概率论与数理统计习题及答案第七章

习题7-1

1. 选择题

(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .

(A) X 和S 2. (B) X 和

211

()n

i

i X n

μ=-∑. (C) μ和σ2

. (D) X 和21

1

()n

i

i X X n

=-∑.

解 选(D).

(2) 设[0,]X U θ:, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) .

(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n

X ≤≤. (D) 1min{}i i n

X ≤≤.

解 选(B).

2. 设总体X 的分布律为

其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.

解 因为E (X )=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令15X θ-=得到θ的

矩估计量为ˆ15

X θ

-=. 3. 设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨

⎩其它.

其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；

(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为

1

10

1

()()d (1)d 2

E X xf x x x x θθθθ+∞

+-∞

+==+=

+⎰

⎰. 令()E X X =, 即12

X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为

21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数

为

1(1),01,0,

n n i i i x x L θθ=⎧⎛

⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭

⎪

⎩∏其它. 当00且 ∑=++=n

i i

x

n L 1

ln )1ln(ln θθ,

令

1

d ln ln d 1

n

i i L n

x θ

θ==

++∑=0, 得

θ的极大似然估计值为 1

ˆ1ln n

i

i n

x

θ

==--∑,

而θ的极大似然估计量为 1

ˆ1ln n

i

i n

X

θ

==--∑.

4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为

e ,0,

(,)0,

0,x x f x x λλλ->=⎧⎨

⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数

λ的矩估计量与极大似然估计量.

解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆX

λ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数

1

1

n

i

i i

n

x

x n

n

i L e

e

λ

λλ

λ=--=∑==∏,

取对数 1

ln ln ()n

i i L n x λλ==-∑.

令

1d ln 0,d n

i i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆx

λ=,λ的极大似然估计量为1ˆX

λ

=. 5. 设总体X 的概率密度为

,01(,)1,

120,x f x x θθθ<<=-⎧⎪

⎨⎪⎩

，≤≤，其它,

其中θ（0<θ<1）是未知参数. X 1, X 2, …, X n 为来自总体的简单随机样本, 记

N 为样本值12,,,n x x x L 中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大

似然估计量.

解 (1) 1

2

1

3()d (1)d 2

X E X x x x x θθθ==+-=

-⎰

⎰

, 所以32

X θ=

-矩.

(2) 设样本12,,n x x x L 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:

x (1) ≤ x (2) ≤…≤ x (N ) <1≤ x (N +1)≤ x (N +2)≤…≤x (n ) .

似然函数为

(1)(2)()(1)(2)(1),1()0,

,N n N N N N n x x x x x x L θθθ-++-<=⎧⎨

⎩L L ≤≤≤≤≤≤≤其它.

考虑似然函数非零部分, 得到

ln L (θ ) = N ln θ + (n − N ) ln(1−θ ),

令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-, 解得θ的极大似然估计值为ˆN n

θ=. 习题7-2

1. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2

σ都存在但未知, 而

12,,,n X X X L 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2

σ的无偏估计量.

(A) 1

1

n

i

i X n

=∑和

2

1

1

()n

i

i X X n

=-∑. (B)

1

1

1

n

i

i X n =-∑和21

1

()1

n

i

i X X n =--∑.

(C)

1

1

1

n

i

i X n =-∑和

2

1

1

()1

n

i

i X n μ=--∑. (D)

1

1

n

i

i X n

=∑和

21

1

()n

i

i X n

μ=-∑.