2005年全国高中数学联赛试题及参考答案

合集下载

2005年全国高中数学联合竞赛加试试卷及答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。

2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、（本题满分50分）如图，在ABC ∆中，设AB AC >，过A 作ABC ∆的外接圆的切线l .又以A 为圆心,AC 为半径作圆分别交线段AB 于D;交直线l 于E 、F.证明：直线DE 、DF 分别通过ABC ∆的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁心圆的圆心称为旁心）证明：（１）先证DE 过ABC ∆的内心. 如图，连DE 、DC ，作BAC ∠的平分线分别交DE 于I 、DC 于G ，连IC ，则由AD AC =，得AG DC ⊥，ID IC =.10 分又D 、C 、E 在A 上，12IAC DAC IEC ∴∠=∠=∠，∴A 、I 、C 、E 四点共圆，CIE CAE ABC ∴∠=∠=∠，而2CIE ICD ∠=∠，1.202ICA ABC ∴∠=∠ 分1190,.2230AIC IGC ICG ABC ACI ACB I ABC ∴∠=∠+∠=︒+∠∴∠=∠∴∆ 为的内心。

分（2）再证DF 过ABC ∆的一个旁心。

连FD 并延长交ABC ∠的外角平分线于１Ｉ，连B BI 11II 、I、，由（1）知，I 为内心，1190,IBI EDI D ∴∠=︒=∠∴、B 、1I 、I 四点共圆，111190(),22BII BDI ADI BAC ADG ADI BAC IDG ∠=∠=︒-∠=∠+∠-∠=∠+∠A ∴、I 、1I 共线。

150I ABC BC ∴∆ 是的边外的旁心，分二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足;;.cy bz a az cx b bx ay c +=+=+=求函数222(,,)111x y z f x y z x y z=+++++的最小值。

2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36-B. 3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x ，可得62≤y ，即6max =y ，所以6≤k2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A. 只有一个B. 有二个C. 有四个D. 有无穷多个 ◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++DA CD BC AB 则22DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++AB CD BC AB AB CD CD BC BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC⋅∴只有一个值为0，故选A 。

2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 ◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =- 所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=， C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。

所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。

2005年全国高中数学联赛试题及解答

BC 2 CD 2 2( BC AB BC BC CD CD AB ) AB 2 BC 2 CD 2 2( AB
2
BC) (BC CD), 即 2 AC BD AD2 BC2 AB2 CD 2 0, AC BD 只有一

2

2
2 3

2
, cos(

2 ) cos( 3 ), 2 2

又
0 2

, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 2 2
6
方
程表示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin 2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆

B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
a3 a4 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 3 7 7
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6 2. 空间四点 A, B, C, D ，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11、 | DA | 9 ，则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

2005年全国高中数学联赛试题及解答

1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −

2

2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0，， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：

2005年全国高中数学联赛试卷及解答

又证：由上证，得③式后：an+2－7an+1+an＝0．
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝＝＝．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝，β＝；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足＝λ1；点F在线段BC上，满足＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝＝1时成立，
故AC＝，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：

2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及解析

2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.设函数f(x)的定义域为R，且对任意实数x∈(−π2,π2)，f(tanx)=sin2x.则f(2sinx)的最大值为（）.A. 0B. 12C. √22D. 12.实数列{a n}定义为，a1=1,a9=7，a n+1=a n2−a n−1+2a na n−1+1,n=2,3,⋅⋅⋅则a5的值为( ).A. 3B. -4C. 3或-4D. 83.正四面体ABCD的棱长为1，E是△ABC内一点，点E到边AB、BC、CA的距离之和为x，点E到平面DAB、平面DBC、平面DCA的距离之和为y.则x2+y2等于（）A. 1B. √62C. 53D. 17124.数列x1,x2,⋅⋅⋅,x100满足如下条件：对于k=1,2,⋅⋅⋅,100,x k比其余99个数的和小k.已知x50=m n,m、n是互质的正整数.则m+n等于( ).A. 50B. 100C. 165D. 1735.若sinx+siny=√22,cosx+cosy=√62，则sin(x+y)等于( ).A. √22B. √32C. √62D. 16.P为椭圆x 216+y29=1在第一象限上的动点，过点P引圆x2+y2=9的两条切线PA、PB.切点分别为A、B.直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N.则S△MON的最小值为( ).A. 92B. 9√32C. 274D. 27√34第II卷（非选择题）二、填空题7.实数x、y、z满足x2+2y=7,y2+4z=−7,z2+6x=−14.则x2+y2+z2等于____________.8.设S 是集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的一个非空子集.若正整数n 满足：n ∈S,n +|S |∈S ，则称n 是子集S 的“模范数”，这里|S |表示集合S 中元素的个数.对集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的所有非空子集S ，模范数的个数之和____________. 9.对于12≤x ≤1，当(1+x )5(1−x )(1−2x )2取到最大值时，x=__________.10.函数f (x )满足：对任意实数x 、y ，都有f (x )f (y )−f (xy )3=x +y +2.则f (36)的值_________.11.正四面体ABCD 的体积为1，O 为其中心.正四面体A ′B ′C ′D ′与正四面体ABCD 关于点O 对称.则这两个正四面体的公共部分的体积为__________. 12.在双曲线xy=1上，横坐标为n n+1的点为A n ，横坐标为n+1n的点为B n (n ∈N +).记坐标为(1, 1)的点为M,P n (x n ,y n )是ΔA n B n M 的外心.则x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100=_________.三、解答题13.如图，已知的内心为I ，AC≠BC ，内切圆与边AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F 、S= CI∩EF ，联结CD 与内切圆的另一个交点为M ，过点M 的切线交AB 的延长线于点G.求证：(1)ΔCDI ∼ΔDSI ；(2)GS⊥CI .14.设a 、b 、c 是正整数，关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两实数根的绝对值均小于13.求a+b+c 的最小值.15.设集合A 、B 都是由正整数组成的集合，|A |=10,|B |=9，并且集合A 满足如下条件：若x 、y 、u 、v ∈A, x+y=u+v ，则{x,y }={u,v }.令A +B ={a +b|a ∈A,b ∈B}.求证：|A +B |≥50(|X |表示集合X 中元素的个数).参考答案1.D【解析】1. 由f(tanx)=2tanx 1+tan 2x，f(x)=2x 1+x2.所以，f (2sinx )=4sinx 1+4sin 2x≤1.当sinx=12时，上式等号成立.故f (2sinx )的最大值为1. 2.A【解析】2. 设b n=a n +1，则b n+1−1=b n 2−b n−1b n−1=b n2b n−1−1. 所以，b n 2=b n+1+b n−1.故b 52=b 1b 9=16. 于是,，b 5=4(-4舍去， b 1、b 5、b 9同正负).3.D【解析】3.点E 到边AB 、BC 、CA 的距高之和就等于△ABC 的高，即√32，故x=√32.又V 四面体ABCD =V E−DAB +V E−DBC +V E−DCA ，即13S ΔABCℎ=13S ΔDAB y 1+13S ΔDAC y 2+13S ΔDCA y 3，这里h 为正四面体的高，y 1、y 2、y 3分别是点E 到平面DAB 、平面DBC 、平面DCA 的距离.于是，ℎ=√63.则y 1+y 2+y 3=y .所以，y =√63.则x 2+y 2等于1712. 4.D【解析】4. 设S=x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100，则x k =(S −x k )−k ，即k +2x k =S .对k 求和得(1+2+⋅⋅⋅+100)+2S =100S . 所以，S=252549.于是，x 50=S−502=7598.故m +n = 173.5.B【解析】5.把两个式子分别平方，相加得(sin2x+cos2x)+(sin2y+cos2y)+2(cosxcosy+sinxsiny)=2. 所以，cos(x−y)=0.把两个式子相乘得(sinxcosy+sinycosx)+(sinxcosx+sinycosy)=√32.所以，sin(x+y)+sin(x+y)cos(x−y)=√3 2 .故sin(x+y)=√3 2 .6.C【解析】6.设P(4cosθ,3sinθ),θ∈(0,π2)，则直线AB的方程为4xcosθ+3ysinθ=9.故|OM|=94cosθ,|ON|=3sinθ，SΔMON=12|OM|·|ON|=274sin2θ≥274.当θ=π4，即点P为(2√2,3√22)时等号成立.故SΔMON的最小值为274.7.14【解析】7.把三个式子相加得(x2+6x)+(y2+2y)+(z2+4z)=−14.故(x+3)2+(y+1)2+(z+2)2=0.所以，x=−3,y=−1,z=−2.8.13×212【解析】8.只要找出，对每个n有多少集合，使得n是模范数，再关于n求和即可.若n 是S 的一个模范数，S 含有k 个元素，则n ∈S,n +k ∈S .所以，k ≥2.又k≤15−n,S 的其余k -2个元素有C 13k -2种取法，故n 为模范数时，共有C 130+C 131+⋅⋅⋅+C 1313-n (个).当n =1,2,⋅⋅⋅,13时，模范数的总数为A =13C 130+12C 131+⋅⋅⋅+C 1312.故2A=13C 130+12C 131++11C 132+⋅⋅⋅+C 1312+C 131+2C 132+⋅⋅⋅+12C 1312+13C 1313=13(C 130+C 131++C 132+⋅⋅⋅+C 1312+C 1313)=13×213.因此，对集合{1,2,⋅⋅⋅,15}的所有非空子集S ，模范数的个数之和为13×212. 9.78【解析】9.考虑[a (1+x )]5[β(1−x)][γ(2x −1)]2的最大值，这里a 、β、γ是正整数，满足5a −β+4γ=0,a (1+x )=β(1−x)=γ(2x −1).后者即β−a β+a=β+γ2γ+β.代入β=5a +4γ，得0=2(5a −2γ)(a +γ).取(a,β,γ)=(2,30,5)，由平均不等式得[2(1+x )]5[30(1−x )][5(2x -1)]2≤(154)8.当且仅当x =78时，上式等号成立.所以，当x =78时(1+x )5(1−x )(1−2x )2的最大值为37×55222.10.39【解析】10. 取x=y =0，则f 2(0)−f (0)2=2.所以，f (0)=−2或f (0)=3.若f (0)=−2，令y =0，则f (x )f (0)−f (0)3=x +2.所以，f (x )=−32x −2.代入原式知不满足题意. 若f (0)=3，解得f (x )=x +3，代入检验知满足题意.故f (36)=39.11.12【解析】11.若将三棱锥A - BCD 放在一个水平面上，易知其中心到点A 的距离是点A 到底面距离的34. 所以，反射的对称面是到点A 与底面距离相等的水平面. 因此，它切割点A 所在的小正四面体是原正四面体缩小12. 同样，对B 、C 、D 三点处所切割的正四面体也是原正四面体的12.当在原四面体中切割掉这四个小正四面体后，即得到两个正四面体的公共部分，其体积为1−4×(12)3=12.12.20050101【解析】12.易得A n (nn+1,n+1n ),B n (n+1n,n n+1)，所以，|A n M |=|B n M |，且k A n B n =−1.故ΔMA n B n 是以A n B n 为底边的等腰三角形，且底边所在的直线的斜率为-1. 因为点M 在直线y = x 上，所以，底边的中垂线方程为y = x .由此得x n=y n .因为A n M 的中点为E (2n+12(n+1),2n+12n)，k A n M=n+1n −1nn+1−1=−n+1n.所以，外心P (x n ,x n )在直线y −2n+12n=nn+1[x −2n+12(n+1)]上.由此得x n=(2n+1)22n (n+1)，即x n =(2n+1)22n (n+1)=2+12n (n+1)=2+12(1n −1n+1) 于是，x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100=200+12(1−12)+12(12−13)+⋅⋅⋅+12(1100−1100)=20050101.13.（1）见解析（2）见解析【解析】13.(1)在Rt △CFI 中，由射影定理可得FI 2=SI ·CI =DI 2.所以，DI SI=CI DI .而∠CID =∠DIS,故ΔCDI ∼ΔDSI .(2)如图所示，联结IM、IF.因为D、I、M、G四点共圆，并且由(1)可得∠ISD=∠IDC=∠IMD.所以，点S在四边形DIMG的外接圆上.故∠GSF=∠GMI=90°，即GS⊥CI.14.25【解析】14.设方程的两实数根为x1、x2.由韦达定理知x1、x2均为负数.由ca =x1x2＜19，得ac＞9.所以，b2≥4ac=4×a c×c2>4×9×12=36. 解得b>6.故b≥7.又ba =(−x1)+(−x2)＜13+13=23，所以，a b >23,a>23b≥212.故a≥11.(1)当b=7时，由4a≤4ac≤b2及a≥11，知a=11或12 ，c=1.但方程11x2+7x+1=0有根−7+√522＜−13，不合题意；方程12x2+7x+1=0的两根为−13,−14也不合题意.2.当b=8时，由4ac≤b2=64及a≥11，知a=11,12,13,14,15,16,c=1.由x2=−b−√b2−4ac2a >−13，解得4+√16−a＜a3.易知f(a)=a3−√16−a−4(a=11,12,⋅⋅⋅,16)的増函数，于是，f(a)≤f(16)=43＞0.而f(15)=0，故a只能为16.此吋，a+b +c =16+8+1=25，而16x 2+8x +1=0的两根为x 1=x 2=−14满足题意.. (3)当b ≥9时，a ＞32b ≥272，所以，a ≥14.于是，a +b +c =14+9+1≥24.若a+b +c <25，只能a =14，b =9，c =l ，此时，方程14x 2+9x +1=0的两根为x 1=−12,x 2=−17，不合题意，故此时a +b +c ≥25. 综上所述，a + b +c 的最小值为25. 15.见解析【解析】15. 考虑一般的情形.设|A |=m,|B |=n,A +B ={s 1,s 2,⋅⋅⋅,s k }. 对任意的1≤i ≤k ，设s i 有f (i )种方式表示为a +b 的形式，其中a ∈A,b ∈B ，即s i =a i1+b i1=a i2+b i2=⋅⋅⋅ =a if(i)+b if(i).则显然有f (1)+f(2)+⋅⋅⋅+f (k )=mn .对任意1≤r <t ≤f(i)，考虑集合{b ir ,b it }，则有C f(i)2个这样的集合.对于i =1,2,⋅⋅⋅,k ，共C f(1)2+C f(2)2+⋅⋅⋅+C f(k)2个集合.下面证明这些集合是两两不同的. 若不然，则存在1≤i <j ≤k 及b r 、b t ∈B (r ≠t )，使得s i =x +b r =u +b t ,s j =v +b r =y +b t ，其中 x 、y 、u 、v ∈A .从而， x +y =u +v .由题设知{x,y }={u,v }.若x =u,y =v ，则b r =b t ，不可能；若x=v ，y =u ，则s i =s j 不可能.从而，C f(1)2+C f(2)2+⋅⋅⋅+C f(k)2≤C n 2，((f (1)2+(f (2)2+⋅⋅⋅+(f (k ))2)−(f (1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(k))≤n 2−n .由柯西不等式得((f (1)2+(f (2)2+⋅⋅⋅+(f (k ))2)≥1k(f(1)+f(2)+⋅⋅⋅+f(k))2=1km 2n 2.所以1k m 2n 2−mn≤n 2−n ，即k ≥m 2nm+n−1.当m =10,n =9时，k≥m2nm+n−1=100×910+9−1=50.。

2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。

2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。

所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。

2005年全国高中数学联赛试题及答案

二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。

则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。

任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l .则（）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答

(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是周期函数。因为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答：【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1）（2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 O 沿正东偏北（ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是。
a n 1

2005年全国高中数学联赛二试及解答

2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分）如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

）二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分）如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

）证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。

如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ，得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数的图像按向量平移后, 得到的图像的解析式为. 那么的解析式为A. B. C. D.2. 如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个3. 设 , 那么的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 54. 设四棱锥的底面不是平行四边形, 用平面去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个5. 设数列 : , N*, 则被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 个B. 个C. 个D. 个二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量绕点逆时针旋转得向量 , 且 , 则向量8. 设无穷数列的各项都是正数, 是它的前项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为9. 函数 R) 的最小值是10. 在长方体中, , 点、、分别是棱、与的中点, 那么四面体的体积是11. 由三个数字、、组成的位数中, 、、都至少出现次, 这样的位数共有12. 已知平面上两个点集 R},R}. 若 , 则的取值范围是三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点是的中线上的一点, 直线交边于点, 且是的外接圆的切线, 设 , 试求 (用表示).14. 求所有使得下列命题成立的正整数 : 对于任意实数 ,当时, 总有 ( 其中 ).15. 设椭圆的方程为 , 线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 ,使为正三角形, 求椭圆的离心率的取值范围, 并用表示直线的斜率.16. (1) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求的最小值, 并说明理由；(2) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002, 求的最小值, 并说明理由.。

2005年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)

2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．在△ABC 中，如果a 2＋b 2＝6c 2，则(cot A ＋cot B ) tan C 的值等于( ) (A)51 (B)52 (C)71 (D)72 2．已知f (x )是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，则函数f (x )( )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数3．设由正整数有序数对(x ，y )组成如下数列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，按x ＋y 的值由小到大的顺序排列，当x ＋y 的值相等时，按x 的值由小到大的顺序排列．则有序数对(m ，n )(m ，n 均为正整数)在该数列中的位置是( )(A)第2m +n －1位(B)第2m +n －2位 (C)第m n m n m ++-+2))(1(位(D)第m n m n m +-+-+2)1)(2(位4．如图1，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AA 1的中点．则平面CEB 1与平面D 1FB 1所成二面角的平面角的正弦值为( )(A)21(B)22 (C)23 (D)15．将A 、B 、C 、D 、E 五种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有( )种(A)60(B)120(C)240(D)4806．设集合M ＝{a |a ＝tyx +，2x ＋2y ＝2t ，其中x 、y 、t 、a 均为整数}．则集合M 中的所有元素的和等于( )AD D A C C F B 图11111(A)1 (B)4 (C)7 (D)8二、填空题(每小题5分，共30分)1．已知定点A (4，7)．若动点P 的抛物线y 2＝4x 上，且点P 在y 轴上的射影为点M ，则|P A |－|PM |的最大值为_________________．2．已知函数f (x )是定义在(－∞，3]上的减函数，且对于x ∈R ，f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )恒成立，则实数a 的取值范围是_________________．3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n +a n +1＝1(n ∈N +)．若S n 为数列{a n }的前n 项和，那么，S 2 003－2S 2 004＋S 2 005的值是_________________．4．如图2，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝120°，若E 为BC 延长线上任意一点，AE 交CD 于点F ，则向量BF 与ED 和夹角的大小为_________________度．5．如图3(a )，已知正方体八个顶点分别赋值为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，然后，将与每个顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 放在另一个正方体的相应顶点处，如图3(b )．若a ＝9，b ＝8，c ＝11，d ＝10，e ＝13，f ＝12，g＝15，h ＝14，则a ＋g 的值为_________________．6．已知二次函数f (x )满足f (－1)＝0，且x ≤f (x )≤21(x 2＋1)对一切实数x 恒成立，那么，函数f (x )的解析式为_________________．三、(20分)已知函数f (x )＝x11． (1)是否存在实数a 、b (a ＜b )，使得函数f (x )的定义域和值域都是[a 、b ]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b (a ＜b )，使得函数f (x )的定义域是[a 、b ]，值域是[ma 、mb ](m ≠0)，图2ehdacbfgeh d acbfg 图3(b )图3(a )求实数m 的取值范围．四、(20分)已知椭圆22ax ＋22b y ＝1(a ＞b ＞0)，其长轴为A 1A ，P 是椭圆上不同于点A 1、A 的一个动点，直线P A 、P A 1分别与同一条准线l 交于M 、M 1两点．试证明：以线段MM 1为直径的圆必经过椭圆个的一个定点．五、(20分)若P 是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的2n 位正整数，并同时满足如下两个条件：(1)数字1，2，…，n 在P 中各出现两次；(2)每两个相同的数字i (i ＝1，2，…，n )之间恰有i 个数字．此时，我们称这样的正整数P 为“好数”．例如，当n ＝3时，P 可以是312 132．试确定满足条件的正整数n 的值，并各写出一个相应的好数P ．2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛参考答案一、选择题： 1．B ．原式＝B A B A sin sin )sin(⋅+·C C cos sin ＝B A C sin sin sin 2⋅·C cos 1＝ab c 2·2222cb a ab-+＝22222c b a c -+＝22262c c c -＝52． 2．A ．由f (－1)＝－f (1)＋f (－1)有f (1)＝0，而f (1)＝－2f (－1)，∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )． 3．D ．按x ＋y 的值分组，x ＋y ＝m ＋n 时为第m ＋n －1组，故该数列的前m ＋n －2组共有有序数对2)1)(2(-+-+n m n m (个)，而对于有序数对(m ，n )，当x ＝m 时，为第m ＋n －1组中的第m 位，故有序数对(m ，n )在该数列的第m n m n m +-+-+2)1)(2(位．4．C ．延长CE 、D 1F 、DA 交于一点G ，设棱长为1，可知B 1C ＝2，B 1G ＝3，CG ＝5，故B 1G ⊥B 1C ；同理，B 1D 1⊥B 1G ，∴∠CB 1D 1即为所求二面角的平面角，易求∠CB 1D 1＝60°，其正弦值为23． 5．C ．将AB 、CD 、E 及两个空抽屉视为5个元素，全排列为55A ．由于AB 、CD 的排列数均为22A ，而两个空抽屉为相同元素，故共有2222255A A A ⋅⋅=240种．6．D ．不妨设x ≤y ，有2t ＝2x ＋2y ≤2y ＋2y =2y +1．则t ≤y ＋1．由2x ＞0，得2t ＝2x ＋2y ＞2y ，则t ＞y ，∴y ＜t ≤y ＋1．又知x ，y ，t 均为整数，则t ＝y ＋1，有2y +1＝2x ＋2y ，故x ＝y ＝t －1．于是a ＝t y x +＝2－t2，这里a 、t ∈Z ，可得t ＝±1，±2，则a ＝0，1，3，4．故集合M 中所有元素的和为8．二、填空题： 1．5．联结PM 并延长交准线于N ，则|PM |＝|PN |－|MN |＝|PF |－1，则|P A |－|PM |＝|P A |－(|PF |－1)＝(|P A |－|PF |)＋1≤|AF |＋1＝4＋1＝5．2．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2101,2．由已知a ＋1＋cos 2x ≤a 2－sin x ≤3对x ∈R 恒成立，即⎩⎨⎧++≥-+≤xx a a xa sin cos 1sin 3222对x ∈R 恒成立，解不等式组可得． 3．3．当n 为偶数时，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝1，…，a n －1＋a n ＝1，则S n ＝2n，S 2004＝1002；当n 为奇数时，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝1，…，a n －1＋a n ＝1，则S n ＝a 1＋21-n ＝23+n ，∴S 2003＝1003，S 2005＝1004；∴S 2 003－2S 2 004＋S 2 005＝3．4．120．以B 为原点，BC 方向为x 轴建立直角坐标系，设E (a ，0)(a ＞1)，由直线CD 与AE 方程解出交点F (a a 21+，a a 2)1(3-)，于是＝(a a 21+，a a 2)1(3-)，＝(221a-，23)，∴·＝a a a 212+--，||＝aa a 12+-，||＝12+-a a ，可解得夹角120°．5．20．a ＝3e d b ++，…，h ＝3g e d ++，则a ＝(b ＋d ＋e )－2g ，g ＝(c ＋f ＋h )－2a ，∴a ＋g ＝20．6．41(x ＋1)2 ．三、(1)不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件．事实上，若存在实数a 、b (a ＜b )满足条件，则有x ≥a ＞0．故f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x(i)当a 、b ∈(0，1)时，f (x )＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件．(ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件 (iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b ]，而f (1)＝0，所以0∈[a ，b ]，矛盾．综上可知，不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件． (2)若存在实数a 、b (a ＜b )满足f (x )定义域是[a 、b ]，值域是[ma 、mb ](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根．∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m mx m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41，所以m 的取值范围为0＜m ＜41．四、由已知，可设A 1(－a ，0)，A (a ，0)，一条准线l 的方程为x ＝ca 2，椭圆上动点P的坐标为(x 0，y 0)，且y 0≠0，则l P A ：y ＝ax y -00(x －a )，与x ＝2a c 联立解得M (2a c ，00()()a a c y c x a --)，l P A 1：y ＝00y x a +(x ＋a )，与x ＝2a c 联立解得M 1(2a c ，00()()a a c y c x a ++)，设线段MM 1的中点为Q (x 1，y 1)，则x 1＝2a c，y 1＝12[00()()a a c y c x a --＋00()()a a c y c x a ++]＝200220()()a x c y c x a --＝2002202()()a x c y a y c b--＝200()b x c cy --．故MM 1＝|00()()a a c y c x a ++－00()()a a c y c x a --|＝|2002202()()ay cx a c x a --|＝|20022022()()ay cx a a y c b--|＝|22002()b cx a acy -|．因此，以MM 1为直径的圆的方程为(x －2a c )2＋[y －200()b c x cy -]2＝[2200()b cx a acy -]2．令y ＝0，化简得(x －2a c )2＝－[200()b c x cy -]2＋[2200()b cx a acy -]2 ＝4222b ac y [(cx 0－a 2)2－a 2(c －x 0)2]＝42b c ． ∴x ＝2a c ±2b c ，即x ＝c 或x ＝22a b c+．可见，以线段MM 1为直径的圆必经过椭圆外的一个定点(22a b c+，0)．当l 为左准线x ＝－2a c时也有相应的结论．五、由好数的定义，可知n ≤9．对于好数P 中的数字位置按由左到右的顺序考虑，如果数字i (i ＝1，2，…，n )第一次出现的位置记作a i ，那么根据题意，数字i (i ＝1，2，…，n )第二次出现的位置应该是a i ＋(i ＋1)，于是：1ni i a =∑＋1[(1)]ni i a i =++∑＝21nk k =∑，记S ＝1ni i a =∑，则S ＋S ＋[2(1)]2n n ++＝2(12)2n n +，即S ＝(31)4n n -．因为S 是正整数，可得n (3n －1)能被4整除．又n 为正整数，所以n ＝3或4或7或8．当n ＝3时，题目中已给出；当n ＝4时，好数P 可以是41 312 432；当n ＝7时，好数P 可以是71 316 435 724 625；当n ＝8时，好数P 可以是8 131 573 468 524 726．。

2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析

11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
第1页共6页
()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.

全国高中数学联赛江苏赛区2005年-2011年初赛试题汇编(含答案细则)

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准2005年04月03日一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+答: [ B ]解： sin[()]44y x ππ=++, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个答: [ C ]解：由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则 2(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.由于 ,p q ∈N*，所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合题意．故选 C ．3. 设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 5答: [ C ]解：由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤,所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个答: [ D ]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选 D ．5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 48答: [ C ]解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故选 C ．6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个答: [ D ]解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不铺 B 色，则有 2(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理，若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 73021⨯ 种铺法．故选 D ．二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = （－115，235） .解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.D 1C 1B 1A 1DCBAPA B即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.故填 1123(,)55-． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2(n ∈N*) .解：由题意知22n a += 即 2(2)8n n a S +=. ……… ① 由 11a S = 得122a +=从而 12a =. 又由 ① 式得211(2)(2)8n n a S n --+=≥, ……… ②于是有 1n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88n n a a n -++=-≥,整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故114(2),2n n a a n a --=≥=．所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-，即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 22 .解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得2y ≤≤；当0t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得928y ≤≤．又 y 可取到2, 故填2．10. 在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG= 38 .解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面 1B FG ．故 1111B EFG E B FG H B FGG B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1．故填 138B E F G V -=．11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 11235444()70C C C C ++= 个；若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个．则这样的五位数共有 150 个．故填 150个．12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是[1－6，3+10] ．解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <=时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, MN =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤[13a ∈ 时,M N ≠∅．故填[1-.三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设BC BN λ=, 试求 BMMN(用 λ 表示). 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=．因为 BD DC =，所以BM ACMN AN=． ……………… 6分由 ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆ ∽ ACB ∆，则AB AC CBAN AB BN==．所以，2AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分因此， 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC MN BM ．又BC BN λ=，故 2BMMNλ=． …………………… 15分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n x x += ).解：当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得A BCDN M2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222123()02x x x -++=≤.所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则10nii x==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分15. 设椭圆的方程为 22221(0)x y a b a b +=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.解：如图, 设线段 PQ 的中点为 M ．过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 'P 、'M 、'Q , 则11|||||'|(|'||'|)()22PF QF MM PP QQ e e =+=+=． …………… 6分假设存在点 R ，则 ||||2RM PQ =，且 |'|||MM RM <，即 ||||22PQ PQ e <，所以，e >………………………… 12分于是，ePQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠，故cot 'RMM ∠=．若 ||||PF QF < (如图)，则131'cot 'tan tan 2-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分当3e >时, 过点 F 作斜率为的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知, ||||2RM PQ =．故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分若 ||||PF QF >，则由对称性得PQ k = ……………… 24分又 1e <, 所以，椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率 e 的取值范围是e ∈，直线 PQ 的斜率为16. (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.解： (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =，使min 4n ≤． ……………… 6分若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠. 由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ，则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod 9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod 9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)， 3312x x + ≡∕4(mod 9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod 9). … ⑦…………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006.4.2 8：00～11：00本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

内侧的点集， N 是以 (a,1) 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N 时, a 的取值范围: 令 y 1 , 代入方程
y
3 2 1
| x y 1| 2( x 2 y 2 ) ,
得 x 4 x 2 0 ，解出得．故 VB1 EFG VE B1FG VH B1FG VGB1FH ．
而 S B1FH 11, 150
9 3 ．，G 到平面 B1FH 的距离为 1 ．故填 VB1 E F G 8 8
1 1 2 3 在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 C5 (C4 C4 C4 ) 70 个；
分别是棱 AA1 、 C1D1 与 BC 的中点, 那么四面体 B1 EFG 的体积是 .
11.由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 . 12. 已知平面上两个点集 M {( x, y ) | | x y 1| 2( x 2 y 2 ), x, y R},
2 1 2 若 1 只出现 2 次，有 C5 (C3 C3 ) 60 个； 3 1 若 1 只出现 3 次，有 C5 C2 20 个．则这样的五位数共有 150 个．故填 150 个.
12. [1 6,3 10] 由题意知 M 是以原点为焦点、直线 x y 1 0 为准线的抛物线上及其凹口
n , an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为
9.函数 y | cos x | | cos2 x | ( x R) 的最小值是
.
.
10.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 2, AA1 AD 1 , 点 E 、 F 、 G