拉普拉斯变换的性质

13
P218 例9.7
解 利用导数的象函数性质来求解本题 由 f (0) f (0) f (m1)(0) 0 以及 f (m)(t ) m! 有 [ f (m)(t)] [ m!] smF (s) sm1 f (0) sm2 f (0) f (m1)(0) sm [ f (t)] sm [ tm ],
,
再由象函数的导数性质有
[ t e3t sin 2t ]


d ds

(s

2 3)2
4

4(s 3) [(s 3)2 4]2
.
18
四、积分性质 P219
1. 积分的象函数 P219
性质 [ t f (t )d t ] 1 F (s) .
0
s
证明
令 g(t)
21
四、积分性质
2. 象函数的积分

性质 s F (s)d s
一般地，有
[ f (t) ].
t



ds ds F (s)d s
s s s
[
f (t) tn
].
n次
证明 (略)
22
P220 例9.10
解 已知
[sin t ]
1 s2
1
,
根据象函数的积分性质有
2
2
方法二 先平移再充零
方法二
[ sin(t π ) ] [ cos t ] 2

1 s2
1
(s).
sin(t π ) u(t) 2
两种方法为什么会得到不同的结果？
9
例 设 F (s) 1 e2s , 求 1[ F (s) ]. P223 例9.13 修改
s1
解 由于
故有
[tm
]

1 sm
[ m!]

m! sm
[1]

m! s m 1
.
14
三、微分性质
2. 象函数的导数 P218
性质 F(s) [ t f (t ) ];
一般地，有 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
证明 由 F (s) f (t)estd t 有 0
1[ 1 ] et u(t ) ,
s1
根据延迟性质有
1[ F (s) ] et2 u(t 2)

et 2

,
t 2,
0, t 2 .
10
二、延迟性质与位移性质
2. 位移性质 P223 性质 证明 (略)
例如
[et cos t ]

(s
s1 1)2
1
.
f ( x T )es( xT )d x
0
esT f ( x)es xd x esT [ f (t ) ], 0
即得
[
f
(t)]

1
1
esT
T f (t)estd t .
0
26
解 函数 f (t) 的周期为 T π , 故有
P224 例9.14
7
二、延迟性质与位移性质
1. 延迟性质
性质 设当 t < 0 时 f (t) 0 , 则对任一非负实数 有
[ f (t )] es F (s) .
注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f (t) 0 这一约定。 因此，本性质也可以直接表述为：
[ f (t ) u(t ) ] es F (s) .

f1(t) f2(t) f1( ) f2(t )d .
如果函数满足：当 t 0 时，f1(t) f2(t) 0, 则有
t
f1(t) f2(t) 0 f1( ) f2(t )d , (t 0) .
显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。
1[ es F (s) ] f (t ) u(t ) .
24
部分基本性质汇总 位移性质 [ea t f (t) ] F (s a) .
微分性质 [ f (t)] sF (s) f (0) . [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
1[ es F (s) ] f (t ) u(t ) .
8
P222 例9.12
解 方法一 已知
[sin t]
s
1 2
1
,
方法一 先充零再平移
根据延迟性质有
[ sin(t
π 2
)]

s
2
1
1
e

πs
2.
sin(t π ) u(t π )
P219 例9.9
根据线性性质以及象函数的导数性质有
[ t 2 cos2 t ]

1 2

d2 d s2
[
1 s

s s2 22
]

2(s6 24s2 32) s3(s2 4)3
.
17
解 已知
[sin2t ]
2 s2 22
,
根据位移性质有
[e3t sin 2t ]

2 (s 3)2 4
一般地，有 [ f (n) (t )] snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1)(0).
其中， f (k) (0) 应理解为 lim f (k)(t ). t0 Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。 （§9.4 将专门介绍 ）
令 x at
1

f
s
(x)e a
x
dx
a0

1 a
F

s a

.
6
二、延迟性质与位移性质 P222
1. 延迟性质 P222
性质 设当 t < 0 时 f (t) 0 , 则对任一非负实数 有 [ f (t )] es F (s) .
证明
[ f (t ) ] f (t )estd t 0 f (t )estd t 令 x t f ( x)esx es d x 0 es F(s).
§9.2 Laplace 变换的性质
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
1
§9.2 Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中，所涉及到的函数的 Laplace 变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F(s) [ f (t)], G(s) [ g(t)]. 对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
利用拉氏变换 计算广义积分
23
部分基本性质汇总
线性性质 [a f (t ) b g(t )] a F (s) bG(s); 1[a F (s) bG(s)] a f (t ) b g(t ) .
相似性质
[
f (at)]

1 a
F
s a
.
延迟性质
[ f (t )] es F (s) .
2
一、线性性质与相似性质 P216
1. 线性性质 P216 性质
证明 (略)
3
解 f (t) sin 2t sin 3t 1 (cos t cos 5t), 2
[ f (t) ] 1 ( [ cos t ] [ cos 5t ]) 2

1 2

s2
s
1

s2
s
25
[sin t ]
s2 2
,
根据象函数的导数性质有
[ t sin t ]


d ds
[
s2
2
]

2 s (s2 2 )2
.
P219 例9.8
16
解 t 2 cos2 t 1 t 2 (1 cos 2t ) , 2
已知 [1] 1 , s
s [ cos 2t ] s2 22 ,
[et sin t ]

1 (s 1)2 1
.
11
三、微分性质 P217
▲1. 导数的象函数 P217
性质 [ f (t)] sF (s) f (0) .
证明
[ f (t ) ] f (t )estd t estd f (t )
0
0
f (t )est s f (t )estd t ,
28
P224 例9.15
t
解
f1(t) f2(t)
τ sin(t τ )d τ
0
t
0 d cos(t τ )
t
t
τ cos(t τ ) cos(t τ )d τ 00
t
t sin(t τ )
0
t sin t .
29
六、卷积与卷积定理
积分性质
[ t f (t)d t ] 1 F(s).
0
s

s F (s)d s
[ f (t) ].
t
25
五、周期函数的像函数 P223
性质
证明
[ f (t)]
T f (t)estd t
0
f (t)estd t
T
记为
I1 I2,
其中，I2 令 x t T

0
f1 (
)[

f2(t

)est
d t]d
D
t
t
30
六、卷积与卷积定理
2. 卷积定理
定理 [ f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s).
证明
t
f (t)d t , 则 g(t) f (t) 且 g(0) 0 ,
0
由微分性质有
[ g(t)] sG(s) g(0) sG(s) ,
G(s) 1 [ g(t)] 1
s
s
即得
[
t
f (t)d t ]
1 F(s).
0
s
[ f (t)],
19
四、积分性质
F (s) d f (t)estd t [ f (t)est ]d t
ds 0
0 s
t f (t )estd t [ t f (t ) ]; 0
同理可得 F (n) (s) (1)n [ t n f (t ) ].
15
解 已知
1. 积分的象函数
性质 [ t f (t )d t ] 1 F (s);
0
s
一般地，有
20
解 已知
[sin2t ]
2 s2 22
,
根据微分性质有
[ t sin 2t ]

d ds

s2
2 22

来自百度文库再由积分性质得
[
t 0
t sin 2t dt ]
1 s

4s (s2 4)2


(s2
12s 1)(s2 25)
.
4
解 F(s) 1 1 , s2 s1
f (t ) 1[F (s)] 1[ 1 ] 1[ 1 ]
s2
s1
e2t et .
5
一、线性性质与相似性质
2. 相似性质(尺度性质) P217 性质
证明
[ f (at) ] f (at)estd t 0
2. 卷积定理
定理 [ f1(t) f2(t)] F1(s) F2(s).
证明 左边
[ f1(t) f2(t)]

[
0
f1 (t )
f2(t)]estd t
(跳过?)

[
0
t 0
f1( )
f2(t

)d ]estd t

t
D f1( ) f2(t )estd d t
[
f
(t)]

1
1
esT
T est sin t d t
0

1

1
e sT

est (s sin t cos t )
s2 2
T 0

s2 2

1 esT 1 esT

s2 2
cth s π .
2
27
六、卷积与卷积定理 P224
1. 卷积 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指
[ sin t ] t
s
1 1 s2
ds
即 sin t est d s arccot s . 0t
在上式中，如果令 s = 0，则有
sin t d s π .
0t
2
启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值，
就可以用来求一些函数的广义积分。
0
0
由 | f (t )| Mect , 有 | f (t )est | Me( Re sc)t ,
因此当 Re s c 时，有 lim f (t)est 0 , t
即得 [ f (t)] sF (s) f (0) .
12
三、微分性质
▲1. 导数的象函数 性质 [ f (t)] sF (s) f (0);