中考数学折叠专项训练试题(含答案)

中考数学折叠专项训练试题附参考答案一．选择题（共9小题）1．（2013•贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F△，将DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④△S BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；矩形的性质．专题：压轴题．分析：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在DEF△和CNF中，△，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴△S BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG△和HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：①根据平角的定义，折叠的性质和角平分线的性质即可作出判断；②根据折叠的性质和等腰三角形的性质可知DE≠CH；③无法证明BE=EF；④根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形中线的性质可得△BEG和△HEG的面积相等；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．在△RT EKG中利用勾股定理可即可作出判断．解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；可证EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；②△③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；可证GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG△和HEG ④△的面积相等，故正确；2，解得 x 1=y （不合题意舍去） x 2=y ．则 ，故正确． （ E⑤过 E 点作 EK ⊥BC ，垂足为 K ．设 BK=x ，AB=y ，则有 y 2+（2y ﹣2x ）2=（2y ﹣x ） ，故正确的有 3 个． 故选 B ．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断 每个结论，难度较大，注意细心判断．3． 2012•遵义）如图，矩形 ABCD 中， 是 AD 的中点，将△ ABE 沿 BE 折叠后得到△ GBE ， 延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．2考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：首先过点 E 作 EM ⊥BC 于 M ，交 BF 于 N ，易证得△ ENG ≌△BNM （AAS ），MN 是△ BCF 的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN ，由折叠的性质，可得 BG=3，继而求得 BF 的值，又由勾股定理，即可求得 BC 的长．解答：解：过点 E 作 EM ⊥BC 于 M ，交 BF 于 N ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC ， ∵∠EMB=90°，∴四边形 ABME 是矩形， ∴AE=BM ，由折叠的性质得：AE=GE ，∠EGN=∠A=90°， ∴EG=BM ，∵∠ENG=∠BNM ，∴△ENG ≌△BNM （AAS ）， ∴NG=NM ， ∴CM=DE ，∵E 是 AD 的中点， ∴AE=ED=BM=CM ， ∵EM ∥CD ，∴BN ：NF=BM ：CM ，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC=故选B．==2．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG⊥DE；△②ADG和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④考点：正方形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：充分利用三角形的全等，正方形的性质，平行四边形的性质依次判断所给选项的正误即可．解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，， ，∴四边形 ADQG 是平行四边形；作 CW ⊥BE 于点 W ，FJ ⊥BE 于点 J ， ∴四边形 CWJF 是直角梯形；∵AB=DA ，AE=DQ ，∠BAE=∠ADQ ， ∴△ABE ≌△DAQ ， ∴∠ABE=∠DAQ ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°． ∴△ABH 是直角三角形． 易证：△ CWB ≌△BHA △， EJF ≌△AHE ； ∴WB=AH ，AH=EJ ， ∴WB=EJ ， 又 WN=NJ ，∴WN ﹣WB=NJ ﹣EJ ， ∴BN=NE ，③正确；∵MN 是梯形 WGFC 的中位线，WB=BE=BH+HE ，∴MN= （CW+FJ ）= WC= （BH+HE ）= BE ；易证：△ ABE ≌△DAQ （SAS ），∴AK= AQ= BE ，∴MN ∥AK 且 MN=AK ；四边形 AKMN 为平行四边形，④正确．△S ABE △=S ADQ △=S ADG = S ADQG ，②正确．所以，①②③④都正确； 故选 D ．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．（2012•资阳）如图，在△ ABC 中，∠C=90°△，将 ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好 落在 AB 边上的点 D 处，已知 MN ∥AB MC=6 NC= ，则四边形 MABN 的面积是（ ）MA ．B ．C ．D ．考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题．分析：首先连接 CD ，交 MN 于 E ，由将△ ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，即可得 MN ⊥CD ，且 CE=DE ，又由 MN ∥AB ，易得△ CMN ∽△CAB ， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由 MC=6，NC= ，即可求得四边形 MABN 的面积．解答：解：连接 CD ，交 MN 于 E ，△∵将 ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处， ∴MN ⊥CD ，且 CE=DE ， ∴CD=2CE ， ∵MN ∥AB ， ∴CD ⊥AB ，∴△CMN ∽△CAB ，∴，△∵在 CMN 中，∠C=90°，MC=6，NC=∴△S CMN = CM •CN= ×6×2=6，∴△S CAB =4S △ CMN =4×6 =24 ， ∴S 四边形ABN △=S CAB ﹣△S CMN =24 ﹣6故选 C ．，=18 ．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D △是 ABC 的 AC 边上一点，AB=AC ，BD=BC △，将 BCD 沿 BD 折叠，顶点 C 恰好落在 AB 边的 C ′处，则∠A ′的大小是（ ）A．40°B．36°C．32°D．30°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：连接C'D，根据AB=AC，BD=BC，可得∠ABC=∠ACB=∠BDC，然后根据折叠的性质可得∠BCD=∠BC'D，继而得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和求出各角的度数，最后可求得∠A的大小．解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，=72°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D=∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．（2012•舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D△，则ABC△与AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB△，由ABC中，∠CAB=∠B=30°，∴S阴影AC•DE=×2×AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=∴AC=，==2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∴DE===，=故选A．=．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．（2013•定海区模拟）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC 边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：作CF⊥AB于点F，利用三线合一定理即可求得BF的长，然后证明△CDE是直角三角形，BD=x，则CD=DE=2﹣x，利用三角函数即可得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，△在CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣故选B．．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．（2013绥化）如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB 沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：先根据勾股定理计算出AB=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC=30°，在根据折叠的性质得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF=∠BED=30°，在△Rt BCF中可计算出CF=，BF=2CF=，则EF=2﹣，在△Rt DEF中计算出FD=1﹣，ED=﹣1，然后利用△S ABE△=S ABD△+S BED△+S ADE=2S△ABD△+S ADE计算即可．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，=，BF=2CF=，在△Rt BCF中，CF=∴EF=2﹣，在△Rt DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴△S ABE△=S ABD△+S BED△+S ADE=2S△ABD△+S ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。