排列组合问题解法大全

排列组合问题解法大全
一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.
,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有
A 、60种
B 、48种
C 、36种
D 、24种 解析：把
,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4
4
24A =种。

二.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素
插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A 、1440种
B 、3600种
C 、4820种
D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为
55
A 种，再用甲乙去插6个空位有2
6A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 三.特殊元素或特殊位置优限法：优先解决带限制条件的元素或位置，或说“先解决特殊元素或特殊位置”
例3.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析：老师在中间三个位置上选一个有
13
A 种，4名同学在其余4个位置上有4
4A 种方法；所以共有143472A A =种. 四.分组分配：n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；
将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

1.基本的分组问题
例4 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222
CCC =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，
即除以组数的全排列数
3
3A
，所以分法是
222
6423
3
C C C A =15(种)。

(2)先分组，方法是615233
CCC ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有61
52
33
CCC =60(种) 分法。

(3)分组方法是6421
11
CCC =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺
序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

所以实际分法是411
6212
2
C C C A =15(种)。

通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。

结论1： 一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组内元素数目相等，那么分
组方法数是
3
211
12
p
p
m
m m m n
n m n m m m k k
C C
C
C A
---⋯。

2.基本的分配的问题
(1)定向分配问题
例5 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有
222642C C C =90(种)，615233CCC =60(种)， 411
621C C C =30(种)。

(2)不定向分配问题
例6六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本. (3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。

由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。

实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以
3
3A ，即
2226423
3
C C C A 33A =90(种)， 615233CCC 3
3A =360(种) 411
62122C C C A 33A =90(种)。

结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。

例7 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。

因此，考虑先分组，后排列。

先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。

所以根据加法原理，分组法是
2226423
3
C C C A +615233CCC +411
62122C C C A =90(种)。

再考虑排列，即再乘以3
3A 。

所以一共有540种不同的分法。

3.分配问题的变形问题
例8 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。

实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另
一组2个，分组方法有112
432
2
2C C C A (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有1
1
2
4322
2
C C C A 3
4A =144(种)。

例9有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有112
10982
2
C C C A (种)分法。

再考虑排列，甲任务
需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
112
10982
2
C C C A 22A =2520(种)不同的选法。

例10设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A 为定义域，B 为值域，则从集合A 到集合B 的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A 为定义域，B 为值域，即集合A 、B 中的每个元素都有“归宿”，而集合B 的每个元素接受集合A 中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题。

先考虑分组，集合A 中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、
1、2，则共有11243222C C C A (种)分组方法。

再考虑分配，即排列，再乘以33A ，所以共有112
4322
2
C C C A 33A =36(个)不同的函数。

五.相同元素隔板法及应用:
情形1：将n 件相同的物品或（名额）分配给m 个（或位置），允许若干个人或（位置）为空。

将n 件物品和m-1个隔板排成一排，占n+m-1个位置，从n+m-1个位置选m-1位置放隔板，有1
-m 1-m +n C 种。

情形2：将n 件相同的物品或（名额）分配给m 个（或位置），每个位置必须有物品，有1
-m 1-n C 种。

例11. 把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子都不空，有多少种不同方法？3
19C 把20个相同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少有3个小球，有多少种不同方法？3
11C
把20个相同的球放入编号为2，3，4，5的4个盒子，每个盒子的小球数不少于编号数，有多少种不同方法？3
9C 把20个相同的球放入4个不同的盒子，盒子可以空，有多少种不同方法？3
23C
1.指标分配问题。

例12、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？C 5
9
2.求n 项展开式的项数。

例13、求10521
)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？
解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i
k N ∈）
，记作i x 的i k 次方。

这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。

由隔板法知，这样的放法共有
414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有4
14C 项。

4
14C =
1
23411
121314⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1001（种）。

所以，10521
)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有1001项。

点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求10521
)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中的项数的理论依据。

3.求n 元一次方程组的非负整数解。

例14、求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数。

解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…
+5x =7的正整数解的个数，可分以下两步完成。

第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有4
6C 种放法。

由分步计数原理知，共有4
6C 种不同放法。

我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i
k N
∈+
），记作：i x =i k 。

这样，将7个相同的
小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）。

46C =26C =
1
25
6⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个。

六.至多，至少问题排除法
例15.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A 、140种
B 、80种
C 、70种
D 、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有
33394570C C C --=种,选.C
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有
2112545470C C C C +=台,选C .
例16.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A 、70种
B 、64种
C 、58种
D 、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成4
8C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有4
8
1258C -=个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A 、150种
B 、147种
C 、144种
D 、141种
解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为4
6C ，四个面共有4
64C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是4
4
10
6436141C C ---=种.
七.综合问题先选后排
例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有2
4C 种，“再排”在四个盒中每次排3个有
3
4
A 种，故共有2344144C A =
种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析：先取男女运动员各2名，有2
2
54C C 种，这四名运动员混和双打练习有
2
2
A 中排法，故共有222542120C C A =种. 八.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式
()()()()n A B n A n B n A B =+-.
例18.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ 解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
()()()()n I n A n B n A B --+⋂4332
65
54252A A A A =--+=种. 九.对等问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例19.
,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是
A 、24种
B 、60种
C 、90种
D 、120种 解析：B 在
A 的右边与
B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
5
51602
A =种，选
B . 十.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例20.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A 、36种
B 、120种
C 、720种
D 、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
66720A =种，选C .
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24
A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有1
4A 种，其余5个元素任排5个位置上有5
5A 种，故共有
125
4455760A A A =种排法.
十一．圆排问题线排法:把n 个不同元素放在圆周n 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算
不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n 个普通排列：12323411,,,;,,,,,;,,,n n n n a a a a a a a a a a a -在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认
为相同，n 个元素的圆排列数有
!
n n
种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的1n -元素全排列. 例21.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有4
4
A 种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式5
242
768⨯=种不同站法.
说明：从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有
1m
n A m
种不同排法. 十二．复杂的排列组合问题
1分解与合成法:
例22.（1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
012345
55555532C C C C C C +++++=个.
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有4
8
1258C -=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
2.构造模型法
（1）构建方程模型
例23 上一个有10级台阶的楼梯，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？ 解：设x 表示上一级台阶的步数，y 表示上两级台阶的步数，则102=+y x ),0,0(Z y y x ∈≥≥。

当2=x
时，4=y ，于是用6步走完10级台阶的方法为26C 种；
同理，当0=x
，4，6，8，10时，y 的取值分别为5，3，2，1，0，则上台阶的方法分别为05C ，47C ，68C ，89C ，10
10
C 种。

所以上台阶的方法共有0
5C +2
6C +4
7C +6
8C +8
9C +8910
10
=C 种。

点评：构建方程模型的关键是找到等量关系，正确列出方程。

（2）构建立体几何模型
例24 如图1中A ，B ，C ，D 为海上四个岛，
要建三座桥，将这四个小岛连接起来，
则不同的建桥方案共有（ ）
A.8种
B.12种
C.16种
D.20种
解：如图2，构建三棱锥BCD A -，四个顶点表示小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁，由题意，只需求出从六条棱中
任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法
为3
6C 种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取不共面的棱的不同取法为1643
6
=-C 种，故选C 项。

点评：构建恰当的立体几何模型，可以使排列组合问题显得直观清晰、简洁明快。

（3）构建隔板模型
例25 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法。

解：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完；③每组至少有一个元素。

此例有限条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有1202
16
=C 种不同的分法。

点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建模型的关键。

（4）构建邮箱模型 例26 若集合1A ，2A 满足
A A A =21 ，则称),(21A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当21A A =时，),(21A A 与
),(12A A 为集合的同一种分拆，则集合{}321,,a a a A =的不同分拆种数为 。

解：建立数学模型，如图3，设集合2A C A 为邮筒①，设集合
21A A 为邮筒②，设集合1A C A 为邮筒③，设1a ，2a ，3a 三
个元素为三封信，则问题转化为熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题，可分三步进行求 解：
第一步，投1a 共有1
3C 种投法；第二步，投2a 共有1
3C 种投法；第三步，投3a 共有1
3C 种投法。

根据分步计数原理共有
13C 13C 2713=C 种投法，即集合{}321,,a a a A =的不同分拆种数为27。

点评：本题属于集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁，这里通过构建邮筒模型转化求解，思路清晰、运算简练。

十三.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处
理.
例27.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？
解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有4
10C 个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有4
10C 个.。