拉普拉斯变换及其性质(稻谷书店)
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4) ②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) 原函数)(t f 为（F-6）。
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+=nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(（F-6）。
拉普拉斯变换及其性质共35页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
拉普拉斯变换及其性质
•
6、黄金时代是在我圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
拉普拉斯变换及其性质课件
对于损坏的信号，可以利用拉普拉斯变换进行重 建，恢复出原始信号。
在图像处理中的应用
图像去噪
利用拉普拉斯变换，可以对图像进行去噪处理，去除图像中的噪 声和干扰。
图像增强
通过拉普拉斯变换，可以将图像从空间域转换到频域，对图像进 行增强处理。
图像压缩
利用拉普拉斯变换的稀疏性，可以对图像进行压缩处理，减少存法规则
拉普拉斯变换的加法规则可以表 示为f(t)+g(t)的拉普拉斯变换等 于f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉
普拉斯变换之和。
乘法规则
拉普拉斯变换的乘法规则可以表 示为f(t)g(t)的拉普拉斯变换等于 f(t)的拉普拉斯变换和g(t)的拉普拉 斯变换之积。
微分规则
拉普拉斯变换的微分规则可以表示 为df(t)/dt的拉普拉斯变换等于f(t) 的拉普拉斯变换乘以s。
迭代法的优点是计算速度快， 适用于大规模数据的处理。
直接计算法
直接计算法是一种直接根据定义 进行计算的方法。
在拉普拉斯变换的数值计算中， 直接计算法通常采用定义式进行
计算。
直接计算法的优点是原理简单易 懂，但计算量较大，适用于小规
模数据的处理。
数值计算误差分析
误差分析是数值计算中非常重要的一个环节。
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多偏微分方程的求解都可 以借助拉普拉斯变换得到解决。
优点
通过拉普拉斯变换，可以将偏微分方程的求解转化为简单的代数问 题，使得求解更加简便。
在信号处理中的应用
定义与公式
01
在信号处理中，拉普拉斯变换被用于分析信号的稳定性和系统
的稳定性。
应用场景
02
在通信、自动控制、图像处理等领域中，许多信号处理问题都
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换t t8 卷积定理L[ [f i(t—l)f2&)dE] =L[ [f i(t)f2(t—l)dl] = F i(s)F2(s)用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F(s)是s 的有理真分式A(s)二0有重根设A(s) = 0有r 重根s ，F(s)可写为F s-(s-s ,)r(s-s ri ) (s-s n )B(s)b m 「4 g b0A(s)n ,n 」a n S - a n 」s 山…“y s - a 。
式中系数a 0, a i ,..., a n J ,a n , b °,b i , b m 」,b m 都是实常数; 将F(s)展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
m,n 是正整数。
按代数定理可①A(s) = 0无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
i C 2C jC nF(s) 121— s — s i s — S 2s — ss_s nC i(F-1)式中，q,s 2,…,s n 是特征方程 A(s) = 0的根。
C i 为待定常数，称为 可按下式计算：F(s)在S i 处的留数,式中,C =lim (s _sJF (s)S Tic _ B(s) iA(s)s zs iA (s)为A(s)对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式(4 I l j n C i =L !F (S )】=L 巨一—S — Sj 一 f(t)C in -s it=' Ci e ii =1(F-2)(F-3)F-1 )可求得原函数(F-4)B(s)式中, 其中,& r -(S —S i) (s—s)C if ,s〜) CriS —■S r iG •…©S - s S—S nS i为F(s)的r重根，S r审,…,s n为F(s)的n-r个单根;C r +，…,C n 仍按式(F-2)或(F-3)计算，C r，C rj，…, C i则按下式计算:f(t)为厂c r =lim (s — sj r F(s)T id rC ri =lim [(s -sj F(s)] dss :siC i原函数f (t)二L°〔F(s) I冷冗加(DEi d(7C i _____ . C r i ....(F-5)(s -S i)r 1(s—s i) S —S r*G *…+C nS — S j S —S nt r^ +…+c2t +G e Sit(r-2)! 2 5S i t°e iF-6)欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
拉普拉斯变换的基本性质
st
令 t′ = t t0
则 t = t′ + t0 dt = dt′
∞ 0
L [ f (t t0 )ε(t t0 )] = ∫
=e
st0
′)ε(t′)es(t′+t0 )dt′ f (t
∫
∞
0
f (t′)ε(t′)est′dt′ = est0 F(s)
例4 解：
求u(t)的拉普拉斯象函数 的拉普拉斯象函数U(s)。 的拉普拉斯象函数 。
= (b1s + b0 )E(s)
b1s + b0 E(s) + R(s) = 2 s + a1s + a0 s + a1 1 r(0 ) + 2 r′(0 ) 2 s + a1s + a0 s + a1s + a0
由反变换可得原函数r(t) 由反变换可得原函数
3. 积分定理 积分定理(integration theorem)
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)
L [ f (t t0 )ε(t t0 )] = e
证明： 证明：
st0
F(s)
L [ f (t t0 )ε(t t0 )]
= ∫ f (t t0 )ε(t t0 )e dt
st 0 ∞
=∫
∞
t0
f (t t0 )ε(t t0 )e dt
d2 d d r(t ) + a1 r(t ) + a0r(t ) = b1 e(t ) + b0e(t ) 2 dt dt dt
响应及其一阶导数的原始值分别为r(0 及 响应及其一阶导数的原始值分别为 )及r′ (0)，激励函数的 ， 原始值e(0 原始值 )=0。求响应的象函数。 。求响应的象函数。 解：
11.2拉普拉斯变换的定义和性质
jt
t
e jt
2
j
e jt 2j
t
1 2j
e
jt
e
jt
t
1 2j
s
1
j
s
1
j
s2
2
7 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
（2）拉氏变换的时域导数性质
如果原函数f(t)存在一阶导数，且f(t) ↔F(s) ，则
f t sF s f 0
即原函数一阶导数的象函数等于原函数的象下：
1 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
对拉氏变换的进一步认识
★①拉氏变换的存在条件：因其变换核 est et e jt
其中只有σ>0，因子exp(−σt )才是收敛的，所以拉氏 变换的定义条件是
Fs f tetdt＜ 0
这就是说，上式的积分运算应是有限值。如果原 函数是增长的，则增长的速度应该满足
0
0
s
s 0
[例2] 试求单位冲击函数δ (t )的象函数。
解：按照拉氏变换的法则有
Fs L t testdt 0 tdt 1
0
0
4 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
对拉氏变换的进一步认识
[例3] 试求原函数f (t ) = exp(−αt ) 的象函数。 解：原函数图象如图所示，按拉 氏变换的法则有
0
f t estdt
8 中北大学国家级电工电子实验教学示范中心
拉氏变换的时域导数性质
上式s=σ+jω中只要σ足够大时等式右边第一项为0，
所以
f t sF s f 0
也不难得到当原函数的高阶导数存在时，则象函
数为
f t s2F s sf 0 f 0
拉普拉斯变换的基本性质
§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。
9.5 拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换5.拉普拉斯变换的性质1212()()()()ax t bx t aX s bX s +↔+则 ROC 至少是 12R R 拉普拉斯变换与傅里叶变换一样具有很多重要的性质。
需要注意的是关于ROC 的讨论。
1. 线性（Linearity ）：若112()1,11s X s s s +=+=++ROC:1σ>-21(),1X s s -=+ROC:1σ>-()12()()1x t x t t δ+=↔而 ROC 扩大为整个S 平面。
例. ()()1()t x t t e u t δ-=+()2()tx t e u t -=-（因为出现了零极点相抵消的现象）2.时移性质（Time Shifting ）:↔x t X s ()(),R ROC:若 -↔-x t t X s e st ()(),00ROC 不变则 3.S 域平移（Shifting in the s-Domain ）: ↔x t X s ()(),R ROC:若 则↔-x t e X s s s t ()(),00+R s [:]ROC Re 0 表明 的ROC 是将的ROC 平移了一 个。
这里指ROC 的边界平移。
-X s s ()0X s ()s Re[]0有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）例. ()(),t x t e u t -=1(),1X s s =+1σ>-()23()t t x t e e u t --⋅=显然 ROC :3σ>-1(2)3X s s +=+Re[]s a R ∴∈⋅ 4.时域尺度变换（Time Scaling ）:若1()()sx at X a a ↔ROC :aR则 当 时 收敛， 时收敛 R σ∈()sX a R ∈Re[]s a ()X s例. 2()()()t t x t e u t e u t --=---[]ROC:2Re 1s -<<-21()32X s s s =++24(2)()()t t x t e u t e u t --=---2112()2468X s s s s s =-=++++[]ROC:4Re 2s -<<- 可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC 在S 平面上作相反的尺度变换。
20_拉普拉斯变换的性质
t
d }d t
0
1 t f (t ) e t f (t ) t e
st
s
dt
f (t ) L t
0
f (t ) dt L t
F ( s ) d s.
s
f (t ) 一 般 地 ,有 L d s d s F (s) d s tn s s s n次
L f
(n)
(t ) s F ( s ) s
n
n 1
f (0) s c
n2
f ( 0 ) f
( n 1 )
(0)
n
1, 2 ,
R e( s )
特别当
f
0
f 0 f
L f
n
n 1
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例7 求函数 f ( t )
因 L [s h t ]
sh t t
1
的拉氏变换.
, t
s 1
2
sh 由 积 分 性 质 :L t
s 2
1 s 1
ds
arc cot s s
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
针对拉普拉斯变换公式太多、复杂难记的现实， 我们总结出如下的112字学习口诀： 拉氏变换公式多，牢记运用有秘诀； 乘除运算互逆过，积分微分类似学； 乘法积分为升级，除法微分作降序； 原象乘升取变换，其象求导降级变； 原象积升作变换，其象除法降级算； 原象导降取变换，其象乘升平衡端； 原象除降作变换，其象积升平衡见； 变换理解是关键，应用思想框图显。
5-4拉普拉斯变换的基本性质 《信号与系统》课件
0 df (t)est dt df (t)est dt f (0 )
0 dt
0 dt
f
(t)
0 0
df (t)est dt 0 dt
f (0 ) f (0 )
df (t)est dt f (0 ) 0 dt
f (0 ) df (t)est dt 0 dt
对上式取极限 s ，其中lim[
所以
L
[ f1(t) * f2 (t)]
dF(s) d
f (t)est dt
f (t) d est dt
[tf
(t )]est dt
L[tf
(t)]
ds ds 0
0
ds
0
同理可推出
d nF(s) dsn
(t)n f (t)est dt L[(t)n f (t)]
0
例题
八.S域积分特性
对于 f (t) 有拉氏变换F(s) ，则对于 f (t) 的拉氏变换
s0
s0 0 dt
十一.卷积定理
若 f1(t) ，f2 (t)的拉氏变换分别为为 F1(s) ，F2 (s)，则可推
出 f1(t)* f2 (t) 的拉氏变换 f1(t)* f2 (t) F1(s)F2 (s)
证明：由卷积定义可得
f1(t)* f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
f ( )d
s
所以可推导出
0
t
f ( )d F(s)
f ( )d
s
s
七.S 域微分特性
若f (t)的拉氏变换为 F(s) ，则对于tf (t) 的拉氏变换
有
dF (s)
tf (t)
且对于其
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。
拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。
1
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。
引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。
这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯变换性质
拉普拉斯变换性质
理解
拉普拉斯变换(Laplace transformation)是在积分变换中把连续时变信号转换成正负无穷大范围的指数型时定信号的单边变换，它是一种统计与信号分析的重要算法，建立在Fourier变换的基础上，被广泛应用于数学、电子、通讯及其他领域。
拉普拉斯变换的核心思想是用一个类似函数的谱线替换一个时变函数，解决复杂的求解问题，能够将难以求解的时变函数拆分成一组解析函数，利用标准函数轻松地求解出结果，从而提高求解算法的效率。
拉普拉斯变换具有以下性质：
（1）线性性质：在拉普拉斯变换中，加性和乘性定律成立，也即可以用拉普拉斯变换把复合函数分解成基本函数的叠加，且变换后的结果是它们变换的乘积的和。
（2）卷积性质：拉普拉斯变换能够有效地把连续时变信号的卷积操作转换成简单的乘法操作，拉普拉斯变换可以将连续时变函数的卷积操作转换为拉普拉斯变换之后函数的乘积操作。
（3）滞后性质：拉普拉斯变换的结果，只与函数的滞后的部分有关，因此可以使用拉普拉斯变换来实现信号的滞后处理。
（4）收敛性质：拉普拉斯变换的结果受被变换函数的收敛性的影响，而不受其具体形式的影响。
因此，对收敛的函数，可以通过拉普拉斯变换将其变换为正负无穷大范围的指数函数，使其受到解析处理，然后得到函数解析形式的结果。
拉普拉斯变换的性质
定理 [f1(t)f2(t)]F 1(s)F 2(s).
证明
左边
0 f1 ()[ f2 (t)e std t]d记为
0
f1()
Id
其中 If2(t)estdt 令 xt es 0 f2(x)esxdxesF2(s),
如果函数满足：当 t 0时，f1 (t)f2 (t) 0 , 则有
t f1(t)f2(t)0f1 ()f2 (t)d, (t 0 ).
显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。
28
P224 例9.15
解
f1(t)f2(t)
t
τsint(τ)dτ
16
解 t2co2st 1 t2(1co2st), 2
已知 [ 1 ] 1 , s
[co2st]
s2
s 22
,
P219 例9.9
根据线性性质以及象函数的导数性质有
[t2cos2
t
]
1 2
dds22[1ss2s22
]
2(s624s232) s3(s24)3 .
17
解 已知
方法二
[sint( π)] [cot]s 2
1 s2
(s). 1
sint( π)u(t) 2
两种方法为什么会得到不同的结果？
9
例 设 F(s) 1 e2s, 求 1[F(s)]. P223 例9.13 修改
s1
解 由于 1[ 1 ] et u(t), 根据延迟性质有
s1
其中， f (k)(0) 应理解为 limf(k)(t). t0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（§9.4 将专门介绍）
拉普拉斯变换的性质时域微分性质
f (0 )
推广
d
f 2(t) dt
s F
s
f
0
f
(0 )
s2F(s) sf (0) f (0)
所以
d
f n (t) dt
sn F(s)
n1 r 0
s nr1
f
(r) (0 )
式中
f (0 )
f (t) t0 ,
f (r)(0 )
f (r)(t) t 0
若 t 0 为有起因信号，即 t 0 时， f (t) 0 ，且 f (0 ) f / (0 ) 0
02 sin 0t u(t) 0 (t)
两边取拉 氏变换
s2F(s) 02F(s) 0
F(s) 0 s2 02
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§4.3 拉普拉斯变换的性质——时域微分性质
1.双 边拉 氏变换 的微 分性质
若
f (t) FB t
sFB
(s)
dn f (t) d tn
sn FB
(s)
＜＜
2.单 边拉 氏变换 的微 分性质
设
f (t) F(s)
d f (t) sF (s) ，则 d t
则 f / (0 ) sF(s), f // (0 ) s2F(s),
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所以
F() f (t) e jωtd t 0
采用 0 系统，相应的单边拉氏变换为
F(s) L f (t)
f (t) es td t
0
f (t) L1 f (t)
1
σj F (s) es td s
2 π j σj
5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
F{ f (t)e t} f (t)e tejtdt f (t)e( j) tdt
它是 +j的函数，可以写为
F ( j) f (t)e( j) tdt
F( +j)的傅里叶反变换为
f (t)e t F 1{F ( j)} 1 F ( j)e jtd
2
即
f (t) 1 F ( j)e( j)td
8
四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t nu(t)
L tn
t n estd t
0
t n est s
0
n s
t n1 estd t
0
n t n1 estd t
s0
所以 L n 1
t n
n s
L
t n1
Lt t estd t 0
1 t dest
s 0
1 s
t
e
st
即得到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
lim f (t)e t 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛 因子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰 当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
0
0
e
st
d
t
1 s
1 s
e
st
0
1 s2
n2
L
t2
2Lt
s
2 s
1 s2
2 s3
n3
L
t3
3L s
t2
3 s
2 s3
6 s4
所以
L
t n
n! s n 1
9
四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
L[sin(0t)u(t)]
L
1
2
j
(e j0t
e-j0t )u(t)
1( 1 1 )
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 拉普拉斯变换 §5.2 拉普拉斯变换的基本性质 §5.3 拉普拉斯逆变换 §5.4 连续时间LTI系统的复频域分析 §5.5 连续时间LTI系统 §5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F( j) f (t)ej tdt
f (t) 1 F( j)ej td
2
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存
在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样
(s
s )2
02
•收敛域 Re[s] > -
11
5.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理 初值定理和终值定理 卷积定理
12
一．线性性质
若
L f1(t) F1(s),
L
1
2
j
(e( j0 )t
e(
j0
)t
)u(t)1( 1 1 )2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
•收敛域 Re[s] > -
L[e t cos(0t)u(t)]
L
1 2
(e( j0 )t
e( j0 )t
)u(t)
1( 1 1 )
2 s j0 s j0
4
5.1 拉普拉斯变换
F (s) L f (t) f (t) es td t
正变换
f (t) L1 f (t) 1 σj F (s) es td s 2 π j σj
反变换
记作 f (t) F (s)， f (t)称为原函数，F (s) 称为象函数
考虑到实际信号都是有起因信号
1.阶跃函数
Lu(t)
1
est
d
t
0
1 s
e st
0
1 s
(σ 0)
2.指数函数
L eα t
eα testd t
e(αs)t
0
(α s)
1 sα
0
(σ α)
3.单位冲激信号
L (t)
(t)
estd
t
1
全 s 域平面收敛
0
L
(t t0 )
0
(t
t0
)
estd
t
e st0
2 j s j0 s j0
s2
0 02
•收敛域 Re[s] > 0
L[cos(0t)u(t)]
L
1 2
(e j0t
e-j0t
)u(t)
1( 1 1 )
2 s j0 s j0
s
s2 02
•收敛域
Re[s] > 0
10
四．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin(0t)u(t)]
三
•记为：ROC(region of convergence)
拉
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
氏 变
lim f (t) eσt 0
t
(σ σ0 )
换
收敛轴
jω
收敛区
的
收
收敛坐标
敛
σ0 O
σ
域
6
例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
(1) f (t) (t)
(2) f (t) U (t)
2
F (s) f (t)es tdt
f (t) 1
j
F
(s)e
st
ds
2 j j
5.1 拉普拉斯变换
二．拉普拉斯变换的定义
F (s) f (t)es tdt
f (t) 1
j
F
(s)est
ds
2 j j
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。
以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
(3) f (t) cos0tU (t)
(4) f (t) eatU (t) a 0
解: (1) lim (t)eσ t 0 t 要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
(2) lim U (t)eσ t 0 t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
( 3)
lim
t
cos(0t
)e
σ
t
0
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4) lim ea teσ t lim e(a ) t 0
t
t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换