第三章 误差的合成与分配
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差理论与数据处理第六版
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章 误差的合成与分配
Δl = 500 − 499 = 1mm
⎛ l2 ⎞ ⎛ 5002 ⎞ ∂f = − ⎜ 2 − 1⎟ = − ⎜ − 1⎟ = −24 2 ∂h ⎝ 4h ⎠ ⎝ 4 × 50 ⎠ ∂f 500 l = = =5 ∂l 2h 2 × 50
误差传递系数为:
直径的系统误差:
∂f ∂f ΔD = Δl + Δh = 7.4mm ∂l ∂h
中国地质大学（武汉）
1 n ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi cos ϕ i =1 i
n 1 ∂f Δϕ = ∑ ∂x Δxi − sin ϕ i =1 i
9
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 Δh = -0.1mm , 玄长的系统误 差 Δl = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
16
中国地质大学（武汉）
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
2、 相关系数估计
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
σy
2 n ⎛ ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f 2 2 2 =⎜ ρσ σ ⎟ σ xn + 2 ∑ ⎜ ⎟ σ x1 + ⎜ ⎟ σ x2 + L + ⎜ ⎜ ∂x ∂x ij xi xj ⎟ ⎟ 1≤ i < j ⎝ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂x2 ⎠ i j ⎝ ∂xn ⎠ ⎠ ρij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
第三章 误差的合成与分解
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
误差理论与数据处理第三章
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
第一节
函数误差
基本概念 一、函数系统误差 二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计
二、函数随机误差
数学模型
函数的一般形式
y f( xx , , . . . , x ) 1 2 n
函数随机误差计算
为求得用各个测量值的标准差表
示的函数y的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N 次等精度 测量，其相应的随机误差为：
对
x1
x2 xn
x , x , , x 11 12 1 N
对
对
x , x , , x 21 22 2 N x , x , , x n 1 n 2 nN
变量中有随机误差，即
y y f ( x x , x , , x x ) 1 1 2x 2 n n
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得 f f f y y f ( x , x , . . . , x ) x x x 12 n 1 2 n x x x 1 2 n
ij 0
a a a y
2 2 1x 1 2 2 2x 2
2 2 n x n
ij 1
a a a
y 11 x 2 x 2 nx n
相关系数的确定－直接判断法
0 可判断 i j 的情形
断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系
x j)
2
K ij ij xi xj
或
K ij ij xi xj
则可得
f 2 2 f 2 2 f 2 2 ( ) x1( ) x2 ( ) xn x x x 1 2 n
《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
第3章误差合成与分配
各测得值的标准差为
求检定结果。
0
求解：
• １.建立函数关系式
根据图所示的测量方法，可得函数关系为
式中
• 2.计算角度值 0
得
3.计算系统误差
因 根据式（３－６），有
式中各个误差传递函数为
代入角度的系统误差式，得
4. 求角度的标准差
５. 求极限误差
lim t
取置信系数t＝３，得
• 如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关 系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及其 系统误差为
求测量结果。
求解：
• 1. 建立函数关系式
• 2.计算直径D0值 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为
3.计算直径D的系统误差
直径D的系统误差公式为
• 4.计算各误差传递系数值
3.确定两误差间的相关系数的方法
• • • • • • • 确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以 下几种方法。 1．直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数ρ。如 两误差不可能有联系或联系微弱时，则确定ρ＝0；如一个 误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P＝1。 2．试验观察和简略计算法 在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(ζi，ηi)，用 观察或简略计算法求得相关系数。 3．理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直 接求出。
1 sin f 2 f 2 f 2 x x1 x x 2 x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 3） 正切函数形式为:
tan f x1, x2 ,, xn
2 2
第三章 误差的合成与分配
δ lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
其置信概率与xi相同
证明
（3-16）函数 极限误差公式
3-17
函数的极限误差计算公式
2 2 2 2 2 δ lim y = ± a12δ lim x1 + a 2 δ lim x2 + ⋯ + a n δ lim xn = ± 2 ai2 ⋅ δ lim xi ∑ i =1 n
y为间接测量值
3-7
已定） 一、函数(已定）系统误差计算 函数 已定
的全微分，其表达式为： 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy = ∂f ∂f ∂f ⋅ dx1 + ⋅ dx 2 + ⋯ + ⋅ dx n ∂xi ∂x 2 ∂x n
函数系统误差
∆y 的计算公式
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 + ... + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定） 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
3-6
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定）
间接测量的数学模型
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,… , xn 为各个直接测量值
（3-13）函数 13） 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
∂f 2 2 σ = ∑ ( ) ⋅ σ xi i =1 ∂xi
n 2 y
（3-14） ）
或
令
误差理论与数据处理
L2 L L1
第4节 最佳测量方案的确定
【解】测量中心距L有下列三种方法：
方法一 ：测量两轴直径 d1、d2 和外尺寸 L1，其函数式及误差为
d d L=L − 1 − 2 1 2 2
1 1 σL = 0.8 + 0.52 + 0.72 = 0.91µm 2 2
第4节 最佳测量方案的确定
当测量结果与多个测量因素有关时，采用 什么方法确定各个因素，才能使测量结果的 误差最小？
随机误差 考虑因素 系统误差 已定系统误差
采用修正消除
未定系统误差
第4节 最佳测量方案的确定
函数的标准差：
∂f ∂f ∂f 2 2 σy = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
第3节 误差分配
【解】计算体积V0 π D2 0
3.1416×202 ×50 =15708m 3 V0 = h0 = m 4 4
体积的绝对误差:
δV =V0 ×1%=15708mm3 ×1%=157.08mm3
一、按等影响分配原则分配误差 得到测量直径 D 与高度 h 的极限误差:
δD =
δV 1
第4节 最佳测量方案的确定
选择最佳函数误差公式原则： 选择最佳函数误差公式原则：
间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则 包含直接测量值最少的函数公式。 应选取包含直接测量值最少 包含直接测量值最少 不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同， 误差较小的直接测量值的函数公式。 则应选取误差较小的直接测量值 误差较小的直接测量值
三、验算调整后的测量极限误差
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
误差原理第三章误差的传递与合成概要课件.ppt
n
(ai i )2
i 1
第13页，共23页。
二.极限误差的合成
若已知各单项极限误差为的
lim1, lim2 li，mn各个误差互
不相关，且置信概率相同，则总极限误差为
n
(aii )2
i 1
一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据
各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为
s
s
u
(aiui )2 2 ijaia juiu j
i 1
1i j
(2)极限误差的合成
s
s
e t (aii )2 2 ijaia juiu j
i 1
1i j
第17页，共23页。
3.4 系统误差与随机误差的合成
一.按极限误差合成
总
二.按标准差合成
s ei2
i 1
1 n
q
2 i
i ti i i 1, 2 n;
第14页，共23页。
总的极限误差为
t
则
n
t
(ai i)
i 1
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
第15页，共23页。
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成
已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成采 用代数和。
总误差合成
1 2
2
i2
i 1
3
e2j
j 1
1 (12 0.82 ) (12 0.352 0.52 )m 1.48m
2
则测量结果为
L 50.0247mm 0.0015mm
第21页，共23页。
3.5 误差分配
误差理论与数据处理第三章
σy = a12σx 2 +a22σx 2 +L+an2σx 2
1 2 n
σy =
1 ∂f ∂f ∂f 2 2 2 ( )2σx1 +( )2σx2 +L+( )2σxn cosϕ ∂x1 ∂x2 ∂xn
四、实例分析
用弓高弦长法间接测量大工件直径，如图。 车间工人用一把卡尺量得弓高 h =50mm ，弦 长 l =500mm ， 经检验部门检定，已知 ∆ = −0.1 m h m δlimh = ±0.05mm ∆ =1 m l m δliml = ±0.1mm 设 l, h测量误差相互独立，均为正态分布，求D测量结果 解：1）建立大直径测量数学模型 l2 D = +h 4h 2）若不考虑测得值误差，计算直径D0
=0.5或 ξ ρ=0.5或ρ＝-0.5
ρ=0
五、误差见的相关关系和相关系数
(三）相关系数的确定
1、直接判断法
ρij = 0
断定
xi 与 xj 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时， 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化， 变化，反之亦然
xi 与 xj 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作 属于完全不相干的两类体系分量，
l2 5002 +50 =1300mm D = +h = 0 4h 4×50
四、实例分析
3）计算D的系统误差 计算D
∂f l2 ( 2 −1 = −24 ) h=50 = − ∂h l=500 4h
∂f ∂l
h=50 l=500
=
l =5 2h
∂f ∂f ∆D = ∆h+ ∆l = 7.4mm ∂h ∂l 计算D ４）计算D的随机误差
第三章误差的合成与处理-精品文档
误差的合成与分配
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误差理论与数据处理
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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误差理论与数据处理
重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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1 n f x i c o s i1 x i 1 n f x i s in i1 x i
误差理论与数据处理
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工
件直径。如图所示，车间工人用一 把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知，弓高的系统误 差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。试问车间工人测量该 工件直径的系统误差，并求修正后 的测量结果。 【解】
f f f y x x . . x 1 2 . n x x x 1 2 n
f xi 1 , 2 , , n ) 为各个输入量在该测量点 i( 误差传播系数 (x ,x 1, x 2, n)
处的
x i 和 y 的量纲或单位相同，则 f x i 起到误 差放大或缩小的作用
直径的系统误差:
f f D l h7 . 4 m m l h
故修正后的测量结果:
D D D 1 3 0 0 7 . 4 1 2 9 2 . 6 m m 0
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第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》（第七版)习题及参考答案第一章 绪论1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解:绝对误差等于： 相对误差等于：1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。
%108.66 %1002.311020 100%maxmax 4-6-⨯=⨯⨯=⨯=测得值绝对误差相对误差1—10检定2。
5级(即引用误差为2。
5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格?%5.22%100%1002100%<=⨯=⨯=测量范围上限某量程最大示值误差最大引用误差该电压表合格1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。
测得值各为50。
004mm,80。
006mm 。
试评定两种方法测量精度的高低。
相对误差L 1:50mm 0.008%100%5050004.501=⨯-=IL 2：80mm 0.0075%100%8080006.802=⨯-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高.1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心,试评述哪一个射21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=''''''⨯⨯''=''＝o击精度高? 解：多级火箭的相对误差为射手的相对误差为：多级火箭的射击精度高。
1—14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ，其测量误差分别为m μ11±和m μ9±；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。
误差理论第三章误差合成与分配
f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2
f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。
《误差理论与数据管理组织(第6版)》费业泰-课后答案解析全
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
《误差理论与数据处理》作业答案
1.若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。
2.若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数不变。
3.若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数，即当末位为偶数时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。
(3)求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为：
其标准不确定度应为：
确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U＝Kuc＝3.25×0.616＝2.002cm3
4-2
解：
的不确定度分量：
的不确定度分量：
因此，望远镜的放大率D的合成标准不确定度为：
代入数据得
解得
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
求解不定乘数
解得
x、y的精度分别为
方法二：
按矩阵形式计算，由误差方程 ，
上式可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将x、y代入误差方程式
测量数据的标准差为
，故
x、y的精度分别为
5-3：
解：按矩阵形式计算，误差方程为
可以表示为：
可得：
式中：
所以：
将 代入误差方程式
合成标准不确定度：
自由度为：
取置信概率P=0.99，查t分布表包含因子 ，则展伸不确定度为：
不确定度修约：
3.不确定度报告
漏电电流为 。其展伸不确定度 ，是由合成标准不确定度 及包含因子 确定的，对应的置信概率P=0.99，自由度 。
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f
x1
x1
f x2
x2
得到
y
f x1
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第一节 函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
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第一节 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 y f (x1, x2,..., xn )
成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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第一节 函数误差
前面讨论的主要是直接测量的误差计算问 题，但在有些情况下，由于被测对象的特 点，不能进行直接测量，或者直接测量难 以保证测量精度，需要采用间接测量。
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函 数关系式计算出被测的量。因此间接测量 的量是直接测量所得到的各个测量值的函 数，而间接测量误差则是各个直接测得值 误差的函数，故称这种误差为函数误差。 研究函数误差的内容，实质上就是研究误 差的传递问题，而对于这种具有确定关系 的误差计算，也有称之为误差合成。
x1, x2, , xn 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy
f x1
dx1
f x2
dx2
f xn
dxn
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第一节 函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
y
f x1
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第一节 函数误差
数学模型பைடு நூலகம்
函数的一般形式
y f (x1, x2,..., xn )
变量中只有随机误差
即： y y f (x1 x1, x2 x2, , xn xn )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得：
y
y
f
(x1, x2,..., xn )
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
l2 D0 4h h 1300mm
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第一节 函数误差
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
将已知各误差值及误差传递系数代人角度的系统误差式，得
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第一节 函数误差
将所求得的角度系统误差修正后，则得被检内锥角的实 际值为
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第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对 于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此， 函数随机误差计算， 就是研究函数y的标准差与各测量值x1， x2，…，xn 的标准差之间的关系。但在式(3-1)中，若以各测 量值的随机误差δx1，δx2，…，δxn 代替各微分量dx1，dx2，… ，dxn，只能得到函数的随机误差δy，而得不到函数的标准差σy 。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。
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第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和
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第一节 函数误差
例: 用双圆球法检定高精度内锥角α， 如图,已知:
测得尺寸及系统误差为:
求检定结果。 解：根据图所示的测量方法，可得函数关系式
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度值α0为
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第一节 函数误差
角度α的系统误差为 式中各个误差传递函数为
第3章 误差的合成与分配
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教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合
误差传递系数为:
f h
l2 4h2
1
5002 4 502
1
24
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
D f l f h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
2、三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn cos f x1, x2,..., xn
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1
cos
n i 1
f xi
xi
1
sin
n i 1
f xi
xi
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦
长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 l = 1mm 。试问车间工人测量
该工件直径的系统误差，并求修正
后的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
x1
f x2
x2
...
f xn
xn
f xi (i 1, 2, , n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 (x1, x2, , xn )
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用