《博弈论及其在管理中的应用》问题

2013-2014(II)《博弈论及其在管理中的应用》问题第I部分A1.（1）《孙子兵法》与《孙膑兵法》出自什么年代？（2）作者是谁？（3）说出“知彼知己，百战不殆”、“不战而屈人之兵，善之善者也”、“上屋抽梯”及“围魏救赵”这四个成语和典故的出处。

（4）以上四个成语中选出至少一个从博弈论及企业管理的角度解释其含义及现实意义。

（20分）A2.（1）现代博弈理论——非合作博弈的纳什均衡理论是在什么年代建立的？（2）纳什均衡理论的创立者是谁？他的贡献主要体现在哪些方面？他因什么获得经济学诺贝尔奖？A3（1）试述由两个人两个策略集合组成博弈的纳什均衡的定义（写出两个不等式）。

（2）纳什均衡与划线法及反应函数法之间有什么关系？（20分）第II部分B1.囚徒困境。

（20分）B2智猪博弈（Boxed Pigs Game）（20分）假设猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一端有一个猪食槽，另一端安装了一个按钮，控制猪食的供应。

按一下按钮，将有10个单位的猪食进入猪食槽，供两头猪食用。

两头猪面临两个策略的选择：自己去按按钮或等待另一头猪去按按钮。

如果某一头猪做出自己去按按钮的选择，它必须付出如下代价：第一，它需要消耗相当于2个单位的成本；第二，由于猪食槽远离按钮，它将比另一头猪后到猪食槽，从而减少吃食的数量。

假定：若大猪先到（小猪按按钮），大猪将吃到9个单位的猪食，小猪只能吃到１个单位的猪食；若小猪先到（大猪场按按钮），大猪将吃到6个单位的猪食，小猪吃到４个单位的猪食；若两头猪同时按按钮，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食；若两头猪同时到（两头猪都选择等待），则两头猪都吃不到猪食。

如表1所示，对应不同战略组合的支付水平，如两头猪同时按按钮，同时到达猪食槽，大猪吃到7个单位的猪食，小猪吃到３个单位的猪食，扣除2个单位的成本，支付水平分别为5和1。

其他情形可以类推。

问题：两头猪如何选择各自的最优战略？B3两人定和博弈（Constant-Sum Game）两人定和博弈得益矩阵如表2，求解该模型。

B4. 爱情博弈。

B5. 狩猎博弈。

参与人是两个猎人，他们的行动是同时选择猎鹿或者猎兔。

规则是：若两人同时猎鹿则鹿被猎到且两人平均分配鹿的价值（10元）；若两人同时猎兔则每人各获得价值1元的兔；若一人猎兔而另一人猎鹿则兔被抓到但鹿跑掉。

该博弈的得益矩阵如表3，求解该模型。

B6.益矩阵如表4，求解该模型。

B7. 过桥博弈B8. 剪刀布锤博弈B9. 两人博弈: 甲乙两人博弈，甲有U 和D 两种策略，乙有L 和R 两种策略，(1) 若甲采取U 策略,乙采取L 策略,则甲乙得益分别为a 和b ，记为：(a ，b)；(2) 若甲采取U 策略,乙采取R 策略,则甲乙得益分别为c 和d ，记为：(c ，d)；(3) 若甲采取D 策略,乙采取L 策略,则甲乙得益分别为e 和f ，记为：(e ，f)；(4) 若甲采取D 策略,乙采取R 策略,则甲乙得益分别为g 和h ，记为：(g ，h)。

问：(i) (U ，L)和(D ，R)为纯策略纳什均衡的条件是什么？(ii) 在(i)的条件下求该问题的混合策略纳什均衡。

（20分）第III 部分C1.库诺特模型（20分）C2.产量决策静态博弈模型（20分）假设：(a)某一市场上有三家企业，他们生产同一类产品用来满足该市场上顾客的需求；(b) 三家企业生产相同质量的产品；(c)用i q 代表企业i 的生产批量，3,2,1=i ，∑==31i i q Q 表示市场上总产品数，)(Q V P =代表逆需求函数(P 是市场出清价格，即三家企业生产的产品能全部销售)。

(d)假设三家企业的生产都无固定成本，企业i 的成本函数i i i q c q C ⋅=)(，3,2,1=i ， 2)(bQ a Q V -=(改为一次方)，0>a ，0>b ；(e)三家企业同时决策各自产品的生产批量；(f) 三家企业对彼此的生产成本相互了解（完全信息）。

问题：(i)这三家企业如何决定各自产品的生产批量？他们获得的利润分别是多少？(ii) 如果这三家企业合并成一家企业，则合并后企业如何决定产品的生产批量？合并后企业获得的利润是多少？(iii)试对这三家企业合并前后两种情形下的生产批量和利润进行比较，比较结果给人们什么样的启示？C3. 斯坦克尔伯格模型(Stackelberg model)假设：(a)有两个参与人,分别称为企业1和企业2，他们生产单类产品用来满足市场上顾客需求； (b)两家企业生产相同质量的产品；(c)用i q 表示企业i 的生产批量，)(21q q a P +-=代表逆需求函数(P 是价格)，0>a ；(d)该模型分两个阶段，第一阶段，企业1 (A Leader)先决策生产批量1q ，第二阶段，企业2(A Follower)根据企业1的生产批量1q 决策自己的生产批量2q ；(e)两企业的生产都无固定成本，成本函数记为i i i i q c q C ⋅=)(，2,1=i ；(f)两家企业对彼此的生产成本相互了解（完全信息），并且了解博弈的进程（完美回忆）。

问题：企业1和企业2如何决策各自的生产批量？他们获得的利润分别是多少？C4.讨价还价博弈甲、乙两人就如何分享10000元现金进行谈判，规则如下：甲先提出一个分割比例，乙选择接受或拒绝；如果乙拒绝甲的方案，则他自己提出另一个方案,让甲选择接受或拒绝……如此循环,直到任何一方接受对方提出的方案，博弈结束。

从一方提出一个方案开始到另一方选择是否接受为止为一个回合。

讨价还价每多进行一个回合，双方利益打一个折扣δ(10<<δ)，称为“消耗系数”。

第一回合，甲的方案是自己得1S ，乙得110000S -,乙可以选择接受或拒绝，接受则双方得益分别为1S 和110000S -，谈判结束，若乙拒绝，则开始下一个回合；第二回合，乙的方案是甲得2S ,自己得210000S -，由甲选择是否接受,接受则双方得益分别为2S δ和)10000(2S -δ，谈判结束，若甲不接受，则开始下一个回合；第三回合，甲提出自己得S ，乙得10000-S ，此时乙必须接受，双方实际得益分别为S 2δ和)10000(2S -δ。

问题：(i)对有三个回合的问题，甲、乙如何决定各自的谈判策略？(ii) 对有无限次回合的问题，求在第一回合甲的方案自己得1S 的具体表达式。

C5.供应链博弈(产量决策)考虑由两个供应商和一个零售商组成的供应链系统，其中两个供应商是生产相同（可替代）产品的生产商，这两个供应商竞争同一个零售商。

假定供应商的生产能力没有限制，从订购货物开始到货物到达零售商手中的时间(提前期，Lead time)不计，采用供应商管理库存策略。

供应商i 决定生产供应给零售商产品的产量i q ，2,1=i ，它们生产单位产品的成本为c ，不考虑固定成本，供应商和零售商按一定比例（供应商β和零售商β-1）分配从市场上获得利润。

零售商面对的市场是确定的，市场价格为)(21q q b a P +-=，0,0>>b a 。

假定两个供应商对彼此的生产成本相互了解，对博弈的进程也相互了解。

问题：(i) 求供应链集中系统（三家企业视为一家企业）的解；(ii) 求在两个供应商同时决策下求两个供应商纳什均衡解（供应链分散系统的解）；(iii) 试对供应链集中系统和分散系统的解进行比较；(iv) 求在两个供应商先后决策下求两个供应商Stackelberg 均衡解（供应链分散系统的解）。

C6.供应链博弈(价格决策)考虑由一个供应商和一个零售商组成的供应链系统。

假定供应商的生产能力没有限制，从订购货物开始到货物到达零售商手中的时间(提前期，Lead time)不计。

供应商决定供应给零售商产品的批发价w 。

零售商面对的市场是确定的，市场需求为bp a q -=，0,0>>b a ，其中m w p +=为市场价格，m 为零售商获得的边际利润，零售商决定边际利润m 。

假定供应商生产单位产品的成本为c ，不考虑固定成本，两个供应商对彼此的生产成本相互了解，对博弈的进程也相互了解。

供应商的利润)]()[(),(m w b a c w m w J s +--=零售商的利润)]([),(m w b a m m w J r +-=问题：(i) 求供应链集中系统（三家企业视为一家企业）的解；(ii) 求在两个供应商同时决策下求两个供应商纳什均衡解（供应链分散系统的解）；(iii) 试对供应链集中系统和分散系统的解进行比较；(iv) 求在两个供应商先后决策下求两个供应商Stackelberg 均衡解（供应链分散系统的解）。

C7.不完全信息博弈模型(i)有两个参与人,分别称为企业1和企业2，他们生产同一类产品用来满足同一市场上顾客的需求；(ii)两家企业生产相同质量的产品； (iii)用2,1,=i q i 表示企业i 的生产批量，)(21q q a P +-=表示逆需求函数(P 是价格)，0>a ；(iv)两家企业同时决策各自的生产批量；(v)两家企业的生产均无固定成本，企业1的生产成本函数为1111)(q c q C ⋅=，其中1c 称为企业1的边际成本，企业2采用m 种技术对应的成本为： k k q c q C 2222)(⋅=，m k ,,2,1Λ=，企业2知道自己采用哪一种技术，而企业1不知道企业2采用哪种技术，但知道企业2采用第k 种技术的概率为k θ，m k ,,2,1Λ=，其中k θ满足∑==mk k 11θ（不完全信息）。

问题：两企业如何决定各自的生产批量？第IV 部分行为博弈论是将个人的社会偏好等行为因素引入博弈论，研究的核心是在考虑参与方的心理行为情况下决策主体的实际行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题。

传统博弈论与信息经济学一直以“理性人”为理论基础，通过一个个精美的数学模型搭建起公理化的完美的理论体系。

然而，心理学和行为科学的研究发现人们也有很多与此假设相背的行为，比如人们会有公平心理和平等倾向。

行为博弈论与当代的行为经济学、实验经济学，乃至神经元经济学都密切相关。

下面列举三个经典行为博弈的例子：D1. 投资博弈有两位博弈者，分别称之为投资人A 和借款人B 。

他们互不相识，博弈者A 得到一笔钱并被告知可以完全保留也可以将其中的任意比例借给B ，他给出的任何金额都会以大于1 的某一倍数付给B ，然后由B 决定是否回报和回报多少给A 。

实验模型：将招募来的博弈方安置在计算机实验室中，每人有10元的出场费，两人一组通过各自面前的计算机联系，相互不认识而且实验结束也不会知道对方是谁。

每组中的一位(投资人A)可以完全保留手中的10元也可以将其中的任何部分借给对手(借款人B)，不管A 付出多少，B 都会收到3倍的金额，如A 借给对方4元，B 总共会得到431022⨯+=元的支付，然后由B 决定是否还钱给A 和还多少，只要B 愿意借钱给A 也同样会收到3倍的金额。