数学思想与方法分类 试题答案p
2、数学思想方法之特殊与一般含答案
数学思想方法之特殊与一般1．特殊化思想对于某个一般性的数学问题，对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，那么可以先解决它的特殊情况，即从即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想. 2．一般化思想当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，先解决一般情形，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想. 一、一般问题特殊化一、一般问题特殊化【例1】设三棱柱111ABC A B C -的体积为,,V P Q 分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1P A QC =，则四棱锥B APQC -的体积为的体积为（Ａ）16V （Ｂ）14V （Ｃ）13V （Ｄ）12V 【分析及解】本题考查棱柱、棱锥的概念与计算. 方法一 常规方法 如图2-18,因为1P A QC =，所以PQ 将三棱柱的侧面11AAC C 分成面积相等的两个梯形，从而11B APQCB P AC Q VV--=.又1111133B A BC VV V -==柱体，且三棱柱111ABC A B C -被分成两个四棱锥B APQC -与11B PAC Q -以及三棱锥111B A B C -三部分，所以13B APQCV V -=. 方法二 特殊化的方法. 仔细分析题目的已知条件会发现，仔细分析题目的已知条件会发现，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，三棱柱的形态没给出具体限制，是一般的三棱柱；是一般的三棱柱；侧棱11,AA CC 上的两点,P Q 只有1P A QC =的要求，而没有具体位置的限制.从选项来看，所求四棱锥的体积是确定的.由此可以断定，用特殊化方法求解本题可以体现出快捷的特点.首先可以把三棱柱特殊化为直三棱柱，其次还可以将点,P Q 分别为11,AA CC 的中点；也可以使点P 趋近于点A ，点Q 趋近于点1C ，即使10P A QC =®，使四棱锥特殊化为三棱锥，实际上，这种处理方法也包含有极限的思想.经过特殊化处理后，再求解几何体的体积就要简单得多.除常规方法外的这两种特殊化方法所体现的正是特殊与一般的思想，用特殊的方AB CA 1B 1C 1PQ]p p p p p]4p6p aD B A y C o E 二、特殊问题一般化二、特殊问题一般化【例5】（04）已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=（Ａ）b （Ｂ）b - （Ｃ）1b （Ｄ）1b- 【分析及解】为了说明本题所体现的出来的数学思想方法，我们先来看解决本题的三种方法. 方法一 常规方法本题所研究的函数是确定的，其函数解析式已知且不含有参数如果把,a b 看成是两个母用字母表则表示的数，则它是它们也是确知确定的，已知的的.于是由()f a b =，得1lg 1ab a-=+.又1()lg 1a f a a +-=-，那么为求得()f a -的值，实际上就是求1lg 1aa+-怎样用关于b 的解析式来表示，就是求1lg 1a a +-与1lg 1aa -+的关系.到此，不难发现，有1111lg lg()lg 111a a aa a a-+--==--++，于是()f a b -=-. 方法二 一般化方法如果我们探究()f a 与()f a -的关系，产生猜想：如果()f x 是奇函数或偶函数，那么由()f a 的值求()f a -的值就会变得相当简单.()f x 具有奇偶性吗？具有奇偶性吗？()f x 的定义域为{11}x x -<<，关于原点对称.在定义域内任取x 和x -有1111()()lg lg lg()lg101111x x x xf x f x x x x x-+-++-=+=×==+-+-. 所以()f x 是定义域()1,1-内的奇函数，于是()()f a f a b -=-=-. 练习题1．（北京卷）对任意的锐角b a ,，下列不等式关系中正确的是（A ）b a b a sin sin )sin(+>+ （B ） b a b a cos cos )sin(+>+ （C ）b a b a sin sin )cos(+<+ （D ）b a b a cos cos )cos(+<+ 答案：（D ）. 提示，取特殊值，令==b a 30°，再令==b a 1°. 2．（天津卷）已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,b a ，且*,,51111N b a b a Î=+，设n b n a c =（*N n Î），则数列{}n c 的前10项和等于项和等于（A ）55 （B ） 70 （C ）85 （D ）100答案：（C ）. 提示，取特殊数列，令11=a ，得41=b ，3,+==n b n a n n ，所以3+=n c n. 4．（上海卷） 若关于x 的不等式4)1(42+£+k x k 的解集是M ，则对任意实数k ，总有总有（A ）M M ÎÎ0,2 （B ）M M ÏÏ0,2 （C ）M M ÏÎ0,2（D ）M M ÎÏ0,2 答案：（A ）. 提示，取特殊值，令0=k ，得4£x . 5．（福建卷）已知1=OA ，3=OB ，0=·OB OA ，点C 在AOB Ð内，且30=ÐAOC ，设),(R n m OB n OA m OC Î+=，则n m 等于等于 （A ）31 （B ）3 （C ）33（D ）3 答案：（B ）. 提示，提示，取特殊位置，由取特殊位置，由0=·OB OA ，将点C 取在直角△AOB 的斜边AB 上.6．（辽宁卷）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为a ，则=a c o s __________.答案：36. 提示，取特殊图形，求正方体的体对角线与各个面所成角的余弦值. 9（福建）．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ¢¢>>，，则0x <时（时（ ）A ．()0()0f x g x ¢¢>>，B ．()0()0f x g x ¢¢><，C ．()0()0f x g x ¢¢<>，D ．()0()0f x g x ¢¢<<， （提示：取2(),()f x x g x x ==）8、（全国1理9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0=0，，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足| b i |=2| a i |，且a i 顺时针旋转30以后与b i 同向，其中i=1i=1、、2、3则（则（ ））A 、-b 1+b 2+b 3=0B 、b 1-b 2+b 3=0C 、b 1+b 2-b 3=0D 、b 1+b 2+b 3=0 （提示：因为a 1+a 2+a 3=0，所以a 1、a 2、a 3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则b i 实际上是将三角形顺时针旋转30后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D 。
小学教育(数学思想与方法》考试汇集(含答案)
数学思想与方法试题 2015年元月 A一、单项选择题（每题4分，共40分）1．数学的第一次危机是由于出现了( C )而造成的。
A.无理数（或√虿） B．整数比詈不可约 C．无理数（或厄） D.有理数无法表示正方形边长2．算法大致可以分为( A )两大类。
A．多项式算法和指数型算法 B．对数型算法和指数型算法C. 三角函数型算法和指数型算法 D．单向式算法和多项式算法3．反驳反例是用____否定的一种思维形式。
( D )A．偶然必然 B．随机确定 C．常缝变量 D．特殊一般4．类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是( B )。
A．猜测一类比一联想 B．联想一类比一猜测 C．类比一联想一猜测 D．类比一猜测一联想5．归纳猜想是运用归纳法得到的猜想，它的思维步骤是( D )。
A．归纳一猜测一特例B.猜测一特例一归纳 C．特例一猜测一归纳D．特例一归纳一猜测6．传统数学教学只注重( A )的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。
A．形式化 B．科学化 C．系统化 D．模型化7．所谓统一性，就是( C )之间的协调。
A．整体与整体 B．部分与部分 C.部分与部分、部分与整体 D．个别与集体8．中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》____的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。
( A )A．以算为主逻辑演绎 B．演绎为主推理证明 C模型计算为主几何作画为主 D．模型计算几何证明9．所谓数学模型方法是( B )。
A．利用数学实验解决问题的一般数学方法 B．利用数学模型解决问题的一般数学方法C．利用数学理论解决问题的一般数学方法 D．利用几何图形解决问题的一般数学方法10．公理化方法就是从( D )出发，按照一定的规定定义出其它所有的概念，推导出其它一切命题的一种演绎方法。
A．一般定义和公理 B．特定定义和概念 C．特殊概念和公理 D．初始概念和公理二、判断题（回答对或错，每题4分，共20分）1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。
数学思想方法练习题答案
数学思想方法练习题答案一、选择题1. 以下哪个是数学中的归纳推理？A. 观察个别事实，得出一般结论B. 从一般到特殊C. 通过实验得出结论D. 通过类比得出结论答案：A2. 演绎推理的典型例子是：A. 三角形内角和定理B. 勾股定理C. 欧拉公式D. 黄金分割答案：B3. 以下哪个是数学中的类比推理？A. 从已知数列推导出未知数列的规律B. 从已知函数推导出未知函数的性质C. 从已知图形推导出未知图形的性质D. 所有以上选项答案：D二、填空题1. 数学中的反证法是一种________推理方法。
答案：间接2. 归纳推理的基本步骤包括：观察、________、概括。
答案：归纳3. 演绎推理的三段论包括：大前提、小前提和________。
答案：结论三、简答题1. 请简述数学中的归纳推理和演绎推理的区别。
答案：归纳推理是从个别事实出发，通过观察和实验，总结出一般性的结论。
而演绎推理则是从已知的一般性结论出发，通过逻辑推理得出特殊性的结论。
归纳推理是“从特殊到一般”，演绎推理是“从一般到特殊”。
2. 举例说明数学中的类比推理。
答案：类比推理是通过比较两个或多个对象的相似性，推断它们在其他属性上也可能相似。
例如，在几何学中，通过比较相似三角形的性质，我们可以推断出未知三角形的一些性质。
四、应用题1. 已知数列 1, 4, 9, 16, ... 请使用归纳推理找出数列的通项公式。
答案：观察数列可以发现，每一项都是其项数的平方。
因此，数列的通项公式为 \( a_n = n^2 \)。
2. 使用反证法证明：如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
答案：假设存在一个内角和不等于180度的三角形ABC，根据欧几里得几何的公理，任意三角形的内角和必须等于180度。
这与我们的假设矛盾，因此假设不成立，即如果一个三角形的内角和不等于180度，则它不是欧几里得几何中的三角形。
五、论述题1. 论述数学中的数学思维方法在解决实际问题中的应用。
数学思想与方法期末考试范围答案全
一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。
19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
数学思想与方法作业1-4参考解答
一、简答题1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。
解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。
2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。
解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。
决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。
因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
对于这类现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系。
在数学学科中，人们常常把研究决定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学。
用这些的分支来定量地描述某些决定性现象的运动和变化过程，从而确定结果。
但是由于随机现象条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述。
同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴涵的规律性。
这些是确定数学的局限所在。
二、论述题1. 论述社会科学数学化的主要原因。
解答：从整个科学发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势，其主要原因可以归结为有下面四个方面：第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经过量化后可以进行数值处理。
电大数学思想方法全网最全答案
数学思想与方法整理全网最全资料，一抄在手所向无敌一、填空题1古代数学大致可以分为两种不同的类型，一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
2、在数学中，建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表着作是古希腊欧几里得（《几何原本》）3、《几何原本》所开创的（公理化）方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：（1）（实践的需要，（2）理论的需要）数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是（解析几何），标志是（微积分）6、（数学基础知识和数学思想方法）是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是（在一定条件下，看你发生某种结果，也困难不发生某种结果。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征（两边相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段，（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10、数学的统一性是客观世界统一性额反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
11、强抽象就是指通过（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征（一组邻边相等）加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比是指（由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法）常称这种方法为类比法，也称类比推理、15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的（矛盾律）16、猜想具有两个显着特点：（具有一定的科学性、具有一定的推测性）17、三段论是演绎推理的主要形式，三段论由（大前提、小前提、结论）三部份组成。
18、化归方法是指（把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题的答的一种方法）19、在化归过程中，应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）20、在计算机时代，（计算方法）已经成为与理论方法，实验方法并列的第三种科学方法。
历年初三数学中考思想方法-分类讨论思想方法指导及例题解析及答案
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。
而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③ 解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5 ②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时，∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时，∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=o，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．（1）Q 在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==o ，， 210AC BC ∴==．AE BC Q ∥，APE CPB ∴△∽△．::3:1PA PC AE BC ∴==．:3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．Q 在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=o ． 又30PAB ∠=o Q ，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=o o ，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<； 当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+4、直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t ，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标；C Ｄ 图1 图2(2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）.（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧. 当51='=O P O T 时，△TO P '是等腰三角形.∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T . ② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形.得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD ＝433,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ． 由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33） 方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1． ∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23． ∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°，∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．。
数学思想方法习题和答案
（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。
2.设x 是一个自然数．若一串自然数x 0＝1，x 1，x 2，…，x t －1，x t ＝x ，满足x i －1＜x i ，x i －1|x i ，i ＝1，2，…，t ．则称{x 0，x 1，x 2，…x t }为x 的一条因子链，t 为该因子链的长度．T(x)与R(x)分别表示x 的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于x ＝5k ×31m ×1990n (k ，m ，n 是自然数)试求T(x)与R(x)．3.确定所有正整数n ，使方程x n ＋(2＋x)n ＋(2－x)n ＝0有整数解．4.(本小题满分12分) 设b a x x f ,,lg )(=为实数，且b a <<0．（1）求方程1)(=x f 的解；（2）若a ，b 满足f(a)=f(b)，求证：①1=⋅b a ；②12>+ba 5.已知331)(+=x x f ，分别求)1()0(f f +，)2()1(f f +-，)3()2(f f +-，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论。
6.课间休息时，n 个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学生们发糖：他选择一个学生并给一块糖，隔一个学生给下一个学生一块，再隔2个学生给下一个学生一块，再隔3个学生给下一个学生一块…．试确定n 的值，使最后(也许绕许多圈)所有学生每人至少有一块糖．7.设p ＝(a 1，a 2，…，a 17)是1，2，…，17的任一排列，令k p 是满足不等式a 1＋a 2＋…＋a k ＜a k ＋1＋…＋a 17的最大下标k ，求k p 的最大值和最小值，并求所有不同的排列p 相应的k p 的和．8.对正整数n ≣1的一个划分π，是指将n 分成一个或若干个正整数之和，且按非减顺序排列(如n ＝4，划分π有1＋1＋1＋1，1＋1＋2，1＋3，2＋2及4共5种)．对任一划分π，定义A(π)为划分π中数1出现的个数；B(π)为π中出现不同的数的个数(如对n ＝13的一个划分π：1＋1＋2＋2＋2＋5而言，A(π)＝2，B(π)＝3)．求证：对任意正整数n ，其所有划分π的A(π)之和等于B(π)之和． 9.证明：若则为整数．10.8分和15分的邮票可以无限制地取用．某些邮资额数，例如7分、29分，不能够刚好凑成．求不能凑成的最大额数n ，即大于n 的额数都能够凑成，并证明你的答案．试卷答案1.解析：（I ）f(x)=－x 2+8x=－(x －4)2+16,当t+1<4，即t<3时，f(x)在[t ，t+1]上单调递增，h(t)=f(t+1)=－(t+1)2+8(t+1)=－t 2+6t+7;当t ≢4≢t+1时,即3≢t ≢4时，h(t)=f(4)=16; 当t>4时，f(x)在[t ，t+1]上单调递减， h(t)=f(x)=－t 2+8t .综上，h(t)=⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,8,16,7622t t t t（II ）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数ϕ(x )=g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第3讲分类讨论思想(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第3讲 分类讨论思想 思想概述 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 是( )A ．－332B.332C ．－342D.342答案 C解析 若q ＝1，则有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1，但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，故q ≠1.又S 3＋S 6＝2S 9，①根据数列性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，②由①②可得S 3＝2S 6， ∴q 3＝S 6－S 3S 3＝－12，∴q ＝－342. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则a 的取值集合是________．思路分析 求a →代入f 1，f a 求解→讨论a答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1 解析 f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1.由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1，所以a ＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )． 所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12， 因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1. 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类.本题中，等比数列求和公式的两种情形，分段函数中自变量的不同范围均构成分类的标准.方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. 思路分析 求|PF 1||PF 2|→找|PF 1|，|PF 2|适合的条件→讨论Rt△PF 1F 2的直角顶点 答案 72或2 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2. 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论.方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (1)若函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞) 答案 D解析 函数f (x )＝a e x －x －2a 的导函数f ′(x )＝a e x －1，当a ≤0时，f ′(x )<0恒成立，函数f (x )在R 内单调递减，不可能有两个零点；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln 1a ，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln 1a 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ，＋∞内单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1－ln 1a －2a ＝1＋ln a －2a . 令g (a )＝1＋ln a －2a (a >0)，则g ′(a )＝1a－2， 当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，g (a )单调递增，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，g (a )单调递减， 所以g (a )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln2<0， 所以f (x )的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a <0， 当x →－∞时，f (x )→＋∞，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，函数f (x )＝a e x －x －2a 有两个零点．综上，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．(2)函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]·e x 在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围． 思路分析 求f ′x →看f ′x ＝0的解和1的关系→讨论a解 f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x .令f ′(x )＝0，得x 1＝1a，x 2＝1， 若a >1，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．含参数问题的求解要结合参数对题目结果的影响及参数的意义进行分类讨论.。
数学思想与方法考试题及答案
模拟题一一、填空题（每题5分.共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用.以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分.共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分.共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系答：①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。
③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
《九章算术》将246个题目归结为九类.即九种不同的数学模型.分列为九章。
②它在每一章中所设置的问题.都是从大量的实际问题中选择具有典型意义的现实原型.然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。
最新数学思想与方法考试题及答案
本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！最新数学思想与方法考试题及答案一、填空题（每题5分.共25分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发.能够得到这一问题的正确解）。
3．所谓数形结合方法.就是在研究数学问题时.（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
5．古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理.以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用.以（《九章算术》）为典范。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映.是数学中各个分支固有的内在联系的体现.它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）。
二、判断题（每题5分.共25分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物.又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想.一是公理化思想.一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分.共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？答：①因为在《几何原本》中.除了推导时所需要的逻辑规则外.每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理.并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求.原则上不再依赖其它东西。
因此《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
②另外.《几何原本》的理论体系回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题.因此对于社会生活的各个领域来说.它也是封闭的。
③所以.《几何原本》是一个封闭的演绎体系。
2．为什么说最早使用数学模型方法的是中国人？答：①因为在中国汉代的古算书《九章算术》中就已经系统地使用了数学模型。
数学思想方法练习题答案
数学思想方法练习题答案一、选择题1. 已知函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( f(a) = f(b) \)，根据介值定理，下列哪个选项是正确的？A. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上必有零点B. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个实数根C. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上至少有一个极值点D. \( f(x) \) 在\( [a, b] \)上单调递增或递减2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)3. 函数\( g(x) = x^3 - 3x \)的导数\( g'(x) \)是：A. \( 3x^2 - 3 \)B. \( x^2 - 3 \)C. \( 3x^2 - 6x \)D. \( x^2 - 3x \)4. 以下哪个选项不是数学归纳法的应用？A. 证明等差数列的求和公式B. 证明自然数的平方和公式C. 证明\( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots \)的和是发散的D. 证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)5. 以下哪个命题是假命题？A. 存在唯一的实数\( x \)，使得\( x^2 = 4 \)B. 任何实数\( x \)，都有\( x^2 \geq 0 \)C. 对于任意实数\( x \)，\( \sqrt{x^2} = |x| \)D. 所有实数\( x \)，\( x^2 + 1 \) 都是正数二、填空题6. 如果\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + px + q = 0 \)的根，那么\( p \)和\( q \)可以表示为\( a \)和\( b \)的函数：\( p =________ \)，\( q = ________ \)。
数学思想之分类讨论
数学思想之分类讨论分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．一、代数 （一）数、式1、若x 的相反数为3，y ＝5，则x ＋y 的值为（ ）．（D ） （A ）－8 （B ）2 （C ）8或－2 （D ）－8或22、若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则（C ）A ．5或－1B ．－5或1;C ．5或1D ．－5或－1 3、已知│x│=4，│y│=12，且xy<0，则xy=_______．（－8） 4、已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______．（±1）5、若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m++-的值是______．（0或－2）6、已知11||1,||a a a a-=+则的值为（ ）（B ）. .5 3 .51A C ±7、化简|1|x -（10－2x 或8或2x －10）8、已知：数3、6、x ，三个数中的一个数是另两个数的比例中项，求x ．（23，12，±23）（二）函数、方程1、在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数ky x=的图象的交点的个数是（ ）（A ） A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个2、一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ）（D ） A ．14 B ．－6 C ．－4或21 D ．－6或143、已知关于x 的方程m 2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有实数根，求m 的取值范围．（m≥－41）二、几何（一）锐角与钝角1、已知：△ABC 中，∠A=40°，AB 、AC 边上的高所在直线相交于H ，求∠BHC ．(140°或40°)2、等腰三角形面积是2，腰长是5，求底角的正切值．（2或21） 3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与直线AC 相交所得的锐角为50°，•则底角∠B 的大小为__________．（20°或70°）4、△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BD 为AC 边上的高，BD ＝3，∠ACB 的度数是__ _____．（300或600）5、△ABC 中，AB=AC ，CH 是AB 上高，CH=53AB ，BC=10，求（1）tgB ；（2）若正方形DEFG 内接于△ABC ，使D 在AB 上，G 在AC 上，E 、F 在BC 上，求正方形边长．（tgB=3或tgB=31；1053或710） 6、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=15，AD=8，CD=13，sinB=54，求BC ．（22或12）（二）等腰三角形1、等腰三角形的两条边分别为5cm ，6cm ，则周长为 cm ．（16或17）2、等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）（A ） A ．5cm B ．3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定3、若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（ ） （D ） A ．50°，80° B ．65°， 65°C ．50°，65°D ．50°，80°或 65°，65° 4、等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．（70°或40°） 5、已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．（6，8或9，5）6、已知：在平面直角坐标系中有两点A （－1，1），B （3，2），在x 轴上找出点C ，使△ABC 为等腰三角形．（（3，0）（－5，0）（±13+3，0）（811，0）） 7、直线y=33x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于B ，求（1）∠BAO 的余弦值；（2）是否存在点C ，使△ABC 是底角为30°的等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点C 坐标；若不存在，请说明理由．（（1）cos ∠BAO=23；（2）（－33，0）或（0，3）） 8、在等腰三角形中，如果有两条中线的长分别为3厘米和32厘米，那么这个等腰三角形的周长为 厘米．（8+27或22+45）9、为了美化环境，计划在某小区内用30m 2•的草皮铺设一块边长为10m 的等腰三角形绿地，请你求出等腰三角形绿地的另两边．（①当10；②当10为腰且三角形为锐角三角形时，另两边为10，当10为腰且三角形为钝角三角形时，另两边为10，10、在△ABC 中，正方形DEFG 的顶点D 、E 在BC 边上，顶点F 、G 分别在AC 、AB 边上，如果△ABC 是等腰三角形，且腰长为10cm ，底边长为12cm ，求正方形DEFG 的边长．（524或49240）（三）直角三角形1、已知Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．（5或7）2________．（23、Rt △ABC 中，sinA=54，c=10，求b ．（6或350）（四）相似1、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，•已有三角形框架甲，它的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，•那么符合条件的三角形框架乙共有（ ）（C ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 2、两个相似三角形的对应中线的比为2∶3，其中一个三角形的周长是20cm ，则另一个三角形的周长为 cm ．（30或340） 3、在△ABC 中，AB ＝8厘米，AC ＝6厘米，点D 、E 分别在边AB 、AC 边上，且以点A 、D 、E 为顶点的三角形和以点A 、B 、C 为顶点的三角形相似．如果AD ＝2厘米，那么AE ＝ 厘米．（23或38） 4、RtΔABC 中，∠C=90º ，BC=8，AC=6，则其内接正方形的边长为 ．（340或37120） 5、已知等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AD=BC=10，DC=13，tgA=0．75，E 是AB 上一点，如果△AED 相似△BCE ，求BE 的长．（229，25或4） 6、Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以C 为圆心，BC 为半径作圆交AB 于D ，如果点E 在CB 的延长线上，且△ABE 与△ACD 相似，求BE ．（310或6） 7、已知二次函数y=92x 2+322x+2的图像与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一次函数y=－2x+b 图像经过B 点，并与x 轴交于点C ，若D 在x 轴上，且∠BCD=∠ABD ，求图像经过B 、D 两点的一次函数解析式．（y=－522x+2或y=42x+2）（五）圆1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为__________．（1cm或7cm）2、已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________．（2cm 或4cm）3、若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（）（C）A．2 B．8 C．2或8 D．1或44、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．（1或5）5、若半径为1cm和2cm的两圆相外切，•那么与这两个圆相切、且半径为3cm的圆的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个（A）6、⊙O1与⊙O2相交于AB，且AB=24，两圆的半径分别为r1=15，r2=13，求两圆的圆心距．（14或4）7、已知AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=2，AD=1，求∠CAD的度数．（105°或15°）8、已知O是△ABC的外心，∠A为最大角，∠BOC的度数为y°，∠BAC的度数为x°，求y与x的函数关系式．（y=2x（0<x<90）或y=360°－2x（90<x<180））9、已知半径为3，5的两圆的两条公切线相互垂直，求圆心距．（82或22）10、已知半径为2和3的两圆相交于点A、B，且AB=22，求A、B与两圆心组成的四边形面积．（2±2）11、已知⊙O的直径AB=6cm，P为⊙O外一点，PA、PC切⊙O于A、C，C为弧AB的三等分点，求PC．（3或33）（六）位置1、点A在x轴上，且点A到原点的距离为4，则点A的坐标为．（（4，0）或（－4，0））2、线段AB=7cm，在直线AB上画线段BC=3cm，则线段AC= ．（10cm或4cm）3、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC= 15 ，则AB的长为．（3+5或4+25）4、平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．（2或3）5、已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4cm，线段OB的长度为6cm，E、F分别为线段OA、OB的中点，则线段EF的长度为cm．（1cm或5cm）6、已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．（3163+=x y 或3163+-=x y ） 7、抛物线y ＝ax 2＋c 与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．（y ＝2x 2＋3或y ＝8x 2－3）8、已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正弦值是21，设梯形面积为y ，梯形中较短的底边长为x ，求y 与x 的函数关系．（y=－95x 2+38x+4（0<x<6）或y=－92x 2+32x+4（0<x<6））9、已知，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AB ∶CD=6∶5，∠C 、∠D 的平分线都与AB 交于N ，M 两点，且N ，M 把AB 三等分，若梯形周长为76，求梯形中位线的长．（22或15418）10、如图，路灯A 的高度为7米，在距离 路灯正下方B 点20米处有一墙壁CD ，CD ⊥BD ， 如果身高为1.6米的学生EF 站立在线段BD 上 （EF ⊥BD ，垂足为F ，EF <CD ），他的影子的 总长度为3米, 求该学生到路灯正下方B 点的 距离BF 的长.（10.125米或18米）11、设方程023=--xx 的两根为x 1、x 2，且x 1<x 2，（1）求出x 1、x 2的值；（2）若A （x 1，0），B（x 2，0），C （0，x 2），D （－x 1，x 2+1），点O 为坐标原点，在△AOC 、△BOC 、△CDB 、△ACB 中是否有相似三角形．如果有，指出哪几对并证明；（3）若E 是y 轴上点，且满足它与A 、B 、C 三点组成的四边形面积，恰好等于四边形ABDC 的面积，求点E 的坐标．（（1）x 1=－1，x 2=3；（2）△AOC ∽△DCB ；（3）（0，23-）或（0，215））12、已知直线y=－33x+334，与x 轴相交于点A ，并经过B 点，已知OB=2，（1）求A 、B 的坐标；（2）若点E 在线段OA 上，点F 在线段EA 上，EF=2，分别过E 、F 作OA 垂线EM 、FN ，点M 、N 在△OAB 的边上，设OE=x ，那么x 为何值时，在△OAB 内且夹在直线EM 与FN 之间的面积为△OAB 面积的一半．（（1）A （4，0），B （1，3）；（2）23（舍231±））（第24题图）三、综合题（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）（一）等腰三角形1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个 动点P ，PH ⊥OA ，垂足为H ，△OPH 的重心为G ．（1）当点P 在弧AB 上运动时，线段GO 、GP 、GH 中，有无长度保持 不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设PH=x, GP=y 求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义城； （3）如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 长.（答案：（1）GH=2；（2）y=233631x +（0<x<6）；（3）6或2）2、已知，在ABC ∆中()A B ∠<∠，8,AB AC ==7cos 8A =. （1）求BC 的长（如图a ）；（2）P 、Q 分别是AB 、BC 上的点，且:2:1BP CQ =，连结PQ 并延长，交AC 的延长线于点E ，设,CQ x CE y ==（如图b ）.①求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域；②当x 为何值时，PEA ∆是等腰三角形？27.（1）BC=4（2）①()2022x y x x∴=<<-②若AP AE =，8AP <，8AE >，矛盾∴AP AE =不存在. …1分 若AE PE =，则A APE ∠=∠,,APE B A B ∠>∠∠<∠ ，矛盾∴AE PE =不存在.………………………………………………… 1分 若AP EP =，过点P 作PM AE ⊥,垂足为点M .822AE yAM +∴==………………………………………………………1分 872cos 828y AM A AP x +∴===-………………………………………………1分整理得7212x y +=，又22x y x ∴=-，解得126,45x x ==（舍）……1分AB CQPABC 图a图b∴当65x =时，PEF ∆是等腰三角形. …………………………………1分3、如图5，在以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点A ，与大圆相交于B ，大圆的弦BC ⊥AB ，过点C 作大圆的切线交AB 的延长线于D ，OC 交小圆于E ．（1） 求证：△AOB ∽△BDC ；（2） 设大圆的半径为x ，CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．（3） △BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由．25．解：（1）略；（2）函数解析式为122-=x x y ，定义域为1>x ．（3）当EB =EC 时，∠ECB =∠EBC ，而∠ECB =∠OBC ，∴EB ≠EC ．当CE =CB 时，OC =CE +OE =CB+OE=2+1=3．………………………………（1分） 当BC =BE 时，∠BEC =∠ECB =∠OBC ，则△BCE ∽△OCB ．………………（1分）则,OCBCBC CE =设OC = x ,则CE =1-x ,x x 221=-,2171±=x (负值舍去). ∴OC =2171+.…………………………………………………………………（1分）综上所述，△BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或2171+．（二）直角三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm ，cosB=54，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM=∠B ．（1）设BP=x ，CM=y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出 函数的定义域．（2）当△PCM 为直角三角形时, 求点P 、B 之间的距离．（答案：（1）y=582xx +-（0<x<8）；（2）425或4）2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，AD ＝6，BC ＝12，点E 在 AD 边上，且AE ：ED ＝1：2，连接CE ，点P 是AB 边上的一个动点，（P 不与A ，B 重合） 过点P 作PQ ∥CE，交BC 于Q ，设BP ＝x ，CQ ＝y ， （1）求CosB 的值；ABPCM（2）求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）连接EQ ，试探索△EQC 有无可能是直角三角形，若可能，试求出x 的值，若不能，请简要说明理由。
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【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】数学思想与方法分类整理试题答案
一、单项选择题
1．所谓类比，是指( ) B．由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法
2．猜想具有两个显着特点( )。
D．科学性与推测性
3．所谓数学模型方法是( )。
A．利用数学模型解决问题的一般数学方法
4．数学模型具有( )特性。
C．抽象性、准确性和演绎性、预测性5．概括通常包括两种：经营概括和理论概括。
而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础。
上升为普遍的认识——(A.由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性 )的认识。
6.三段论是演绎推理的主要形式，它由（）三部分组成。
D．大前提、小前
提和结论
7.传统数学教学只注重———的传授，而忽略对知识发生过程中——的挖
掘B．形式化数学知识，数学思想方法
8.特殊化方法是指在研究问题中，（）的思想方法B．从对象的一个给定集
合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合
9.分类方法的原则是（）D．不重复，无遗漏，标准同一，按层次逐步划分10．数学模型可以分为三类（）C．概念型，方法型，结构型。