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第一章角的概念推广、象限角及其表示-【新】北师大版高中数学必修第二册PPT全文课件
解得1294≤k<6274.
又k∈Z,所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°; 当k=2时,β=795°.
第一章角的概念推广、象限角及其表 示-【新 】北师 大版高 中数学 必修第 二册PP T全文 课件【 完美课 件】
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激趣诱思
知识点拨
微思考1 60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系? 提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°, 420°=60°+360°,780°=60°+2×360°. 微思考2 如何表示与60°终边相同的角的集合? 提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接 判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基 本概念才能作出正确的判断.
探究三
当堂检测
反思感悟 象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的 表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首 先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终 边所在的位置.
又k∈Z,所以k=1,或k=2. 当k=1时,β=435°; 当k=2时,β=795°.
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激趣诱思
知识点拨
微思考1 60°,-660°,-300°,420°,780°的角的终边有什么关系? 提示相同.-660°=60°-2×360°,-300°=60°-360°, 420°=60°+360°,780°=60°+2×360°. 微思考2 如何表示与60°终边相同的角的集合? 提示S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 概念辨析问题的求解方略 对于概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,二是利用定义直接 判断.本题需要准确理解象限角、锐角、钝角、终边相同的角等基 本概念才能作出正确的判断.
探究三
当堂检测
反思感悟 象限角的判定 1.已知一个角的大小判断其所在象限时,可先根据终边相同的角的 表示方法,找到在[0°,360°)内与之终边相同的角,再确定其象限. 2.已知角的终边所在的象限,求待求角的终边所在的位置时,通常首 先根据所给已知角的范围,得到待求角的范围,然后判断待求角终 边所在的位置.
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟 利用正切函数图象解决不等式的解决方法
解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量
的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周
期为π.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练 2(1)求满足- 3<tan x≤1 的 x 的集合;
7.3
正切函数的图象与性质
-1-
课标阐释
1.能够正确画出正切函数的图象.(数学抽象)
2.会通过正切函数的图象研究其性质.(逻辑推理)
3.能运用正切函数图象与性质解决问题.(数学运算)
思维脉络
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、
测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.同学们,你能够类
2
是全体实数.
2.正切函数 y=tan x 的最小正周期是 π.一般地,函数
π
y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期是 T= .若不知 ω 正负,则该
π
函数的最小正周期为 T= .
||
3.正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是单调递增的,
并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间.
1
tan
答案-5
(- )
=- tan α+
1
tan
=-5.
.
2π
=-tan 5 ,
3π
>tan -
12π
5
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第一章-§7正切函数
17
.
5
6
＝ .
∵ - 2 < 6 < 4 < 2 ，且＝tan x在区间 − 2 ， 2 上单调递增，∴ 6 < 4 ，即tan −
11
4
>tan −
17
6
.
高中数学
必修第二册
北师大版
<3>求单调区间
例5
求函数＝tan
解：＝tan
π
3
π
3
− 2 的单调递减区间.
（2）原式＝tan ·
−2tan
3
3
2
2
+ 3×
＝ −tan2 ＝ tan .
3
1
4
＝
+1＝
.
3
3
3
高中数学
必修第二册
北师大版
跟踪训练
求值：
tan
1+tan
π
π
π
7
2
−tan
4
3
4
− 3 ·tan
π
π.
−4
π
π
π−π3
−tan 4 +tan 3
＝
π ＝
π+π3 tan π4
1+tan 3
（2）角 ≠ π +
π
2
sin
，这是同角三角函数的基本关系.
cos
的正弦、余弦、正切之间的关系为tan ＝
（3）由正切函数的定义域可知，角的终边不能在轴上.
高中数学
必修第二册
北师大版
二、正切函数的诱导公式
正切函数的诱导公式可由正弦函数、余弦函数相应的诱导公式得到：
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
解在平面内任取一点 O,作向量=a,=b,则向量 a-b=,再作向
量=c,则向量=a-b-c.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
向量的减法运算
例2化简下列各式:
(1)( + )+(- − );
(2) − − .
解(1)原式= + + + =( + )+( + )= +
起点相同时,可以考虑用减法.
事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和,即
= + 以及 = − (M,N 是同一平面内任意一点).
课堂篇探究学习
探究一Biblioteka 探究二探究三探究四
探究五
当堂检测
变式训练4如图,解答下列各题:
(1)用 a,d,e 表示;
(2)用 b,c 表示;
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练 3 已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足 +
= ,则下列结论正确的是(
A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在直线上
D.点P在△ABC的外部
)
解析由 + = ,可得 = − = ,
(1)两个相等向量之差等于0.(
)
(2)两个相反向量之差等于0.(
)
(3)两个向量的差仍是一个向量.(
)
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.(
答案(1)√ (2)× (3)√ (4)√
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
3π
D. 24
解析由题意知,g(x)=cos 2x+4 =sin 2x+ 4 ,其图象向左平移 a 个
3π
单位得到函数 f(x)=sin 2x+2a+
3π
π
5π
4
π
,而函数 f(x)=sin 2x+3 ,所以有
19π
2a+ 4 = 3 +2kπ,则 a= +2kπ(k∈Z),取 k=1 得 a= 24 .故选 C.
专题二
专题三
π
(3)已知|x|≤ ,求函数 y=f(x)=-sin2x+sin x+1 的最小值.
4
π
2
2
解令 t=sin x.因为|x|≤4 ,所以- 2 ≤sin x≤ 2 .
所以
y=-t2+t+1=-
-
2
1 2
2
π
+
5
4
-
2
2
≤≤
2
2
.
所以当 t=- ,即 x=- 时,f(x)有最小值,且最小值为
2
单调性:有递增和递减区间
π
π + 2 -
π-
对称性:对称中心
,0 (∈Z),对称轴 =
(∈Z)
实际应用:在生活、建筑、物理、航海等方面的应用
题型突破深化提升
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数的求值与化简
例1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),求
sin (4π-)cos (3π+)cos
章末整合
-1-
知识网络系统构建
角:一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角
高中高中数学北师大版必修二课件第一章 立体几何初步§5 5-1精选ppt课件
定理
平面平表 行示的判定定理，直并线知与道平其面地平位 行和 的判 作定 用定 ．理(重点、易错点)
3．能运用直线与若平面平行一、条平直面线与与平 此面平行的 的一判条定直定线理证明，空则间该线面关
Hale Waihona Puke 文字叙述系．(难点)
直线与此平面平行
平面外
平面内
平行
能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( l∥b )
∵E 为 PB 的中点， ∴EH∥AB，EH＝12AB， 又∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴EH∥CD，EH＝CD， ∴四边形 DCEH 是平行四边形，∴CE∥DH. 又∵DH 平面 PAD，CE⊆ / 平面 PAD，
∴CE∥平面 PAD.
[再练一题] 1．如图 1-5-2，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
又∵SB 平面 BDD1B1，
EG⊆/ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
探究2 在上述问题中，能否证明平面EFG∥平面BDD1B1?
【提示】
能．连接 SD，
∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，
∴FG∥SD如.图 1-5-6，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别又 是∵ ABS，D PC平的面中B点D．D1B1，
∴AM∥DF. 又 AM⊆/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB，
∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另 一个平面．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先 在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
平面平表 行示的判定定理，直并线知与道平其面地平位 行和 的判 作定 用定 ．理(重点、易错点)
3．能运用直线与若平面平行一、条平直面线与与平 此面平行的 的一判条定直定线理证明，空则间该线面关
Hale Waihona Puke 文字叙述系．(难点)
直线与此平面平行
平面外
平面内
平行
能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( l∥b )
∵E 为 PB 的中点， ∴EH∥AB，EH＝12AB， 又∵AB∥CD，AB＝2CD， ∴EH∥CD，EH＝CD， ∴四边形 DCEH 是平行四边形，∴CE∥DH. 又∵DH 平面 PAD，CE⊆ / 平面 PAD，
∴CE∥平面 PAD.
[再练一题] 1．如图 1-5-2，四边形 ABCD 是平行四边形，S 是平面 ABCD 外一点，M 为 SC 的中点，求证：SA∥平面 MDB.
又∵SB 平面 BDD1B1，
EG⊆/ 平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
探究2 在上述问题中，能否证明平面EFG∥平面BDD1B1?
【提示】
能．连接 SD，
∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，
∴FG∥SD如.图 1-5-6，已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别又 是∵ ABS，D PC平的面中B点D．D1B1，
∴AM∥DF. 又 AM⊆/ 平面 EFDB，DF 平面 EFDB，
∴AM∥平面 EFDB. 又∵AM∩MN＝M， ∴平面 MAN∥平面 EFDB.
1．要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另 一个平面．
2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先 在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
北师大版（）高中数学必修第二册ppt(22份)
图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经
过的某些关键点是否包含.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
1
变式训练 3 判断方程 sin x=-2,x∈[0,2π]根的个数.
1
解画出 y=sin x 和 y=-2在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知
(1)列表:
x
0
y=sin x
y=Asin x+b
0
b
2
1
A+b
0
b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),
3π
2
3
2
π
-1
-A+b
π
2
, + ,(π,b),
,- + ,(2π,b)五个点.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
2π
0
b
课堂篇探究学习
探究一
探究二
3
(1)y=
1-2sin
;
(2)y= 2sin + 1.
1
解(1)要使函数式有意义,需 1-2sin x≠0,即 sin x≠2,而在[0,2π]上有
π
1
5π
1
sin 6 = 2,sin 6 = 2,故该函数的定义域为
π
5π
x x≠6 +2kπ,且 x≠ +2kπ,k∈Z .
6
1
π 3π
2
2
(2)由题意知 2sin x+1≥0,sin x≥- .因为在一个周期 - ,
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经
过的某些关键点是否包含.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
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探究五
探究六
当堂检测
1
变式训练 3 判断方程 sin x=-2,x∈[0,2π]根的个数.
1
解画出 y=sin x 和 y=-2在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知
(1)列表:
x
0
y=sin x
y=Asin x+b
0
b
2
1
A+b
0
b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),
3π
2
3
2
π
-1
-A+b
π
2
, + ,(π,b),
,- + ,(2π,b)五个点.
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
2π
0
b
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3
(1)y=
1-2sin
;
(2)y= 2sin + 1.
1
解(1)要使函数式有意义,需 1-2sin x≠0,即 sin x≠2,而在[0,2π]上有
π
1
5π
1
sin 6 = 2,sin 6 = 2,故该函数的定义域为
π
5π
x x≠6 +2kπ,且 x≠ +2kπ,k∈Z .
6
1
π 3π
2
2
(2)由题意知 2sin x+1≥0,sin x≥- .因为在一个周期 - ,
2020最新北师大版高一数学必修第二册(2020版)电子课本课件【全册】
第一章 三角函数
2020最新北师大版高一数学必修第 二册(2020版) 第二册(2020版)电子课本课件【
全册】目录
0002页 0004页 0006页 0008页 0010页 0012页 0014页 0016页 0018页 0020页 0022页 0024页 0026页 0028页 0030页 0032页 0034页
第一章 三角函数 2 任意角 2.2 象限角及其表示 3.1 弧度概念. 4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 诱导公式与旋转 5.1 正弦函数的图象与性质再认识 6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象 6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 7 正切函数 7.2 正切函数的诱导公式 8 三角函数的简单应用 1 从位移、速度、力到向量 1.2 向量的基本关系 2.1 向量的加法 3.1 向量的数乘运算
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
1
1
DM=2MC,BN=2BC,则 ·=
.
解析以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐
标系(图略),则 A(0,0),M(1,2),N(3,1),所以=(1,2),=(3,1),所以
·=1×3+2×1=5.
答案5
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-1),
所以 a-2b=(-5,4),
|a|= 2 + 2 .
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
(1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±
(2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±
1
02 +02
1
02 +02
·
(x0,y0);
·
(-y0,x0).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练 2 若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为
|c+td|= (2 + 4)2 + (-3)2 = √5 2 + 10 + 25,
5+5
√2
因此可得 =
,解得
2
1
DM=2MC,BN=2BC,则 ·=
.
解析以 A 为原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐
标系(图略),则 A(0,0),M(1,2),N(3,1),所以=(1,2),=(3,1),所以
·=1×3+2×1=5.
答案5
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探究一
探究二
探究三
)
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探究一
探究二
探究三
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
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解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-1),
所以 a-2b=(-5,4),
|a|= 2 + 2 .
2.与已知向量垂直或平行的单位向量
(1)与向量(x0,y0)平行的单位向量是±
(2)与向量(x0,y0)垂直的单位向量是±
1
02 +02
1
02 +02
·
(x0,y0);
·
(-y0,x0).
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变式训练 2 若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a+b|的最小值为
|c+td|= (2 + 4)2 + (-3)2 = √5 2 + 10 + 25,
5+5
√2
因此可得 =
,解得
2
最新北师大版高一数学必修2电子课本课件【全册】
最新北师大版高一数学必修2电 子课本课件【全册】目录
0002页 0061页 0085页 0094页 0140页 0170页 0213页 0227页 0262页 0264页 0317页 0367页 0369页 0394页 0452页 0454页 0524页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.1平行关系的判定 习题1-5 6.1垂直关系的判定 习题1—6 7.1简单几何体的侧面积 7.3球的表面积和体积 阅读材料 蜜蜂是对的 本章小结 第二章 解析几何初步
Hale Waihona Puke 第一章 立体几何初步最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
1.简单几何体
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1.1简单旋转体
最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
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第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.1平行关系的判定 习题1-5 6.1垂直关系的判定 习题1—6 7.1简单几何体的侧面积 7.3球的表面积和体积 阅读材料 蜜蜂是对的 本章小结 第二章 解析几何初步
Hale Waihona Puke 第一章 立体几何初步最新北师大版高一数学必修2电子 课本课件【全册】
1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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5.2.2复数的乘法与除法-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
因此，定义复数的乘法如下：
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
课文精讲
➢ 复数的乘法
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使
用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
典型例题
例1：计算:(-2-i)(3+i).
解：(-2-i)(3+i)
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
(1) (3+2i)(3-2i)；
(2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2 -i) (-2 +i) ；
(4) ( + i) ( - i).
解：(1)(3+2i)(3-2i)=9+4=13；
(2) (2+i)(2-i)=4+1=5 ；
课文精讲
+
−
= .
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=− ，x1x2=.
解： (1)若b2-4ac≥0，则
−+ −
x1=
，
−− −
x2=
.
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
课文精讲
➢ 复数的乘法
在复数的乘方运算中，经常要计算i的
乘方，i的乘方有如下规律：
i0=1， i1=i， i2=−1， i3=−i，···
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
课文精讲
➢ 复数的乘法
在进行复数乘法运算时，实际上不直接使
用乘法法则，而使用多项式乘法法则.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
典型例题
例1：计算:(-2-i)(3+i).
解：(-2-i)(3+i)
思考：
计算下列各式，你发现其中有什么
规律吗？
(1) (3+2i)(3-2i)；
(2) (2+i)(2-i) ；
(3) (2 -i) (-2 +i) ；
(4) ( + i) ( - i).
解：(1)(3+2i)(3-2i)=9+4=13；
(2) (2+i)(2-i)=4+1=5 ；
课文精讲
+
−
= .
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
c∈R，且a≠0)在复数范围内的根x1，x2，
并验证x1+x2=− ，x1x2=.
解： (1)若b2-4ac≥0，则
−+ −
x1=
，
−− −
x2=
.
典型例题
例3：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，
课文精讲
➢ 复数的乘法
在复数的乘方运算中，经常要计算i的
乘方，i的乘方有如下规律：
i0=1， i1=i， i2=−1， i3=−i，···
北师大版（）高中数学必修第二册ppt(22份)
(π,-1).
2.要得到 y=cos x 的图象,只需把 y=sin x 的图象向左平移 2 个单位长
度即可,这是利用诱导公式 cos x=sin x+2 得出.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)函数 y=cos x 的图象与 y 轴只有一个交点.
解(1)列表:
x
0
y=cos x
y=2cos x+3
1
5
π
2
0 -1
3 1
3
2
0
3
ห้องสมุดไป่ตู้
2π
1
5
(2)描点:
在平面直角坐标系中描出(0,5),
π
2
,3 ,(π,1),
3π
2
,3 ,(2π,5)五个点.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
π
3
+ 2π ≤ <
5π
6
+ 2π,∈Z
探究五
探究六
当堂检测
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探究一
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探究四
与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
例5判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
(2)f(x)=sin2 cos2 ;
(3)f(x)=
cos
1-sin
.
探究五
探究六
当堂检测
当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减
北师大版必修二数学全册教学课件
探究点4 棱锥
1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公
共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥.顶点
这个多边形面叫作棱锥的底面. 有公共顶点的各个三角形叫作
S 侧面
棱锥的侧面. 各侧面的公共顶点
叫作棱锥的顶点.
侧棱
D
相邻侧面的公共边叫作
C
棱锥的侧棱.
A底面
B
思考：把“有一个公共顶点”去掉还是棱锥吗？
A 半径
O
B
球 心
5.连接_球__面__上两点并且过_球__心__的线段叫作球的
直径.
旋转体的相关概念 旋转面：一条_平__面__曲__线__绕着它所在的平面内的 一条_定__直__线__旋转所形成的曲面. 旋转体：_封__闭__的旋转面围成的几何体. 【提示】球面是旋转面，球体是旋转体.
探究点2 圆柱、圆锥、圆台
探究点1 球 地球，西瓜，以及足球,篮球等都给我们球的形象.
NBA
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球的相关概念
1.以半圆的_直__径__所__在__的__直__线__为旋转轴，将半圆旋
转所形成的曲面叫作球面.
2._球__面__所围成的几何体叫作球体， 简称球. 3.半圆的_圆__心__叫作球心. 4.连接球心和_球__面__上__任__意__一__点__的 线段叫作球的半径.
轴
（一）圆柱
1.以矩形的一边所在的直线为旋
O′
转轴，其余各边旋转而形成的曲
面所围成的几何体叫作圆柱.
2.旋转轴叫作圆柱的轴. 母线
3.垂直于旋转轴的边旋转而成
侧面
的圆面叫作圆柱的底面. 4.不垂直于旋转轴的边旋转而成 的曲面叫作圆柱的侧面.
O 底面
5.无论转到什么位置不垂直于旋转轴的边都叫作侧面的
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π
π
6
2
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- +
3
∈Z).故选 A.
答案A
(k
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的单调性
例 4 求函数 y=sin
解 y=sin
π
π
3
-2x 的单调递减区间.
π
π
π
π
π
-2x =-sin 2x-3 ,故由 2kπ-2 ≤2x-3 ≤2kπ+2 ,解得 kπ3
φ=- +kπ(k∈Z).
6
2π
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟 正、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正、余弦函
数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看
成一个变量.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令
π
ωx+φ= +kπ(k∈Z),求x.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中
2
心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
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探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
π
变式训练 3 已知函数 f(x)=sin ωx+ 3 (ω>0)的最小正周期为 π,则该
π
6
2
函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x+ =kπ(k∈Z),解得 x=- +
3
∈Z).故选 A.
答案A
(k
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正、余弦函数的单调性
例 4 求函数 y=sin
解 y=sin
π
π
3
-2x 的单调递减区间.
π
π
π
π
π
-2x =-sin 2x-3 ,故由 2kπ-2 ≤2x-3 ≤2kπ+2 ,解得 kπ3
φ=- +kπ(k∈Z).
6
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反思感悟 正、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正、余弦函
数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看
成一个变量.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令
π
ωx+φ= +kπ(k∈Z),求x.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中
2
心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
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π
变式训练 3 已知函数 f(x)=sin ωx+ 3 (ω>0)的最小正周期为 π,则该
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(2)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, , + , −
1
,2 + .
2
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解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以 a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得
m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ=
.
1
解析 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得 λ=2.
D.(-6,-10)
)
解析 = + = − =(-2,-4),故选 A.
答案A
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3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(
1
A.2
B.2
1
C.-2
D.-2
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
1
,2 + .
2
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解(1)因为 a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),
所以 a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得
m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ=
.
1
解析 a+λb=(1+λ,2),由(a+λb)∥c,得(1+λ)×4=3×2,解得 λ=2.
D.(-6,-10)
)
解析 = + = − =(-2,-4),故选 A.
答案A
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探究二
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当堂检测
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为(
1
A.2
B.2
1
C.-2
D.-2
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
北师大版（）高中数学必修第二册课件ppt(22份)
积,该推理不正确,即a·
b=b·
c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般
不成立.这是因为(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量,而a·
(b·
c)表示一个
与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般不成立.
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;
3.a·a=|a|2,即|a|= ·;
4.cos<a,b>=
·
(|a||b|≠0);
||||
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·
是
.
5
解析易知||2=||2+||2,C=90°,cos B=13,
5
所以 cos <, >=cos(180°-B)=-cos B=- .
13
所以 ·=||·||cos(180°-B)
=13×5× -
5
13
答案-25
=-25.
a·b=
.
解析 a·b=|a||b|cos <a,b>=2× 3×cos 30°=2× 3 ×
答案3
3
2
=3.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
二、投影
1.如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,
过点 A 向直线 OB 作垂线,垂足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ
b=b·
c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般
不成立.这是因为(a·
b)·
c表示一个与c共线的向量,而a·
(b·
c)表示一个
与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般不成立.
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;
3.a·a=|a|2,即|a|= ·;
4.cos<a,b>=
·
(|a||b|≠0);
||||
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·
是
.
5
解析易知||2=||2+||2,C=90°,cos B=13,
5
所以 cos <, >=cos(180°-B)=-cos B=- .
13
所以 ·=||·||cos(180°-B)
=13×5× -
5
13
答案-25
=-25.
a·b=
.
解析 a·b=|a||b|cos <a,b>=2× 3×cos 30°=2× 3 ×
答案3
3
2
=3.
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
二、投影
1.如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,
过点 A 向直线 OB 作垂线,垂足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ
2024-2025学年高一数学必修第二册(北师版)教学课件第二章-§4平面向量基本定理及坐标表示
（， ∈ ），则 + 的值是（
1
5
A.-
B.
1
5
2
5
C.-
D.
）
2
5
解题提示：建立适当的直角坐标系，运用向量的坐标运算求解.由题意知，
，，三点共线，则 ＝ ，用 和表示出 ，根据，，三点共线，
可得到的值，整理化简即可得到和的值，从而可得答案.
高中数学
新知学习
一、平面向量基本定理
如果 和 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数1，2 ，
使＝11 + 22.
我们把不共线的向量和叫作表示这一平面向量的一组基，记为{，}.
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5
B.(2 , 2) C.（-1，12）
）
D.（5，4）
解析：因为＝（2，8），＝（-3，4），所以＝-＝（-5，-4）.因为＝，
1
5
即为的中点，所以＝2 ＝(− 2 , −2)，
5
1
所以＝+＝（2，8）+(− 2 , −2)＝(− 2 , 6).
3
∴ ( 2 − 1)+2 +(2 + 2 )( + 2 )＝0，则(4 + 4 − 1)+( + 2 )＝0.
又，不共线，∴{
1
4
3
+ 2 ＝0，
4
＝ − 5 ，
4
解得{
∴
+
＝
.
8
5
＝ 5 .
+ 4 − 1＝0，
1
5
A.-
B.
1
5
2
5
C.-
D.
）
2
5
解题提示：建立适当的直角坐标系，运用向量的坐标运算求解.由题意知，
，，三点共线，则 ＝ ，用 和表示出 ，根据，，三点共线，
可得到的值，整理化简即可得到和的值，从而可得答案.
高中数学
新知学习
一、平面向量基本定理
如果 和 是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数1，2 ，
使＝11 + 22.
我们把不共线的向量和叫作表示这一平面向量的一组基，记为{，}.
若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
5
B.(2 , 2) C.（-1，12）
）
D.（5，4）
解析：因为＝（2，8），＝（-3，4），所以＝-＝（-5，-4）.因为＝，
1
5
即为的中点，所以＝2 ＝(− 2 , −2)，
5
1
所以＝+＝（2，8）+(− 2 , −2)＝(− 2 , 6).
3
∴ ( 2 − 1)+2 +(2 + 2 )( + 2 )＝0，则(4 + 4 − 1)+( + 2 )＝0.
又，不共线，∴{
1
4
3
+ 2 ＝0，
4
＝ − 5 ，
4
解得{
∴
+
＝
.
8
5
＝ 5 .
+ 4 − 1＝0，
新版高中数学北师大版必修2课件：第一章立体几何初步 1.5.1.1
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型一 线面位置关系的判断
【例1】 对于不重合的两条直线m,n和平面α,下列说法正确的是 ()
A.如果m⫋α,n⊈α,m,n是异面直线,那么n∥α B.如果m⫋α,n⊈α,n∥m,那么n∥α C.如果m⫋α,n⊈α,m,n是异面直线,那么n与α相交 D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
正解:对于①,因为截面PQMN是正方形,所以PQ⊥QM,由三角形
的中位线性质可得PQ∥AC,QM∥BD.所以由PQ⊥QM,可得AC⊥BD,
故①正确;对于②,在△ABC中,P,Q是中点,所以PQ∥AC,可得AC∥截
面PQMN,故②正确;对于③,因为截面PQMN为正方形,所以QM=MN,
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
名师点拨直线与平面的位置关系有两种分类方法: 直线和 ——无公共点
平面平行
①按公共点个数分类
直线和
有且只有
——
直线和平 平面相交 一个公共点
面不平行 直线在——有无数个公共点 平面内
直线在平面内
②按是否在平面内分类 直线不在 直线和平面相交
平面内 直线和平面平行
答案:①②③⑤
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练3】 如图所示,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线
段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系
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最新北师大版高一数学必修2全 册课件【完整版】目录
0002页 0068页 0111页 0120页 0181页 0247页 0302页 0355页 0412页 0438页 0509页 0556页 0600页 0616页 0640页 0688页 0710页
第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
最新北师大版高一数学必修2全册 课件【完整版】
1.简单几何体
最新北师大版高一数学必修2全册 课件【完整版】
1.1简单旋转体
最新北师大版高一数学必修2全册 课件【完整版】
1.2简单多面体
最新北师大版高一数学必修2全册 ห้องสมุดไป่ตู้件【完整版】
习题1—1
最新北师大版高一数学必修2全册 课件【完整版】
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第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
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1.1简单旋转体
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习题1—1
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