拉普拉斯变换及其性质(稻谷书店)

三
•记为：ROC(region of convergence)
拉
•实际上就是拉氏变换存在的条件；
氏 变
lim f (t) eσt 0
t
(σ σ0 )
换
收敛轴
jω
收敛区
的
收
收敛坐标
敛
σ0 O
σ
域
6
例 信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
(1) f (t) (t)
(2) f (t) U (t)
所以
F() f (t) e jωtd t 0
采用 0 系统，相应的单边拉氏变换为
F(s) L f (t)
f (t) es td t
0
f (t) L1 f (t)
1
σj F (s) es td s
2 π j σj
5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
( 3)
lim
t
cos(0t
)e
σ
t
0
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4) lim ea teσ t lim e(a ) t 0
t
t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换
即得到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
lim f (t)e t 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛 因子。
2
5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰 当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F( j) f (t)ej tdt
f (t) 1 F( j)ej td
2
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存
在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样
8
四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t nu(t)
L tn
t n estd t
0
t n est s
0
n s
t n1 estd t
0
n t n1 estd t
s0
所以 L n 1
t n
wk.baidu.com
n s
L
t n1
Lt t estd t 0
1 t dest
s 0
1 s
t
e
st
L
1
2
j
(e( j0 )t
e(
j0
)t
)u
(t
)
1( 1 1 )
2 j s j0 s j0
(s
0 )2
02
•收敛域 Re[s] > -
L[e t cos(0t)u(t)]
L
1 2
(e( j0 )t
e( j0 )t
)u(t)
1( 1 1 )
2 s j0 s j0
(3) f (t) cos0tU (t)
(4) f (t) eatU (t) a 0
解: (1) lim (t)eσ t 0 t 要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
(2) lim U (t)eσ t 0 t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
1.阶跃函数
Lu(t)
1
est
d
t
0
1 s
e st
0
1 s
(σ 0)
2.指数函数
L eα t
eα testd t
e(αs)t
0
(α s)
1 sα
0
(σ α)
3.单位冲激信号
L (t)
(t)
estd
t
1
全 s 域平面收敛
0
L
(t t0 )
0
(t
t0
)
estd
t
e st0
F{ f (t)e t} f (t)e tejtdt f (t)e( j) tdt
它是 +j的函数，可以写为
F ( j) f (t)e( j) tdt
F( +j)的傅里叶反变换为
f (t)e t F 1{F ( j)} 1 F ( j)e jtd
2
即
f (t) 1 F ( j)e( j)td
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 拉普拉斯变换 §5.2 拉普拉斯变换的基本性质 §5.3 拉普拉斯逆变换 §5.4 连续时间LTI系统的复频域分析 §5.5 连续时间LTI系统 §5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
0
0
e
st
d
t
1 s
1 s
e
st
0
1 s2
n2
L
t2
2Lt
s
2 s
1 s2
2 s3
n3
L
t3
3L s
t2
3 s
2 s3
6 s4
所以
L
t n
n! s n 1
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四．一些常用函数的拉氏变换
5．正余弦信号
L[sin(0t)u(t)]
L
1
2
j
(e j0t
e-j0t )u(t)
1( 1 1 )
2
F (s) f (t)es tdt
f (t) 1
j
F
(s)e
st
ds
2 j j
5.1 拉普拉斯变换
二．拉普拉斯变换的定义
F (s) f (t)es tdt
f (t) 1
j
F
(s)est
ds
2 j j
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。
以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
2 j s j0 s j0
s2
0 02
•收敛域 Re[s] > 0
L[cos(0t)u(t)]
L
1 2
(e j0t
e-j0t
)u(t)
1( 1 1 )
2 s j0 s j0
s
s2 02
•收敛域
Re[s] > 0
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四．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L[e t sin(0t)u(t)]
4
5.1 拉普拉斯变换
F (s) L f (t) f (t) es td t
正变换
f (t) L1 f (t) 1 σj F (s) es td s 2 π j σj
反变换
记作 f (t) F (s)， f (t)称为原函数，F (s) 称为象函数
考虑到实际信号都是有起因信号
(s
s )2
02
•收敛域 Re[s] > -
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5.2 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质 延时特性 尺度变换特性 复频移特性 时域微分定理 时域积分定理 频域微积分定理 初值定理和终值定理 卷积定理
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一．线性性质
若
L f1(t) F1(s),