第三章年金精算现值

k =0 k =0
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∞
∞
相关公式
⎡1 − v K +1 ⎤ 1 1 − Ax x = E[a K +1 ] = E ⎢ a = E[ z k ] = ⎥ d ⎣ d ⎦ d
2 2 ⎡1 − v K +1 ⎤ 1 Ax − Ax K +1 ] = Var ⎢ = 2 Var[ zk ] = Var[a ⎥ 2 d d d ⎣ ⎦
= ∫0 e−δ t e− µt dt = ∫0 e −0.06t e−0.04t dt
= 10
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∞
∞
（2）Var[aT ] =
1
1 ∞ −0.12 t ∞ −0.06 t −0.04 t −0.04 t 2 [ 0.04 ( 0.04 ) ] = e e − e e ∫ 2 ∫0 0 0.06 1 0.04 0.04 2 = [ − （ ）] = 25 2 0.06 0.16 0.10
T 0
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∞
相关公式
⎛ 1 − vt ⎞ ⎛ 1 − zt ax = E (aT ) = E ⎜ ⎟ = E⎜ δ ⎝ ⎝ δ ⎠ ⇒ 1 = δ ax + Ax
⎛ 1 − vt ⎞ ⎛ 1 − zt ⎞ 1 = Var Var (aT ) = Var ⎜ ⎟ ⎜ δ ⎟ = 2 Var ( zt ) δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ δ 1 2 ⇒ Var (aT ) = 2 [ Ax − ( Ax ) 2 ]
x = a x:m + n − a x:m a x + m:n = m Ex ⋅ a 1 = ( Ax:m − Ax:m + n ) d
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期末付生存年金
期初付生存年金与期末付生存年金的关系
→ a a d →i
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生存年金与确定性年金的关系
确定性年金
Z支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
生存年金与确定性年金的联系
Z都是间隔一段时间支付一次的系列付款
生存年金与确定性年金的区别
Z确定性年金的支付期数确定 Z生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为
0.04e−0.04t dt = 0.54
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定期连续生存年金精算现值估计
总额支付法
⎧ ⎪aT Y =⎨ ⎪ ⎩an 0≤T < n T ≥n
n
ax： = E (Y ) = ∫ at ⋅ t px ⋅ µ x +t dt n
0
现时支付法
t ax： = v ∫0 t px dt n
1
⇒ Var (aT ) =
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1
δFra Baidu bibliotek
2 2 A − A [ ( ) ] 2 x:n x:n
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延期连续生存年金
定义：保险合同成立之后，保险人要在一定
时期或被保险人达到一定年龄后，才开始给 付年金 种类
Z延期m年终身连续生存年金 Z延期m年定期连续生存年金
条件）
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生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存
年金的方式，特别在：
Z养老保险 Z伤残保险 Z抚恤保险 Z失业保险
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二、生存年金的种类
2
Ax:n − Ax2:n d
2
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延期期初付生存年金
险种 精算 现值
延期m年期初付 终身生存年金
m
延期m年期初付 n年定期生存年金
mn
x = a x − a x:m a x + m = m Ex ⋅ a 1 = ( Ax:m − Ax ) d
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期初付定期生存年金
现时支付法
x:n a
n −1 1 k k = ∑ k Ex = ∑ v ⋅ k px = ∑ v ⋅ lx + k lx k =0 k =0 k =0 n −1 n −1
总额支付法
" a K = 0,1, , n − 1 ⎧ ⎪ K +1 Y =⎨ n a K ≥ n ⎪ ⎩ n −1 x = E[Y ] = ∑ a k +1 ⋅ k qx a
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常见险种的期末付生存年金
险种 终身生存年金 n年定期 生存年金 m年延期 终身生存年金 m年延期 n年定期 生存年金
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期末付年金精算现值
1 − Ax ax = i
ax:n =
m
1 − Ax:n i
1 = ( Ax:m − Ax ) i
ax = ax − ax:m = m Ex ⋅ ax + m
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先求出在未来寿命期限内所有
1 n E = A = v n x n px x:n
可能年金给付额的现值，再求现值的数学期望。
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第二节 连续给付型年金
连续生存年金的定义 Z在保障时期内，以被保险人存活为条件，连续支 付年金的保险 连续生存年金的种类 Z终身连续生存年金/定期连续生存年金 连续生存年金精算现值的估计方法 Z总额支付法：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 Z现时支付法：考虑未来连续支付的现时值之和
趸缴年金 交保费的方法 年缴年金 给付开始日期 期末付年金 个人年金 被保险人数 联合年金 终身年金 定额年金 给付年金额度 变额年金
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即付年金
给付期间
保证年金 定期年金
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三、生存年金精算现值的概念
生存年金的精算现值又称为生存年金 的趸缴纯保费。 将t时刻的年金给付额折现至 现时支付法 签单时的现值，再将所有的现值相加或积分。 总额支付法 精算折现因子
δ
2 2 [ ( ) ] A − A x x 2
⇒ Var[aT ] = 5
⎛ 1 − e−0.06T ⎞ ln 0.4 ⎞ ⎛ Pr 10 = > （3） Pr(aT > ax ) ⎜ ⎟ = Pr ⎜ T > − ⎟ 0.06 0.06 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=∫
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∞ ln 0.4 − 0.06
⎞ 1 ⎟ = (1 − Ax ) ⎠ δ
δ
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例4.1
在死亡力为常数0.04，利息力为常数
0.06的假定下，求 （1） a x （2） aT 的标准差 （3） aT 超过 a x 的概率。
t （） 1 a = v 解： ∫0 t px dt x ∞
第三章
年金精算现值
本章内容
第一节 生存年金的概念和种类 第二节 连续给付型年金 第三节 离散型年金 第四节 每年给付数次的年金 第五节 利用换算函数计算年金的现值
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第一节 生存年金的概念和种类
一、生存年金的概念 二、生存年金的种类 三、生存年金精算现值的概念
k =0
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相关公式
x:n a 1 − Ax:n ⎡1 − z K ⎤ 1 = E[Y ] = E ⎢ = E[ z K ] = ⎥ d ⎣ d ⎦ d
K +1
⎡1 − v Var[Y ] = Var ⎢ ⎣ d
⎤ 1 ⎥ = d 2 Var[ z K ] = ⎦
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∞
∞
1 − vt
δ
t
px µ x + t dt
10
终身连续生存年金精算现值的估计二 ——现时支付法
步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值
v
T
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的 时间积分，得到期望年金现值
ax = E (v ) = ∫ v t ⋅ t px dt
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一、生存年金的概念
年金最初是指每年收取或支付一次款项的一
系列现金。但实际上现在将在约定期内按一 定的间隔时期，如每半年、每季或每月收付 一次的现金流也都称为年金。 保险公司对生存年金的承保责任是被保险人 在一定时期或者终身内，被保险人生存时每 隔一定时期（一般为一年），由保险公司按 期支付一次年金直至被保险人死亡或保险期 限届满为止。
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终身连续生存年金精算现值的估计一 ——总额支付法
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有 已支付的年金的现值之和
aT = 1 − vT
δ
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所 得的年金期望值， 即终身连续生存年金精算现值
ax = E (aT ) = ∫0 aT fT (t )dt = ∫0
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期初付终身生存年金
现时支付法
∞ 1 x = ∑ k Ex = ∑ v k +1 ⋅ k px = ∑ v k +1 ⋅ lx + k a lx k =0 k =0 k =0 ∞ ∞
总额支付法
x = E[a K +1 ] = ∑ a k +1 ⋅ Pr( K = k ) = ∑ a k +1 ⋅ k qx a
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终身生存年金（期初付）
基本公式
a
(m) x
1 =∑ v k =0 m
∞
k m
k m
px
UDD假定下的公式
id 其中：α (m) = ( m ) ( m ) i d
(m) x − β (m) a x = α ( m) a
i −i β ( m) = ( m ) ( m ) i d
(m)
(m) x
近似公式（实际操作公式） a
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m −1 x − ≈a 2m
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定期生存年金（期初付）
基本定义
(m) (m) (m) x a = a − E a x n x x+n ： n
UDD假定下的推导公式
(m) x x − β (m)] − n Ex [α (m)a x + n − β (m)] a = [α (m)a :n
常用领域
Z养老金
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延期连续年金精算现值
险种 精算现 值估计
延期m年 终身生存年金
m
延期m年 n年定期生存年金
mn
ax = ax − ax:m = m Ex ⋅ ax + m = 1 ( Ax:m − Ax )
ax = ax:m + n − ax:m = m Ex ⋅ ax + m:n = 1
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n
相关公式及理解
ax:n
⎛ 1 − zt ⎞ 1 = E (Y ) = E ⎜ = (1 − Ax:n ) ⎟ ⎝ δ ⎠ δ
⇒ 1 = δ ax + Ax:n
⎛ 1 − zt ⎞ Var (Y ) = 2 Var ( zt ) = Var ⎜ ⎟ δ δ ⎝ ⎠
mn
ax = ax:m + n − ax:m = m Ex ⋅ ax + m:n 1 = ( Ax:m − Ax:m + n ) i
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第四节 每年给付数次的年金
分类
Z终身年金与定期年金 Z期初付年金与期末付年金 Z延期年金与非延期年金
推导思路
Z寻找与年付年金之间的关系
δ
δ
( Ax:m − Ax:m + n )
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第三节 离散型年金
离散生存年金定义： Z 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔一段时期 支付一次年金的保险。 离散生存年金与连续生存年金的关系 Z 计算精算现值时理论基础完全相同 Z 连续－积分→离散－求和 Z 连续场合不存在期初付期末付问题，离散场合期初付、 期末付要分别考虑 离散生存年金的分类 Z 期初年金/期末年金 Z 终身年金/定期年金 Z 延期年金/非延期年金