2020年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2020 年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

已知函数2()x f x e ax =-.

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：

本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答：

（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-.

当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意.

当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-.

当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-.

当02

e

a <≤

时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

当2

e

a >

时，易证2ln 2a a >. (0)10f '=>，(ln 2)0f a '<，由（1）可知，22(2)=(2)10a f a e a '->>.

由零点存在性定理可知必然存在一点1(0,ln 2)x a ∈使得1()0f x '=，2(ln 22)x a a ∈，使得2()0f x '=；

所以当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，12(,)x x x ∈，

()0f x '<，()f x 单调递减，2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，

即当2x x =时()f x 取得极小值

22

22

()x f x e ax =-由2()0f x '=得

2

2

2x e a x =

从而

2

2

222

2()(2)

2

x x e f x e ax x =-=-当22x =时，即2

4

e a =时，极小值2()0

f x =恰好成立，此时在()f x 在(0,)+∞只有一个零点

2x =，满足题意.

当224e e a <<时，即212x <<时（易证2x

e x

在(1,)+∞单调递增），极小值2()0f x >，此时在(0,)+∞无零点，不合题意.

x

当24e a >时，即22x >时，(0)10f =>，2()0f x <， 32(3)(3)0a f a e a a =->（易证3

1

3x e x >恒成立），由零点存在性定理可知()f x 在区间2(0,)x 和2(,3)x a 各有一根，不合题意.

综上所述，2

4

e a =.