第六章机器人的轨迹规划

机器人的轨迹规划与生成
1 机器人规划的基本概念 2 关节空间法 3 直角坐标空间法 4 轨迹的实时生成 5 径的描述
6.1.1 机器人规划的基机本概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人根据自身的 任务，求得完成这一任务的解决方案的过程。这里所说的任务，具 有广义的概念，既可以指机器人要完成的某一具体任务，也可以是 机器人的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等。
6.2 关节空间法
例： 设机械手的某个关节的起始关节角θ0＝150，并且机械手原来
是静止的。要求在3秒钟内平滑地运动到θf=750时停下来(即要求在 终端时速度为零)。规划出满足上述条件的平滑运动的轨迹，并画出 关节角位置、角速度及角加速度随时间变化的曲线。
解：
根据所给约束条件，直接代入式(4-4)，可得：
• 如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运 动轨迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终 点都规定了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系 数），则要用一个五次多项式进行插值。
t a 0 a 1 t a 2 t2 a 3 t3 a 4 t4 a 5 t5
ta 0a 1 ta 2 t2a 3 t3
（4-3）
作为所要求的光滑函数。式4-3中有4个待定系数，而该式需满 足式4-1和4-2的4个约束条件，因此可以唯一地解出这些系数：
6.2 关节空间法
a0 q0
a1 0
a 2
3
t
2 f
q f q0
（4-4）
a 3
2
t
3 f
q f q0
注意：这组解只适用于关节起点、终点速度为零的运动情况。
（2）采用路径点处加速度连续的方法，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发 式方法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
• 对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法用两条
三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所要求的轨迹。 其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度也要连续。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能 只输入机械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便 是要确定出达到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和 速度等。
6.2
关节空间法首先将在工具空间中期望的路径点， 通过逆运动学计算，得到期望的关节位置，然后在关 节空间内，给每个关节找到一个经过中间点到达目的 终点的光滑函数，同时使得每个关节到达中间点和终 点的时间相同，这样便可保证机械手工具能够到达期 望的直角坐标位置。这里只要求各个关节在路径点之 间的时间相同，而各个关节的光滑函数的确定则是互 相独立的。
g
v
0
0 t0 tv
tg t
• 对于方法（3）， 这里所说的启发式方法很简单，即假设用直线段 把这些路径点依次连接起来，如果相邻线段的斜率在路径点处改变符 号，则把速度选定为零；如果相邻线段不改变符号，则选择路径点两 侧的线段斜率的平均值作为该点的速度。
D
A
C
0
B
t0 tA tB
tC
tD t
路径点上速度的自动生成
6.2 关节空间法
下面具体介绍在关节空间内常用的两种规划方法
1） 三次多项式
考虑机械手末端在一定时间内从初始位置和方位移动到目标 位置和方位的问题。利用逆运动学计算，可以首先求出一组起始 和终了的关节位置．现在的问题是求出一组通过起点和终点的光 滑函数。满足这个条件的光滑函数可以有许多条，如下图所示：
6.2 关节空间法
2）与抛物线拟合的线性函数 前面介绍了利用三次多项式函数插值的规划方法
。另外一种常用方法是线性函数插值法，即用一条直 线将起点与终点连接起来。但是，简单的线性函数插 值将使得关节的运动速度在起点和终点处不连续，它 也意味着需要产生无穷大的加速度，这显然是不希望 的。因此可以考虑在起点和终点处，用抛物线与直线 连接起来，在抛物线段内，使用恒定的加速度来平滑 地改变速度，从而使得整个运动轨迹的位置和速度是 连续的。
“终点”的关节速度不再是零。
3
0
0
t0 t1
t2 t
• 同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的速度 约束条件变为：
& 0 &0
&
tf
&f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位置 和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的期望关节 速度，有以下三种方法：
（1） 根据工具坐标系在直角坐标空间中的瞬时线速度和 角速度来确定每个路径点的关节速度 ；该方法工作量大。
30
75
40
.
θ
θ
..
θ
150
t/s
3
t 150
t/s
0
t/s
3
3
t -40
利用三次多项式规划出的关节角的运动轨迹
• 过路径点的三次多项式
方法是：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运
动学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插
值函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和
轨迹：每个自由度的位移、速度和加速度的时间历程。 描述方法:
描述成工具坐标系{T}相对于工作台坐标系{S}的运动。
路径点-这个术语包括了所有的中间点以及初始点和最终点。 需要记住的是，虽然通常使用“点”这个术语，但实际上它们是 表达位置和姿态的坐标系。
6.1.1 机器人规划的基本概念
轨迹规划的目的是——将操作人员输入 的简单的任务描述变为详细的运动轨迹描述。
a0=15， a1=0， a2=20， a3=-4.44 所求关节角的位置函数为：
t1520t24.44t3
（4-6）
对上式求导，可以得到角速度和角加速度
&t 40t 13.33t2
&&t 4026.66t
（4-7）
6.2 关节空间法
根据式(4-5)～(4-7)可画出它们随时间的变化曲线如下图所 示。由图看出，速度曲线为一抛物线，加速度则为一直线。
q(t) qf
q0
0
tf
t
单个关节的不同轨迹曲线
6.2 关节空间法
显然，这些光滑函数必须满足以下条件：
0 0
tf
f
满足起点和终点的关节角度约束 （4-1）
同时若要求在起点和终点的速度为零，即：
& 0 0
& t f
0
满足起点和终点的关节速度约束 （4-2）
那么可以选择如下的三次多项式：