽取容量为n的样本，若要求苴样本均值位于区间(,)内的概率不小于，则样本容Sn至少取多大【解】X-4P(2.2 < X < 6.2) < Z 竺竺皿= 2e(0・4孙一l = 0・95.则初=,故HP n>,所以n至少应取253.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N (1000. 02)(单位：小时)，随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差•但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为52=1002 >试求P (X >1062).【解】n=1000,n=9, S2=1002S/yfn 100/3— 1062-1000P(X > 1062) = P{t > ------- ) = P(Z > 1.86) = 0.05100/34•从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差.z=— -mi) _【解】 b/心,由p(|X・m>4)=得P|Z|>4(a/n)s迟 2.33,<75•设总体X~N （P ，16）, Xlr X2 .... XIO 是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本, S2为其样本方差，且P （S2>a ） =r 求aZ 值.f Q/I A⑼,p(5^>«)= plr>—1=0.1.査表得6•设总体X 服从标准正态分布，XI, X2Xn 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统 计量YX,Y= I 服从何种分布*=》X ；~r(5)、*=》X ； - X\n-5)【解】-2 2 且力「与力；相互独立•所以7•求总体冶N （20. 3）的容量分别为10, 15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于的 概率.令X 的容量为10的样本均值，V 为容量为15的样本均值•则X~N （20,310）,3_y~N(20,15),且X yy 相互独立.‘4皿 <T =0.02 ①，即 ‘4皿 b = 0.99.査表得 所以"迟5.43.2.33 .95' y-=——【解】 16 所以 丄 4.684x16=26 込9【解】X 一r ~N [O ,2+3 |=N (0・0・5). 则 I 10 15丿y_yZ=-^~N(0J),那么 g5所以—- f 0 3P(\X-Y\>0.3) = P IZI> = 2(1-0-6628) = 0.6744.7X ； + X/ + ・・・+X…；8.设总体炉N (0. a2) ,Xl,.・.,Xi0,.・.,Xi5为总体的一个样本.则Y= 2(X H +X/ +…+X]5 ) 服从 分布,参数为X.【解】b1=1,2,...,15. 2 2 且龙I 与"相互独立,所以所以Y~F 分布，参数为（10,5） •V X9•设总体X~N （也02儿总体Y~N （n222）,XbX2" 如和Yl, Y2,分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则工(X 厂乂 )2 + £0_P)2J-l ;-l n| _ n> _X(x 厂 x)2 =(耳一1)S ；E (力-亍)2 =(吗—1)S ；,/-I J-l=2(1-0(0.424)]届) 10 zr = Z 那么 i15 / Y 、2 1-11V b /-r(5)•+【解】令 I_ 1 恥 _肾=百尹可斗芦pF*) (M[—l)Sr J- ( 7 (,?，—1)S; 7. ( zr = ' / ' - /■(«i -az2 = / ~ -z'(«2-ix 又- i 那么 _ «3 _ 乞(Xj-Xy + X(Yj-YF /-I ;-| rt, + —2 齐匚护&好+b 宠) = b [E(z ；)+ E(/)] "l + 川2 一 2 2 =—-—[(«|-1) + (心 _ 1)] = b ， + ”2 _ 2 ・ — 1 力 % = — 10•设总体X~N(H ，a2), XI, X2 ... X2n (n>2)是总体X 的一个样本， 加i ,令 £(E + X"厂 2壬)2 ,求 E(Y)・ 【解】令Zi 二Xi+Xn+i,匸12・・・小・则ZrN(2n ，2a2){l<i<nb 且 Zl.Z2,...,Zn 相互独立. =Z ・ Z s2=Y(Zj — Z)2/H 7 /-I " r-l IZi « 故 那么 Z = 2X I-) 所以 E(Y) = (« - 1)E5- = 2(” 一 1)<T\-2X)-=^(Z.-Z)-=(/i-l)S\ r.)11. 本, 解: —e 设总体X 的概率密度为f(x)= 2 (•8vx<+8),xi, X2,…，Xn 为总体X 的简单随机样 其样本方差为S2,求E(S2). 由题意，得—ej x<0.2丄em l2£(5') = D(X) = £(X')-£-(X) E(X)=匚 yf(x)dx = ij2 xeTMtU = 0 E(X2)=匚 x'/(x)ctv = ij^ x&Wldx =匚 A-e-"dv =2, 2 0 于是所以E(S-) =。
概率论第4章习题参考解答
概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-2010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ因np +p 不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i iC P ξ3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk kξ或者算出具体的值如下所示：ξ0 1 2 3 4 P⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p 则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100 ===3100029001100}1{C C C P ξ 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ近似误差为0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P i i ξ则按上式计算出概率分布如下表所示:ξ0 1 2 3 4 5 P15. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ16. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np9526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{48.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη则产品的平均价值为Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为 ==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP19. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有 20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5, 并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质及查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1= P {0<ξ≤5}=Φ0(P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1= 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2). 解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ 解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φd d即9332.00668.01)210(0=-=-Φd ,查表得5.1210=-d , 解得7310=-=d27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k 28. 某批产品长度按N 2)分布, 求产品长度在cm 和cm 之间的概率, 长度小于cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N 2), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ即ζ服从λ=1/2的指数分布.第5章《一维随机变量》练习题答案一、判断题1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件.（ 1 ） 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定.（ 0 ） 3．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. （ 1 ） 4．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ 1）5．设()()y f x x =-∞<<+∞为某随机变量的密度函数，则必有0()1f x ≤≤.（ 0 ） 6．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，b a <，则=≤≤)(b X a P )()(a F b F -. （ 0 ）不一定正确。
概率论第四章课后习题答案
习题四1.设)2,5(~2N X ，求下列概率（1）)52(≤≤X P ;(2))2(≤X P ;(3))3(>X P ;(4))93(≤≤-X P .解：（1）)0255.1()25525252()52(≤-≤-=-≤-≤-=≤≤X P X P X P 4332.019332.05.01)5.1()0()5.1()0(=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ=（2）)25225252()22()2(-≤-≤--=≤≤-=≤X P X P X P )5.3()5.1()5.1255.3(-Φ--Φ=-≤-≤-=X P 0666.09332.099977.0)5.1()5.3(=-=Φ-Φ=（3）8413.0)1()1(1)125()25325()3(=Φ=-Φ-=->-=->-=>X P X P X P （4）)2254()25925253()93(≤-≤-=-≤-≤--=≤≤-X P X P X P 9772.01999968.09772.01)4()2()4()2(=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ=2．已知某次测试的成绩),73(~2σN X ，95分以上的同学占2.28%.求 （1）介于80分与90分之间的同学的比例； （2）小于60分的同学的比例.解：因0228.0%28.2)7395(1)739573()95(==-Φ-=->-=>σσσX P X P即9772.0)22(=Φσ，查表得222=σ，则11=σ，故).11,73(~2N X（1）)11171173117()1173901173117380()9080(<-<=-<-<-=<<X P X P X P 2005.07389.09394.0)64.0()55.1(=-=Φ-Φ=（2）)18.1()11131173()1173601173()60(-Φ=-<-=-<-=<X P X P X P 119.0881.01)18.1(1=-=Φ-=3．已知随机变量),2(~2σN X ，且44.0)13(=≤-X P ，求)22(≥-X P .解：因)24222()42()13(σσσ-≤-≤-=≤≤=≤-X P X P X P44.0)0()2(=Φ-Φ=σ即94.0)0(44.0)2(=Φ+=Φσ，则12.094.022)2(22)22()22(=⨯-=Φ-=≥-=≥-σσσX P X P4. 已知随机变量),(~2σμN X ，且)1()3()1(-Φ=≥=-<X P X P 求σμ,.解：依题有)1()1()1()1(-Φ=--Φ=--<-=-<σμσμσμX P X P)1()3()3(1)3()3(-Φ=--Φ=-Φ-=-≥-=≥σμσμσμσμX P X P由此可得，⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1311σμσμ，解得.2,1==σμ6.设随机变量)1,0(~N X ，求)(2X E .解：因1)(,0)(==X D X E ，则.1)]([)()(22=+=X E X D X E 11．一加法器同时收到48个噪声电压(1,2,,48)i X i =，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间[0,10]上服从均匀分布，记481i i X X ==∑，求(180)P X >.解：依题可知，32512)010()(,52100)(22=-===+==i i X D X E σμ，由独立同分布中心极限定理得48481(180)(180)ii i Xn P X P X P μ=->=>=>∑∑11(3)(3)0.99865=-Φ=-Φ-=Φ=12. 一部件包括100个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05mm.规定总长度200mm 误差在1mm 内算合格品，试求产品合格的概率.解：设随机变量i X 表示“第i 个部分的长度”，1,2,,100.i =则12100,,,X X X 相互独立，05.0)(,2)(====i i X D X E σμ且1001ii X X ==∑表示“该部件的总长度”， 由独立同分布中心极限定理得(0.1)21P X n P μ-<=<=Φ- 2(2)120.977210.9554=Φ-=⨯-=13. 掷硬币900次，试求： （1）至少出现正面480次的概率；（2）出现正面在420次到480次之间的概率.解：设随机变量X 表示“掷900次硬币中出现正面的次数”，则15)1(,450),21,900(~=-=p np np B X ，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理得（1）0228.09772.01)2(1)1545048015450()480(=-=Φ-≈-≥-=≥X P X P （2）9544.019772.021)2(2)153015450()480420(=-⨯=-Φ≈<-=<<X P X P 14. 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于 3的概率31=p ，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有30500~29500次纵摇角度大于 3的概率是多少？解：设随机变量X 表示“在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3的次数”，则2100)1(,30000),31,90000(~=-=p np np B X ，由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理得1)54.3(2)2100500210030000()3050029500(-Φ≈<-=<<X P X P9996.019998.02=-⨯=16.设有30个电子器件3021,,,D D D ，它们的使用情况如下：1D 损坏，2D 接着使用；2D 损坏，3D 接着使用等等.设器件i D 的使用寿命服从参数1.0=λ（单位：1-h ）的指数分布.令T 为30个器件使用的总时数，问T 超过350h 的概率是多少？解：设随机变量i T 表示“第i 个电子器件的使用寿命”，.30,,2,1 =i 依题可知，3021,,,T T T 相互独立，1001)(,101)(),1.0(~22======λσλμi i i T D T E e T ，且∑==301i i T T ，由独立同分布中心极限定理得)30101030350(1)350()350()350(301301⨯-Φ-≈->-=>=>∑∑==σμσμn n n n TP T P T P i ii i。
概率论与数理统计第四章习题答案
ξ
n
≤ 0.84) = P (0.76n ≤ ξ ≤ 0.84n) = P ( ξ − 0.8n ≤ 0.04n) ≥ 1− Dξ 100 = 1− 2 n (0.04n)
由题意 所以
P (0.76 ≤ 1−
ξ
n
≤ 0.84) ≥ 0.9
100 ≥ 0.9，从而 n ≥ 1000 n 故，至少应生产1000件产品。
c , r , s , t , u 的值。
3⎞ ⎟ c⎟ ⎠ − ∞ < x < −1 −1≤ x < 0 0≤ x<1
2
乐山师范学院化学学院
解：P (ξ = 1.2) = F (1.2) − F (1.2 − 0) =
1 1 − =0 2 2
1 2 = 3 3 0 = P (ξ = −1) = F ( −1) − F ( −1 − 0) = r − 0 = r ∴ r = 0 1 1 = P (ξ = 0) = F (0) − F (0 − 0) = s − r = s ∴ s = 3 3 1 1 1 a = P (ξ = 1) = F (1) − F (1 − 0) = − s = ∴a = 2 6 6 1 1 2 = P (ξ = 2) = F ( 2) − F ( 2 − 0) = t − ∴t = 6 2 3 又 x ≥ 3时，F ( x ) = 1， ∴u = 1 2 1 1 c = P (ξ = 3) = F ( 3) − F ( 3 − 0) = 1 − = ∴c = 3 3 3 1 1 而 ∑ p i = 1， 从而 + a + b + + c = 1， ∴ b = 0 3 6 i 1 1 1 2 因此， a = ，b = 0，c = ，r = 0，s = ，t = ，u = 1. 6 3 3 3 P (ξ > 0.5) = 1 − P (ξ ≤ 0.5) = 1 − P (ξ = 0) = 1 −
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。
概率论与数理统计第四章习题及答案
概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验 4次，每次随机地取 10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以 X 表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的)解：设表示一次抽检的 10件产品的次品数为1 —=.从而E ( X )=np =4X =的数学期望不存在. 解:3j—)不绝对收敛，由数学期望的定义知， X 的数学期望不存在.J求 E(X), E(X 2), E(3X 25).解 E (X )=(-2) +0 +2习题4-3 设随机变量 X 的分布律为P =P (调整设备)=P ( E >1)=1 — P ( E W 1)= 1 -[P ( E =0)+ P ( E =1)］查二项分布表因此X 表示一天调整设备的次数时4P ( X =1)= XX =, P ( X =2)=1 4P ( X =3)= XX =, P ( X =4)=X 〜巳4,. 4XX =2 4XX =P ( X =0)=XX习题4-2 设随机变量 X 的分布律为P X23j ，1,2,,说明X由于.13j (1)j 勺一P(X j(1)j1-)-，而级数2 j 1 j• 1 3j- 1)j1- P(X ( 1)j由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E(X2)=(-2) 2小2 小2+0 +2E(3X2+5)=[32 2 2(-2) +5] +[3 0 +5] +[3 2+5]如利用数学期望的性质, 则有E(3X2+5)=3E(X2)+5=3 +5=E(X)2 E(X ) E(3X22 0.4 020.3 0.30.2,习题求（1）Y22(2) 0.4 225) 3E(X ) 54-4 设随机变量2X; (2)Y e 2X0.3 2.8,13.4X的概率密度为f（X）的数学期望.(I)E( Y) E(2X) 2xf(x)dx2( 0dx2( xe 0 e x dx) 2e(II )E(Y) E(e 2X) 2x x .e e dx3x dx习题4-5 设（X,Y）的概率密度为f(x,y)求 E(X), E(Y), E(XY), E(X2 Y2).解各数学期望均可按照E[g（X, Y）]在有限区域G:｛（x,y）|0E(X)E(Y) 0,xe3xx 0,x 0dx)12y2, 0,y x 1, 其它g(x, y) f (x, y)dxdy 计算。
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概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =⨯⨯==733103.07.0}3{C P ξ0.0090至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为=⨯⨯-=<-=≥∑=-2010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为=⨯⨯=≤∑=-20101099.001.0}2{i i i iC P ξ0.99993. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此2061.02.08.0}18{}15270{}27015{}270{20182020=⨯⨯==≥=≥=≥=≥∑=-i i i iC P P P P ξξξη4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此∑=-⨯⨯=≤=≤=≤320209.01.0}3{}15.020{}15.0{i i i iC P P P ξξη=0.8675. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率}2{}23{}2|3{≥≥⋂≥=≥≥ξξξξξP P P因事件}3{}2{≥⊃≥ξξ, 因此2}23{≥=≥⋂≥ξξξ因此5312.06083.02852.019.01.0209.019.01.01}{1}2{1}{}2{1}{}2{}{}{}{}2{}3{}2|3{192018222010202202202202203=-=⨯⨯--⨯⨯-==-=-===-===-=====≥≥=≥≥∑∑∑∑∑∑======C i P P i P P i P P i P i P i P P P P i i i i i i ξξξξξξξξξξξξξ6. 抛掷4颗骰子, ξ为出现1点的骰子数目, 求ξ的概率分布, 分布函数, 以及出现1点的骰子数目的最可能值. 解: 因掷一次骰子出现一点的概率为1/6, 则ξ~B (4,1/6), 因此有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==∑≤--4140656100)(),4,3,2,1,0(6561}{4444x x C x x F k C k P x k kk k kk kξ或者算出具体的值如下所示： ξ 0 1 2 3 4 P0.48230.38580.11570.01540.0008⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=41439992.0329838.0218681.0104823.000)(x x x x x x x F从分布表可以看出最可能值为0, 或者np +p =(4/6)+1/6=5/6小于1且不为整数, 因此最可能值为[5/6]=0. 7. 事件A 在每次试验中出现的概率为0.3, 进行19次独立试验, 求(1)出现次数的平均值和标准差; (2)最可能出现的次数. 解: 设19次试验中事件A 出现次数为ξ, 则ξ~B (19,0.3), 因此 (1)ξ的数学期望为E ξ=np =19×0.3=5.7 方差为Dξ=np (1-p )=19×0.3×0.7=3.99标准差为997.199.3===ξσξD(2)因np +p =5.7+0.3=6为整数, 因此最可能值为5和6. 8. 已知随机变量ξ服从二项分布, E ξ=12, D ξ=8, 求p 和n . 解: 由E ξ=np =12 (1) 和D ξ=np (1-p )=8 (2) 由(1)得n =12/p , 代入到(2)得 12(1-p )=8, 解出p =(12-8)/12=1/3=0.3333 代回到(1)式得n =12/p =12×3=36 9. 某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用. 解: 每个时刻构成一n =4的贝努里试验, 且p =15/60=0.25, 因此, 设ξ为每个时刻要用秤的售货员数, 则ξ~B (4, 0.25), 当ξ>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为=+⨯⨯=>433425.075.025.0)2(C P ξ0.0508因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用. 10. 已知试验的成功率为p , 进行4重贝努里试验, 计算在没有全部失败的情况下, 试验成功不止一次的概率. 解: 设ξ为4次试验中的成功数, 则ξ~B (4,p ), 事件"没有全部失败"即事件{ξ>0}, 而事件"试验成功不止一次"即事件{ξ>1}, 因此要求的是条件概率P {ξ>1|ξ>0}, 又因事件{ξ>1}被事件{ξ>0}包含, 因此这两个事件的交仍然是{ξ>1}, 因此434141}0{1}1{}0{1}0{}1{}0|1{q pq q P P P P P P ---===-=-=-=>>=>>ξξξξξξξ其中q =1-p 11. ξ服从参数为2,p 的二项分布, 已知P (ξ≥1)=5/9, 那么成功率为p 的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少?解: 因ξ~B (2,p ), 则必有9/5)1(1)0(1)1(2=--==-=≥p P P ξξ, 解得3/13/213/219/49/51)1(2=-==-=-=-p p p 则假设η为成功率为1/3的4重贝努里试验的成功次数, η~B (4,1/3), 则802.081161321)1(1)0(1)1(44=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=--==-=≥p P P ηη12. 一批产品20个中有5个废品, 任意抽取4个, 求废品数不多于2个的概率解: 设ξ为抽取4个中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 且有==≤∑=-204204155}2{i i i C C C P ξ0.968 13. 如果产品是大批的, 从中抽取的数目不大时, 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算. 试将下例用两个公式计算, 并比较其结果. 产品的废品率为0.1, 从1000个产品中任意抽取3个, 求废品数为1的概率. 解: 设任抽3个中的废品数为ξ, 则ξ服从超几何分布, 废品数为0.1×1000=100 ===3100029001100}1{C C C P ξ0.2435 而如果用二项分布近似计算, n =3, p =0.1, ξ~B (3,0.1)=⨯⨯≈=2139.01.0}1{C P ξ0.2430近似误差为0.0005, 是非常准确的.14. 从一副朴克牌(52张)中发出5张, 求其中黑桃张数的概率分布. 解: 设ξ为发出的5张中黑桃的张数, 则ξ服从超几何分布, 则)5,4,3,2,1,0(}{5525135213===--i C C C i P i i ξ则按上式计算出概率分布如下表所示: ξ 0 1 2 3 4 5 P0.22150.41140.27430.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中, 任取10粒, 求发芽粒数不小于8粒的概率. 解: 设ξ为10粒种子中发芽的粒数, 则ξ服从超几何分布, 但可以用二项分布近似, 其中p =0.8, n =10, 则∑=-⨯⨯=≥10810102.08.0}8{i i i iC P ξ=0.677816. 一批产品的废品率为0.001, 用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率, 以及不超过2件的概率. 解: 设ξ为800件产品中的废品数, 则ξ服从超几何分布, 可以用二项分布近似, 则ξ~B (800, 0.001), 而因为试验次数很大废品率则很小, 可以用普阿松分布近似, 参数为 λ=np =800×0.001=0.89526.0!8.0}2{1438.028.0}2{28.08.02=≈≤=≈=∑=--i i e i P e P ξξ 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布, 平均一件上有0.8个疵点, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元, 疵点数大于1不多于4为二等品, 价值8元, 4个以上为废品, 求产品为废品的概率以及产品的平均价值. 解: 设ξ为产品表面上的疵点数, 则ξ服从普哇松分布, λ=0.8, 设η为产品的价值, 是ξ的函数. 则产品为废品的概率为0014.0!8.01}4{1}4{408.0=-=≤-=>∑=-i i e i P P ξξ==≤==∑=-18.0!8.0}1{}10{i i e i P P ξη0.8088==≤<==∑=-428.0!8.0}41{}8{i i e i P P ξη0.1898则产品的平均价值为 Eη = 10×P {η=10}+8×P {η=8}=10×0.8088+8×0.1898=9.6064(元) 18. 一个合订本共100页, 平均每页上有两个印刷错误, 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布, 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 设ξ为每页上的印刷错误数目, 则ξ服从普哇松分布, λ=2, 则1页印刷错误都不超过4个的概率为 ==≤∑=-402!2}4{i i e i P ξ0.9473而100页上的印刷错误都不超过4个的概率为[]=≤100}4{ξP 0.00445419. 某型号电子管的“寿命”ξ服从指数分布, 如果它的平均寿命E ξ=1000小时, 写出ξ的概率密度, 并计算P (1000<ξ≤1200). 解: 因Eξ=1000=1/λ, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0010001)(1000x x ex xϕ0667.0)12001000(2.111000120010001000=-=-=≤<----e e ee P ξ20. ξ~N (0,1), Φ0(x )是它的分布函数, φ0(x )是它的概率密度, Φ0(0), φ0(0), P (ξ=0)各是什么值? 解: 因有 20221)(x ex -=πϕ, ⎰∞--=Φxt dt ex 20221)(π, 因此φ0(x )为偶函数, 由对称性可知Φ0(0)=0.5, 并有πϕ21)0(0=,因ξ为连续型随机变量, 取任何值的概率都为0, 即P (ξ=0)=0.21. 求出19题中的电子管在使用500小时没坏的条件下, 还可以继续使用100小时而不坏的概率?解: 要求的概率为P (ξ>600|ξ>500), 因此905.0}500{}600{}500|600{1.010005001000600===>>=>>---e e eP P P ξξξξ22. 若ξ服从具有n 个自由度的χ2-分布, 证明ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=---022)(21212x x e n x x x nn ϕ称此分为为具有n 个自由度的χ-分布 证: 设ξη=, 则因ξ的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=--0221)(2122x x e x n x xn nξϕη的分布函数为)0()()()()()(22>=≤=≤=≤=x x F x P x P x P x F ξηξξη对两边求导得)0(22222)(2)(2121222222>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==-----x en x en x xx x x x n n x n n ξηϕϕ23. ξ~N (0,1), 求P {ξ≥0}, P {|ξ|<3}, P {0<ξ≤5}, P {ξ>3}, P {-1<ξ<3} 解: 根据ξ的对称性质及查表得: P {ξ≥0}=1-Φ0(0)=0.5 P {|ξ|<3}=2Φ0(3)-1=2×0.99865-1=0.9973 P {0<ξ≤5}=Φ0(5)-0.5=0.5P {ξ>3}=1-Φ0(3)=1-0.99865=0.00135P {-1<ξ<3}=Φ0(3)-Φ0(-1)=Φ0(3)+Φ0(1)-1=0.99865+0.8413-1=0.83995 24. ξ~N (μ,σ2), 为什么说事件"|ξ-μ|<2σ"在一次试验中几乎必然出现?解: 因为)1,0(~N σμξ- 19545.0197725.021)2(2}2{}2|{|0≈=-⨯=-Φ=<-=<-σμξσμξP P因此在一次试验中几乎必然出现.25. ξ~N (10,22), 求P (10<ξ<13), P (ξ>13), P (|ξ-10|<2). 解: 因为)1,0(~210N -ξ6826.018413.021)1(2}1210{}2|10{|0.0668193319.01)5.1(1}5.1210{}13{43319.05.093319.0)0()5.1(}5.12100{}1310{0000=-⨯=-Φ=<-=<-=-=Φ-=>-=>=-=Φ-Φ=<-<=<<ξξξξξξP P P P P P26. 若上题中已知P {|ξ-10|<c }=0.95, P {ξ<d }=0.0668, 分别求c 和d .解: 因为)1,0(~210N -ξ, 则有95.01)2(2}2210{}|10{|0=-Φ=<-=<-cc P c P ξξ 解得975.0295.01)2(0=+=Φc, 查表得,96.12=c得c =3.92 再由5.00668.0)210(}210210{}{0<=-Φ=-<-=<d d P d P ξξ知,0210<-d 因此0668.0)210(1)210(00=-Φ-=-Φdd 即9332.00668.01)210(0=-=-Φd, 查表得5.1210=-d, 解得7310=-=d 27. 若ξ~N (μ,σ2), 对于P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90, 或0.95, 或0.99, 分别查表找出相应的k值.解: 先求P {μ-kσ<ξ<μ+kσ}=0.90对应的k 值. 因)1,0(~N σμξ-, 因此 90.01)(2}{}{0=-Φ=<-=+<<-k k P k k P σμξσμξσμ 即95.0290.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.64 同理, 由975.0295.01)(0=+=Φk , 查表得k =1.96 由995.0299.01)(0=+=Φk , 查表得k =2.57 28. 某批产品长度按N (50, 0.252)分布, 求产品长度在49.5cm 和50.5cm 之间的概率, 长度小于49.2cm 的概率.解: 设ξ为产品长度, 则ξ~N (50, 0.252), 且有)1,0(~25.050N -ξ, 则9545.0197725.021)2(2}225.050{}225.0502{}5.505.49{0=-⨯=-Φ=<-=<-<-=<<ξξξP P P0006871.09993129.01)2.3(1)2.3(}25.0502.4925.050{}2.49{00=-=Φ-=-Φ=-<-=<ξξP P29. ξi ~N (0,1)(i =1,2,3), 并且ξ1,ξ2,ξ3相互独立, ∑==3131i i ξξ,∑=-=312)(i i ξξη, 求),cov(,),,cov(1ηξηξξE解: 此题要用到, 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布. 因此, 因为3131,031=⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=i i D D E ξξξ, 则)31,0(~N ξ313131)()cov(2131111==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=ξξξξξξξE E E i i32313121)cov(2)2()(22222=+⨯-=+-=+-=-ξξξξξξξξξξE E E E i i i i i因此2323)()(312312=⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==i i i i E E E ξξξξη ξξ-i 也服从正态分布, 且有03131)]([),cov(2=-=-=-=-ξξξξξξξξξE E E i i i即ξ与ξξ-i 不相关, 而因为它们服从正态分布, 因此也就是ξ与ξξ-i 相互独立,则ξ与2)(ξξ-i 也相互独立, 则ξ与η中的加和中的每一项相互独立, 当然也与η相互独立, 因此有0),cov(=ηξ, 因为相互独立的随机变量一定不相关.30. (ξ,η)有联合概率密度22)(21,2122ηξζπ+=+-y x e , 求ζ的概率密度.解: 由联合概率密度看出, ξ与η相互独立服从标准正态分布, 则有 ξ2与η2也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布, 即ξ2~χ2(1), η2~χ2(1), 因此ζ=ξ2+η2~χ2(2), 即它的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>=-00212x x exζϕ即ζ服从λ=1/2的指数分布.。