第8讲+动态规划算法和实例分析

cw=c; for(sp=0,sw=0,i=1;i<=n-1;i++) if(m[i][cw]>m[i+1][cw]) //x(i)=1,装载w(i) { cw-=w[i]; //cw=cw-x(i)*w(i) sw+=w[i]; sp+=p[i]; printf("%2d\t%3d\t%3d\n",i,w[i],p[i]); }
0-1背包问题

逆推动态规划算法设计
构造最优解—步骤2 比较所装载的物品效益之和与最优值，决定w(n)是否装载， 方法： if (m[1][c]-效益之和) 等于 物品n的效益p[n] 装入w(n)

if(m[1][c]-sp==p[n]) //判断w(n)是否装载 { sw+=w[i]; sp+=p[i]; printf("%2d\t%3d\t%3d\n",n,w[n],p[n]); }
⑶经过上述推导，最优值在m[1][c]中。
最优值推导示例
0-1背包问题

逆推动态规划算法设计
构造最优解—步骤1 if m(i,cw) > m(i+1,cw), i=1,2,…,n-1 则x(i)=1，装载w(i); 其中：cw从c开始(cw=c)，cw=cw-x(i)*w(i) else x(i)=0，不装载w(i);

0-1背包问题

0-1背包问题

逆推动态规划算法设计

最优值计算
⑴根据边界条件计算m(n,j) for(j=0;j<=c;j++) //计算m(n,j) if(j>=w[n]) m[n][j]=p[n]; else m[n][j]=0;
0-1背包问题

逆推动态规划算法设计

最优值计算 ⑵逆推计算m(i,j) for(i=n-1;i>=1;i--) //逆推计算m(i,j),i=n-1...1 for(j=0;j<=c;j++) if(j>=w[i]&&m[i+1][j]<m[i+1][j-w[i]]+p[i]) m[i][j]=m[i+1][j-w[i]]+p[i]; else m[i][j]=m[i+1][j];

最长公共子序列

问题描述
给定两个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出序 列X和Y的最长公共子序列。
最长公共子序列

最长公共子序列

最长公共子序列

逆推动态规划算法设计——计算最优值
⑴根据边界条件计算c(i,n)和c(m,j) m=strlen(x); n=strlen(y); for(i=0;i<=m;i++) c[i][n]=0; for(j=0;j<=n;j++) c[m][j]=0;
CommonSubsequence
最长公共子序列

逆推动态规划算法设计——计算最优值
⑵逆推计算c(i,j) for(i=m-1;i>=0;i--) for(j=n-1;j>=0;j--) if(x[i]==y[j]) c[i][j]=c[i+1][j+1]+1; else { if(c[i][j+1]>c[i+1][j]) c[i][j]=c[i][j+1]; else c[i][j]=c[i+1][j]; }
动态规划算法和实例分析



动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列
动态规划简介

动态规划的基本思想
动态规划(DP：Dynamic Programming)是一种重要的程 序设计手段，其基本思想是在对一个问题的多阶段决策中， 按照某一顺序，根据每一步所选决策的不同，会引起状态的 转移，最后会在变化的状态中获取到一个决策序列。 动态规划就是为了使获取的决策序列在某种条件下达 到最优。动态规划是一种将多阶段决策过程转化为一系列单 阶段问题，然后逐个求解的程序设技方法。 引例：已知6种物品和一个可载重量为60的背包，物品 i(i=1,2,…,6)的重量wi分别为(15,17,20,12,9,14)，产生 的效益pi分别为(32,37,46,26,21,30)。装包时每一件物品 可以装入，也可以不装，但不可拆开装。确定如何装包，使 所得装包总效益最大。
动态规划简介

动态规划的基本思想
引例分析 多阶段决策问题，装每一件物品就是一个阶段，每个阶段都 有一个决策：物品装还是不装。 约束条件和目标函数




按照单位效益最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,1,1,0) ，总效益为130 按重量最大化装包，得xi的序列为(0,1,1,0,1,1)，总效 益为134 结论：决策序列(0,1,1,0,1,1)为最优决策序列
最长公共子序列

逆推动态规划算法设计——构造最优解
for(t=0,w=0,i=0;i<=m-1;i++) for(j=t;j<=n-1;j++) if(s[i][j]==1 && c[i][j]==c[0][0]-w) { printf("%c",x[i]); w++; t=j+1; break; }
⑶经过上述推导，最优值在c[0][0]中。
最优值推导示例
最长公共子序列

逆推动态规划算法设计——构造最优解
为了能够构造最优解，在逆推计算最优值的过程中，利用 s(i,j)记录x(i)与y(j)比较的结果： 当x(i)=y(j)时， s(i,j)=1 当x(i)!=y(j)时，s(i,j)=0 X序列的每一项与Y序列的每一项逐一比较，根据s(i,j)与 c(i,j)的取值构造最长公共子序列。对x(i)与y(j)比较， 其中i=0,1,…,m-1; j=t,…n-1(t从0开始），当确定最长 公共子序列中的一项时，通过t=t+1操作避免重复取项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)时，取x(i)为最长公共序列 中的第1项。 若s(i,j)=1且c(i,j)=c(0,0)-w时，取x(i)为最长公共序 列中的第w项（其中，w从0开始，每确定最长公共子序列 中的一项，w增一）。
动态规划简介

动态规划的步骤



将所求最优化问题分成若干个阶段，找出最优解的性质， 并刻画其结构特征。 将问题发展到各个阶段时所处的不同状态表示出来，确定 各个阶段状态之间的递推关系，并确定初始(边界)条件。 应用递推求解最优值。 根据计算最有值时所得到的信息，构造最优解。 最优子结构。问题的最优解包含了其子问题的最优解，则 称该问题具有最优子结构性质。 重叠子问题。用递归算法自顶向下解问题时，有些子问题 会被反复计算多次，称这些字问题重叠。动态规划算法利 用这种子问题重叠性质，对每个字问题只解一次(保存下 来)，已有尽可能多的利用这些子问题的解。
knapsack(0-1)
动态规划算法和实例分析



动态规划简介 0-1背包问题 最长公共子序列
最长公共子序列

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最长公共子序列概念
子序列 一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后所得到 的序列。即：给定X={x1,x2,…,xm}和Z={z1,z2,…,zk}，X的 子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}，使 得对于所有的j=1,2,…k，有zj=xij。例如： Z={b,d,c,a}是X={a,b,c,d,c,b,a}的一个子序列 公共子序列 若序列Z是序列X的子序列，又是序列Y的子序列，则称Z是序 列X和序列Y的公共子序列。例如： 序列"bcba"是"abcbdab"与"bdcaba"的公共子序列

动态规划问题的特征


动态规划算法和实例分析



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0-1背包问题

0-1背包问题

逆推动态规划算法设计
建立递推关系 设m(i,j)为背包容量j，可取物品范围为i,i+1,…,n的最大 效益值。则 当0<=j<w(i)时，物品i不可能装入，最大效益值与 m(i+1,j)相同； 当j>=w(i)时，有两种选择： ⑴不装入物品i，这时的最大效益值与m(i+1,j)相同； ⑵装入物品i，这时会产生效益p(i)，背包剩余容量为 j-w(i)，可以选择物品i+1,…,n来装，最大效益值为 m(i+1,j-w(i))+p(i)；