概率论习题解答(第5章)

1920 1600
160000
1 0.8=1- 0.7881= 0.2119
4. 某商店负责供应某地区 1000 人商品，某种
商品在一段时间内每人需要用一件的概率为
0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，
问商店应预备多少件这种商品，才能以 99.7%的
概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内
该种配件多少件？
解：设此生产厂商每月至少应购买 n 件该种 配件，其中合格品数为 X，则 X ~ B(n，0.8),
0.997=P{X10000}=
P{ X 0.8n 10000 0.8n} 1 (10000 0.8n) ，
0.16n
0.4 n
0.4 n
解得 n=12655 即此生产厂商每月至少应购买 12655 件改种配 件才能满足以 99.7 的把握保证出厂的电脑均能 装上合格的配件。
100
3 1 3 1 0.9987 0.0013
即对 100 位顾客的服务时间不多于两个小时的 概率为 0.0013.
7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为 80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑 10000 台，为了以 99.7%的把握保证出厂的电脑均能装 上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买
， 16
16
E( i ) 1600 , D( i ) 1.6 10 4
i 1
i 1
由独立同分布的中心极限定理可知：
16
i
近似服
i 1
从 N ( 1600 , 1.610000)，所以
=
16
i
1920
i1
1
16
i1
i
1920
1
16
i 1600
i 1
1.6 10000
每人最多可以买一件）．
解：设商店应预备 n 件这种商品，这一时间段
内同时间购买此商品的人数为 X ，
则 X ~ B（1000，0.6），则 E(X) = 600，D (X ) = 240，
根据题意应确定最小的 n，使 P{X ≤n }= 99.7%
成立.
则 P{X ≤n }
X
600
n
600
(n
解：依题意, X ~ B（100，0.9），则 E(X) = 90，
D (X ) = 9，
P{84 X 95) P{84 90 X 90 95 90}
3
3
3
(5) (2) (5) 1 (2) 0.95254 1 0.97725 0.92979
3
3
6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务 的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均 值为 1.5，方差为 1．求对 100 位顾客的总服务 时间不多于 2 小时的概率．
解：设柜台替第 i 位顾客服务的时间为 X i ，i
= 1,2,3.....100. 则 X i ，i = 1,2,3.....100 独立同分布，且 E（X i） =1.5，D(X i )=1，所以
100 P
i1
xi
120
100 P i1
xi 1001.5 100 1
120 150
600)
0.997
(2.75)
240
240
240
所以 n 2.75 240 600 642.6 ，取 n=643。
即商店应预备 643 件这种商品，才能以 99.7%的
概率保证不会脱销。
5. 某种难度很大的手术成功率为 0.9，先对
100 个病人进行这种手术，用 X 记手术成功的人
数，求 P{84 < X < 95}．
+ Y | 3}的上界。
解：由题知 X Y X Y = 11=0
Cov X ,Y = xy DX DY = 0.5 1 9 = -1.5
DX Y DX DY 2CovX ,Y 1 9 2 1.5 7
所以 PX Y 3 (X Y ) 0 3 7 9 3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均
8. 已知一本 300 页的书中，每页的印刷错误 的个数服从参数为 0.2 的泊松分布，试求整书中 的印刷错误总数不多于 70 个的概率．
解：记每页印刷错误个数为 Xi ，i=1，2， 3，…300， 则它们独立同服从参数为 0.2 的泊松分布，所以 E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以
常生产？
解：设发电机只需供给该车间 m 千瓦的电能 就能以概率 0.99 保证车间正常生产， 记 X 为 100 台机床中需开工的机床数，则 X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a2
PaX
m P
a
aX 100
值为 100 小时的指数分布．现随机地取 16 只， 设它们的寿命是相互独立的．求这 16 只元件的 寿命的总和大于 1920 小时的概率．
解：设 i 个元件寿命为 Xi 小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
则 X1 ，X2 ，... ，X16 独立同分布，且 E(Xi ) =100， D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，
1 n
n
D(X ) D(1
n
n i 1
1 Xi) n2
n
1
i1 D( X i ) n 2
n 1 n
由契比谢夫不等式可得
P{| X | 2 } 1 / n 1 1
4
4n
2. 设 E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) =
9， XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计 P{|X
300
300 P X i
i1
70 P i1
X i - 0.2 300
0.2 300
70
- 60
60
10 60Biblioteka Baidu
1.29
0.90147
9. 设车间有 100 台机床，假定每台机床是否
开工是独立的，每台机器平均开工率为 0.64，开
工时需消耗电能 a 千瓦，问发电机只需供给该车
间多少千瓦的电能就能以概率 0.99 保证车间正
概率论习题解答(第 5 章)
三、解答题
第 5 章习题答案
1. 设随机变量 X1，X2，…，Xn 独立同分布，
且
X～P()，X
1 n
n
i 1
Xi
，试利用契比谢夫不等式估
计 P{| X | 2 } 的下界。
解：因为 X～P()， E(X )
E(1 n
n i 1
Xi)
1 n
n i 1
E(Xi )