实验三动态规划

实验二动态规划

（一）、实验目的

通过编程实现动态规划的有关算法，理解动态规划的原理，掌握动态规划基本思想与应用技巧。

（二）、实验题目与要求：

实验题目1：最长公共子序列问题的算法

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k 有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X 和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

实验要求：

1．理解动态规划算法的原理，认真阅读题目。完善程序，实现该算法；

2．结果显示最长公共子序列。

实验提示：

先求最长公共子序列，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m][n]中

public static int lcsLength(char [ ]x,char [ ]y,int [ ][ ]b)

{ int m=x.length-1;

int n=y.length-1;

int [][]c=new int [m+1][n+1];

for (int i = 1; i <= m; i++) c[i][0]=0;

for (int i = 1; i <= n; i++) c[0][i]=0;

for (int i = 1; i <= m; i++)

for (int j = 1; j <= n; j++) {

if (x[i]= =y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1;}

else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=2;}

else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3;}

}

return c[m][n];

}

然后构造最长公共子序列

public static void lcs(int i,int j,char [] x,int [][] b)

{ if (i = =0 || j= =0) return;

if (b[i][j]= = 1){

lcs(i-1,j-1,x,b);

System.out.print(x[i]);

}

else if (b[i][j]= = 2) lcs(i-1,j,x,b); else lcs(i,j-1,x,b);

}

实验题目2：用两台处理机A和B处理n个作业。设第i个作业交给机器A处理时需要时间ai，若由机器B来处理，有ai≥bi，而对于某些j，j≠i，有aj

1．理解动态规划算法的原理，认真阅读题目。完善程序，实现该算法；

2．研究一个实例：

(a1, a2, a3, a4, a5, a6) = (2, 5, 7, 10, 5, 2) ；

(b1, b2, b3, b4, b5, b6）=(3, 8, 4, 11, 3, 4)。

结果显示处理完所有作业的最短时间。

实验题目3：计算矩阵连乘积

给定n个矩阵{A1,A2 ,...,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,...,n-1。考察这n个矩阵的连乘积A1A2...An，给出其最优计算次序，使矩阵连乘运算乘法次数最少。

实验要求：

1．理解动态规划算法的原理，认真阅读题目。完善程序，实现该算法；

2．给定五个矩阵：A1：5*10；A2：10*4；A3：4*6；A4：6*10；A5：10*2，给出最优计算次序和乘法次数。

实验提示：

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的

[][][]{}

⎪⎩⎪⎨⎧<+++==-<≤j i p p p j k m k i m j i j i m j k i j k i 1,1,min 0,最优值为m[1,n]。

递归定义m [i ,j ]为：

public static void matrixChain(int [] p, int [][] m, int [][] s)

{ int n=p.length-1;

for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0;

for (int r = 2; r <= n; r++)

for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) {

int j=i+r-1;

m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];

s[i][j] = i;

for (int k = i+1; k < j; k++) {

int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];

if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k; }

}

}

}

实验题目4：0-1背包问题

给定n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ，其价值为vi ，背包的容量为C 。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 实验要求：

1． 理解动态规划算法的原理，认真阅读题目。完善程序，实现

该算法；

2． 自行设计输入数据和输出格式。

实验提示：

设n 个物品的重量存储在数组w[n]中，价值存储在数组v[n]中，背包容量为C ，数组V[n+1][C+1]存放迭代结果，其中V[i][j]表示前i 个物品装入容量为j 的背包中获得的最大价值，数组x[n]存储装入背包的物品，动态规划法求解0/1背包问题的算法如下：

public static int KnapSack(int C, int w[ ], int v[ ],int[][]V)

{ int n=v.length;

for (int i=0; i<=n; i++) V[i][0]=0; //初始化第0列

for (int j=0; j<=C; j++) V[0][j]=0; //初始化第0行