自己总结很经典二次函数各种题型分类总结

二次函数题型分类总结
题型1、二次函数的定义
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2
+4x ； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2
+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2
+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2
+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m －2)x m －2
+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。

5、已知函数y=(m －1)x 21
m +5x －3是二次函数，求m 的值。

题型2、二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2
+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b
2
4a
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ .
3．抛物线y ＝x 2
＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若抛物线y ＝ax 2
－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴
6．已知抛物线y ＝x 2
＋(m －1)x －14
的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .
7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。

8．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。

9．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n
＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口_______.
10．已知二次函数y=x 2
－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 11．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。

12．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。

题型3、函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质
1．抛物线y=x 2
+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x 2
－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2
+8x －2； （3）y=－14
x 2+x －4
5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2
－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2
+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7．某商场以每台2500元进口一批彩电。

如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
题型4、函数y=a(x －h)2的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向 对称轴
顶点坐标
()2
23--=x y
()232
1
+=
x y
2．已知函数y=2x 2
,y=2(x －4)2
，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2
？
3．试写出抛物线y=3x 2
经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2
3
个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=12
(x －3)2
的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

5．二次函数y=a(x －h)2
的图象如图：已知a=12
，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。

题型5、二次函数的增减性
1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5
2
的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 .
题型6、二次函数的平移
技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。

将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2
+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减
6.抛物线y= －3
2
x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

9.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

10.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ .
11.将抛物线y ＝ax 2
向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
题型7、函数的交点
11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。

题型8、函数的的对称
13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。

14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则a= b= c=
题型9、函数的图象特征与a 、b 、c 的关系
1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a C ．a-b+c> 0 D ．c< 0
3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2
-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．①②③
D ．①③⑤
4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )
6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图5所示，那么abc ，b 2
－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
7.在同一坐标系中，函数y= ax 2+c 与y= c
x
(a<c)图象可能是图所示的( )
A B C D
8.反比例函数y = k x
的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2
x-k 的图象大致为图中的（ ）
A B C D
9.反比例函数y = k x
中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2
+2kx+c 的图象大致为图中的（ ）
A B C D
10.已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同；
③4a ＋b ＝0; ④当y ＝－2时，x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11.已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ）
1x A y O 1x
B y O 1x
C y O 1x
D y O
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型10、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写一个即可）
2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为
3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ABC的面
积为( )
A.6
B.4
C.3
D.1
5.已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于为49
25
，则m的值为( )
A.－2
B.12
C.24
D.48
6.若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是
7.已知抛物线y＝x2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。

题型11、函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k 求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。

5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y=2x2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析
式。

9．抛物线y=2x2+bx+c与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b＝，c＝ .
10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。

11．根据下列条件求关于x的二次函数的解析式
（1）当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）
（2）图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3
2
（3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（4）当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3
（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）
11．当二次函数图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1= －3，x 2=1时，且与y 轴交点为（0，－2），求这个二次函数的解析式
12．已知二次函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，12 ）且图象过点（2，11
2
），求二次函数解析式及图象与y 轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)， (－1,0)与y 轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

15．若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x= 1
2
对称，那么图象还必定经过哪一点？
16．y= －x 2+2(k －1)x+2k －k 2，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

17．抛物线y= (k 2－2)x 2+m －4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － 1
2
x +2上，求函数解析式。

题型12、二次函数应用
(一）经济策略性
1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。

经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。

假定每月销售件数y(件）是价格X 的一次函数. (1)试求y 与x 的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）
2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。

（2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？
3.某商场批单价为25元的旅游鞋。

为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。

(1)求Y与X之间的函数关系式；
(2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式；
(3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？
4.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，
线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
2 ，计算结果精确到1米）．（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.1。