2.5直线与平面、平面与平面的相对位置
合集下载
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
画法几何与工程制图 第六章 直线与平面平面与平面的相对位置关系
a’
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
15
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是
求两个共有点的问题,由于特殊位置
平面的某些投影有积聚性，交线可
直接求出。
16
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
17
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ Ⅲ
26
具体做图步骤
27
第三节 直线与平面垂直、两平面互相垂直
一、直线与平面垂直
(一)直线与一般位置平面垂直的关系 (二)直线与特殊位置平面垂直的关系
二、两平面互相垂直
28
（一）直线与平面垂直
Ⅰ Ⅱ
直线与一般位Leabharlann 平面29直线与一般位置平面
30
具体作法方法
31
例:过D点向三角形ABC作垂线
返回
10
(二）两个特殊位置平面互相平行
若两投影面垂直面或两投影面平行面互相平行时，则两平面 的同面积聚性投影（或迹线）互相平行。
11
第二节 直线与平面相交、平面与平面相交
一、积聚性法 （一）直线与特殊位置平面相交
（二）平面与特殊位置平面相交 二、 辅助平面法 （一）直线与一般位置平面相交 （二）两个一般位置平面相交
第六章 直线与平面、平面与平面的相对关系
第一节 直线与平面平行、平面与平面平行 第二节 直线与平面相交、平面与平面相交 第三节 直线与平面垂直、两平面互相垂直
1
第一节 直线与平面平行、平面与平面平行
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
a(b)
k
d
c
15
（二）一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是
求两个共有点的问题,由于特殊位置
平面的某些投影有积聚性，交线可
直接求出。
16
例:已知两特殊位置平面相交，求交线的投影
返回
17
二、 辅助平面法
求作交线的步骤：
（一）直线与一般位置平面相交
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ Ⅲ
26
具体做图步骤
27
第三节 直线与平面垂直、两平面互相垂直
一、直线与平面垂直
(一)直线与一般位置平面垂直的关系 (二)直线与特殊位置平面垂直的关系
二、两平面互相垂直
28
（一）直线与平面垂直
Ⅰ Ⅱ
直线与一般位Leabharlann 平面29直线与一般位置平面
30
具体作法方法
31
例:过D点向三角形ABC作垂线
返回
10
(二）两个特殊位置平面互相平行
若两投影面垂直面或两投影面平行面互相平行时，则两平面 的同面积聚性投影（或迹线）互相平行。
11
第二节 直线与平面相交、平面与平面相交
一、积聚性法 （一）直线与特殊位置平面相交
（二）平面与特殊位置平面相交 二、 辅助平面法 （一）直线与一般位置平面相交 （二）两个一般位置平面相交
第六章 直线与平面、平面与平面的相对关系
第一节 直线与平面平行、平面与平面平行 第二节 直线与平面相交、平面与平面相交 第三节 直线与平面垂直、两平面互相垂直
1
第一节 直线与平面平行、平面与平面平行
直线与平面平面与平面的相对位置
解题过程： ①过b’作b’d’∥e’f’，求出db； ②检验bd是否与ef平行，
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
空间直线与平面 平面与平面之间的位置关系
高中数学·必修2 第2章 点、直线、 平面之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与平面之间 的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些 靠什
么来划分呢
按照公共
点的个数
直线与平面的位置关系有且只有三种： 分类
①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点.
无交点 a∥α
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
a
有且仅有一个 公共点
a∩＝A
没有公共点 a∥
图形表
a
示
α
A
应用举例
例1 下列命题中正确的个数是 B
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l ∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行.
2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面 与平面之间的位置关系. 难点
3.培养空间想象能力.
a
练习：
若M∈平面α,M∈平面β,则不同平面α与β的
位置关系是 A．平行
B B．相交
C．重合
D．不确定
解析 由公理3知,α与β相交．
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论.
答:有可能1条交线,也有可能3条交线.
（2）
（1）
(3)
1.若直线a不平行于平面α,且 立的是 B
2.1.3 空间中直线与平面之间 的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
一、直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系有哪些 靠什
么来划分呢
按照公共
点的个数
直线与平面的位置关系有且只有三种： 分类
①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点.
无交点 a∥α
下面画法错误的是：
a
α
α
a a
α
直线应画在面内
直线与平面的位置关系
位置 关系
a在α内
a与α相交 a与α平行
公共点 符号表示
有无数个公共 点
a
有且仅有一个 公共点
a∩＝A
没有公共点 a∥
图形表
a
示
α
A
应用举例
例1 下列命题中正确的个数是 B
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l ∥α. ②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条 直线都平行.
2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面 与平面之间的位置关系. 难点
3.培养空间想象能力.
a
练习：
若M∈平面α,M∈平面β,则不同平面α与β的
位置关系是 A．平行
B B．相交
C．重合
D．不确定
解析 由公理3知,α与β相交．
ห้องสมุดไป่ตู้
例2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条 画出图形表示你的结论.
答:有可能1条交线,也有可能3条交线.
（2）
（1）
(3)
1.若直线a不平行于平面α,且 立的是 B
6.第六讲直线与平面.两平面的相对位置(一)
一般位置平面与特殊位置平面相交
V M B K P
m c
f n m
b k l a
AL
F
m N C f b n k a l
k b
a l
f
cH
c
PH
两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交 叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性， 如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上m′k′f′与 a′b′c′重叠部分不可见，画虚线，f′ k′l′n′与 a′b′c′重叠部分可 见，画实线。
一、直线与平面平行
P C A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1 试判断直线AB是否平行于定平面
n′ m′
p′
d f e a c g b
e
n m p
直线MN 平行于定平面P
d
f a g b
结论：直线AB 不平行于定平面
c
例题2
试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。 c f e b k a
一、直线与平面相交的特殊情况
1、一般位置直线与垂直面相交 2、垂直线与一般位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
直线与平面相交
P
A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共 有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见 的分界点。
n
三、直线与一般位置平面相交
一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性 ，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平 面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的 步骤：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
且方向相同。
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
05 第二章(1) 直线与平面、平面与平面相对位置(平行、相交)
关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上
4、属于平面的投影面平行线 V PV
平面上投影面平行线： 既在平面上又平行于投 影面的直线。
P
H
PH
在一个平面上对 V 、H 、 W 投影面分别有三组投影面平行线。 平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与 所属平面保持从属关系。
11
五、平面的最大斜度线
对于特殊位置平面来说，总有一个投影为积聚 投影，其交线就在这个积聚投影上。
37
投影面垂直面和一般位置平面相交 m
V M B K F m N C f b n H k a l L P
b
k
c
f n m
l
a
k b f
a l
c
n
38
c PH
可见性的判别 V
M B
c K F m C c N f n k a L
a.判别已知点、线是否属于已知平面；
b.完成已知平面上的点和直线的投影； c.完成多边形的投影。
9
2、属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线
e k a
b f c 1 g
2 m n 3
b a k
e
f
EF属于ABC
c 1
2
3 n
g
m
K属于ABC
G不属于ⅠⅡⅢ
MN不属于ⅠⅡⅢ
10
31
平面与平面相交
M
B
K F
N
A
L
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
32
2、直线与平面、平面与平面相交的特殊情况 ① 直线与平面相交的特殊情况： 指线或面之一为特殊位置，其交点的投影可利
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
工程制图05第二章 相对位置
例2：判别直线AB 是否 平行于平面DEF。
b c m b a c m
n
a
b
e
a
d
g
f
n
a b e 结论：直线AB不平行于定平面 d g f
方法：作MN平行于AB。
例3：试过点D作水平线DE平行于ΔABC平面
b d e a f c
e d
c
f
c a
２.两平面平行
条件： 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的 两相交直线，则这两平面相互平行。 Q D
§2-5
直线与平面及两平面的相对位置
2.5.1 直线与平面及两平面平行
2.5.2 直线与平面及两平面相交 2.5.3 直线与平面及两平面垂直
2. 5. 1 直线与平面及两平面平行
１.直线与平面平行
P m
条件:
若一直线平行于平面上
A
的某一直线，则该直线与此
平面平行。
n
B
例1：过M点作直线MN 平行于平面ABC。
f ef k b
1
2
a
k
(二) 一般位置平面与特殊位置平面相交
——求交线并判别可见性 m
M B K P
b
f n k l
c
a
a l
A L
F N m C f b n k a l
m
k b
f
c
n
c PH
将一般位置平面视为两相交直线，分别求一般位置直线与特殊位置 平面的交点，交点相连即为交线
例2：求两特殊位置平面的交线并判断可见性。
e
c
A B C ab cd ef
E D F H G b a d c e
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O 于OX轴。
e n
作图
●
c ① 求交线
d
●m
b
f
可通如过何判正别面？ 投影直观 地进行判别。
② 判别可见性
出，在从交正线面能判左投能否别侧影不？! 用，上重平可影点面看
ABC在上，其水平投影可 见。
例：求两平面的交线
空间及投影分析
MN并判别可见性。 平面ABC与DEF都为正
⑴ a
d X
a d
b m(n) ● e
●
1
b
k
●
作图
c
①求交点
用线上取 点法
②判别可见性
由水平投影可知，KN n 段在平面前，故正面投影
上kn为可见。
还可通过重影点判别可见性。
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要讨论的问题：
⑴ 求两平面的交线
方法：① 确定两平面的两个共有点。 ② 确定一个共有点及交线的方向。
b
n
●
d(e)
空间及投影分析
h′ m′
●
f′
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 c′ mn即为交线MN的水平投影。
作图
① 求交线
h(f)
② 判别可见性
m●
点Ⅰ在MC上, 点Ⅱ在
FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在
c 后，故mc 可见。
11
第五节 直线与平面、平面与平面的 相对位置
一、相交 1、直线和平面相交（直线或平面垂直于投影
面）【特例：直线与平面垂直】 2、平面与平面相交（至少一个平面垂直于投
影面） 【特例：平面与平面垂直】 二、平行 1、直线与平面平行（平面垂直于投影面） 2、平面与平面平行（两平面垂直于同一投影
面）
1
重点： • 相交时找交点或交线；可见性。 • 平行时注意投影的几何性质。
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 mn即为交线MN的水平投影。
作图
a
① 求交线
b
n
●
d(e)
2
●
h(f)
m● 1 ●
c
② 判别可见性
点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH 上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后， 故mc 可见。
⑵
d′
b′
n′
●
e′
a
2
3
V
A PH a
M
• 判断直线的可见性
b n
N
a
k
B
m
P
K
c
bk
C
c
n a
kb
Hm c
4
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
⑴ 平面为特殊位置
空间及投影分析
b
n
平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2●)
●
m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即为 c K点的水平投影。
m a
●2
e n
●
●m b
垂面，它们的交线为一条
f 正垂线，两平面正面投影
c 的交点即为交线的正面投 影，交线的水平投影垂直
于OX轴。
O
作图
① 求交线 c ② 判别可见性
从正面投影上可看
f 出，在交线左侧，平面
ABC在上，其水平投影可
见。
⑵
d′ a′
b′
n′
●
e′
h′
m′
●
●1′(2 )′
c′
f′
空间及投影分析
12
⑵ 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置 投影分析
MN并判别可见性。 平面ABC与DEF都为正
⑴ a
b m(n)
f
● e
垂面，它们的交线为一条 正垂线，两平面正面投影
c 的交点即为交线的正面投
d
影，交线的水平投影垂直
X a