2018第一轮复习 放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用

数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要

地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。

1. 直接放缩，消项求解

例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列.

*N n ∈,

（Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:

1122

11

15

12

n n a b a b a b +++

<+++. 分析：（Ⅰ）数学归纳法。

（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。

（Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）

11115

612

a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫

+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭

…… 111111116223341n n ⎛⎫=

+-+-++- ⎪+⎝⎭

(111111562216412)

n ⎛⎫=

+-<+= ⎪+⎝⎭，综上，原不等式成立．

点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如：),,2,1(1

1

121n k n k n n =+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+-

例2设数列{}n a 满足*,1,13

11N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设1

03

c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈;

分析：（Ⅰ）数学归纳法证明（Ⅱ）结论可变形为1)3(1-≤-n n c a ，即不等式右边为一等比数列通项形式，化归思路为对 n a -1用放缩法构造等比型递推数列， 即)1(3)1)(1(112

111-----≤++-=-n n n n n a c a a a c a 解：（Ⅰ）解略。

（Ⅱ）设 1

03

c <<，当1n =时，10a =，结论成立，当2n ≥ 时，

32

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

3

10<

113(1)n n a c a --≤-∴

21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴

1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴

点评：直接对多项式放大后，得到的是等比型递推数列，再逐项递推得到结论。通过放缩得到等比型递推数列是求解数列不等式的另一个重要的类型。 2. 利用基本不等式放缩

例3已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12

121•++∈=-+N n a a a n n n ，记n n a a a S +++= 21，

)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=

． 求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+n S n ；（Ⅲ）3

分析：（Ⅰ）在0≥n a 的条件下，1+

12+

21>-=-++n n n a a a 即证1

（Ⅱ）由 12

211++-=-n n n a a a 累加及1

（Ⅲ）和式通项的分母由 n a +1累乘得到的，条件中可有2

111)1(k k k a a a +=+++得到，但

1

2

11)1(+++=

+k k

k a a a 的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列

（Ⅰ）解略。 （Ⅱ）解略。

（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得

111

(2313)12k k k

a k n n a a ++=-+≤，，，，≥

所以

2

342

1

(3)(1)(1)(1)

2

n n n a a a a a a -+++≤

≥，

于是

22

22

23221

1

(3)(1)(1)

(1)

2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤

≥， 故当3n ≥时，2

1

11132

2n n T -<+++

+

<，又因为123T T T <<，所以3n T <．

点评：本题第三问，基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能，在公比1≤q 时，等比数列的前n 项和趋向于定值，即前n 项和有界，这为数列和式范围的证明提供了思路。 3. 利用数列的单调性放缩

例4 数列}{n a 为非负实数列，且满足：0221≥+-++k k k a a a ，∑==≤k

i i k a 1,2,11 ，

求证：).,2,1(2

021 =<

-≤+k k

a a k k 分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。

证明：若有某个1+

i i k a 1,2,11 ，矛盾，所以}{n a 是

单调递减的数列，即01≥-+k k a a ，令 ,2,1,1=-=+k a a b k k n

由0221≥+-++k k k a a a 得211+++-≥-k k k k a a a a ，即 ,2,1,1=≥+k b b k k 由于k a a a +++≥ 211

k

k k k k k b k k b k kb b b b a b a b a a b b a a a b 2

)

1()321(3232322321321321321+=

++++≥++++≥++++=++++=++++=