命题与证明
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复习提问： 1、什么叫命题？2、命题由哪两部分组成？ 3、什么叫做真命题和假命题？
答：1、判断一件事情的语句叫做命题。
2来自百度文库命题的构成： 1)每个命题都是由题设、结论两部分组成. 2)命题常写成“如果······那么······”的形式. 也可简称为若A则B。
3、命题可分为真命题和假命题： 1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，
2、证明的必要性：
（1）什么叫做证明？ 推理的过程叫做证明。
（2）为什么要进行证明？
答：要判断一个命题的真假，必须要有推理 论证的过程。只有证明才能区分命题的真假， 否则就会得出错误的结论。
3、证明的一般步骤
例1、求证:两直线平行,内错角相等.
② 已知 ： a ∥ b，c 是截线，
求证： ∠ １＝ ∠ ２．
试举例你学过的一些互逆定理
逆定理与反证法
2.证明：等腰三角形的底角是锐角
证明：(1)假设等腰三角形的底角不是锐角， 则底角大于或者等于90 ° 因为等腰三角形的两底角相等， 所以两个底角的和大于或等于180 ° 这与三角形的内角和定理相矛盾， 故假设不成立。 所以等腰三角形的底角是锐角
逆定理与反证法
基本步骤： 1、假设命题不成立 2、导出矛盾（与已知条件矛盾，与已学有关结论矛盾） 3、否定假设，肯定命题结论（命题成立）
练习
用反证法证明一个三角形中不能有两个直角
证明：假设三角形的三个内角为∠A, ∠B ,∠C, 其中 ∠A= ∠B =90° 则∠A+ ∠B +∠C= 90°+ 90°+ ∠C ＞180° 这与三角形内角和为180°矛盾， 所以∠A= ∠B =90° 不成立。 所以一个三角形中不能有两个直角
3、想题—从已知看可知，推向未知。（“综合法”） 从未知看而知，靠拢已知。（“分析法”） 寻找推理的逻辑通路。
4、证题—从已知出发，步步有据，因果分明写出 全部推理的过程。
例2、证明：同角的余角相等。
译
题 已知：∠2是∠1的余角， ∠3是∠1的余角， 想 求证： ∠ 2=∠3。
题 证明：∵∠2与∠ 1互余， ∠ 3 与∠1互余（已知） ∴ ∠ 1+∠2=90°
请同学们认真完成作业！
作业 书P58 练习2、3题
谢谢观看！ 2020
像这样的命题叫做真命题。 2)假命题：如果题设成立，不能保证结论总是正确， 也就是结论不成立，这些命题都是错误的命题， 像这样的命题叫做假命题。
新授：
1、命题:
真命题
公理（正确性由实践中总结出的） 定理（正确性由推理证实的）
假命题（只需举一个反例） 请说出已学过的五个公理。
定理123正的))) 线平直确概段 行线公 公性念公理 理理由：： ：：推两经过点过两理之直点证间线有，外且实线一只的段点有最，，一短有条这且.直种只线有.用一推条 理的方法得到的直线真与命已知题直叫线平做行定. 理。 定理45可))平平以行行线线作性判为质定继公公理理续：：推两同直位理线角的平相行等依，，据同两位。直角线相平等行..
3.证明：已知x,y是实数，且x+y ＞2，则x,y中至 少有一个大于1. 证明：假设x,y均不大于1，即x≦1且y≦1
则x+y≦2, 这与已知条件x+y ＞2矛盾。 所以x,y中至少有一个大于1
逆定理与反证法
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条 件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出 假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方 法称为反证法。
1
2
同位角相等）
c
又∵ c⊥a
∴ ∠ 1=90 °（垂直定义）
∴ ∠ 2=90 °（等量代换）
即c⊥b（垂直定义）
逆定理与反证法
1、请同学们找出下面命题的条件和结论，并判断命题 的真假，你发现了什么？
a.两直线平行，内错角相等 b.内错角相等，两直线平行
概念：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理， 这两个定理叫做互逆定理。
① a
③ 证明 :∵ a ∥ b( 已知 )
c3
∴ ∠3=∠2( 两直线平行，同位角相等 ) ∵ ∠3= ∠1( 对顶角相等 )
1
∴ ∠1= ∠2( 等量代换 )
2
b
小结:证明定理的一般步骤:
1、审题—分清“题设”和“结论”，并画出图形。
2、译题—结合图形中的字母符号写出已知（题设）、 求证（结论）。
证 ∠3 +∠1=90 ° （互为余角的定义） 题 ∴ ∠ 1+∠2= ∠3+ ∠1 （等量代换）
∴ ∠ 2=∠3 （等式性质）
21 3
4、巩固练习
证明：“如果一条直线和两条平行线中的 一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。”
已知:a∥b,c⊥a ,求证:c⊥b . a b
证明：
∵a∥b
∴ ∠ 1=∠2（两直线平行
答：1、判断一件事情的语句叫做命题。
2来自百度文库命题的构成： 1)每个命题都是由题设、结论两部分组成. 2)命题常写成“如果······那么······”的形式. 也可简称为若A则B。
3、命题可分为真命题和假命题： 1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，
2、证明的必要性：
（1）什么叫做证明？ 推理的过程叫做证明。
（2）为什么要进行证明？
答：要判断一个命题的真假，必须要有推理 论证的过程。只有证明才能区分命题的真假， 否则就会得出错误的结论。
3、证明的一般步骤
例1、求证:两直线平行,内错角相等.
② 已知 ： a ∥ b，c 是截线，
求证： ∠ １＝ ∠ ２．
试举例你学过的一些互逆定理
逆定理与反证法
2.证明：等腰三角形的底角是锐角
证明：(1)假设等腰三角形的底角不是锐角， 则底角大于或者等于90 ° 因为等腰三角形的两底角相等， 所以两个底角的和大于或等于180 ° 这与三角形的内角和定理相矛盾， 故假设不成立。 所以等腰三角形的底角是锐角
逆定理与反证法
基本步骤： 1、假设命题不成立 2、导出矛盾（与已知条件矛盾，与已学有关结论矛盾） 3、否定假设，肯定命题结论（命题成立）
练习
用反证法证明一个三角形中不能有两个直角
证明：假设三角形的三个内角为∠A, ∠B ,∠C, 其中 ∠A= ∠B =90° 则∠A+ ∠B +∠C= 90°+ 90°+ ∠C ＞180° 这与三角形内角和为180°矛盾， 所以∠A= ∠B =90° 不成立。 所以一个三角形中不能有两个直角
3、想题—从已知看可知，推向未知。（“综合法”） 从未知看而知，靠拢已知。（“分析法”） 寻找推理的逻辑通路。
4、证题—从已知出发，步步有据，因果分明写出 全部推理的过程。
例2、证明：同角的余角相等。
译
题 已知：∠2是∠1的余角， ∠3是∠1的余角， 想 求证： ∠ 2=∠3。
题 证明：∵∠2与∠ 1互余， ∠ 3 与∠1互余（已知） ∴ ∠ 1+∠2=90°
请同学们认真完成作业！
作业 书P58 练习2、3题
谢谢观看！ 2020
像这样的命题叫做真命题。 2)假命题：如果题设成立，不能保证结论总是正确， 也就是结论不成立，这些命题都是错误的命题， 像这样的命题叫做假命题。
新授：
1、命题:
真命题
公理（正确性由实践中总结出的） 定理（正确性由推理证实的）
假命题（只需举一个反例） 请说出已学过的五个公理。
定理123正的))) 线平直确概段 行线公 公性念公理 理理由：： ：：推两经过点过两理之直点证间线有，外且实线一只的段点有最，，一短有条这且.直种只线有.用一推条 理的方法得到的直线真与命已知题直叫线平做行定. 理。 定理45可))平平以行行线线作性判为质定继公公理理续：：推两同直位理线角的平相行等依，，据同两位。直角线相平等行..
3.证明：已知x,y是实数，且x+y ＞2，则x,y中至 少有一个大于1. 证明：假设x,y均不大于1，即x≦1且y≦1
则x+y≦2, 这与已知条件x+y ＞2矛盾。 所以x,y中至少有一个大于1
逆定理与反证法
像这样，先假设命题不成立，然后利用命题的条 件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出 假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方 法称为反证法。
1
2
同位角相等）
c
又∵ c⊥a
∴ ∠ 1=90 °（垂直定义）
∴ ∠ 2=90 °（等量代换）
即c⊥b（垂直定义）
逆定理与反证法
1、请同学们找出下面命题的条件和结论，并判断命题 的真假，你发现了什么？
a.两直线平行，内错角相等 b.内错角相等，两直线平行
概念：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理， 这两个定理叫做互逆定理。
① a
③ 证明 :∵ a ∥ b( 已知 )
c3
∴ ∠3=∠2( 两直线平行，同位角相等 ) ∵ ∠3= ∠1( 对顶角相等 )
1
∴ ∠1= ∠2( 等量代换 )
2
b
小结:证明定理的一般步骤:
1、审题—分清“题设”和“结论”，并画出图形。
2、译题—结合图形中的字母符号写出已知（题设）、 求证（结论）。
证 ∠3 +∠1=90 ° （互为余角的定义） 题 ∴ ∠ 1+∠2= ∠3+ ∠1 （等量代换）
∴ ∠ 2=∠3 （等式性质）
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4、巩固练习
证明：“如果一条直线和两条平行线中的 一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。”
已知:a∥b,c⊥a ,求证:c⊥b . a b
证明：
∵a∥b
∴ ∠ 1=∠2（两直线平行