33实变函数与泛函分析第三章 测度论

E)
1 n
令O
n1
Gn，则O为G
型集，E
O且
m (O
E)
m (Gn
E)
1 n
,
n
1,2,3,
故m(O E) 0
从而E O (O E)为可测集
例2. 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只 相差一小测度集的开集和闭集。
E {r1, r2 , r3 , }
开集：
G
i1(ri
(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F，
使得E G且m(G E)
使得F E且m(E F)
证明（2）：若(1)已证明，由Ec可测可知
0, 开集G，使得Ec G且m(G Ec )
取F=G c，则F为闭集 F E
且m(E F) m(E F c )
n
2i1
, ri
)) n
2i1
F 型集：空集
注：上面的交与并不可交换次序
例5：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一 零测度集的G 型集或F 型集。
G型集： (0,1)
F 型集：H
[0,1] n1(i1(ri
1 n
2i1
, ri
1
)) n
2i1
定理7：若E可测，则
(1) mE inf{mG : G是开集，E G} (2) mE sup{mK : G是开集，K E} 外、内正规性
2i1
, ri
)
2i1
闭集：空集
例3. 设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E* 只相差一小测度集的开集和闭集。
开集: (0,1)
闭集：
F
[0,1] i1(ri
2i1
, ri
)
2i1
3. 可测集与G集和F 集的关系
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；
通过取余G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
2. 可测集与开集、闭集的关系
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E)
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）。
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m(E F )
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m(E H ) 0
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m(E H ) 0
H E且m(E H ) 0
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G型O，使得E c O且m(O E c ) 0
取H=O c，则H为 F 型集 ，H E 且
m(E H ) m(E H c ) m((Ec )c H c ) m(H c Ec ) m(O Ec ) 0
下证(1)：
(1).若E可测，则存在G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0
第四节 不可测集
存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择 公理）
存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87
i 1
令G
i 1
Ii
, 则G为开集，E
G，且
mE mG mIi | Ii | mE
i 1
i 1
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G E) mG mE
(2)当mE=+∞时，
这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E
i 1
Ei
(mEi
)
对每个Ei应用上述结果
开集Gi，使得Ei
Gi且m(Gi
第三章 测度论
第三节 可测集类
1. 区间 I是可测集，且 mI | I |
(证明见书本p67)
结论1：零集、区间、开集、闭集G、 G 型集（可数个开集的交）、 FF 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发
通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
结论2.开集、闭集既是 G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是 G 型集，但不是 F 型集。
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E
Gn且m(Gn
E)
1 n
令O
n 1
Gn
, 则O为G 型集，且
E
O
m(O
E)
m(Gn
E)
1 n
,
n
1,
2, 3,L
故m(O E) 0
例4： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的G 型集或 F 型集。
G 型集：
1
1
O
n1(i1(ri
Ei )
2i
令G
i1
Gi
,
则G为开集，E
G，且
m(G
E)
m( i 1
Gi
i 1
Ei
)
m(i1(Gi
Ei ))
i 1
m((Gi
Ei )
i 1
2i
例1.设E Rn，若 0, 开集G，使得E G 且m(G E) ，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
开集 Gn，使得 E
Gn且m (Gn
m((Ec )c F c ) m(F c Ec ) m(G Ec )
下证(1)：
(1). 若E可测,则 0, 开集G，使得E G且m(G E)
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
0, 开区间列{Ii},使得E Iiห้องสมุดไป่ตู้m*E | Ii | m*E
i 1