《等比数列的前n项和ppt课件》
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4.3.2等比数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
21 + 22 + 23 + ……
①
+ 262 + 263 + 264 ②
② ①得S 64 2 1(粒) 1844674407 4709551615 (粒)
64
已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约
为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
2
3
n
解 : ①当 x 0时, S n 1
②当x 1时, S n n 1
1(1 x n 1 ) x n 1 1
③ 当x 1且x 0时, S n
1 x
x 1
总结归纳
等比数列的前n项和公式
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
设等比数列{an }的首项为a1 , 公比为q, 前n项和为S n :
①q 1时, S n na1
②q 1时, S n
n 1
a
a
q
1
a1 (1 q ) n
n
1 q
知a1 , q, n
a1 an q
Sn
1 q
知a1 , q, an
注：当公比不确定时，应当分 = 和 ≠ 两种情况讨论.
以实现上述要求."
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒
的质量约为40g，据查，202X—202X年度世界小麦产量约为
7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
情景引入
“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子
里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类
等比数列的前n项和PPT课件
等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
数学人教A版选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式课件
a1 1 q
Sn
1 q
前
n
项
和
首
项
公
比
特殊情况：
n
项
数
a1 an q
q 1
1 q
通
项
a1 1 q n
Sn
1 q
a1 an q
Sn
1 q
回顾思考
国王需要给发明者多少粒小麦？
估计1000粒麦子的质量约为40g，那么麦粒
的总质量超过了7000亿吨，而目前世界年度
4.3.2 等比数列前n项和公式
复习回顾
等比数列的有关概念
an 1
q an 0, n N *
1. 定义:
an
2.通项公式：
an a1q
n 1
新课引入
国际象棋的传说
相传古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨。
于是，这位国王对宰相说:我可以满足你的任何要求.
陛下，赏小
等比数列求和问题
Sn a1 a2 a3 a4 an
Sn a1 a1q a1q a1q 究
问题2:当公比为时,等比数列前项和是什么呢？
Sn a1 a1q a1q a1q a1q
2
3
n -1
1
1 q
1
n
1 q
a1 , q, n, Sn , an ，五个基本量，知三求二．
特殊情况：
数学思想：特殊到一般、归纳猜想、分类讨论、方程思想。
课后作业
课本37页练习题
等差数列求和
高斯用首尾相加法来“消项”
等比数列的前n项和ppt课件
等比数列前1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
判 创设情境 类比探究 断
新知应用 归纳巩固
总结提升
是
5(1 1n )
非 555 5
0
11
n个
1 2 4 8 16
(2)n1 1 (1 22nn ) （ 2）n
1 (2)
n+1
创设情境 创类设比情探境究 新知应用 深化巩固 总结提升
求和 1+ a + a2 + a3 +
解
当a 0时，原式=1+0+0+ +0=1
当a 1时， 原式=1+1+ +1=n
当a 1时，原式= 1 1 an 1 a
+ an-1.
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
一个公式
Sn
a1
na1 (q 1)
(1 qn ) a1 anq
1 q
1 q
(q
1)
两种方法
错位相减 分类讨论
三种数学思想
类比 分类讨论 方程
作业 课本 选做1 选做2
1, 2, 22, 23, +30 S30 1 2 22 23
等比数列的前30项和
第一天给１万，每天 比前一天多给１万元，
连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
, 229 229
=?
创设情境 类比探究 新知应用 深化巩固 总结提升
等比数列前n项和（一）
学习目标
1
学习 目标
2
第七章 第三节 等比数列及其前n项和 课件(共54张PPT)
(2)等比中项 如果 a，G，b 成等比数列，那么_G_叫做 a 与 b 的等比中项．即：G 是 a
与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列⇒_G_2_＝__a_b_．
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_a_1_q_n_－_1___．
__n_a_1 ，q＝1； (2)前 n 项和公式：Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq，q≠1.
第七章 数 列
第三节 等比数列及其前n项和
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.通过实例，理解等比数列的概念． 考情分析： 等比数列的基本运算，
2．探索并掌握等比数列的通项公式 等比数列的判断与证明，等比数列的
与前 n 项和的公式．
性质与应用仍是高考考查的热点，三
3．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 aman＝apaq＝a2r . (2)若数列{an}、{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}、a1n 、{a2n }、{anbn}、 abnn (λ≠0)仍然是等比数列． (3)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an， an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为 qk.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式．
解析： (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋bn＋1＝12 (an＋bn).
又因为 a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12 的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为 a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列．
等比数列前N项和的性质ppt课件
AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
等比数列的前n项和公式(1) PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
高中数学
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
问题2 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的
发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子 里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放 上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一 个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的 麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同 意了.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ①
追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
an q n≥2，q 0
an1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示.
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
高中数学
回顾：等差数列的前 n 项和公式的推导过程. 等差数列 a1, a2 , a3, an 的前 n 项和是 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. 根据等差数列的定义 an1 an d. Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn an an1 an2 a3 a2 a1
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1.
高中数学
改进：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公 比来表示. Sn a1 a1q a1q2 a1qn3 a1qn2 a1qn1. ① 追问7：观察 ① 式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变 成它的后一项？
等比数列前n项和公式ppt课件
－
Sn qSn a1 a1qn
(1 q)Sn a1(1 qn )
公比q能否为1
Sn
a1(1 qn ) 1 q
乘公比错位相减法
新知讲解
当q 1时，Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
q=1
Sn
a1
(1
q
n
)
1 q
q≠1
典型例题-例1
已知an 是等比数列，若
a1
1 2
,
q
1 2
, 求S8
S8
a1(1 qn ) 1 q
1 2
(1
1 2
8
）
1（ -
1
）8
1-
1- 1
2
1 256
1 255
2
S8
1 255
典型例题-例2
已知an43
,q
0, 求S8
a1
27, a9
1 ,27 q8 243
1 243
q8 (1)8 3
q 0,q 1 3
新知探究
问题1：请问如何表示西萨到底要求的麦粒数？
1 2 22 23 263
问题2：仔细观察，1,2,22 ,23,24...... 263是什么数列
等比数列
问题3：1 2 22 23 263可以归结为什么数学问 题？
等比数列的前n项和求和问题
新知探究
S64 1 2 22 23 24...... 263
S8
27 [1 ( 1)8 ] 3
1（- 1）
1640 81
3
典型例题-例3
例3已知等比数列 {an }的首项为
-1，前
n项和为
S
4321等比数列的前n项和公式课件共60张PPT
课堂篇·互动学习
类型一 等比数列基本量的计算
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； (3)若 a3＝3，S3＝9，求 a1 和公比 q. [思路分析] 根据题设条件，将已知量代入等比数列的通项公式与前 n 项和公 式进行求解．
(3)①当 q≠1 时，S3＝a111－－qq3＝9，
又 a3＝a1·q2＝3，
∴a1(1＋q＋q2)＝9，即q32(1＋q＋q2)＝9，
解得 q＝－12(q＝1 舍去)，∴a1＝12.
②当 q＝1 时，S3＝3a1，∴a1＝a3＝3.
a1＝12， 综上得q＝－12
或aq1＝＝13. ，
1．在等比数列中，对于 a1，q，n，an，Sn 五个量，若已知其中三个量就可求 出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，求解 可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，再采取必要的数学处理方法，如换 元．
2．在解决与等比数列前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1 或 q≠1 进 行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
[变式训练 1] (1)在等比数列{an}中，若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5.
(2)在等比数列{an}中，若 q＝2，S4＝1，求 S8. (3)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30.求 an 和 Sn.
3将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数 学关系式.
[变式训练 2] 小华准备购买一台售价为 5 000 元的电脑，采用分期付款方式， 并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买 2 个月后第 1 次付款，再 过 2 个月后第 2 次付款，……，购买 12 个月后第 6 次付款，每次付款金额相同， 约定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少？ (1.00812≈1.10)
人教版高中数学5等比数列前n项和 (共45张PPT)教育课件
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
（1） 1 ，1 ，1，~~~
248
a1
1 2
,
q
1 2
,
n
8
S8
a1(1 q8) 1 q
1
[1
（
1
8
）]
22
1 1
255 256
（2）
a1
27,
a9
1, 243
q
0
2
a9
a1 q8
1 243
27
q8
q0
q 1 3
S8
a1(1 q8) 1 q
27[1
（
1
8
项数为奇数 S奇 a1 q S偶
S偶 q S 奇 a2n1
作业
（1）若等比数列 an 中，S n 4 • 3n2 5a 则实数a=_______
(2) 已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和
为 21 ，偶数项的和为 21 ，求这个数列的通项公式
16
32
等比数列前n•项和的性质2
成等比数列
(Y X )2 X (Z Y ) Y 2 X 2 2XY XZ XY
Y 2 XY XZ X 2 Y(Y-X)=X(Z-X)
等比数列前n项和性质4
等比数列 an 中，公比为q，前n项和为 S n 任意m、p N*
Sm p Sm qm S p
首项 a1, q 1
Sm p
练习
（1）等比数列 an 中，前n项和为 S n S10 20，S20 80 S30 260
S10 20，S20 80
S10，S20 S10 , S30 S20 成等比数列
等比数列的前n项和-优秀PPT课件
1
Sn
a1 anq 1 q
,q
1
na1, q 1
na1, q 1
练习1.判断是非
（ 2）n
①1 2 4 8 16 (2)n1 1 (1 2n) 1 (2)
n+1
② 1 2 22 23 2n 1 (1 2nn ) 12
③
c2
c4
c6
c2n
c2[1 (c2 )n ] 1 c2
, 14
,
1 8
,116
,
求前2n项中所有偶数项的和.
练习4
思考
资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达 7.4×108t，每吨占地1m2，环保部门每回收或 处理1t废旧物资，相当于消灭4t工业废弃垃 圾．如果环保部门2002年共回收处理了100t 废旧物资，且以后每年的回收量递增20%． (1)2010年能回收多少吨废旧物资？ (2)从2002年到2010年底，可节约土地多少m2?
小结：
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
q≠1,q=1 分类讨论
数学
源于生活
Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
na1
q 1
知三求二
a1 anq
Sn
1q
na1
数学 用于生活
q1
q1
分组求和
方
转
程
化
思
思
想
想
课后作业：
必做：P61 A组 1、4、6题 选做：
思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
等比数列的前n项和
选自人教A版必修5第二章第五节
等比数列的前n项和公式ppt课件
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导过程中用到的“错位相减” 方法;
(3) 公式的运用.
a1, q, n, Sn
12
5
对于一般的等比数列我们又将怎样求得它的前n项和呢?
设{an}为等比数列, a1为首项, q为公比,它的前n项和
Sn a1 a1q a1q2
两边同时乘以 q为
a1qn2 a1qn1
③
错 位
qSn a1q a1q2 a1q3
a1qn1 a1qn
4
5 9
,
பைடு நூலகம்
远望巍巍塔七层, 红光点点倍自增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?
10
一个等比数列的首项为
9 4
,末项为
4 9
,
各数项列的是和有为几项2316组1 ,求成数? 列的公比并判断
11
课堂小结
(1)等比数列的前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
相 减
由③- 4 得
(1 q)Sn a1 1 qn
6
(1 q)Sn a1 1 qn
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列的
通项公式
当 q 1时,
an a1qn1
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq ; 1 q
当 q 1时, 即{an}是一个常数列
2 22 23
263 264
4
S64 1 2 22 262 263
等比数列的前n项和(1)ppt课件
1
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
等比数列的定义:
an1 an
q
(q 0)
等比数列通项公式 : an a1qn1 (a1 0, q 0)
或an am qnm
等比数列的性质 : 若an是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N)
则有am an ap aq
2
国王能否满足发明者的要求？
各个格子里的麦粒数依次 是
8
例题：
例1、求下列等比数列前8项的和：
(1) 1 , 1 , 1 , 1 , ... 2 4 8 16 1
(2) a1 27 , a9 243 , q 0
9
课堂练习
1.根据下列各题中的条件,求出相应
等比数列 an的前n项和 Sn
( 1 ) a1 3, q 2, n 6
(2)
a1
8,
(1)- (2)得 (1 x)Sn 1 x x2 xn1 nxn
(1
x)Sn
1 (1 xn ) 1 x
nxn
又x
1, 所以
Sn
1 (1
xn x)2
nxn 1 x
14
错位相减法实际上是把一个数列求 和问题转化为等比数列求和的问题.
练习、求和：Sn
1 2
2 4
3 4 8 16
n. 2n
12
例2.某商场第一年销售计算机5000台, 如果平均每年的销售量比上一年增加 10%,那么从第一年起,约几年内可使总 销售量达到30000台(保留到各位)?
解: 根据题意,每年的销售量比上一年 增加的百分率相同 ,
所以从第一年起 ,每年的销售量组成一个 等比数列an,
a1 5000 q 110 % 1.1 Sn 30000
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
( 1) (1 q )
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
32
m
Sm 1 q
则
（
. q 1）
n
1
Sn 1 q
∴q .
不要忘记考
2
虑q=1与q≠1
两种情况.
跟踪训练
在等比数列{an}中，设前n项和为Sn，S3= ，S6= ，求公比q .
解 : (1)q 1时, S 6 6a1 , S3 3a1 , 则S 6 2S3 , 不符合题意.
3
课堂小结
获取知识的方法
知识内容
这节课
收获了什么
思想、素
养
课堂小结
，q 1
na1
n
S
a
1
q
a1 an q
➢ 数学知识：等比数列的前n项和公式 n 1
=
，
q 1
1
q
1
q
➢数学方法： 错位相减法
➢数学思想:
转化和化归
➢数学素养:
逻辑推理、数学抽象素养、数学运算、数学
学抽象素养。
2.通过等比数列的前n项和公式
的运用，培养数学运算素养。
3.借助等比数列的前n项和公式
解决简单的实际问题，培养数学
建模素养。
新课导入
数学小故事
相传，古印度的国王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西
萨。问他想要什么。于是，这位宰相跪在国王面前说：
2
3
1 2 2 2 2
4
263
思考：
问题1：1,2,2 2 ,23 , ,263 构成什么数列？
1
4.3.4 等比数列前n项和公式应用(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
2n－1
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
1 3 5
所以 Tn＝2＋22＋23＋…＋ 2n ，
2n－3 2n－1
1
1 3
2Tn＝22＋23＋…＋ 2n ＋ 2n＋1 ，
两式相减，得
2 2n－1
1
1 2 2
＋ ＋…＋2n－ n＋1
2Tn＝2＋22 23
2
2n－1 3 2n＋3
3
1
＝2－ n－1－ n＋1 ＝2－ n＋1 ，
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，
根据条件可知，这是一个等比数列。
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
随着的无限增大，
1
将趋近于0， 将趋近于50.
2
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
(1)求数列{an}的通项公式；
b1 b 2
1
bn
(2)若数列{bn}满足a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，求{bn}的前 n 项和 Tn.
n
1
2
[点拨]
(1)能否把条件转化为等差数列的两个基本量 a1 和 d 的方程？怎
么求出 an 的表达式？
bn
(2)如何先求出 a 进而确定{bn}的通项公式？数列{bn}的通项公式有什么
1
bn
(2)由已知a ＋a ＋…＋a ＝1－2n，n∈N*，
n
1
2
b1 1
当 n＝1 时，a ＝2；
1
1 1
1
bn
当 n≥2 时，a ＝1－2n－1－2n－1＝2n.
n
当 n＝1 时，也符合上式，
4.3.2等比数列的前n项和公式课件(人教版)
有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题了. 由a1 1，q 2，n 64，
可得
S64
1 (1 264 ) 1 2
264
1
1.84 1019.
如果一千颗麦粒的质量约为40克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨， 约是202X-202X年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：对于等比数列的相关量a1，q，n，an，S n ，已知几个量就可以确定其他量？
（1）若 （2）若
a1 a1
1227，，q a912，2求143S，8 q；
0，求 S8；
（3）若
a1
8，q
1 2
，Sn
31，求 2
n.
a1
q
n
an
Sn
（1）
1 2
1
8
√
√
2
知 三
1
（2） 27
√
9
243
√
求 二
（3） 8
1 2
√
√
31
2
例题讲授，学以致用
例2. 已知等比数列 an 的公比 q 1 ，前 n 项和为 Sn.
证明 Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：利用等比数列 an前 n 项和 Sn 的定义，得
Sn a1 a2 a3 an a1 a1q a1q2 a1qn1 a1(1 q q2 qn1），
公比 q(q 1)
首项 ， 公比
a1 ，末项
q(q 1)
an
首项 a1，项数 n ，
公比 q(q 1)
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn
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