华科线性代数深刻复习重要

重点：

1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）

2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P .27第8题） 【主要内容】

1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则

2、排列与逆序

3、方阵的行列式

4、几个重要公式：（1）

T

A A =； （2）

A

A 1

1=

-； （3）

A k kA n =；

（4）1

*-=n A

A ； （5）

B A AB =； （6）

B A B

A B

A ==

**

0；

（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a n

i ij ij ，，01 ； （8）⎩

⎨⎧≠==∑=j i j

i A A a n

j ij ij ，，01

（其中

B A ,为n 阶方阵，k 为常数）

5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形； （2）利用行列式的展开定理降阶； （3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值

【要求】

1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。

2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。

3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。

4、会计算简单的n 阶行列式。

5、知道并会用克莱姆法则。

1． 矩阵的运算性质

2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题）

3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P .109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 【主要内容】

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式

3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、n 阶矩阵

A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。

⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的特征值全不为零。⇔A 可以经过初等变换化为单位矩阵。⇔A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法（（1）定义法；（2）初等变换法）。

7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。 【要求】

1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩

阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。 第三部分 线性方程组

1． 线性方程组的解的判定，带参数的方程组的解的判定 2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解） 【主要内容】

1、向量、向量组的线性表示：设有单个向量b ，向量组

A ：n ααα,,,21K ，向量组

B ：

m βββ,,,21K ，则

（1）向量b 可被向量组

A 线性表示⇔),,,,(),,,(2121b R R n n ααααααK K = （2）向量组

B 可被向量组

A 线性表示

⇔),,,,,,,(),,,(212121m n n R R βββααααααK K K =

（3） 向量组

A 与向量组

B 等价的充分必要条件是：

),,,,,,,(),,,(),,,(21212121m n m n R R R βββαααβββαααK K K K ==

（4）基本题型：判断向量b 或向量组B 是否可由向量组

A 线性表示？如果能，写出表达式。

解法：以向量组

A ：n ααα,,,21K 以及向量b 或向量组

B :m βββ,,,21K 为列向量构成矩阵，并

对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。 2、向量组的线性相关性

判别向量组s ααα,,,21K 的线性相关、线性无关的常用方法：

方法一：（1）向量方程02211=+++s s k k k αααK 只有零解⇔向量组s ααα,,,21K 线性无

关；（2）向量方程0221

1=+++s s k k k αααK 有非零解⇔向量组s ααα,,,21K 线性相关。

方法二：求向量组的秩),,,(21s R αααK

（1）秩),,,(21s R αααK 小于个数s ⇔向量组s ααα,,,21K 线性相关 （2）秩),,,(21s R αααK

等于个数s ⇔向量组s ααα,,,21K 线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关

⇔以向量组

s ααα,,,21K 为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关⇔以向量组s ααα,,,21K 为列向