二分法
简单二分法
简单二分法1. 什么是二分法二分法（Binary Search）是一种常用的查找算法，也称为折半查找。
它的原理很简单，通过将查找范围不断缩小，最终找到目标元素或确定目标元素不存在。
二分法的应用广泛，包括在查找有序数列、旋转有序数列中的元素、判断一个数的开方等方面。
2. 二分法的基本思想二分法的基本思想是将查找范围不断地二等分，然后确定目标元素可能存在的一侧。
在每次二等分之后，通过比较目标元素和中间元素的大小关系，可确定下一次二分的方向，并缩小查找范围。
3. 二分法的递归实现3.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。
2.计算查找范围的中间位置mid，可以使用公式mid = (start + end) // 2进行计算。
3.当start大于end时，表示查找范围为空，即目标元素不存在。
此时返回-1或其他特定值作为查找失败的标志。
4.比较中间位置mid的元素与目标元素的大小关系：–如果中间位置的元素等于目标元素，则直接返回mid，表示找到目标元素。
–如果中间位置的元素大于目标元素，则说明目标元素可能存在于左半边，将查找范围缩小到[start, mid-1]，并递归调用二分法。
–如果中间位置的元素小于目标元素，则说明目标元素可能存在于右半边，将查找范围缩小到[mid+1, end]，并递归调用二分法。
5.重复步骤2到步骤4，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
3.2 递归实现代码示例（Python）def binary_search_recursive(arr, target, start, end):if start > end:return -1mid = (start + end) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] > target:return binary_search_recursive(arr, target, start, mid-1) else:return binary_search_recursive(arr, target, mid+1, end)4. 二分法的迭代实现4.1 算法步骤1.确定查找范围的起始位置start和结束位置end，初始时start为0，end为数列长度减1。
二分法解决问题·的·实例
二分法解决问题·的·实例
二分法是一种常用的算法，适用于解决各种问题。
下面我将给出几个实例，展示二分法在不同领域的应用。
1. 查找问题，二分法常用于在有序数组中查找特定元素。
假设我们有一个升序排列的数组，要查找某个元素是否存在于数组中。
我们可以将数组分为两半，然后判断目标元素与中间元素的大小关系，进而确定目标元素可能存在的区间。
然后再对该区间进行二分查找，直到找到目标元素或确定不存在。
2. 数值逼近问题，二分法也可用于数值逼近问题，例如求解方程的根。
假设我们要解一个单调函数的方程，我们可以选择一个区间，然后计算区间的中点。
通过判断中点的函数值与零的关系，可以确定根存在的区间。
然后再对该区间进行二分逼近，直到满足精度要求或者找到根。
3. 图形处理问题，二分法在图形处理中也有广泛应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用二分法来进行图像边缘检测。
通过将图像的灰度值进行二分，可以将图像分为两个区域，然后通过比较两个区域的灰度差异来确定边缘。
4. 数据分析问题，二分法在数据分析中也有应用。
例如，在有序数据集合中，可以使用二分法来确定中位数。
通过将数据集合分为两半，然后比较中间元素与目标中位数的大小关系，可以缩小搜索范围，直到找到中位数。
总结起来，二分法是一种高效的算法，可以应用于各种问题的解决。
无论是查找问题、数值逼近问题、图形处理问题还是数据分析问题，二分法都能提供快速、准确的解决方案。
二分法
二分法
二分法是用计算机求解多项式方程时常用的一种方法．其基本思想是：若f （x 1）与f （x 2）的符号相反，则方程f （x ）＝0在区间（x 1，x 2）至少有一个根．取x 1和x 2的中点2
)(211x x r ＋＝，将区间分为两半，然后比较f （r 1）与f （x 1）的符号，若符号相同，则根必在（r 1，x 2）之间，否则在（x 1，r 1）之间．这样每作一次二分法，含根区间恰好缩小一半．不断重复二分过程无限多次时，含根区间将缩为一点，显然这是不可能的．但是有一点是可以肯定的，即每重复二分一次，所得的中点ROOT 与根的距离便会越近．不断重复二分，便会构造出一系列的中点ROOT 1，ROOT 2，…，ROOT n ，当某个中点ROOT n 与根的距离小于规定的误差ξ
0时，该ROOT n 。
就是所解方程的近似解．。
用二分法求方程的近似解知识点
用二分法求方程的近似解知识点二分法是一种常用的求方程近似解的数值计算方法，运用这种方法可以找到函数方程f(x)=0在给定区间[a,b]上的一个根。
本文将对二分法的原理、步骤及其应用进行详细介绍。
一、原理二分法的原理基于数学中的零点定理，也叫做中间值定理。
该定理表明：如果一个连续函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)和f(b)异号，即f(a)·f(b)<0，则在该区间内至少存在一个根。
基于这一定理，我们可以通过不断将给定区间一分为二，并判断中点函数值与零的位置关系，从而确定新的区间，直到满足精度要求或者迭代次数达到指定值。
这样可以在给定的精度范围内逐步缩小根的位置。
二、步骤下面是使用二分法求解方程根的一般步骤：1.选择一个区间[a,b]，确保f(a)·f(b)<0。
这样可以保证函数在区间[a,b]内至少有一个根。
2.计算区间中点m=(a+b)/23.计算函数在中点处的值f(m)。
4.判断f(m)和0的关系：a.如果f(m)等于0，那么m就是方程的一个根；b.如果f(m)与f(a)异号，那么存在根的区间变为[a,m]，重复步骤2-4；c.如果f(m)与f(b)异号，那么存在根的区间变为[m,b]，重复步骤2-45.重复步骤2-4，直到达到所需的精度要求或者迭代次数达到指定值。
三、应用二分法在解决方程问题中有广泛的应用，特别是对于无法用解析法求解的非线性方程、高次多项式等复杂函数，二分法可以提供一个近似解。
此外，二分法还可以用于其他数值计算问题。
例如，在一些求极值的问题中，我们可以通过求解函数导数方程的根来找到极值点。
这时，同样可以使用二分法来近似求解。
四、注意事项在使用二分法求解方程时，需要注意以下几点：1.确保函数在给定区间上是连续且有定义的。
2.选择合适的初始区间[a,b]。
如果起始区间过大，则可能导致求解时间过长；如果起始区间过小，则可能无法找到根。
通常情况下，可以通过分析函数图像或者利用已知的条件进行初步估计。
二分法解题
二分法解题
摘要：
1.二分法的基本原理
2.二分法的应用示例
3.二分法的优缺点
正文：
二分法是一种常见的算法思想，其基本原理是将待解决的问题分成两个部分，然后判断问题可能出现的位置，接着在这两个部分中继续寻找答案。
这种思想被称为“分治”，即将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后将这些小问题的解合并成大问题的解。
一个经典的二分法应用示例是寻找一个数组中的目标值。
假设有一个长度为n 的数组，我们要在其中找到一个特定的目标值。
如果直接遍历整个数组，那么最坏情况下的时间复杂度是O(n)。
而使用二分法，我们可以将数组分成两部分，然后在这两部分中继续寻找目标值。
这样，每次迭代后，待查找的数组的长度都会减半。
因此，二分法的时间复杂度是O(logn)。
二分法的优点在于其时间复杂度较低，尤其适用于解决规模较大的问题。
然而，二分法也有其局限性。
首先，二分法要求问题的输入规模必须满足一定的条件，例如在寻找目标值的问题中，数组的长度必须为2 的整数次幂。
其次，二分法在某些情况下可能会出现过早的终止，导致无法找到问题的精确解。
总的来说，二分法是一种高效解决问题的算法思想，适用于许多实际问
题。
二分法 算法
二分法算法二分法算法，也称为二分查找算法，是一种常用的查找算法。
它的基本思想是将已排序的数组分成两部分，然后通过比较目标值与数组中间元素的大小，来确定目标值可能存在的区域，然后再在这个区域内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
在开始之前，我们先来了解一下二分法算法的原理。
假设我们要在一个有序数组中查找目标值。
首先，我们取数组的中间元素，然后将目标值与中间元素进行比较。
如果目标值等于中间元素，那么就找到了目标值；如果目标值小于中间元素，那么目标值可能存在于数组的左半部分；如果目标值大于中间元素，那么目标值可能存在于数组的右半部分。
根据这个比较结果，我们可以将查找范围缩小一半，然后再在这个范围内继续使用二分法查找。
这个过程不断重复，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的时间复杂度是O(log n)，其中n为数组的大小。
这是因为每次查找都将查找范围缩小一半，所以最多需要进行log n次查找。
相比于简单的线性查找算法，二分法算法的效率更高。
但是二分法算法有一个前提条件，就是数组必须是有序的。
如果数组无序，那么需要先对数组进行排序，然后再使用二分法算法进行查找。
下面我们通过一个具体的例子来说明二分法算法的应用。
假设有一个有序数组arr，长度为n，我们要查找目标值target。
首先，我们可以设置两个指针left和right，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。
然后，我们计算出中间元素的索引mid，将中间元素与目标值进行比较。
如果中间元素等于目标值，那么就找到了目标值；如果中间元素大于目标值，那么目标值可能存在于数组的左半部分，我们将right指针更新为mid-1；如果中间元素小于目标值，那么目标值可能存在于数组的右半部分，我们将left指针更新为mid+1。
然后，我们继续在更新后的查找范围内使用二分法查找，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。
二分法算法的应用场景有很多，比如在有序数组中查找目标值、在有序矩阵中查找目标值等。
简述二分法的原理
简述二分法的原理二分法是一种常用的算法，它的原理是将一个问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。
二分法的应用非常广泛，例如在查找算法、排序算法、数值计算等领域都有着重要的应用。
一、查找算法在查找算法中，二分法可以用来查找一个有序数组中的某个元素。
具体的实现方法是，首先将数组的中间元素与目标元素进行比较，如果相等，则返回该元素的下标；如果目标元素比中间元素小，则在数组的左半部分继续查找；如果目标元素比中间元素大，则在数组的右半部分继续查找。
这样不断地将问题分成两个子问题，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。
二、排序算法在排序算法中，二分法可以用来实现快速排序。
快速排序的基本思想是选择一个基准元素，将数组分成两个部分，一部分是小于基准元素的，另一部分是大于基准元素的。
然后对这两个部分分别进行递归排序，最终得到有序数组。
在实现快速排序的过程中，可以使用二分法来确定基准元素的位置，从而提高排序的效率。
三、数值计算在数值计算中，二分法可以用来求解方程的根。
具体的实现方法是，首先确定一个区间，然后将区间分成两个部分，根据函数值的符号确定根在哪一部分，然后继续将该部分分成两个子区间，直到找到根或者确定根不存在。
二分法的优点是收敛速度快，但是需要满足一定的条件，例如函数必须是单调的，根必须在区间内等等。
综上所述，二分法是一种非常重要的算法，它可以用来解决许多问题，例如查找、排序、数值计算等。
二分法的原理是将问题分成两个子问题，然后递归地解决这两个子问题，最终得到问题的解。
在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的实现方法，并注意算法的正确性和效率。
用现代数学方法解释二分法悖论
一、概述二分法是一种常见的数值计算方法，在许多数学问题中都有广泛的应用。
然而，二分法却有一个令人困惑的现象，即当使用二分法寻找函数的根时，有时算法会收敛到一个错误的解。
这种现象被称为二分法悖论，在数值计算领域引起了广泛的讨论和研究。
在本文中，我们将使用现代数学方法解释二分法悖论，并探讨其背后的数学原理。
二、二分法的基本原理在介绍二分法悖论之前，首先需要了解二分法的基本原理。
二分法是一种求解方程根的经典算法，其基本思想是将定义域分割成两部分，然后确定目标值所在的那一部分，再对该部分继续进行分割，直到找到目标值或者满足一定的精度要求为止。
在数值计算中，二分法通常被用来求解函数的零点，即找到函数的根所对应的横坐标。
三、二分法的应用三、一、在实际工程问题中，二分法被广泛应用于求解非线性方程、求解最优化问题和求解微分方程等。
在计算机图形学中，我们常常需要对曲线和曲面进行求交，而二分法可以高效地求解曲线和曲面的交点。
在金融学中，二分法也常被用来计算期权的定价和风险价值。
在生物医学工程领域，二分法则可以用来估计人体组织的材料特性和生物学参数。
四、二分法悖论的实例四、一、尽管二分法在许多应用中表现出色，但在一些情况下却会出现令人困惑的现象。
考虑函数f(x)=x^3-2x-5，在区间[1,2]上使用二分法寻找根时，算法会不断迭代，最终发现无法找到根。
这种情况违反了二分法应该能够找到函数根的基本原则，称为二分法悖论。
五、现代数学方法解释二分法悖论现代数学方法能够对二分法悖论进行深入的解释和分析。
在实际应用中，二分法常常需要与计算机浮点数进行交互，而浮点数的表示精度有限，在对浮点数进行运算时会引入误差。
这些误差可能导致二分法在收敛过程中出现偏离期望的结果。
函数本身的性质，如导数的变化率和函数的凹凸性，也会影响二分法的收敛行为。
六、避免二分法悖论的方法六、一、尽管二分法悖论令人困扰，但通过一些方法和技巧，我们可以在实际应用中避免或减少这种现象的发生。
数值分析二分法
二分法的实现步骤
04
确定初始区间
01
确定初始区间
选择一个初始的区间，其中包含要找的根。
02
确定终止条
确定初始中点
选择区间的中点作为初始近似值。
计算中点
计算中点
将区间分成两半，取中间点作为新的近似值。
计算中点处的函数值
代入中点处的x值，计算函数值f(x)。
检查中点处的函数值
检查中点处的函数值
比较f(x)与0的大小，判断中点是否为根 。
VS
确定根所在区间
根据函数值的正负，确定根所在的区间。
更新区间
更新区间
根据根所在的区间，重新确定新的区间长度 和区间端点。
更新近似值
将新的区间端点中的较小值作为新的近似值。
重复步骤，直到满足精度要求
重复步骤
重复上述步骤，直到满足终止条件，即区间长度小于预设的精度要求。
收敛性证明
• 证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异 号，根据介值定理，存在至少一个零点c属于(a, b)。 每次迭代将区间[a, b]分成两半，即c = (a + b) / 2， 由于f(c)不为零，所以f(a)和f(c)同号或f(c)和f(b)同 号，即至少有一半的区间满足条件，继续迭代直到 达到精度要求。
二分法的重要性
二分法是数值分析中基础而重要的方 法之一，为解决许多实际问题提供了 有效的数值逼近手段。
二分法在金融、工程、物理等领域都 有广泛的应用，如求解微分方程、优 化问题等。
02 二分法的基本原理
定义与公式
定义
二分法是一种求解实数区间[a, b]上函数f(x)零点的迭代算法。
公式
假设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) * f(b) < 0。取c = (a + b) / 2，如果f(c) = 0或f(a) * f(c) < 0，则c就是所求的零点。
二分法及其matlab程序-经典
避免数值不稳定性
对于涉及大量计算或迭代的过程，要注意数值稳定性问题， 采取适当的算法或技巧，如使用稳定的算法、增加迭代次 数等。
利用MATLAB内置函数
二分法及其matlab程序-经典
目录
• 二分法基本原理 • MATLAB编程实现二分法 • 二分法在数值计算中应用举例 • MATLAB程序优化与改进策略 • 总结与展望
01
二分法基本原理
二分法定义与思想
定义
二分法是一种求解非线性方程近似根的有效算法，其基本思想是通过不断将区间一分为二，逐步缩小求解范围， 直到满足精度要求为止。
end
root = (a + b) / 2;
VS
关键代码片段展示
end
```
运行结果分析与讨论
• 假设我们要求解非线性方程f(x)=x^3-2x-5=0在 区间[2, 3]内的根，可以调用上述bisection函数进 行求解
运行结果分析与讨论
```matlab f = @(x) x^3 - 2*x - 5;
精度控制
当区间长度|b - a|小于给定 精度时，可取中点或任一端 点作为近似最优解。
求解矩阵特征值问题
• 特征多项式构建：对于n阶矩阵A，构建特征多项式f(λ) = |A - λI|。 • 初始区间选择：确定包含特征值的初始区间[a, b]。 • 二分迭代：取中点c = (a + b) / 2，计算f(c)。若f(c) == 0，则c为特征值；否则根据f(a)、f(b)、f(c)的大小关
缺点
二分法收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到精确解，且对于多峰函数或者复杂函数可 能无法找到全局最优解。
二分法解决实际问题的过程
二分法解决实际问题的过程二分法解决实际问题的过程一、引言在计算机科学中，二分法是一种通用的搜索算法，常用于解决实际问题。
它通过将问题分成两个部分，然后确定目标在哪个部分，并继续对该部分进行二分，最终找到目标或确定目标不存在。
本文将探讨二分法解决实际问题的过程，从简单到复杂、由浅入深，帮助读者全面理解这一算法。
二、基本原理1. 概念解释：二分法，也称为二分查找，是一种通过不断将范围缩小一半的方式来查找目标的方法。
它要求待查找的数组或列表是有序的。
2. 基本步骤：- 确定搜索范围：将数组或列表的起始位置和结束位置确定为搜索范围。
- 计算中点：将搜索范围分成两部分，计算中点的索引位置。
- 比较目标值与中点：将目标值与中点进行比较，确定目标可能在哪个部分。
- 缩小搜索范围：根据比较结果，将搜索范围缩小为可能存在目标的部分，并重复上述步骤，直到找到目标或确定目标不存在。
三、简单示例为了更好地理解二分法的过程，在这里我们举一个简单的示例。
假设有一个升序排列的数组，我们需要查找数组中是否存在某个特定的元素。
1. 确定搜索范围：将数组的起始位置设为0，结束位置设为数组长度减1。
2. 计算中点：将起始位置和结束位置相加除以2，得到中点的索引位置。
3. 比较目标值与中点：将目标值与中点位置的元素进行比较。
4. 缩小搜索范围：根据比较结果，如果目标值小于中点位置的元素，则将结束位置更新为中点位置减1；如果目标值大于中点位置的元素，则将起始位置更新为中点位置加1。
重复上述步骤，直到找到目标或确定不存在。
通过这个简单的示例，我们可以看到二分法的基本思路和步骤。
它的时间复杂度为O(log n)，相较于线性搜索的时间复杂度O(n)，二分法在大规模数据中有着显著的优势。
四、应用案例1.查找算法：二分法广泛应用于查找算法中，例如在有序数组中查找指定元素的位置。
2.分析数据：二分法还可以用于分析数据中的特定属性，例如找到最接近某个给定值的元素。
二分法解题步骤及格式
二分法解题步骤及格式二分法是一种在有序数组中查找特定元素的算法。
它通过将有序数组分为两部分，并与目标元素进行比较来缩小搜索范围，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
以下是二分法解题的步骤和格式：1. 确定有序数组和目标元素：- 有序数组：通常是一个排好序的数组，可以是升序或降序。
- 目标元素：要在有序数组中查找的元素。
2. 确定搜索范围：- 初始时，搜索范围是整个有序数组。
- 定义两个指针：左指针和右指针，分别指向搜索范围的起始和结束位置。
3. 执行二分查找：- 计算中间元素的索引： mid = (left + right) / 2。
- 比较中间元素与目标元素：- 如果中间元素等于目标元素，返回中间元素的索引。
- 如果中间元素大于目标元素，将搜索范围缩小到左部分：right = mid - 1。
- 如果中间元素小于目标元素，将搜索范围缩小到右部分：left = mid + 1。
- 重复上述步骤，直到找到目标元素或确定目标元素不存在为止。
4. 返回结果：- 如果找到目标元素，返回其索引。
- 如果确定目标元素不存在，返回一个特定的值（例如-1）。
二分法解题的格式如下：```int binarySearch(int[] array, int target) {int left = 0;int right = array.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (array[mid] == target) {return mid;} else if (array[mid] > target) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return -1; // 目标元素不存在的情况}```注意事项：- 有序数组是二分法的前提条件，如果数组无序，需要先进行排序。
二分法定义
二分法定义二分法是一种有效的搜索算法，在电脑科学和数学中也经常用到。
它被称为二分搜索或二分查找，是一种水平分割查找，它可以在给定的排序数组中快速搜索指定的值。
二分搜索将搜索范围分割为两个部分，并依次搜索每个部分，以缩小搜索范围。
从理论上讲，二分搜索需要对搜索范围进行分割，并比较中间元素和目标值的大小。
搜索的过程将继续一直到在数组中找到或找不到目标值为止。
通常，如果找不到目标值，就会返回它在排序数组中的最接近值。
二分搜索的历史可以追溯到1920年，当时由大卫布莱恩阿尔法波斯特瓦斯特斯基（David B. R. Alford Bostwick Wasserstein）提出。
它是基于折半思想，也被称为折半搜索。
它最初用于检索和排序的任务，归结到1950年的波斯特研究。
二分搜索在许多场景中都有用，包括查找一个字符串在另一个字符串中出现的位置，求解方程，搜索排序数组，在有序表中查找对象等等。
它也可以用来解决在数学上非常重要的问题，比如线性规划。
二分搜索的基本原理是，先将要查询的数据中间值与查询目标值进行比较，如果两者相等，则查询完成；如果中间值小于查询目标值，则查询右半部分的数据；如果中间值大于查询目标值，则查询左半部分的数据。
重复上述操作，直至查询完成。
二分搜索有一些重要的优点。
它可以非常快速地查找指定的元素，只需要比较几次，就可以找到指定的元素。
相比于顺序查找，它可以大大减少查找的时间，从而提高查找的效率。
二分搜索也不需要把要查找的元素移动到数组的开头，因为它不需要顺序查找。
此外，二分搜索的缺点也不容忽视。
首先，这种搜索只适用于有序的搜索范围，而不能应用于无序的搜索范围。
其次，如果搜索数组中的元素较多，时间复杂度会增加，从而使整个搜索过程变得缓慢。
在现代电脑科学中，二分搜索经常被用于查找有序数组中的元素，因其简单的操作过程和较快的搜索速度而受到广泛的认可。
它的实现非常简单，只要在搜索范围内迭代搜索，就可以找到指定的元素。
二分法解题
二分法解题摘要：1.二分法简介2.二分法的应用领域3.二分法的基本思想与步骤4.二分法的优缺点5.二分法在实际问题中的应用与案例分析正文：二分法（Binary Method）是一种在数学、计算机科学和工程领域中广泛应用的问题求解方法。
它通过不断缩小搜索范围，将问题逐步简化为子问题，最终找到问题的解。
二分法的核心思想是将问题一分为二，判断其解所在的位置，从而实现问题的求解。
1.二分法简介二分法，又称折半法，是一种求解问题的算法。
它通过将问题一分为二，判断其解所在的位置，从而实现问题的求解。
二分法广泛应用于数学、计算机科学和工程领域，具有较高的实用价值。
2.二分法的应用领域二分法在许多领域都有广泛的应用，如数学中的区间求值、计算机科学中的搜索算法、工程领域中的优化问题等。
3.二分法的基本思想与步骤二分法的基本思想是将问题一分为二，判断其解所在的位置。
具体步骤如下：（1）确定问题所在的空间范围；（2）将空间范围一分为二；（3）判断解所在的位置；（4）根据判断结果，调整搜索范围；（5）重复步骤2-4，直至找到解或搜索范围足够小。
4.二分法的优缺点二分法的优点是简单高效，能够在较短时间内找到问题的解。
缺点是对于一些问题，如连续函数的零点问题，可能需要多次迭代才能找到精确解。
5.二分法在实际问题中的应用与案例分析以搜索算法为例，二分法可以应用于寻找某个目标值在有序数组中的位置。
假设有序数组为arr，目标值为target，我们可以通过二分法来查找目标值所在的位置。
具体步骤如下：（1）初始化左右边界，left为0，right为arr的长度-1；（2）当left <= right时，执行以下操作：a.计算中间位置mid = (left + right) / 2；b.判断arr[mid]与target的大小关系，如果arr[mid] < target，则说明目标值在mid右侧；否则在mid左侧；c.根据判断结果，调整搜索范围，即如果arr[mid] < target，则right = mid - 1；否则left = mid + 1；（3）当left > right时，说明目标值不存在于数组中，返回-1。
二分法分类
二分法分类1. 什么是二分法分类二分法分类是一种常用的算法，用于在一个有序的数据集合中查找特定的元素。
该算法通过将数据集合分成两部分，并比较目标元素和中间元素的大小关系，从而确定目标元素在哪一部分中，然后继续在该部分中进行查找，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在为止。
2. 二分法分类的原理二分法分类的基本原理是不断将数据集合分成两部分，并比较目标元素和中间元素的大小关系，从而确定目标元素在哪一部分中。
具体步骤如下：1.首先，将数据集合按照某种规则（通常是升序或降序）进行排序。
2.然后，将数据集合分成两部分，取中间位置的元素作为比较对象。
3.比较目标元素和中间元素的大小关系：–如果目标元素等于中间元素，则找到目标元素，算法结束。
–如果目标元素小于中间元素，则目标元素应该在左半部分，将左半部分作为新的数据集合，重复步骤2。
–如果目标元素大于中间元素，则目标元素应该在右半部分，将右半部分作为新的数据集合，重复步骤2。
4.重复执行步骤2和步骤3，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。
3. 二分法分类的应用场景二分法分类在很多领域都有广泛的应用，特别是在需要查找特定元素的有序数据集合中。
以下是一些常见的应用场景：3.1. 查找算法二分法分类是一种高效的查找算法，特别适用于大规模数据集合的查找。
通过将数据集合分成两部分，每次排除一半的数据，可以快速定位目标元素。
3.2. 数值计算二分法分类在数值计算中也有广泛的应用。
例如，在求解函数的根、求解方程等问题中，可以通过二分法分类来逼近解的位置，从而得到更精确的结果。
3.3. 数据库索引数据库索引是一种用于提高数据库查询效率的技术，而二分法分类是其中常用的一种索引算法。
通过将数据库中的数据按照某种规则进行排序，并建立索引，可以使用二分法分类快速定位目标数据。
3.4. 游戏开发在游戏开发中，二分法分类常常用于快速查找游戏对象。
例如，在一个按照位置排列的游戏世界中，可以使用二分法分类来确定某个位置附近的游戏对象，以便进行碰撞检测、路径规划等操作。
二分法哲学原理
二分法哲学原理1.引言二分法是一种在计算机科学中广泛使用的算法。
但是，它的基本原理是在哲学上产生的。
二分法的哲学原理可以用来解释很多问题，从决策制定到人际关系。
2.二分法的定义二分法（或二分搜索）是一种在排序数组中查找元素的算法。
它的工作原理是将数组分成两个部分，并比较搜索值与数组的中间元素。
如果搜索值较小，则在前半部分搜索；如果搜索值较大，则在后半部分搜索。
重复该过程，直到找到搜索值或确定其不存在。
3.哲学原理二分法有一个简单但强大的哲学原理：将复杂问题分成两个更简单的问题，并重复这个过程，直到得到解决方案。
这个原理可以应用于许多领域，包括决策制定和人际关系。
4.决策制定决策制定是二分法的经典应用之一。
当我们面临一个复杂的决策时，往往会感到不知所措。
例如，当我们考虑进一步深入某个领域的时候，要么选择读书，要么选择实践，要么两者兼顾。
在这种情况下，二分法很有用。
我们可以将问题分成两个更简单的问题：我们是更喜欢学术研究还是实践经验？我们注重学术证书还是实际成果？然后，我们可以根据这些答案来做一个更明智的决定。
5.人际关系二分法也可以用来解释人际关系。
当与别人相处时，经常会出现冲突或不同的观点。
但是，用二分法的原则可以帮助我们找到共同点并避免冲突。
例如，我们可以将问题分成两个更简单的问题：我们有没有共同的兴趣？我们对这个问题的看法是否类似？然后，我们可以根据这些答案来找到共同点，以避免冲突。
6.小结二分法不仅在计算机科学中有用，也可以用来解释很多问题的哲学原理。
它的基本原理是将复杂问题分成两个更简单的问题，重复该过程，直到找到解决方案。
决策制定和人际关系是二分法的经典应用之一，但它可以应用于各个领域。
在我们面临困难或挑战时，我们可以使用二分法的原则来找到解决问题的方法。
二 分 法
二分法
二分法又称二分区间法,是求解方程(2.1)的近 似根的一种常用的简单方法。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)f(b)<0,根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在 (a,b)内必有实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确 起见,假定方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根x*。
对值或 ak 与 bk 的差的绝对值是否小于ε来
决定二分区间的次数。
开始 输 入 a , b,ε
二
分
y
法
算
xb
法
实
现
(a+b)/2 x
f(a) f(x )<0 ?
|b-a|< ε
0 y
输 出x 结束
n
x a
n
例２ 求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间[1.0,1.5]内 的一 个实根, 使误差不超过0.5×10-2。P19
时，f (x) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
给定误差限＝ 0.5×10-3 ,使用二分法时
误差限为
x* xk
1 (b a) 2 k 1
只要取k满足
1 2 k 1
(b a)
1 103 2
即可，亦即
2k 103
k 3 lg 10 9.97 1g 2
二分法的基本思想是: 首先确定有根区间,将区 间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将有根区间 缩小, 直至有根区间足够地小, 便可求出满足精度 要求的近似根。
1.1确定有根区间的方法
为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的范围， 称为圈定根或根的隔离。
在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。
二分法 算法
二分法算法二分法算法是一种常用的查找算法，它通过将问题的搜索范围逐渐缩小一半来查找目标值。
这种算法适用于有序列表，比如数组或者链表。
在本文中，我们将深入探讨二分法算法的原理、应用场景以及使用注意事项。
一、原理二分法算法的原理很简单，关键在于如何将问题的搜索范围逐渐缩小。
假设我们要在一个有序数组中查找目标值，首先我们取数组的中间元素，如果这个元素等于目标值，那么直接返回；如果这个元素大于目标值，那么目标值只可能在数组的左半部分；如果这个元素小于目标值，那么目标值只可能在数组的右半部分。
然后，我们将搜索范围缩小为左半部分或者右半部分，重复上述步骤，直到找到目标值或者搜索范围为空。
二、应用场景二分法算法在很多场景中都有广泛的应用。
比如在有序数组中查找某个元素、在有序链表中查找某个节点、在旋转有序数组中查找某个元素等等。
1. 在有序数组中查找某个元素假设我们有一个升序排列的数组arr和一个目标值target，我们可以使用二分法算法来查找目标值。
首先，我们取数组的中间元素mid，如果mid等于target，那么直接返回；如果mid大于target，那么目标值只可能在数组的左半部分，将搜索范围缩小为arr[0:mid-1]；如果mid小于target，那么目标值只可能在数组的右半部分，将搜索范围缩小为arr[mid+1:n]，其中n为数组长度。
重复上述步骤，直到找到目标值或者搜索范围为空。
2. 在有序链表中查找某个节点类似于在有序数组中查找某个元素，我们可以使用二分法算法来在有序链表中查找某个节点。
首先，我们取链表的中间节点mid，如果mid的值等于目标值，那么直接返回；如果mid的值大于目标值，那么目标节点只可能在链表的左半部分，将搜索范围缩小为链表的头结点到mid的前一个节点；如果mid的值小于目标值，那么目标节点只可能在链表的右半部分，将搜索范围缩小为mid的后一个节点到链表的尾节点。
重复上述步骤，直到找到目标节点或者搜索范围为空。
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1、转化成求函数 f ( x) 2x 3x 7 的零点的近似值
x 2、求函数 f ( x) 2 3x 7 零点个数
x 3、确定函数 f ( x) 2 3x 7 零点所在的初始区间
x 4、用二分法求函数 f ( x) 2 3x 7 的零点的近似解
求方程 2 x 3 x 7 的近似解(精确到0．1)
方程 ln x 2 x 6 0的根
函数f ( x) ln x 2 x 6的零点
3、如何判断函数 f ( x) ln x 2 x 6 是否存在零点？ 有且只有一个零点
x0 , x0 (2,3)
4、如何找出这个零点？“猜数字”的游戏是否给 我们提示？
f ( x) ln x 2 x 6
2
2.5
2.75
3
实际问题迁移为数学问题
在范围内猜数字
在区间内求零点
取范围中点
取区间的中点
提示太大了或者太小了
求中点值大于、小于还是等于零
确定缩小后的范围
缩小零点所在的范围
是否满足误差
是否满足精确度
求方程近似解实践表格：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求方程 ln x 2 x 6 0的近似解(精确度0.01).
求函数 f ( x) ln x 2 x 6 的零点 精确度
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点； （2）若f(a)·f(c)<0，则令b= c（此时零点x0∈(a, c) ); （3）若f(c)·f(b)<0，则令a= c（此时零点x0∈( c, b) ).
4.判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε，则得到零 点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4．
课堂小结
①二分法的定义及其适用范围
②二分法的解题步骤 ③函数与方程相互转化的思想
课外作业： ①书面作业 P92
3、4、5
②【知识链接】 P91阅读与思考“中外历史上的方程求 解” ③【课外思考】智力游戏 12只球中有一只假球，假 球比真球略轻。现有一座无砝码的天平，如何用最少的 次数称出这只假球？
(2.5,2.75) -0.084
(2.5,2.625) -0.084 (2.5,2.5625) -0.084 (2.53125,2.5625) -0.009 (2.53125,2.546875) -0.009
0.512
0.215
2.625
2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625
3.1.2 用二分法求方程的近似解
同学们，
现在是一个猜数字游戏:给定1～ 100这100个自然数，每次游戏都 会内定一个数字，现给你10次机会, 你能猜出这个整数吗？
讨论
如果规定7次以内猜出，你能做到吗？
解方程 ln x 2 x 6 0
问题
1、可以用求根公式求一元二次方程的根，此方程 的根有公式可求吗？ 2、能否利用函数的有关知识求它的根呢？
0.01
f (c )
起始区间 （2,3）
(a, b)
f (a)
f (b)
中点 c
ab 2
a b
1 0.5
是否达到 精确度
(2, 3) -1.3069 1.0986 (2.5, 3) -0.084 1.0986
2.5 2.75
-0.084
0.512
> > > > > >
0.215
0.066 -0.009 0.029 0.010
0.25
0.125 0.0625 0.03125 0.015625
0.066
0.066 0.029
(2.53125,2.5390625) -0.009
0.010 2.53515625
0.001 0.0078125
> <
所以，原方程的近似解可取为2.53125
对于区间[a，b]上连续不断且f(a) · f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进 而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(4) 思考：下列函数中能用二分法求零点的是(1) ____.
一般步骤： 1.确定区间[a,b]，验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε ； 2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c)；
抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
选定初始区间 1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间 2.取新区间 ，用“M”表 示，其中一个端点是原 是 区间端点，另一个端点 是原区间的中点 3.“N”的意思是方程 的解满足要求的精确度。 取区间的中点
中点函数值为0
否
M N
是 否
结束
求方程 2 x 3 x 7 的近似解(精确到0．1)