电路的拉普拉斯变换分析法

7.2.6 时域微分特性
若 f (t) 证明
L
F (s)
则
L[ t f ( )d ] F(s)
0
s
t
L[ f ( )d ]
[
t
f ( )d ]e-st dt
0
00
对上式进行分部积分，得
t
L[ f ( )d ]
[
t
f ( )d ]e-st dt - e-st
t
f ( )d
1 f (t)e-st dt
证明
L{ f (t)es0t }
f (t)e s0t e-st dt
0
0
f
(t)e-(s-s0 )t dt
F(s
-
s0 )
7.2.5 时域微分特性
证明
若 f (t) L
L
则 f '(t)
F (s) sF (s) - f (0- )
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
7.2.1 线性特性
若 f1(t) L
L
F1(s) f2(t)
F2(s)
则 a1 f1(t) a2 f2 (t) L
a1F1(s) a2 F2 (s)
a1，a2为任意常数
证明
0-
a1 f1(t) a2 f2 (t)
e-stdt
0-
a1
f1
(t
)e-st
dt
0-
a2
f2
(t
)e-st
t <0 f (t) 0
tHale Waihona Puke 00f(t)e-st dt
为有限值
F(s) f (t)e-st dt 0-
S j
拉氏正 变换
0
积分下线 0- 后面讨论中写成0
f(t)：原函数；F(S)：f(t)的象函数。
例 用定义求f(t)象函数。其中a为实数，且a>0。
f (t) eat (t)
s
s
2
2
6、双曲线正弦函数 sh bt t
sh bt 1 eb t - e-b t 2
故有
L shb t
t
s2
b -b
2
7、双曲线余弦函数 ch bt t
与双曲线正弦函数相类似可得
Lch
b t
t
s2
s -
b
2
7.1.2 t的正幂函数 tn t (n为正整数
由定义可得 tn t 的拉普拉斯变换为
L tn t tne-stdt 0
则
t ne-stdt
udv
0
0
uv 0 - 0 udv
设 u tn, dv e-st dt 亦即
- tn
e - st
n
t n-1e-st dt
s 0 s0
L tn t n L t n-1 t s
n t n-1e-st dt s0
依次类推，则得
L tn t n Lt n-1 t s
L tn t n L t n-1 t n n -1 L t n-2 t
s
ss
n n -1n -2L ss s
211 sss
n! s n 1
当n=1时，有
1
L[t (t)]
s2
7.1.3 冲激函数 A d（t）
冲激函数的定义
d -
应用上式的结果可得
L[ f (t)]
L[ d dt
f (t)] sL[ f (t)] -
f (0- )
s 2 F (s) - sf (0- ) -
f (0- )
依此类推，可得
L[ f (n) (t)] s n F (s) - s n-1 f (0- ) - s n-2 f (0- ) - - f (n-1) (0- )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
s -
由此可导出一些常用函数的变换 ：
1、单位阶跃函数 t
(t)
1 0
t 0 t<0
F(s) 1
0
s -
L t 1
s
2、正弦函数 sin t t
sin t 1 ej t - e- j t 2j 故有
Lsintt
L 21j
e j t
- e - j t
t
1 2j
s
1
- j
-
F1
s 1
e-sT
e-2sT
L
F1 s
1- e-sT
f (t)为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等 于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子
1 1- e-sT 例 求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换
f (t)
E
0
T
2
T 2T 3
2T 5T t 2
解
先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换
f 1(t)
L[ f (n) (t)] s n F (s) - s n-1 f (0- ) - s n-2 f (0- ) - - f (n-1) (0- ) 如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为
L[ f '(t)] sF (s) L[ f (t)] s 2 F (s)
L[ f (n) (t)] s n F (s)
拉氏变换法的优点：
（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐 次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对 于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；
（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些 超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。
7.2 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。
sin t
1 2j
e- - j t
-
e- j t
L[e-at sint] 1 [
1
-
1
]
2 j (s a) - j (s a) j
(s
a)2
2
L[e- at sin t]
(s a)2 2
5、衰减余弦函数 e - t cos t
与衰减正 弦函数相 类似可得
L
e-t cost t
dt
a1F1(s) a2 F2 (s)
例 求函数的象函数 f (t) ea1t bea2t
解 L[ f (t)] L[ea1t bea2t ] 1 b s - a1 s - a2
7.2.2 尺度变换
若 f (t) L 则 f1(at) L
F (s) 1 F(s) aa
a为大于零的实数
E
f1 t f1a t f1b t
0
t
E
sin
t
t
E
sin
t
-
T 2
t
-
T 2
||
f 1a(t)
有始正弦函数的拉普拉斯变换为 E
T
3T
Lsin t
t
s2
2
0
2
2
T
2T
t
+
故根据时间平移特性可得
f 1b(t)
E
T
2T
0
T 2
3T 2
t
L f1 t L f1a t L f1b t
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
f (t)e-st
0-
s
0-
f (t)e-st dt
f (t)e-st
0-
sF (s)
于是可得
式中 f (t)e-st t 0
L[ f '(t)] sF (s) - f (0- )
证明
L[ f (at)]
f (at)e-st dt
f
- s at
(at)e a
dat
0
0
a
令x=at
L[ f (at)] 1
f
-sx
(x)e a dx
1
F(s)
a0
aa
7.2.3 时间变换
f (t - t0 )
若 f (t) L
L
f (t - t0 )
f(t)
F (s) F (s)e -st0
7.3 拉普拉斯反变换
利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必 须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。 求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表
因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切 函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分 分式法。
0
求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换
f( t)
解
E
0
T
+
b
f (t) T
0
-E
fa (t)
=
t
t
0 t
fc (t)
T
+
t
0
f t fa t fb t fc t