高中数学课下能力提升八平行关系的性质北师大版必修2
高中数学北师大版必修二【配套备课资源】平行关系的性质
5.2 平行关系的性质一、基础过关1. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是 ( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面 2．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( )A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．没有 3．若平面α∥平面β，直线a ∥α且a β，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线4．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于 ( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶55.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.6．如图，已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD ∥平面EFGH .二、能力提升9. 如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 310．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20 11．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .三、探究与拓展13. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．答案1．A 2．B 3．D 4．B5.223a 6．157．证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH .又GH 平面BCD ，EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF 平面ACD ，∴EF ∥CD .而EF 平面EFGH ，CD 平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .9．A 10．B11．212．证明 连接A 1C 交AC 1于点E ，∵四边形A 1ACC 1是平行四边形，∴E 是A 1C 的中点，连接ED ，∵A 1B ∥平面AC 1D ，平面A 1BC ∩平面AC 1D ＝ED ，∴A 1B ∥ED ，∵E 是A 1C 的中点，∴D 是BC 的中点．又∵D 1是B 1C 1的中点，∴BD 1∥C 1D ，又∵C 1D 平面AC 1D ，BD 1 平面AC 1D ，∴BD 1∥平面AC 1D ，又A 1B ∩BD 1＝B ，∴平面A 1BD 1∥平面AC 1D .13．解 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC ，证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE ，①由EM ＝12PE ＝ED ，知E 是MD 的中点，设BD ∩AC ＝O ，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，∴BF∥平面AEC.。
高中数学北师大版必修2 1.5 教学设计 《平行关系的性质》(北师大版)
《平行关系的性质》教材首先通过“思考”提出了两个问题，从而引出直线和平面，平面和平面平行的性质，接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出直线与平面平行的性质的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质论证推理。
通过以平面和直线为桥梁，在“平行”与“平行”之间进行相互转化来实现。
【知识与能力目标】1、理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义；2、会用性质定理证明空间线面关系的问题。
【过程与方法目标】综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化。
【情感态度价值观目标】通过学习，培养学生观察、类比、联想等发现规律的一般方法，激发学生的学习兴趣和钻研精神。
【教学重点】理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题。
【教学难点】会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、探究新知教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P 32“练习”以下至P 33“例4”以上部分，完成下列问题。
βα∩ 如图1519所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA上的点，EH ∥FG ，则EH 与BD 的位置关系是( )图1519A 、平行B 、相交C 、异面D 、不确定【解析】 ∵EH ∥FG ，EH ⊆/平面BCD ，FG平面BCD ， ∴EH ∥平面BCD ，∵EH 平面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，∴EH ∥BD 。
北师大版高中数学必修2平行关系的判定
[精解详析] 如图所示，连接MF. ∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形 A1B1C1D1为正方形， ∴MF∥A1D1且MF＝A1D1. 又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1， ∴MF＝AD且MF∥AD. ∴四边形AMFD是平行四边形．
∴AM∥DF. 又DF 平面EFDB，AM 平面EFDB， ∴AM∥平面EFDB. 同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM 平面 AMN，AM∩AN＝A， ∴平面AMN∥平面EFDB.
知识点一
理解教材新知
立
平
知识点二
体
行
几
平行
关
考点一
何
关系
系
把握热点考向考点二初的考点三
步
判
定
应用创新演练
1．这是一对明清时期的红木柜子， 做工相当精细，展示了当时我国高超的 家具制作水平．
问题1：在拉开柜子门的过程中，柜子门的边框和柜 子表面是什么关系？
提示：平行． 问题2：柜子一侧的棱与另一侧面是什么关系？ 提示：平行．
又 E 为 AB 的中点且底面 ABCD 为正方形． ∴AE12CD. ∴GF AE. ∴四边形 AEFG 为平行四边形． ∴EF∥AG.又 AG 平面 SAD，EF 平面 SAD， ∴EF∥平面 SAD.
[一点通] 线面平行的判定方法 (1)利用定义：证线面无公共点． (2)利用线面平行的判定定理，将线面平行转化为 线线平行，巧妙地作出辅助线，构造线线平行是解决 问题的关键．
1．已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC的中点． 求证：AB1∥平面DBC1. 证明：∵A1B1C1－ABC是正三棱柱， ∴四边形B1BCC1是矩形．
连接B1C、BC1交于点E， 则B1E＝EC，连接DE，如图所示， 在△AB1C中，∵AD＝DC， ∴DE∥AB1，又AB1 平面DBC1，DE 平面DBC1， ∴AB1∥平面DBC1.
北师大版高中数学必修2平行关系的性质
【规律总结】 证明线面平行的三种方法：(1)利用定义，证 明线面无公共点，一般利用反证法来证明；(2)利用直线与平面平 行的判定定理；(3)利用平面与平面平行的性质．
如图，在四棱柱 ABCD
－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E， E1 分别是棱 AD，AA1 的中点．设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平面 FCC1.
如图，E，H 分别是三棱 锥 A－BCD 的棱 AB，AD 的中点，平面 α 过 EH 分别交 BC，CD 于点 F，G.求证：EH∥ FG.
证明：∵E，H 分别是 AB，AD 的中点， ∴EH∥BD. 又∵EH 平面 BCD，BD 平面 BCD， ∴EH∥平面 BCD. 又∵EH 平面 α，平面 α∩平面 BCD＝FG， ∴EH∥FG.
平面 ABC∩平面 α＝EH， 所以 AB∥EH， 因为 AB∥平面 α，AB 平面 ABD，
平面 ABD∩平面 α＝FG， 所以 AB∥FG，所以 EH∥FG， 同理由 CD∥平面 α 可证 EF∥GH， 所以四边形 EFGH 是平行四边形．
【规律总结】 (1)直线与平面平行的性质定理作为线线平行 的依据，可以用来证明线线平行．(2)线面平行的判定与性质定理 经常交替使用：通过线线平行得到线面平行，通过线面平行推出 另一组线线平行．
3．两条不同的直线 m，n 和两个不同的平面 α，β，给出下列
命题：①
nm∥αα⇒m∥n；②
m n
α ⇒m，n 不共面；③
β
n∥β m∥α
⇒m∥n，其中，错误的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：①中的 m 与 n 可能平行，也可能异面；②中可能 m∥ n，即 m 与 n 共面；③中不知平面 α 与平面 β 的位置关系，因而 不能判定 m 与 n 的关系，故①②③均是错误的．
1.5.2 平行关系的性质 教案 (高中数学必修二北师大版)
1.5.2平行关系的性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线与平面平行的性质定理的含义．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．(2)会证明直线与平面平行的性质定理．(3)能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．2．过程与方法通过学生直观感知、操作确认，归纳出平行关系、性质等，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力．3．情感、态度与价值观通过对平行关系性质的学习，体会现实到抽象的认识事物规律，培养探索精神，提高数学的兴趣．●重点难点重点、难点：平行关系的性质定理的应用．注意定理中的条件，在应用时缺一不可．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节知识的延续，先讲述平行关系的性质，再把平行关系的判定与性质结合起来，平行关系的判定和性质体现了线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化．即●教学流程创设情景提出两个问题，即已知线面平行，面面平行可以得出什么结论⇒解得问题即讲解线面平行、面面平行的性质定理⇒通过例1及变式训练，使学生掌握线面平行性质的应用⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面平行性质的应用⇒通过例3及互动探究，使学生掌握平行关系之间的综合转化⇒课堂小结整合本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识教室日光灯管所在直线与地面平行，那么这条直线与地面内所有直线都平行吗？如何在地面做一条直线与灯管所在直线平行呢？【提示】 不一定．可能平行也可能异面．过灯管所在直线作一平面与地面相交，交线与灯管所在直线平行．⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b观察如图的长方体，我们可以知道：直线a ∥平面α，平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1. 思考直线a 与直线b 的关系？ 【提示】 平行．如图1－5－12所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .图1－5－12【思路探究】 (1)猜想一下，AP 与平面BDM 平行吗？ (2)如何证明你的猜想？由“M 是PC 的中点”你能想什么？ (3)由AP ∥平面BDM 如何证明AP ∥GH?【自主解答】 如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点， ∴AP ∥OM . 又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ， 又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ， ∴AP ∥GH .1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行． 2．运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行，证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”．如图1－5－13所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.图1－5－13【证明】 如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ . 于是AM MC ＝AQ DQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND .已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF. 【思路探究】 (1)证明线段成比例问题，常用什么方法？ (2)如何寻求线线平行？【自主解答】 如图，连接DC ， 设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是在△ADC 内有AB BC ＝DGGC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF .∴AB BC ＝DE EF .1．本题关键是利用面面平行的性质得出线线平行．2．应用两个平面平行的性质一是可以证明直线与直线平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．图1－5－14CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.图1－5－14【证明】过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NPβ，DEβ，MNβ，BEβ，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.如图1－5－15，直线CD、AB分别平行于平面EFGH，E、F、G、H 分别在AC、AD、BD、BC上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.图1－5－15(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？【思路探究】(1)证四边形EFGH为平行四边形，再根据CD⊥AB，得结论．(2)得出矩形EFGH的面积表达式，求最大值．【自主解答】 (1)因为CD ∥平面EFGH ， 所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF .同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形． 又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF . 所以四边形EFGH 是矩形． (2)设CE ＝x ，AC ＝1， 因为HE ∥AB ， 所以HE AB ＝CE CA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC 中点时，四边形EFGH 的面积最大．1．本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化．2．空间平行关系的转化图：本例中若截面四边形EFGH 是平行四边形，求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH . 【证明】 ∵四边形EFGH 是平行四边形， ∴EF ∥GH .又EF平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF平面EFGH，CD平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.平行关系中的转化思想图1－5－16(12分)如图1－5－16所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．【思路点拨】欲证明线线平行可考虑线面平行的性质欲证明线面平行可考虑线面平行的判定或面面平行的性质．【规范解答】(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 4分又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. 6分(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 8分而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. 10分∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD. 12分【思维启迪】线线平行、线面平行、面面平行之间可通过平行的判定和性质相互转化，从而达到证明的目的．1．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系2．应用判定定理、性质定理证明时，一定要注意定理中的线、面满足的条件．1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．【答案】 B图1－5－172．如图1－5－17，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线l 1分别交平面α、平面β于A 、B 两点，P A ＝6，AB ＝2，引直线l 2分别交平面α、平面β于C 、D 两点，已知BD ＝12，则AC 的长等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】 由l 1∩l 2＝P ，知l 1、l 2确定一个平面γ，⎭⎪⎬⎪⎫由α∩γ＝AC β∩γ＝BD α∥β⇒AC ∥BD ⇒P A PB ＝AC BD . ∴66＋2＝AC12，解得AC ＝9. 【答案】 B3．如图1－5－18所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N 是AD 的中点，若MN ∥平面BDC ，则AM ∶MB ＝________.图1－5－18【解析】∵MN∥平面BDC，MN平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.【答案】1∶14．如图1－5－19所示，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图1－5－19【证明】∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD.同理AB∥EF.∴CD∥EF.一、选择题1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是()①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．②③C．①D．①③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.【答案】 B2．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．【答案】 B图1－5－203．如图1－5－20所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.【答案】 A4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．20【解析】 第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ， 则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD . ∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x . ∴PD PC ＝PB P A.∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24. 【答案】 B5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交【解析】 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.【答案】B图1－5－21二、填空题6．如图1－5－21，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________．【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1平面A 1C 1B ∩平面ABCD ＝l 平面A 1C 1B ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C1⇒l ∥A 1C 1. 【答案】 平行图1－5－227．(2013·宁德高一检测)空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】 ∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ， ∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 8图1－5－238．如图1－5－23，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】 根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交， ∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′， ∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，① △ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】239三、解答题9．如图1－5－24，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．图1－5－24【解】设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．∵A1B∥平面B1CD，且A1B平面A1BC1，∴A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.图1－5－2510．(2013·吉林高一检测)如图1－5－25，直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.图1－5－2611．如图1－5－26，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试探求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明．【解】点E的位置是棱SA的中点．证明如下：如题图，取SA的中点E，连接EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴点O是AC的中点．又E是SA的中点，∴OE是△SAC的中位线．∴OE∥SC.∵SC平面EBD，OE平面EBD，∴SC∥平面EBD.(教师用书独具)如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若P A ＝9，AB ＝12，BQ ＝12，△ACF 的面积为72，求△BDE 的面积．【思路探究】 求△BDE 的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知△ACF 的面积，若△BDE 与△ACF 的对应边有联系的话，可以利用△ACF 的面积求出△BDE 的面积．【自主解答】 ∵平面QAF ∩α＝AF ，平面QAF ∩β＝BE ，又α∥β，∴AF ∥BE .同理可证：AC ∥BD ，∴∠F AC 与∠EBD 相等或互补，即sin ∠F AC ＝sin ∠EBD .由F A ∥BE ，得BE ∶AF ＝QB ∶QA ＝12∶24＝1∶2，∴BE ＝12AF . 由BD ∥AC ，得AC ∶BD ＝P A ∶PB ＝9∶21＝3∶7，∴BD ＝73AC . 又∵△ACF 的面积为72，即12AF ·AC ·sin ∠F AC ＝72. ∴S △DBE ＝12BE ·BD ·sin ∠EBD＝12·12AF·73AC·sin∠F AC＝76·12AF·AC·sin∠F AC＝76×72＝84.∴△BDE的面积为84.直线和直线的平行问题常常转化为直线和平面或平面和平面的平行问题，而直线和平面的平行问题也可以转化为直线和直线或平面与平面的平行问题，故解决空间的平行问题必须熟记有关的判定定理和性质定理进行灵活的转化．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面P AD.【证明】如图所示，取CD的中点E，连接NE，ME，由题意可知NE∥PD，EM∥AD，NE∩EM＝E，PD∩AD＝D，则平面MNE∥平面P AD.又∵MN平面P AD，且MN平面MNE，∴MN∥平面P AD.。
北师大版高中数学必修二《平行关系的性质》...
解：⑴如图，在平面A'C'内，过点P
作直线EF//B'C'， 分别交
D'
F
棱A'B'、C'D'于点E、F， A'
P E
C'
连结BE、CF，
B'
D
C
则EF、BE、CF为 应画的线．
A
B
7
直线与平面平行的性质定理与判定定理的运用: 例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'C'． ⑴要经过面内的一点P和棱BC将木料锯开，应 怎样画线？
探究：如果两个平面平行，两个平面内的直 线有什么位置关系？
借助长方体模型探究 结论:如果两个平面平行，那么两个平面内 的直线要么是异面直线,要么是平行直线.15
探究 :当第三个平 面和两个平行平面 都相交时，两条交 线有什么关系？
β
答:两条交线平行.
α
a
b
下面我们来证明这个结论
16
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝
()
⑶若直线a和平面, 都平行，则
()
⑷若平面外的两条平行直线中的一条平行于这
个平面，则另一条也平行于这个平面． ( )
9
例2 若平面外的两条平行直线中的一条平行于 这个平面，则另一条也平行于这个平面．
已知：直线a、b，平面，且a//b，
求证：b// ．
证明：过a作平面，且
性质定理
a
b
c b//c a//b
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
4、线线平行线面平行面面平行,要注意这 里平行关系的互相转化.
北师大版高中数学必修2课件：1.5.2平行关系的性质(公开课,共16张ppt)
于直线m,则m与A1C1关系为_____ D1
A1
C1 B1
D A
C B
1.5.2 平行关系的性质
永丰中学 陈保进
前面我们知道了如何来判断直线与平面平行，那么， 已知直线和平面平行，我们又能有怎样的结论呢？
探究1:如果直线a∥平面α ，那么直线a与平面 α 内的直线有哪些位置关系？
a
α
平行或异面
探究2:如果直线a∥平面α ，经过直线a的平面与
平面α 相交于直线b，那么直线a、b的位置关系
探究3:若两个平面平行，两个平面内的直线位置 关系如何？
平行或异面
探究4:若α ∥β ，平面α 、β 分别与平面γ 相交 于直线a、b，那么直线a、b的位置关系如何？
γ b β
α
a
平行.
由于两条交线a,b分别 在两个平行平面α ，β 内，所以a与b不相交. 又因为a,b都在同一平 面γ 内，由平行线的定 义可知a∥b.
C
又因为AC∥BD,
α
所以2.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点, 过直线EF作平面α,分别交BD、CD于M、N,求证： EF∥MN.
A
E
F
BM
D
N C
前面学习了如何判定平面与平面平行，反之，在已 知平面与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？
S
若S在α,β之间?
AC
α
AC
α
S
βB
D
βD
B
例4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过 C、M、D1作正方体的截面，则截面的形状是_等__腰__梯_．形
D1 A1
C1 B1
M
D
高中数学必修二《平行关系的性质》教学课件(北师大版)
思考9:若 // ，直线l与平面α相交，那么直线l与平面β
的位置关系如何？
l
α
α
β
β
思考10:若 // ，平面α与平面γ相交，则平面β与平
面γ的位置关系如何？
思考11:若 // ，平面α、β分别与平面γ相交于直线a、b，
那么直线a、b的位置关系如何？为什么？
，那么直线a与平面α内的直线
有哪些位置关系？
a
a
α
α
思考2:若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行 的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
知识探究(二):直线与平面平行的性质定理
思考5:综上分析，在直线与平面平行的条件下可以得到什么 结论？并用文字语言表述之.
定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行.
思考6:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定 理用符号语言可怎样表述？
平行关系的性质
问题提出
1.直线与平面平行和平面与平面平行的判定定理是什么？
定理 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则 这两个平面平行.
2.直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理 解决了直线与平面平行和平面与平面平行的条件问题，反之， 在直线与平面平行和平面与平面平行的条件下，可以得到什 么结论呢？
求证：AB DE
BC EF
A
证明：连结BM、EM、BE.
∵β∥γ，平面ACF分别交β、
γ于BM、CF，∴BM∥CF.∴
AB AM BC MF
B
同理，
北师大版高中数学必修二1.5.2 平行关系的性质
设该平面为β. 则α∩β=CD.
A
B
AB
AB//CD
AC//BD
AB//平面α
C
D
四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
二、两个平面平行的性质 1.问题提出: 两个平面平行，它具有什么性质？
a
a
b
b
// a a // b b
A1 P
C1
（ 2）
EF 面AC EF // 面AC. BC 面AC EF // BC
E D
B1 C B
A
BE、CF显然都和面AC相交.
例2.如图，A, B, C, D在同一平面内, AB//平面α， AC//BD, 且AC, BD与α分别交于点C, D. 求证: AC=BD.
线面平行则线线平行
3.应 用:
例1.如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1. （1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开, 应怎样画线？ （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ （1）在面A1C内,过点P画直线EF, D1 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1 F 于点E、F, 连结BE、CF.
平面ACF∩β=BG 平面ACF∩γ=CF //
A
AD // GE DE
EF AG GF
BG // CF
AB DE .
BC EF
AG AB GF BC
B
G
E
F
C
三、反馈练习 1.如果直线a//α, 直线b , 那么a与b一定平行吗？ 为什么？ 2.已知两条直线m, n及平面α, 判断下面四个命题 是否正确： （1）若m//α, n//α, 则m//n;
高中数学课下能力提升八平行关系的性质北师大版必修212153141
课下能力提升（八）平行关系的性质一、选择题．设，是两条直线，α，β是两个平面，若∥α，β，α∩β＝，则α内与相交的直线与的位置关系是( )．平行．相交．异面．平行或异面．平面α∩平面β＝，平面β∩平面γ＝，平面γ∩平面α＝，若∥，则与，的位置关系是( )．与，都异面．与，都相交．至少与，中的一条相交．与，都平行．下列说法正确的个数为( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．．．．．．如图，是△所在平面外一点，平面α∥平面，α分别交线段，，于′，′，′，若′∶′＝∶，则△′′′与△面积的比为( )．∶．∶．∶．∶．若不在同一直线上的三点、、到平面α的距离相等，且∉α，则( )．α∥平面．△中至少有一边平行于α．△中至多有两边平行于α．△中只可能有一边与α相交二、填空题．如图，正方体中，＝，点为的中点，点在上．若∥平面，则线段的长度等于．．在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是棱上一点，＝，过，，的平面与棱交于，则＝.．如图所示，直线∥平面α，点在α另一侧，点，，∈.线段，，分别交α于点，，.若＝，＝，＝，则＝.三、解答题．如图，棱柱的侧面是菱形，设是上的点且∥平面，求∶的值．．在底面是平行四边形的四棱锥中，点在上，且∶＝∶，如图，在棱上是否存在一点，使∥平面，证明你的结论．答案. 解析：选∥α，与α内的直线没有公共点，所以，与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与平行的直线与平行，α内与相交的直线与异面．. 解析：选如图：∵∥，且γ，γ，∴∥γ，∵α且α∩γ＝，∴∥，∴∥.。
高中数学课下能力提升八平行关系的性质北师大版必修2
高中数学课下能力提升八平行关系的性质北师大版必修2一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面 D．平行或异面2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行3．下列说法正确的个数为( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．44．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则( )A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交二、填空题6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．7．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.8．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.三、解答题9．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．10．在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．答案1. 解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a。
北师大版高中数学必修2课件：1.5.2 平行关系的性质(2)PPT课件
感谢你的阅览
Thank you for reading
温馨提示：本文内容皆为可修改式文档，下载后，可根据读者的需求 作修改、删除以及打印，感谢各位小主的阅览和下载
日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
γ
a
b
α
β
例题讲解
例1、求证: 夹在两个平行平面间的
平行线段相等.
如 图 ,//,A B//C D , A
D
且A,C,
B ,D .
求 证 ： A B C D B
C
例题讲解
证 明 ： 因 为 AB//CD ，
所 以 过 A B ， C D 可 作 平 面 ，
且 平 面 与 平 面 和 分 别 相 交 于 A C 和 B D .
(A) 0 (B) 1 (√C) 0或1 (D) 1或2
2. 平面M∥平面N,直线a M,直线b N,
下面四种情形: (1)a ∥ b (2)a ⊥ b (3)a与b异面 (4)a与b相交
其中可能出现的情形有 ( )
(A)1种 (B) 2种 (√C)3种 (D)4种
例题讲解
例2、如图,设AB、CD为夹在两个平行平面 、
在 B C A 中 ， N M //A C ， N M //平 面
平 面 //平 面
NM/
平 面 P N M //平 面 直 线 M P//平 面 .
课堂小结
1. 复习了平面与平面平行的 概念及判定;
2. 学习并掌握平面与平面平 行的性质.
1.5.2 平行关系（2）
问题引入 1、什么叫两平面平行？
2、两平面平行的判定定理？ 如果一个平面内有两条相交直线分别平 行于另一个平面，那么这两个平面平行. 3、推论: 如果一个平面内的两条相交直线分别平 行于另一个平面内的两条直线,那么这两个 平面平行.
2021—2022数学北师大版必修2课件：第一章平行关系的性质(44张)
D
4.如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF,β∩γ＝AB,AB∥α,则CD 与EF的位置关系为____平__行__．
线面平行的性质定理的应用
1.(1)已知△ABC，△DBC分别在平面α，β内，E∈AB，F∈AC， M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，则EF与BC的位置关系是( ) A．平行 A B．相交或平行 C．平行或异面 D．平行或异面或相交
面面平行的性质定理的应用
在本例中，若P在α与β之间，在第(2)问的条件 下求CD的长．
[方法归纳] 面面平行性质定理的两个主要应用 (1)证明线线平行：利用面面平行的性质定理推出线线平行． (2)判断线面平行：其中一个平面内的任意一条直线平行于另 一个平面．
A
4∶25
平行关系的综合应用
M∈线段HF
思想方法
函数思想在线面平行中的应用
如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对 棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大．
1．如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两线段相等,那么这两条线
段所在直线的位置关系是( )D
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行、相交或异面
2021—2022数学北师大 版必修2课件：第一章平 行关系的性质（44张）
2．例题导读 P32例5.通过本例学习，理解面面平行的性质定理，学会利用 该定理解决立体几何问题，解答本例时要注意分两种情况进 行讨论．
1．直线与平面平行的性质定理
性质 定理
文字语言
如果一条直线与
直线 与平 面平 行
一个平面平行,那 么过该直线的 _面任_与_意_已_一_知_个_平__面平的 交线与该直线平
行
图形语言
符号语言 α∩β＝b
北师大版高中数学必修2课件1.5平行关系的性质课件(数学北师大必修二)
⑹ 若 a ∥ ， a ∥ ，则 ∥ .
二、知识应用： 题型二 线面平行的性质应用
例 2. 一木块如图所示，棱 BC 平行于面 A' C' .⑴ 要经过面 A' C' 内的 一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？⑵ 所画的线与平 面 AC 是什么位置关系？
D’
解：⑴ 过 p 画一条直线与 B C 平行，即可； (2) l∥ B C ， B C ∥面 AC，则 l 平行于面 AC.
第五节·平行关系
5.2 平行关系的性质
一、新课讲授：
1．直线和平面平行的性质
文字语言：直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言：
符号语言： a / / , a ，
= b a / /b .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
c ，∴a∥c．
∵ a∥b，∴b∥c．∵ b ， c ，∴ b ∥ .
二、知识应用： 题型三 面面平行的性质应用
C
例 4. 已知两条异面直线 AB ， CD 与三个平行平面 , , 分别相交于 A, E , B 及 C , F , D .又 AD , BC 与平面的交点为 H , G . A EHFG 求证：四边形 为平行四边形.
⑴ 文字语言：两平面平行，则其中一平面内的任一条直线都 平行于另一平面.
图形语言：
a
符号语言：若 // ， a ，则 a // .
一、新课讲授：
2. 两平面平行的性质
⑵ 文字语言：平面和平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个 平面相交，那么它们的交线平行. 图形语言：
数学北师大版高中必修2平行关系的判定与性质
平行关系的判断与性质直线与平面平行的判定教学目的：（1） 掌握直线与平面平行的定义和判定定理（2） 能运用判定定理解决一些简单的线面平行问题 重难点知识归纳：(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行．(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．符号表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄b a b a //αα 图形表示为：注意：欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面内，二是要证明已知平面内有一条直线与已知直线平行． 例题剖析1，a//平面α，α⊂b ，则（ ）A: a//b B: a 与b 相交 C ： a 与b 异面 D:a 与b 平行或异面 2，下列说法正确的有（ ）个（1）a//b,b 在平面α内，则a//α （2）a//b,b//α,则a//α （3）a//α,b//α,则a//b （4）a//α,b α⊂，则a//b3．如图，E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，求证：EH//平面BCDDAE Hab变式训练：若将上题中条件改为E ，H 分别是AB ，AD 上的三等份点呢？ 考虑E ，H 满足什么条件时，EH//平面BCD4．正方体ABCD 1111D C B A -中E ，G 分别是BC ，11D C 的中点，求证：EG//面B D D B 115．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP=DQ ，求证：PQ//平面ＢＣＥ课堂小结：（1） 直线与平面平行的判定质是用线线平行⇒线面平行（2） 用线面平行判定定理证明线面平行时，a b a b //,,αα⊂⊄三个条件缺一不可 （3） 证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行 作业：同步达标：平行关系的判定（1）平面与平面平行的判定ABCD EG1A1B 1C 1DE重难点知识归纳(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，则两个平面平行．(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．符号表示为：βαββαα////,//,⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂⊂b a A b a b a ．注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行”．(3)平行于同一平面的两个平面互相平行．即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫例题剖析1．M 、N 、P 为三个不重合的平面，a 、b 、c 为三条不同直线，则下列命题中，不正确的是（ ）①b ac b c a //////⇒⎭⎬⎫ ②b a P b P a //////⇒⎭⎬⎫③N M N c M c //////⇒⎭⎬⎫ ④N M P N P M //////⇒⎭⎬⎫ ⑤M a c a M c //////⇒⎭⎬⎫ ⑥M a P a P M //////⇒⎭⎬⎫ A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③ 2．已知,,,//βαβα⊂⊂b a 则（ ）αβa bpA ：a 与b 不共面B ： a 与b 不相交C ：a 与b 不平行D ： a 与b 不异面3．已知正方体ABCD-1111D C B A 中，如图所示，求证：平面11D AB //平面1BDC ．4．在底面为下三角形的斜三棱柱111C B A ABC 中，D 为AC 中点，E 在CB 的延线上，求证：面AEB 1//面DB 1C5．已知四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形。
高中数学学案北师大版必修2 平行关系的性质 教案
教学设计5．2平行关系的性质导入新课思路1.(情境导入)三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何呢？下面我们讨论平面与平面平行的性质问题．思路2.(直接导入)前面学习了平行关系的判定,本节我们学习平行关系的性质,教师点出课题．推进新课新知探究提出问题①回忆空间两条直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行,探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两条直线的位置关系．问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力．问题③引导学生进行语言转换．问题④引导学生用排除法．问题⑤引导学生找出应用的难点．问题⑥鼓励学生总结,教师归纳．讨论结果:①空间两条直线的位置关系:相交、平行、异面．②若一条直线与一个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以,该直线与平面内直线的位置关系还有两种,即平行或异面．怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)？经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．这个定理用符号语言可表示为:⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a ∥b . 这个定理用图形语言可表示为:如图1.图1④已知a ∥α,a ⊂β,α∩β＝b .求证:a ∥b.⑤应用线面平行的性质定理的关键是:过这条直线作一个平面．⑥应用线面平行性质定理的要诀:“见到线面平行,先过这条直线作一个平面找交线．” 提出问题①利用空间模型探究:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？②回忆线面平行的性质定理,结合模型探究线面平行的性质定理. ③用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. ④应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ ⑤应用面面平行的性质定理口诀是什么？讨论结果:①如图2,借助长方体模型,我们看到,B ′D ′所在的平面A ′C ′与平面AC 平行,所以B ′D ′与平面AC 没有公共点．也就是说,B ′D ′与平面AC 内的所有直线没有公共点．因此,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线．图2②直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行．因为,直线B ′D ′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线,只要过B ′D ′作平面BDD ′B ′与平面AC 相交于直线BD ,那么直线B ′D ′与直线BD 平行．如图3.图3③两个平面平行的性质定理用文字语言表示为:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行．两个平面平行的性质定理用符号语言表示为:⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b . 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为:如图4.图4④应用面面平行的性质定理的难点是:过某些点或直线作一个平面．⑤应用面面平行性质定理的口诀:“见到面面平行,先过某些直线作两个平面的交线．”应用示例思路1例1 如图5,A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α,AC ∥BD ,且AC ,BD 与α分别交于点C ,D ,求证:AC ＝BD.图5证明:连接CD .因为A ,B ,C ,D 在同一平面内,AB ∥平面α, 所以AB ∥CD .又因为AC ∥BD ,所以四边形ABCD 是平行四边形． 因此AC ＝BD .点评:已知线面平行时,常用到线面平行的性质定理. 变式训练已知AB ,CD 为异面线段,E ,F 分别为AC ,BD 中点,过E ,F 作平面α∥AB .求证:CD ∥α.证明:如图6,连接AD 交α于G ,连接GF ,图6∵AB ∥α,面ADB ∩α＝GF ⇒AB ∥GF . 又∵F 为BD 中点, ∴G 为AD 中点．又∵AC ,AD 相交,确定的平面ACD ∩α＝EG ,E 为AC 中点,G 为AD 中点,∴EG ∥CD .⎭⎪⎬⎪⎫EG ⊂αCD ⊄αEG ∥CD ⇒CD ∥α. 例2 如图7,平面α,β,γ两两平行,且直线l 与α,β,γ分别相交于点A ,B ,C ,直线m 与α,β,γ分别相交于点D ,E ,F ,AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3.求DE 的长．图7解:连接DC .设DC 与β相交于点G ,则平面ACD 与α,β分别相交于直线AD ,BG ,平面DCF 与β,γ分别相交于直线GE ,CF .因为α,β,γ两两平行, 所以BG ∥AD ,GE ∥CF .因此AB BC ＝DG GC ,DG GC ＝DE EF .所以AB BC ＝DE EF .又因为AB ＝6,BC ＝2,EF ＝3,所以DE ＝9.点评:本题利用面面平行得到线线平行,从而得到线段成比例. 变式训练如图8,平面α∥平面β,平面γ与α交于直线a ,γ与β交于直线b ,直线c 在β内,且c ∥b .图8(1)判断c与α的位置关系,并说明理由；(2)判断c与a的位置关系,并说明理由．答案:(1)c∥α；(2)c∥a.(理由略．)思路2例1 求证:如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.图9解:已知:如图9,a∥b,a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.求证:c∥a∥b.证明:变式训练求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线与这两个相交平面的交线平行．图10解:已知:如图10,a∥α,a∥β,α∩β＝b.求证:a∥b.证明:如图10,过a作平面γ,δ,使得γ∩α＝c,δ∩β＝d,那么有点评:本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程．这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 已知:a ,b 是异面直线,a ⊂平面α,b ⊂平面β,a ∥β,b ∥α. 求证:α∥β.证明:如图11,在b 上任取点P ,显然P ∉a .于是a 和点P 确定平面γ,且γ与β有公共点P.图11设γ∩β＝a ′,∵a ∥β.∴a ′∥a .∴a ′∥α.这样β内相交直线a ′和b 都平行于α,∴α∥β.知能训练1．如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．图12解:已知:α∥β,γ∥β,求证:α∥γ.证明:如图12,作两个相交平面分别与α,β,γ交于a ,c ,e 和b ,d ,f ,⎭⎬⎫α∥β⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ∥cb ∥d β∥γ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ c ∥ed ∥f⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥e ⇒a ∥γb ∥f ⇒b ∥γ⇒α∥γ. 点评:欲将面面平行转化为线线平行,先要作平面． 2．如图13,EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,求证:BD ∥面EFGH ,AC ∥面EFGH .证明:∵四边形EFGH 是平行四边形⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥FGFG ⊂面BDC EH ⊄面BDC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫EH ∥面BDCEH ⊂面ABD 面ABD ∩面BDC ＝BD图13⎭⎪⎬⎪⎫⇒EH ∥BDEH ⊂面EFGH BD ⊄面EFGH ⇒BD ∥面EFGH . 同理,可证AC ∥面EFGH .拓展提升如图14,两条异面直线AB ,CD 与三个平行平面α,β,γ分别相交于A ,E ,B 及C ,F ,D ,又AD ,BC 与平面的交点为H ,G .求证:四边形EHFG 为平行四边形．图14证明:⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ∩α＝AC 平面ABC ∩β＝EG α∥β⇒AC ∥EG .同理,AC ∥HF .⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥EG AC ∥HF ⇒EG ∥HF .同理,EH ∥FG .故四边形EHFG 是平行四边形．课堂小结1．线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决立体几何中平行关系的关键． 2．学会作辅助线,特别是利用平行关系的性质作辅助线．作业习题1—5 B 组第2,3题．设计感想本节教学设计注重培养学生直觉感知和应用能力，在实际教学中，可选择使用例题和练习题．备课资料备用习题1．如图15，P 是△ABC 所在平面外的一点，A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PCA ，△P AB 的重心．图15(1)求证：平面ABC ∥平面A ′B ′C ′； (2)求△A ′B ′C ′与△ABC 的面积之比．证明：(1)连接P A ′，PB ′，PC ′并延长交BC ，AC ，AB 于D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF .∵A ′，C ′分别是△PBC ，△P AB 的重心， ∴P A ′＝23PD ，PC ′＝23PF .∴A ′C ′∥DF .∵A ′C ′⊄平面ABC ，DF ⊂平面ABC ， ∴A ′C ′∥平面ABC .同理，A ′B ′∥平面ABC .又A ′C ′∩A ′B ′＝A ′，A ′C ′、A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，∴平面ABC ∥平面A ′B ′C ′.(2)由(1)知A ′C ′23DF ，又DF 12AC ，∴A ′C ′13AC . 同理，A ′B ′13AB ，B ′C ′13BC .∴△A ′B ′C ′∽△ABC . ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝1∶9.2．已知：如图16，α∥β，AB ∥CD ，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.图16求证：AB＝CD.证明：∵AB∥CD，∴过AB，CD的平面γ与平面α和β分别交于AC和BD.∵α∥β，∴BD∥AC.∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB＝CD.3．如图17，已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，E，F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β.图1图18证明：当AB，CD共面时，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD.∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EF∥AC.∵ACα，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.当AB，CD异面时，如图18，∵E CD，∴可在平面ECD内过点E作C′D′∥CD，与α，β分别交于C′，D′.平面AC′BD′∩α＝AC′，平面AC′BD′∩β＝BD′，∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中点，∴E也是C′D′的中点．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E，F分别为C′D′，CD的中点，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CC′α，EFα，∴EF∥α.同理，EF∥β.(设计者：释翠香)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课下能力提升（八）平行关系的性质
一、选择题
1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )
A．平行B．相交
C．异面 D．平行或异面
2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c 与a，b的位置关系是( )
A．c与a，b都异面
B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交
D．c与a，b都平行
3．下列说法正确的个数为( )
①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC 于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( )
A．2∶5 B．3∶8
C．4∶9 D．4∶25
5．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则( ) A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
二、填空题
6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥
平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．
7．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a 3
，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________. 8．如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD 分别交α于点E ，F ，G .若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.
三、解答题
9．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．
10．在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．
答 案
1. 解析：选C a ∥α，a 与α内的直线没有公共点，所以，a 与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b 平行的直线与a 平行，α内与b 相交的直线与a 异面．
2. 解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ，
∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .
3. 解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．
4. 解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，
从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425
. 5. 解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故
△ABC 中至少有一边平行于α.
6. 解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所
以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC 的中点，由中位线定理可得：EF ＝12
AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22，所以EF ＝ 2. 答案： 2
7. 解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ，
∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a 3
， 故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3
. 答案：22a 3
8. 解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD .
因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ，
所以a ∥EG ，即BD ∥EG . 所以AF AC ＝AE AB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD . 于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209
. 答案：209
9. 解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，
且A1B 平面A1BC1，
所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，
所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.
10. 解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，
则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，
∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O. ∵ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点．
∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，
同理FM∥平面AEC.
又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.
又BF 平面BMF，
∴BF∥平面AEC.。