微课《幂函数》ppt课件
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《幂函数》PPT课件
❖ ★当α为奇数时,幂函数为奇函数,
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
幂函数课件(优质课)(共20张PPT)
1 x ④y ( ) 否 2
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
③y x 2 x 否
⑤y x 0 是
2 2
⑥y 1 否
2、若函数 f ( x) (a 3a 3) x 是幂函数，求a的值。 -1或4 规律
x 的系数是1
底数是单一的x 指数是常数
总结
幂函数的定义 幂函数的定义：一般地函数 y 其中x是自变量，α是常数。
上是增函数，0.5< 3 ∴ ∴ ( )2 (
3 2 3 ∴( ) ( ) 底数相同，若指数相同利用幂函数的
9 10
9 10
1.40.5 1.4 3
5
) 2∴ ( ) 2 ( ) 3 10 5 10
课堂练习 1、下列函数不是幂函数的是（ c ）
3 1 A y x B y x C y 2x D y x
定义域
y x2
R
（0，+∞）
O
x
值域
奇偶性
偶
单调性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数
y x3
定义域 R
O
x
值域
R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1 x2
y
函数
y
1 x2
定义域 [0,+∞)
O
x
值域
[0,+∞)
奇偶性 非奇非偶
单调性
增
幂函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶性
yx
yx
5
(
9 10
1 )3
9 2 (4)取中间量 ( ) ，∵函数 9 x 10 y ( ) 在R 上是增函数
《幂函数》PPT课件
2 log2
1 22
1 2
练习2 :已知f ( x) m m 1 x
2
m 3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
m m 1 1
2
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
加条件 :已知f ( x) m m 1 x
2
（4）y 3
x
（3）y 2x
（5）y x 1 1 （6）y x
2
练习1：已知幂函数f(x)的图像经过点 （2，2）， 试求出这个函数的解析式。
证明: 设所求的幂函数为 yx 函数的图像过 (2， 2 )点
2 2 ,
α log2
f ( x)
1 x2
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
x x2 x1＞0 (1). 取数:设x1, x2是某个区间上任意二值，
(2). 作差: f(x2)－f(x1)， (3) 整理: (4). 分析 f(x1)－f(x2) 的符号； (5). 下结论.
yx
yx
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
R
x
[0，+∞） 偶函数
y
yx
yx
3
-1
1 -1
O
y 1
1
x
R
R
奇函数
1 2
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,+∞) (0,+∞)
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》 课件(共35张PPT)
函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
2024年度高一数学《幂函数》PPT课件
举例
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
(2x)^3 = 2^3 × x^3 = 8x^3；(3a^2b)^4 = 3^4 × a^(2×4) × b^4 = 81a^8b^4
17
复杂表达式化简技巧
利用幂的性质进行化简
如a^(m+n) = a^m × a^n，a^(m-n) = a^m ÷ a^n等
注意运算顺序
先进行乘除运算，再进行加减运算；有括号 时，先算括号里面的
2024/3/24
5
幂函数图像与性质
幂函数性质
当a>0时，幂函数在其定义域内是增函数；
2024/3/24
当a<0时，幂函数在其定义域内是减函数；
6
幂函数图像与性质
当a=0时，幂函数为常数函数； 幂函数的值域为[0，+∞)，即所有非负实数。
2024/3/24
7
幂函数与指数函数关系
联系
幂函数和指数函数都是常见的 初等函数，它们在数学和实际 应用中都有广泛的应用。
2024/3/24
幂函数图像
幂函数的图像根据a的不同取值而呈现出不同的形态，如直线、抛物线、双曲线等。通过图像 可以直观地了解幂函数的性质。
28
易错难点剖析及注意事项
01
指数取值范围
在幂函数中，指数a可以取Hale Waihona Puke 意实数，但不同的a值会导致函数性质的不
同。学生需要注意区分不同a值对应的函数性质。
2024/3/24
图像
一个抛物线
性质
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。对称轴为 x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
2024/3/24
11
三次幂函数
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
幂函数(课件)
04
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
利用导数研究幂函数的极值 和拐点
01 03
详细描述
02
幂函数与其他初等函数的复 合函数性质
THANKS
感谢观看
幂函数在物理中的应用
力学
在力学中，幂函数可以描 述物体的运动规律，例如 加速度与时间的关系。
热力学
在热力学中，幂函数可以 描述气体分子的速度分布 规律。
电磁学
在电磁学中，幂函数可以 描述电流与电压的关系。
幂函数在其他领域的应用
经济学
计算机科学
在经济学中，幂函数可以用于描述商 品的需求量与价格的关系、消费者的 购买决策等。
02
幂函数的运算规则
幂的乘法规则
总结词
同底数幂相乘，指数相加
详细描述
幂函数是数学中一种重要的函数，其形式为 (a^x)（其中 (a) 是底数，(x) 是指 数）。当两个幂函数相乘时，如果它们的底数相同，则它们的指数相加。即， (a^x times a^y = a^{x+y})。
幂的除法规则
总结词
幂函数(优秀课件)
目 录
• 幂函数的基本概念 • 幂函数的运算规则 • 幂函数的应用 • 幂函数的扩展知识 • 幂函数的习题与解析
01
幂函数的基本概念
幂函数的定义
总结词
幂函数是一种数学函数，其一般形式 为$y=x^n$，其中$n$是一个实数。
详细描述
幂函数是函数的一种，其一般形式为$y=x^n$ ，其中$x$是自变量，$y$是因变量，$n$是一 个实数。当$n>0$时，幂函数在$(0, +infty)$ 区间内单调递增；当$n<0$时，幂函数在$(0, +infty)$区间内单调递减；当$n=0$时，幂函 数值为1。
新课标人教版必修一幂函数课件(共11张PPT)
幂 函 数
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
知识要点：
1：幂函数的定义：
一般地,函数y x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常数.
注： 1 1.对于幂函数，我们重点讨论 =1，2，3， ,-1 2 时的情形。(对照教材，作出上述图像)
2.幂函数不同于指数函数和对数函数，其定义域
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是_________.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m2 ;∞ ）内是减函数，求满足条件 的实数m的集合。
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1);
a>1 0<a<1
２.如果a>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a<0
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数; 其它象限的图像可由函数奇偶性对称作出
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
典型题例：
例1：若f(x)=(m2-3m+3)x3为幂函数,求m的值
解析：由题意： m2-3m+3=1 解得：m=1或4
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
例2：如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象
1 限内的图象，已知 a分别取 1,1, , 2 2
四个值，则相应图象依次为:________
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
代 兵
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
知识要点：
1：幂函数的定义：
一般地,函数y x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
是常数.
注： 1 1.对于幂函数，我们重点讨论 =1，2，3， ,-1 2 时的情形。(对照教材，作出上述图像)
2.幂函数不同于指数函数和对数函数，其定义域
1
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
p x (0,1) 变式1： 时，函数 y x 的图像在直线 y x
上方，则P的取值范围是_________.
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
变式2:如果函数 f ( x) (m m 1) x
2
m2 ;∞ ）内是减函数，求满足条件 的实数m的集合。
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函 数图象都通过点(1,1);
a>1 0<a<1
２.如果a>0,则幂函数的图象过点 (0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;
a<0
３.如果a<0,则幂函数的图象过点(1,1), 并在(0,+∞)上为减函数; 其它象限的图像可由函数奇偶性对称作出
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
典型题例：
例1：若f(x)=(m2-3m+3)x3为幂函数,求m的值
解析：由题意： m2-3m+3=1 解得：m=1或4
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
例2：如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象
1 限内的图象，已知 a分别取 1,1, , 2 2
四个值，则相应图象依次为:________
高中数学必修1同步辅导课程——幂函数
《幂函数》课件.ppt
1
y x；y x2；y x3；y x 2；y x1．
这些函数都是形如 y xa的函数．
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中 x 是自变量，a 是常数．
想一想：有什么特点？
特点:①底数是自变量 x； ②指数是常量；③ xa 的
系 数是1。
即： y x3
(4)如果正方形场地的面积为 x ，那么这个
1
正方形的边长 y ____x_2____;
1
即： y x 2
Sx
y
x (5)如果某人 小时内骑车行进了1km，那
么他骑车的平均速度 y ____x__1 ____ .
即： y x1
上述五个问题中涉及的函数，具有什么共 同特征呢？
幂函数
看几个具体问题：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜 x 千克，那 么她需要支付 y ____x____ 元;
即： y x
(2)如果正方形的边长为 x ，那么正方形的
面积 y ____x_2____;
即： y x2
(3)如果立方体的边长为 x ，那么立方体的 体积 y ___x_3 ____;
y x；y x2；y x3；y x 2；y x1．
这些函数都是形如 y xa的函数．
一般地，函数 y xa 叫做幂函数，
其中 x 是自变量，a 是常数．
想一想：有什么特点？
特点:①底数是自变量 x； ②指数是常量；③ xa 的
系 数是1。
即： y x3
(4)如果正方形场地的面积为 x ，那么这个
1
正方形的边长 y ____x_2____;
1
即： y x 2
Sx
y
x (5)如果某人 小时内骑车行进了1km，那
么他骑车的平均速度 y ____x__1 ____ .
即： y x1
上述五个问题中涉及的函数，具有什么共 同特征呢？
幂函数
看几个具体问题：
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜 x 千克，那 么她需要支付 y ____x____ 元;
即： y x
(2)如果正方形的边长为 x ，那么正方形的
面积 y ____x_2____;
即： y x2
(3)如果立方体的边长为 x ，那么立方体的 体积 y ___x_3 ____;
幂函数课件ppt课件
课程总结回顾
幂函数的基本概念
回顾幂函数的基本定义，以及幂函数的图像和性质。
幂函数的运算规则
复习幂函数的加减乘除运算规则，以及幂函数运算的实例。
幂函数的实际应用
强调幂函数在生活和科学领域中的应用，如物理学、工程学、统 计学等。
对未来学习的展望和规划
深化对幂函数的理解
学习更高阶的数学理论
通过更多实例和习题，深化学生对幂函数 的理解和掌握。
幂函数乘法
$(x^m \times x^n) = x^{m+n}$
幂函数除法
$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$
幂函数的复合运算
复合幂函数
将多个幂函数进行复合运算，如：$((x^2+1)^3-2x^4)$
复合幂函数的运算顺序
先算括号内的幂函数，再乘除，最后加减
幂函数的求导与微分运算
金融和投资
在金融和投资领域，幂函数被用于描述股票价格的变化和收益率的 计算。
计算机科学
在计算机科学中，幂函数被用于高效计算大数和进行快速幂运算。
幂函数在物理学中的应用
描述放射性衰变
幂函数被用于描述放射性衰变的 过程，即原子核自发地转变为其
他原子核的过程。
描述药物代谢
在药理学中，药物的代谢过程通 常可以用幂函数来描述。
幂函数例子
如$y = 2^x$、$y = x^2$等均为幂函数。
幂函数的性质
奇偶性
当底数为正数时，幂函数为偶函 数；当底数为负数时，幂函数为
奇函数。
增减性
当指数为正数时，幂函数随着自变 量的增加而增加；当指数为负数时 ，幂函数随着自变量的增加而减小 。
零点
当指数为整数时，幂函数的零点为 该整数的负一次方。
幂函数教学(共43张PPT)高一数学人教B版必修第二册
R
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
R
奇函数
增函数
（5）如图所示中已经作出了函数 y＝x－1，y＝x，y＝x2 的图象，在其中作出函数 y＝x3 图象．
一般地，幂函数 y＝xα，随着 α 的取值不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不尽相同，但也有一些共同的特征：（1）所有的幂函数在区间（0 , ＋∞）上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点（1 , 1）．
[0，＋∞）
非奇非偶函数
增函数
[0，＋∞）
根据以上信息可知，函数 的图象上的点，除了原点，其余点都在第一象限，通过描点（如左图所示），可作出其图象，如右图所示
给出研究函数 y＝x3 的性质与图象的方法，并用你的方法得出这个函数的性质：（1）定义域是___________；（2）值域是___________；（3）奇偶性是___________；（4）单调性是___________；
在关系式 N＝ab 中，以 a 为自变量、N 为因变量构造出来的函数 y＝xb 就是本节要讨论的幂函数.
我们以前学过函数 y＝x，y＝x2，y＝，这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？你能根据指数运算的定义，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
幂函数
上面提到的函数 y＝x，y＝x2，y＝都是幂函数．
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
4.4 幂函数
人教B版（2019）
课标要点
核心素养
1.了解幂函数的概念
数学抽象
2.了解五个常见幂函数的图象
直观想象
3.了解幂函数的图象与性质
逻辑推理
我们已经知道，在关系式 N＝ab 中，当底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数时；如果把 b 作为自变量、N 作为因变量，则 N 就是 b 的指数函数；如果把 N 作为自变量、b 作为因变量，则 b 就是 N 的对数函数（即 b＝logaN ）．那么，当 b 为常数时，是否可以将底数 a 作为自变量，N 作为因变量来构造函数关系呢？
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1
y x2
y x1
（1）都是以自变量 x为底数；（2）指数为常 数；（3）自变量x前的系数为1;（4）只有一
项.上述问题中涉及的函数，都是形如 y x
的函数.
新课 一、幂函数的概念
一般地，函数 y x叫做幂函数，
其中x是自变量， 是常数。
探究1：你能举几个学过的幂函数的例子吗？
小试牛刀： 1、下面几个函数中，
2、如果正方形的边长为x，则面积y=_x_2___.
3、如果正方体的边长为x，体积为y， 那么y= x3
4、如果一个正方形场地的面积为x，边长为
1
那么y=__x__2 __.
5、如果某人x 秒内骑车行进了1公里，骑车的
速度为y公里/秒，那么y=__x__1__
以上问题中的函数具有什么共同特征？
y = x y = x2 y = x3
指数函数
幂函数
快速反应：
下列函数中哪些是指数函数，哪些是幂函 数：
1
(1 )y 0 .2 x,(2 )y x 5 ,(3 )y 3 x,(4 )y 5x .
（1）指数函数 （2）幂函数 （3）指数函数 （4）幂函数.
随堂练习：
1、已知幂函数y = f (x)的图象
经过点（3 ， 3 ），求这个函数的解
幂函数
课件制作：苏玉莲
对于式子 N ab
1.如果a一定，N随b的变化而变化，我们建
立了指数函数 y a x
2.如果a一定，b随N的变化而变化，我们建 ，
立了对数函数 yloga x
设想：如果b一定，N随a的变化而变 化，是不是也应该确定一个函数呢？
问题引入：
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克， 则所需的钱数y=_x___元.
哪几个函数是幂函数？
（1）y = 1
x2
（3）y=x2 + x
（2）y=2x2
（4）y 5 x3
（5）y = 2x
答案（1）（4）
探究2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？
名称
式子
a
x
y
指数函数: y=a x
底数
指数
幂值
幂函数: y= x a
指数
底数
幂值
探究3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量x是指数还是底数
析式。
1
待定系数法
y x2
收获与体会
请大家回味建立幂函数模型、定义幂函数的过程，你觉 得有什0
.
12