概率论与数理统计习题及答案第七章

习题7-1
1. 选择题
(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .
(A) X 和S 2. (B) X 和
211
()n
i
i X n
μ=-∑. (C) μ和σ2
. (D) X 和21
1
()n
i
i X X n
=-∑.
解 选(D).
(2) 设[0,]X U θ:, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) .
(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n
X ≤≤. (D) 1min{}i i n
X ≤≤.
解 选(B).
2. 设总体X 的分布律为
其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.
解 因为E (X )=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令15X θ-=得到θ的
矩估计量为ˆ15
X θ
-=. 3. 设总体X 的概率密度为
(1),01,
(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨
⎩其它.
其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；
(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为
1
10
1
()()d (1)d 2
E X xf x x x x θθθθ+∞
+-∞
+==+=
+⎰
⎰. 令()E X X =, 即12
X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为
21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数
为
1(1),01,0,
n n i i i x x L θθ=⎧⎛
⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪
⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=n
i i
x
n L 1
ln )1ln(ln θθ,
令
1
d ln ln d 1
n
i i L n
x θ
θ==
++∑=0, 得
θ的极大似然估计值为 1
ˆ1ln n
i
i n
x
θ
==--∑,
而θ的极大似然估计量为 1
ˆ1ln n
i
i n
X
θ
==--∑.
4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为
e ,0,
(,)0,
0,x x f x x λλλ->=⎧⎨
⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数
λ的矩估计量与极大似然估计量.
解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆX
λ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数
1
1
n
i
i i
n
x
x n
n
i L e
e
λ
λλ
λ=--=∑==∏,
取对数 1
ln ln ()n
i i L n x λλ==-∑.
令
1d ln 0,d n
i i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx
λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX
λ
=. 5. 设总体X 的概率密度为
,01(,)1,
120,x f x x θθθ<<=-⎧⎪
⎨⎪⎩
，≤≤，其它,
其中θ（0<θ<1）是未知参数. X 1, X 2, …, X n 为来自总体的简单随机样本, 记
N 为样本值12,,,n x x x L 中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大
似然估计量.
解 (1) 1
2
1
3()d (1)d 2
X E X x x x x θθθ==+-=
-⎰
⎰
, 所以32
X θ=
-矩.
(2) 设样本12,,n x x x L 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:
x (1) ≤ x (2) ≤…≤ x (N ) <1≤ x (N +1)≤ x (N +2)≤…≤x (n ) .
似然函数为
(1)(2)()(1)(2)(1),1()0,
,N n N N N N n x x x x x x L θθθ-++-<=⎧⎨
⎩L L ≤≤≤≤≤≤≤其它.
考虑似然函数非零部分, 得到
ln L (θ ) = N ln θ + (n − N ) ln(1−θ ),
令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-, 解得θ的极大似然估计值为ˆN n
θ=. 习题7-2
1. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2
σ都存在但未知, 而
12,,,n X X X L 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2
σ的无偏估计量.
(A) 1
1
n
i
i X n
=∑和
2
1
1
()n
i
i X X n
=-∑. (B)
1
1
1
n
i
i X n =-∑和21
1
()1
n
i
i X X n =--∑.
(C)
1
1
1
n
i
i X n =-∑和
2
1
1
()1
n
i
i X n μ=--∑. (D)
1
1
n
i
i X n
=∑和
21
1
()n
i
i X n
μ=-∑.
解 选(D).
2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ:的样本, 且
Y 12311
34
X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?
解 要求1231111
()3434
E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.
3. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X
的样本, 试证：2121
()2X X -为2σ的无偏估计.
证 因为222
12112211[()][(2)]22
E X X E X X X X -=-+
222
2
112212[()2()()]2
2
E X E X X E X σσ=
-+=
=,
所以2121
()2
X X -为2σ的无偏估计.
习题7-3
1. 选择题
(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.
(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).
(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).
(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）
习题7-4
1. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):
1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200． 设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.
解 计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得
/20.025 1.96z z ==α.
所求置信区间为
/2/2(,)
(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).
x x z +
=-=αα
2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.
解 计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得
0.0252
(1)(39) 2.0227t n t α-==.
所求μ的置信区间为
2
2
((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα-
-+
-=+
=(96.045, 113.955).
3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．
解 已知n =8, s 2 =2.42, α = 0.01, 查表可得
220.0052
(1)(7)20.278n αχχ-==, 220.99512
(1)(7)0.989n αχχ--==, 所以方差σ 2的置信区间为
2
2
2212
2
(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22
(81) 2.4(81) 2.4(
,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样
本:X 1,X 2,…,X 12及Y 1,Y 2,…,Y 17, 算出22
1210.6g,9.5g, 2.4, 4.7x y s s ====.
假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值
分别为12,μμ. 又设两总体方差22
12σσ=. 求12μμ-置信水平为0.95的置信区
间, 并说明该置信区间的实际意义.
解 由题设22
121210.6,9.5, 2.4, 4.7,12,17,x y s s n n ======
22
221122
12(1)(1)(121) 2.4(171) 4.7
1.942
12172
w
n s n s s n n -+--⨯+-⨯=
=
=+-+-
120.0252
(2)(27) 2.05181,t n n t α+-==所求置信区间为
122
(()(2)((10.69.5) 2.05181 1.94x y t n n s α-±+-=-±⨯ =(-0.40,2.60).
结论“21μμ-的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值1μ比第二个正态总体均值2μ大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.
5. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了100户, 得出每户月平均需求量为10公斤, 方差为9 . 如果这种商品供应10000户, 取置信水平为0.99.
(1) 取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计; (2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？ 解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为
2
2
2
2
((1),(1))()
(10 2.575,10 2.575)(9.2275,10.7725).
,x n x n x z x αααα-+
-≈+
=-
=
10000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)；
（2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要.。