信源及信息熵
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信息论与编码信源与信息熵
或 22 H (X1, X2) p(ai, aj )log p(ai, aj ) 2.41bit / 符号 i0 j0
• 联合熵H(X1,X2)表达平均每二个信源符号所携带 旳信息量。
• 我们用1/2H(X1,X2)作为二维平稳信源X旳信息熵 旳近似值。那么平均每一种信源符号携带旳信
息量近似为:
– 信源符号分布旳不均匀性。 • 等概率分布时信源熵最大。
log 2 n H0 (X ) H1(X ) H2 (X ) H (X )
26
冗余度
• 对于有记忆信源,极限熵为H∞(X)。 • 这就是说我们需要传送这一信源旳信息,理论
上只需要传送H∞(X)即可。但必须掌握信源全 部概率统计特征,这显然是不现实旳。
/
符号
11
• 例:有一离散平稳无记忆信源
求：二次扩展信源旳熵
X p(x)
x1 1
2
x2 1
4
x3 1 4
X2信源 旳元素
相应旳 消息序列
概率p(ai)
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
x1x1 x1x2 x1x3 x2x1 x2x2 x2x3 x3x1 x3 x2 x3 x3 1/4 1/8 1/8 1/8 1/16 1/16 1/8 1/16 1/16
• 目前后符号无依存关系时,有下列推论：
H(X1X2) H(X1) H(X2)
H (X1 | X 2 ) H (X1), H (X 2 | X1) H (X 2 )
14
离散有记忆信源序列熵
• 信源旳联合熵(即前后两个符号(X1,X2)同步发生 旳不拟定度)等于信源发出前一种符号X1旳信息 熵加上前一种符号X1已知时信源发出下一种符号 X2旳条件熵。
• 联合熵H(X1,X2)表达平均每二个信源符号所携带 旳信息量。
• 我们用1/2H(X1,X2)作为二维平稳信源X旳信息熵 旳近似值。那么平均每一种信源符号携带旳信
息量近似为:
– 信源符号分布旳不均匀性。 • 等概率分布时信源熵最大。
log 2 n H0 (X ) H1(X ) H2 (X ) H (X )
26
冗余度
• 对于有记忆信源,极限熵为H∞(X)。 • 这就是说我们需要传送这一信源旳信息,理论
上只需要传送H∞(X)即可。但必须掌握信源全 部概率统计特征,这显然是不现实旳。
/
符号
11
• 例:有一离散平稳无记忆信源
求：二次扩展信源旳熵
X p(x)
x1 1
2
x2 1
4
x3 1 4
X2信源 旳元素
相应旳 消息序列
概率p(ai)
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
x1x1 x1x2 x1x3 x2x1 x2x2 x2x3 x3x1 x3 x2 x3 x3 1/4 1/8 1/8 1/8 1/16 1/16 1/8 1/16 1/16
• 目前后符号无依存关系时,有下列推论：
H(X1X2) H(X1) H(X2)
H (X1 | X 2 ) H (X1), H (X 2 | X1) H (X 2 )
14
离散有记忆信源序列熵
• 信源旳联合熵(即前后两个符号(X1,X2)同步发生 旳不拟定度)等于信源发出前一种符号X1旳信息 熵加上前一种符号X1已知时信源发出下一种符号 X2旳条件熵。
信息论与编码2-信源及信源熵
随机英文字母信源，其中每个英文字母出现的概率是固定的。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
信源与信息熵
14
信源的描述
• 随机序列的概率
p(x1, x2 , x3,LxL ) = p(xL | xL−1,Lx1) p(x1, x2 ,LxL−1) = p(xL | xL−1,Lx1) p(xL−1 | xL−2 ,Lx1) p(x1, x2 ,LxL−2 ) =L
• 当信源无记忆时
p(x1x2 Lxl LxL ) = p(x1) p(x2 )Lp(xl )Lp(xL ) = ∏p(xl )
0.6 0.4 0 p(s j | si ) = 0.3 0 0.7 0.2 0 0.8
27
• 例2-2：有一个二元二阶马尔可夫信源,其信源 ：
符号集为{0，1}，已知符号条件概率： p(0|00) = 1/2 p(0|01) = 1/3 p(0|10) = 1/4 p(0|11) = 1/5 p(1|00)=1/2 p(1|01)=2/3 p(1|10)=3/4 p(1|11)=4/5
p ( y j | xi ) = p ( y j )，p ( xi | y j ) = p ( xi )，
⑹
p( xi | y j ) =
p( xi y j )
∑ p( x y )
i =1 i j
n
，p( y j | xi ) =
p( xi y j )
∑ p( x y )
j =1 i j
18
m
2.1.3 马尔可夫信源
s3
(1)1/2
(0)1/2
00 s1
(0)1/3
(0)1/4
s2 01
(1)2/3
j =1
17
概率论基础
• 无条件概率、条件概率、联合概率的性质和关系 ⑷ p ( x i y j ) = p ( x i ) p ( y j | xi ) = p ( y j ) p ( x i | y j ) ⑸ 当X与Y相互独立时， p ( x y ) = p ( x ) p ( y ) i j i j
信源的描述
• 随机序列的概率
p(x1, x2 , x3,LxL ) = p(xL | xL−1,Lx1) p(x1, x2 ,LxL−1) = p(xL | xL−1,Lx1) p(xL−1 | xL−2 ,Lx1) p(x1, x2 ,LxL−2 ) =L
• 当信源无记忆时
p(x1x2 Lxl LxL ) = p(x1) p(x2 )Lp(xl )Lp(xL ) = ∏p(xl )
0.6 0.4 0 p(s j | si ) = 0.3 0 0.7 0.2 0 0.8
27
• 例2-2：有一个二元二阶马尔可夫信源,其信源 ：
符号集为{0，1}，已知符号条件概率： p(0|00) = 1/2 p(0|01) = 1/3 p(0|10) = 1/4 p(0|11) = 1/5 p(1|00)=1/2 p(1|01)=2/3 p(1|10)=3/4 p(1|11)=4/5
p ( y j | xi ) = p ( y j )，p ( xi | y j ) = p ( xi )，
⑹
p( xi | y j ) =
p( xi y j )
∑ p( x y )
i =1 i j
n
，p( y j | xi ) =
p( xi y j )
∑ p( x y )
j =1 i j
18
m
2.1.3 马尔可夫信源
s3
(1)1/2
(0)1/2
00 s1
(0)1/3
(0)1/4
s2 01
(1)2/3
j =1
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概率论基础
• 无条件概率、条件概率、联合概率的性质和关系 ⑷ p ( x i y j ) = p ( x i ) p ( y j | xi ) = p ( y j ) p ( x i | y j ) ⑸ 当X与Y相互独立时， p ( x y ) = p ( x ) p ( y ) i j i j
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
第2章信源与信息熵
7
称为符号x 的先验概率，信源数学模型表示为： 称为符号 i的先验概率，信源数学模型表示为：
X x1 P = p( x ) 1 x2 p( x 2 ) x3 L p( x 3 ) L xn p( x n )
n
称为概率空间， 称为概率空间，其中
长江大学电信学院
长江大学电信学院
12
X
概率论知识复习
1）条件概率
p ( xi | y j ) = p ( xi y j ) p( y j ) , p ( y j | xi ) = p( xi y j ) p( xi )
13
2）联合概率
p ( xi y j ) = p ( y j ) p ( xi | y j ), p( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j | xi )
16
长江大学电信学院
X
2.2 离散信源熵和互信息
如果信源具有更多的消息，例如发10个 【例2.3 】如果信源具有更多的消息，例如发 个 数字0,1…..9(例如采用 位十进制树的中文电报 ， 例如采用4位十进制树的中文电报 数字 例如采用 位十进制树的中文电报)， 而且假定这是个消息是等概率分布的，均为0.1， 而且假定这是个消息是等概率分布的，均为 ， 这时信宿仅凭猜测的话，就更难猜了。 这时信宿仅凭猜测的话，就更难猜了。因为信源 发送什么消息更加不确定。 发送什么消息更加不确定。 现在讨论一种极端的情况， 【例2.4 】现在讨论一种极端的情况，信源只发送 一种消息，即永远只发送1或者只发送 或者只发送0， 一种消息，即永远只发送 或者只发送 ，从这样 的信源中我们就不能从中获取任何信息， 的信源中我们就不能从中获取任何信息，也就是 说信源的不确定性为0。 说信源的不确定性为 。
[数学]信源与信息熵
![[数学]信源与信息熵](https://img.taocdn.com/s3/m/3a0f985bc381e53a580216fc700abb68a982adf4.png)
[数学] 信源与信息熵1. 信源在信息论中，信源是指产生和发送信息的原始来源。
它可以是一个物理设备，如计算机、手机或者是一个概念、事件等。
无论信源是什么，它都可以看作是一个随机变量，可以取多个可能的取值。
举个例子，考虑一个硬币的抛掷过程。
在这个例子中，信源可以是硬币的结果，可以是正面或反面。
硬币抛掷过程是一个随机过程，因此信源可以看作是一个随机变量。
2. 信息熵信息熵是信息论中一个重要的概念，用于度量信源的不确定性或者信息的平均量。
它是由信源的概率分布决定的。
假设信源有n个可能的取值，记为$x_1, x_2, \\ldots, x_n$。
每个取值n n出现的概率为n(n n)，满足$\\sum_{i=1}^n p(x_i)= 1$。
那么，信源的信息熵n定义为$$ H = -\\sum_{i=1}^n p(x_i) \\log p(x_i) $$信息熵的单位通常是比特（bits）或者纳特（nats）。
信息熵可以理解为平均需要多少比特或者纳特来表示信源的一个样本。
当信源的概率分布均匀时，信息熵达到最大值。
相反，当信源的概率分布集中在某几个取值时，信息熵较低。
3. 信息压缩信息熵在信息压缩中起到了重要的作用。
信息压缩是将信息表示为更短的形式，以便更有效地存储和传输。
根据信息论的哈夫曼编码原理，我们可以通过将频繁出现的符号用较短的二进制码表示，而将不经常出现的符号用较长的二进制码表示，从而实现信息的压缩。
在信息压缩过程中，我们可以根据信源的概率分布来选择合适的编码方式，以最小化编码长度和解码的平均长度之和。
4. 信息熵的应用信息熵在各个领域都有着广泛的应用。
在通信领域，信息熵可以用来评估信道的容量。
信道容量是一个信道在单位时间内可以传输的最大信息量。
通过计算信道的信息熵，我们可以确定如何更好地利用信道的带宽和传输速率。
在数据压缩领域，信息熵可以用来评估压缩算法的效果。
一个好的压缩算法应该能够将原始数据的信息量尽可能地减少，从而更高效地存储和传输数据。
2信源与信息熵2
i 1 j 1 n m
• 联合自信息量
I ( xi y j ) log2 p( xi y j )
• 条件自信息量和联合自信息量同样满足非负 性和单调递减性。 • 关系
I ( xi y j ) log2 p( xi ) p( y j / xi ) I ( xi ) I ( y j / xi ) log2 p( y j ) p( xi / y j ) I ( y j ) I ( xi / y j )
信源熵与自信息量的关系1:定性
• 信源熵用以表征信源的平均不确定性：一个 信源，无论是否输出符号，由于具有特定的 概率统计特性，因此具有特定的熵值。 • 信息量则只有当信源输出的符号被接收者收 到后才有意义。平均自信息量是能够消除信 源不确定性时所需信息的量度，即收到一个 信源符号，全部解除了这个符号的不确定性。 或者说获得这样大的信息量后，信源不确定 性就被消除了。
• 平均自信息量：表示信源中发出每个符号平均所能 提供的信息量。它只与信源中各个符号出现的概率 有关，可以用来表示信源输出信息的总体量度。 • 信源X的平均不确定度：表示总体平均意义上的信 源符号的不确定度(不管是否发出)。数值上等于平 均自信息量。 • 这个平均自信息量的表达式和统计物理学中热熵的 表达式很相似。在统计物理学中，热熵是一个物理 系统杂乱性(无序性)的度量。这在概念上也有相似 之处。所以，可以把信源X的平均不确定度称为 “信源熵”。
例2-5/6
• 例2-5(P19):
• 例2-6(P19): • 由于符号间通常存在关联性，实际信息量往 往远远小于理论值。
例2-7
• 例2-7(P19):二元信源的信息熵。
• 自信息量是针对无条件概率计算的，可以在 数学上进行简单的推广：将无条件概率换为 条件概率或联合概率。
• 联合自信息量
I ( xi y j ) log2 p( xi y j )
• 条件自信息量和联合自信息量同样满足非负 性和单调递减性。 • 关系
I ( xi y j ) log2 p( xi ) p( y j / xi ) I ( xi ) I ( y j / xi ) log2 p( y j ) p( xi / y j ) I ( y j ) I ( xi / y j )
信源熵与自信息量的关系1:定性
• 信源熵用以表征信源的平均不确定性：一个 信源，无论是否输出符号，由于具有特定的 概率统计特性，因此具有特定的熵值。 • 信息量则只有当信源输出的符号被接收者收 到后才有意义。平均自信息量是能够消除信 源不确定性时所需信息的量度，即收到一个 信源符号，全部解除了这个符号的不确定性。 或者说获得这样大的信息量后，信源不确定 性就被消除了。
• 平均自信息量：表示信源中发出每个符号平均所能 提供的信息量。它只与信源中各个符号出现的概率 有关，可以用来表示信源输出信息的总体量度。 • 信源X的平均不确定度：表示总体平均意义上的信 源符号的不确定度(不管是否发出)。数值上等于平 均自信息量。 • 这个平均自信息量的表达式和统计物理学中热熵的 表达式很相似。在统计物理学中，热熵是一个物理 系统杂乱性(无序性)的度量。这在概念上也有相似 之处。所以，可以把信源X的平均不确定度称为 “信源熵”。
例2-5/6
• 例2-5(P19):
• 例2-6(P19): • 由于符号间通常存在关联性，实际信息量往 往远远小于理论值。
例2-7
• 例2-7(P19):二元信源的信息熵。
• 自信息量是针对无条件概率计算的，可以在 数学上进行简单的推广：将无条件概率换为 条件概率或联合概率。
信源及信源熵
2.1 单符号离散信源
数学模型：
X P( X
)
x1 p( x1 )
0 p(xi ) 1,
xi p(xi )
xn
p(
xn
)
n
p(xi ) 1
i 1
单符号离散信源
常用旳概率论旳基本概念和性质
先验概率、联合概率、条件概率及其相互关系：
（1）0 p(xi )、p( y j ) 、p( y j / xi ) 、p(xi / y j ) 、p(xi y j ) 1
离散无记忆信源旳N次扩展信源旳数学模 型是信源空间X旳N重空间。
信源旳描述与分类
有记忆信源
一般情况下，信源在不同步刻发出旳符号之间是相互依
赖旳。即信源输出旳平稳随机序列X中，各随机变量Xi
之间是有依赖旳。如：在中文构成旳中文序列中，只有 根据中文旳语法、习常用语、修辞制约和体现实际意义 旳制约所构成旳中文序列才是有意义旳中文句子或文章。 所以，在中文序列中前后文字旳出现是有依赖旳，不能 以为是彼此不有关旳。这种信源称为有记忆信源。
因为每个随机变量UL有n种取值，则U 有n L
种可能取值。
信源旳描述与分类
离散序列信源
例：最简朴L=3旳三位PCM信源：这 时L=3, n=2, 即i={0,1}，则有：
U 3 u 000 u 001
p(u)
p03
p02 p1
u 111
p13
当p0 p1 12时 000, 001, 010, ,111
假如上述条件概率与时间起点i无关，即信源 输出旳符号序列可看成为时齐马尔可夫链， 则此信源称为时齐马尔可信源。
信源旳描述与分类
离散序列信源总结
离散序列信源
第二章信源与信息熵
第二章信源与信息熵主要内容：（1）信源的描述与分类；（2）离散信源熵和互信息；（3）离散序列信源的熵；（4）连续信源的熵和互信息；（5）冗余度。
重点：离散/连续信源熵和互信息。
难点：离散序列有记忆信源熵。
说明：本章内容主要针对信源，但是很多基本概念却是整个信息论的基础，所以安排了较多课时。
由于求熵涉及一些概率论的基础知识，考虑到大四的同学可能对这部分知识已经遗忘，故适当复习部分概率论知识。
较难的 2.1.2节马尔可夫信源部分放置在本章最后讲，便于同学理解。
本章概念和定理较多，比较抽象，课堂教学时考虑多讲述一些例题，通过例题来巩固概念和消化定理。
作业：2．1—2．7，2．10，2．12。
课时分配：10课时。
板书及讲解要点：在信息论中，信源是发出消息的源，信源输出以符号形式出现的具体消息。
如果符号是确定的而且预先是知道的，那么该消息就无信息而言。
只有当符号的出现是随机的，预先无法确定，一旦出现某个符合就给观察者提供了信息。
因此应该用随机变量或随机矢量来表示信源，运用概率论和随机过程的理论来研究信息，这就是香农信息论的基本点。
2．1 信源的描述与分类在通信系统中收信者在未收到消息以前对信源发出什么消息是不确定的，是随机的，所以可用随机变量、随机序列或随机过程来描述信源输出的消息，或者说用一个样本空间及其概率测度——概率空间来描述信源。
信源：产生随机变量、随机序列和随机过程的源。
信源的基本特性：具有随机不确定性。
信源的分类离散信源：文字、数据、电报——随机序列连续信源：话音、图像——随机过程离散信源：输出在时间和幅度上都是离散分布的消息。
消息数是有限的或可数的，且每次只输出其中一个消息，即两两不相容。
发出单个符号的无记忆信源离散无记忆信源： 发出符号序列的无记忆信源离散信源离散有记忆信源： 发出符号序列的有记忆信源 发出符号序列的马尔可夫信源概率论基础：无条件概率，条件概率和联合概率的性质和关系：（1） 非负性0()()(/)(/)()1i j j i i j i j p x p y p y x p x y p x y ≤≤，，，， （2） 完备性111111()1,()1,(/)1,(/)1,()1n m nijiji j i mm nji i j j j i p x p y p x y p yx p x y ===========∑∑∑∑∑∑11()(),()()n mijjijii j p x y p y p x y p x ====∑∑（3） 联合概率()()(/)()(/)()()()(/)()(/)()i j i j i j i j i j i j j i j i j i p x y p x p y x p y p x y X Y p x y p x p y p y x p y p x y p x =====当与相互独立时，，（4） 贝叶斯公式11()()(/)(/)()()i j i j i j j i nmijiji j p x y p x y p x y p y x p x y p x y ====∑∑，2.1.1 无记忆信源：例如扔骰子，每次试验结果必然是1～6点中的某一个面朝上。
第二章信源与信息熵
j i, j
I ( X ; Y ) p( yj ) I ( X ; yj ) p( xiyj ) log
p( xi / yj ) p( xi )
I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)；I(Y;X)=H(Y)-H(Y/X)=I(X;Y)．
• 3.疑义度或损失熵
条件熵H(X/Y)信道上的干扰和噪声所造成的对信源符号x的平均不确定度．
X 0 P p
二元信源熵为
1 q
H (X ) p log p q log q p log p (1 p ) log(1 p ) H ( p)
信源信息熵H(X)是概率p的函数，通常用 H(p)表示。函数曲线如图
i i
I ( xi) 0; P( xi) 0;0 p( xi) 1
H(X ) 0
• 2.信源熵：表征信源的平均不确定度． 3.平均自信息：平均每个信源符号所能提供的信息 量.大小与信源熵相同.
• 例2.2.3二元信源是离散信源的一个特例。该信源X输出符号只 有两个，设为0和1。输出符号发生的概率分别为p和q，p+q=1。 即信源的概率空间为可得二元信源熵为
2.概率空间
一个离散信源发出的各个符号消息的集合 例如：
X＝｛x1，x2，…，xn｝
它们的概率分别为 P＝｛p(x1)，p(x2)，…，p(xn)｝ p(xi)称为符号xi的先验概率。 把他们写到一起就是概率空间:
X x1 P p( x1)
x2
n
...xn
xiyi 所包含的不确定度在数值上也等于它们的自信息量。
4.条件自信息量:当二者不独立 在给定y条件下，随机事件x所包含的不确定度在数值 上与条件自信息量相同，但两者含义不同。
I ( X ; Y ) p( yj ) I ( X ; yj ) p( xiyj ) log
p( xi / yj ) p( xi )
I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)；I(Y;X)=H(Y)-H(Y/X)=I(X;Y)．
• 3.疑义度或损失熵
条件熵H(X/Y)信道上的干扰和噪声所造成的对信源符号x的平均不确定度．
X 0 P p
二元信源熵为
1 q
H (X ) p log p q log q p log p (1 p ) log(1 p ) H ( p)
信源信息熵H(X)是概率p的函数，通常用 H(p)表示。函数曲线如图
i i
I ( xi) 0; P( xi) 0;0 p( xi) 1
H(X ) 0
• 2.信源熵：表征信源的平均不确定度． 3.平均自信息：平均每个信源符号所能提供的信息 量.大小与信源熵相同.
• 例2.2.3二元信源是离散信源的一个特例。该信源X输出符号只 有两个，设为0和1。输出符号发生的概率分别为p和q，p+q=1。 即信源的概率空间为可得二元信源熵为
2.概率空间
一个离散信源发出的各个符号消息的集合 例如：
X＝｛x1，x2，…，xn｝
它们的概率分别为 P＝｛p(x1)，p(x2)，…，p(xn)｝ p(xi)称为符号xi的先验概率。 把他们写到一起就是概率空间:
X x1 P p( x1)
x2
n
...xn
xiyi 所包含的不确定度在数值上也等于它们的自信息量。
4.条件自信息量:当二者不独立 在给定y条件下，随机事件x所包含的不确定度在数值 上与条件自信息量相同，但两者含义不同。
第2章.信源与信息熵
p( x1 , x2 ,, xL ) p( xL | x1 , x2 ,, xL 1 ) p( x1 , x2 ,, xL 1 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( x1 , x2 ,, xL 1 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( xL 1 | x1 , x2 ,, xL 2 ) p( x1 , x2 ,, xL 2 ) p( xL | xL m , , xL 1 ) p( xL 1 | xL m1 ,, xL 2 ) p( x1 , x2 ,, xL 2 )
P中第i行元素对应于从某一个状态si 转移到所有状态s j ( s j S )的 第j列元素对应于从所有状态si ( si S )转移到同一个状态s j的转移 概率，列元素之和不一定为1。
29
转移概率。矩阵中的每一行元素都是非负的，且每行之和均为1。
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 ( k步转移概率pijk )与l (l k )步和k - l步转移概率之间有所谓
表述的复杂度将随着序列长度的增加而增加。 然而实际上信源发出的符号往往只与前若干个符号有较 强的依赖关系，随着长度的增加依赖关系越来越弱，因 此可以根据信源的特征和处理时的需要限制记忆的长度， 使分析简化。
18
2.1.3 马尔可夫信源
马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m 个符号有关联性，而与更前面的符号无关。这种有记忆 信源叫做m阶马尔可夫信源，可以用马尔可夫链来描述。
30
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 由前递推关系式可知，对于齐次马尔可夫链，一步转移 概率完全决定了k步转移概率。 为了确定无条件概率，引入初始概率，令：
P中第i行元素对应于从某一个状态si 转移到所有状态s j ( s j S )的 第j列元素对应于从所有状态si ( si S )转移到同一个状态s j的转移 概率，列元素之和不一定为1。
29
转移概率。矩阵中的每一行元素都是非负的，且每行之和均为1。
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 ( k步转移概率pijk )与l (l k )步和k - l步转移概率之间有所谓
表述的复杂度将随着序列长度的增加而增加。 然而实际上信源发出的符号往往只与前若干个符号有较 强的依赖关系，随着长度的增加依赖关系越来越弱，因 此可以根据信源的特征和处理时的需要限制记忆的长度， 使分析简化。
18
2.1.3 马尔可夫信源
马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m 个符号有关联性，而与更前面的符号无关。这种有记忆 信源叫做m阶马尔可夫信源，可以用马尔可夫链来描述。
30
2.1.3 马尔可夫信源
切普曼· 柯尔莫郭洛夫方程 由前递推关系式可知，对于齐次马尔可夫链，一步转移 概率完全决定了k步转移概率。 为了确定无条件概率，引入初始概率，令：
信源及信源熵课件
编码是将信息从一种 形式或格式转换为另 一种形式的过程。
编码的方式和格式取 决于应用场景和需求 。
编码的目的是为了便 于信息的存储、传输 和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据 进行压缩编码，以减少存储空间和传 输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的 前提下，尽可能地减小编码后的数据 量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐 藏在普通数据中，实现隐 蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加 数据破解的难度，保护数 据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项， 替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和 差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制 或其它形式的数字信号，实现数字通 信，提高通信系统的传输效率和可靠 性。
信源编码的原理基于信息论和概率统 计的知识，通过对信源输出的概率分 布进行分析，采用适当的编码方式实 现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较 短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通 过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。
编码的方式和格式取 决于应用场景和需求 。
编码的目的是为了便 于信息的存储、传输 和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据 进行压缩编码，以减少存储空间和传 输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的 前提下，尽可能地减小编码后的数据 量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐 藏在普通数据中，实现隐 蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加 数据破解的难度，保护数 据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项， 替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和 差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制 或其它形式的数字信号，实现数字通 信，提高通信系统的传输效率和可靠 性。
信源编码的原理基于信息论和概率统 计的知识，通过对信源输出的概率分 布进行分析，采用适当的编码方式实 现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较 短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通 过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。
无失真信源与信息熵
详细描述
无失真信源适用于需要高保真度、高准确度传输信息的场景，如音频和视频传输、数据压缩与解压缩、数字信号 处理等。在这些场景中，无失真信源能够保证信息的准确性和完整性，避免信息在传输和处理过程中的失真或损 失。
03
信息熵与无失真信源的关系
信息熵在无失真信源中的作用
信息熵是衡量信源不确定性的度量，即信源可能产生的信息量的最大值。在无失 真信源中，信息熵用于确定信源输出的最大可能信息量，从而为编码和传输提供 理论依据。
信息熵有助于确定信源的冗余度，即实际传输的信息量与最大可能信息量之间的 差值。通过降低冗余度，可以提高编码效率和传输效率。
信息熵与无失真信源的度量
信息熵是无失真信源的一个重要度量，用于评估信源输出的 信息量和不确定性。
在无失真信源中，信息熵的大小决定了编码的长度和传输的 效率。信息熵越高，表示信源的不确定性越大，需要更长的 编码长度来实现无失真传输。
无失真信源的特性
总结词
无失真信源具有恒定输出、无噪声干扰、无信息损失等特性。
详细描述
无失真信源的输出信号与输入信号完全一致，因此其输出具有恒定的质量，不会 出现噪声干扰或信息损失的情况。这种信源在信息传输和处理过程中，能够保证 信息的准确性和完整性。
无失真信源的应用场景
总结词
无失真信源适用于需要高保真度、高准确度传输信息的场景。
05
无失真信源的未来发展
新的编码算法研究
深入研究信息熵理论
自适应编码技术
进一步探索信息熵在信源编码中的作 用，为新的编码算法提供理论支持。
研究自适应编码算法，根据信源特性 动态调整编码参数，提高压缩效率。
混合编码算法
结合多种编码技术的优点，开发出更 高效、更稳定的混合编码算法。
无失真信源适用于需要高保真度、高准确度传输信息的场景，如音频和视频传输、数据压缩与解压缩、数字信号 处理等。在这些场景中，无失真信源能够保证信息的准确性和完整性，避免信息在传输和处理过程中的失真或损 失。
03
信息熵与无失真信源的关系
信息熵在无失真信源中的作用
信息熵是衡量信源不确定性的度量，即信源可能产生的信息量的最大值。在无失 真信源中，信息熵用于确定信源输出的最大可能信息量，从而为编码和传输提供 理论依据。
信息熵有助于确定信源的冗余度，即实际传输的信息量与最大可能信息量之间的 差值。通过降低冗余度，可以提高编码效率和传输效率。
信息熵与无失真信源的度量
信息熵是无失真信源的一个重要度量，用于评估信源输出的 信息量和不确定性。
在无失真信源中，信息熵的大小决定了编码的长度和传输的 效率。信息熵越高，表示信源的不确定性越大，需要更长的 编码长度来实现无失真传输。
无失真信源的特性
总结词
无失真信源具有恒定输出、无噪声干扰、无信息损失等特性。
详细描述
无失真信源的输出信号与输入信号完全一致，因此其输出具有恒定的质量，不会 出现噪声干扰或信息损失的情况。这种信源在信息传输和处理过程中，能够保证 信息的准确性和完整性。
无失真信源的应用场景
总结词
无失真信源适用于需要高保真度、高准确度传输信息的场景。
05
无失真信源的未来发展
新的编码算法研究
深入研究信息熵理论
自适应编码技术
进一步探索信息熵在信源编码中的作 用，为新的编码算法提供理论支持。
研究自适应编码算法，根据信源特性 动态调整编码参数，提高压缩效率。
混合编码算法
结合多种编码技术的优点，开发出更 高效、更稳定的混合编码算法。
第2章 -1信源与信息熵1【单符号离散信源】
y信道传输的平均信息量有扰离散信道结论因信道有扰而产生的平均信息量称噪声熵反映了信道中噪声源的不确定度唯一地确定信道噪声所需要的平均信息量hyy的先验不确定度hyx发出x后关于y的后验不确定度在已知x的条件下对于随机变量y存在的平均不确定度发出x前后y不确定度的平均减少量可看作在有扰离散信道上传递消息时唯一地确定接收符号y所需要的平均信息量hy减去当信源发出符号x为已知时需要确定接收符号y所需要的平均信息量hyx
1. 离散信源熵 (平均自信息量/无条件熵)
[定义] 自信息量的数学期望为信源的平均信息量，记为：H（X）。
H(X)=E[I(xi)]= –∑p(xi)log2 p(xi)
——平均不确定度的度量、体现: 总体平均
[单位]
二进制:bit/(信源)符号，或bit/(信源)序列 [含义]信息熵具有以下三方面物理含义： ⑴ 表示信源输出前，信源的平均不确定性 ⑵ 表示信源输出后，每个符号所携带的平均信息量 ⑶ 表示信源的的随机性（不同的信源有不同的统计特性） 信息熵的意义： 信源的信息熵是从整个信源的统计特性来考虑的。它是从 平均意义上来表征信源的总体特性的。对于某特定的信源， 其信息熵只有一个。不同的信源因统计特性不同，其信息熵 也不同。
√
（后续章节）
一、概述
⒈ 信息的一般概念 一个人获得消息→消除不确定性→获得信息。 ⒉ 信息度量的定性分析 事件发生的概率越大，不确定性越小，该事件 包含的信息量越小； 事件发生的概率越小，不确定性越大，该事件 包含的信息量越大； 如果一个事件发生的概率为1，那么它包含的 信息量为0； 两个相互独立事件所提供的信息量应等于它们 各自提供的信息量之和。
2.2.1
自信息量
1.自信息量 [定义] 若信源发出符号xi，由于信道无干扰，收到的就
1. 离散信源熵 (平均自信息量/无条件熵)
[定义] 自信息量的数学期望为信源的平均信息量，记为：H（X）。
H(X)=E[I(xi)]= –∑p(xi)log2 p(xi)
——平均不确定度的度量、体现: 总体平均
[单位]
二进制:bit/(信源)符号，或bit/(信源)序列 [含义]信息熵具有以下三方面物理含义： ⑴ 表示信源输出前，信源的平均不确定性 ⑵ 表示信源输出后，每个符号所携带的平均信息量 ⑶ 表示信源的的随机性（不同的信源有不同的统计特性） 信息熵的意义： 信源的信息熵是从整个信源的统计特性来考虑的。它是从 平均意义上来表征信源的总体特性的。对于某特定的信源， 其信息熵只有一个。不同的信源因统计特性不同，其信息熵 也不同。
√
（后续章节）
一、概述
⒈ 信息的一般概念 一个人获得消息→消除不确定性→获得信息。 ⒉ 信息度量的定性分析 事件发生的概率越大，不确定性越小，该事件 包含的信息量越小； 事件发生的概率越小，不确定性越大，该事件 包含的信息量越大； 如果一个事件发生的概率为1，那么它包含的 信息量为0； 两个相互独立事件所提供的信息量应等于它们 各自提供的信息量之和。
2.2.1
自信息量
1.自信息量 [定义] 若信源发出符号xi，由于信道无干扰，收到的就
第2章_信源与信息熵
其状态变量S=(00，01，10，11)。 其状态变量S=(00，01，10，11)。 求： S=(00
信息论基础C
18
2.2离散信源熵与互信息
信息量
自信息量 联合自信息量 条件自信息量
单符号离散信源熵
符号熵 条件熵 联合熵
信息论基础C
19
2.2.1 自信息量
信息论基础C
20
2.2.1 自信息量
信息论基础C
7
离散无记忆序列信源－布袋实验（ ） 离散无记忆序列信源－布袋实验（2）
布袋摸球的实验：若每次取出两个球， 布袋摸球的实验：若每次取出两个球，由两个球的颜色组 成的消息就是符号序列。例如，先取出一个球， 成的消息就是符号序列。例如，先取出一个球，记下颜色后放 回布袋，再取另一个球。 回布袋，再取另一个球。 由于两次取球时布袋中的红球、白球个数没有变化， 由于两次取球时布袋中的红球、白球个数没有变化，第二 个球取什么色与第一个球的颜色无关，是独立的， 个球取什么色与第一个球的颜色无关，是独立的，因而该信源 是无记忆的，叫做发出符号序列的无记忆信源。 是无记忆的，叫做发出符号序列的无记忆信源。
信息论基础C
26
2.2.2 离散信源熵
信息论基础C
27
离散信源熵的引入：
例： 一个布袋内放100个球，其中80个球为红色， 20球为白色。若随机摸取一个球，猜测其颜色。共进行 n次摸取。求平均摸取一次所获得的（自）信息量。 解：x1：表示摸出的球为红球；
信息论基础C
21
自信息量： 自信息量：
对于给定的离散概率空间表示的信源，x=ai事件 所对应的（自）信息为：
1 I ( x i = a i ) = − log p ( x i ) = log p( x i )
第2章信源与信息熵
1. 非负性 2. 对称性
n
pi 1,
i 1
pi 0
(i 1, 2,..., n)
3. 确定性
4. 连续性
5. 扩展性
6. 最大熵定理
7. 条件熵小于无条件熵
熵函数的非负性
H ( X ) H ( p1, p2 , , pn ) 0
0 pi 1, log pi 0
pi log pi 0
i
熵的物理意义
H(X)表示信源发出任何一个消息状态所携带的平均信 息量
也等于在无噪声条件下，接收者收到一个消息状态所获 得的平均信息量
熵的本意为热力学中表示分子状态的紊乱程度 信息论中熵表示信源中消息状态的不确定度 信源熵与信息量有不同的意义
H(X)表示信源X每一个状态所能提供的平均信息量 H(X)表示信源X在没有发出符号以前，接收者对信源的
第2章 信源与信息熵
主要内容 1. 信源的分类与描述 2. 离散信源的信息熵和互信息 3. 离散序列信源的熵 4. 连续信源的熵与互信息 5. 冗余度
2.1 信源的分类与描述
信源的定义
产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。
信源的基本特性是具有随机不确定性
分类
1. 时间
离散
2. 幅度
离散
3. 记忆
有
பைடு நூலகம்
连续 连续 无
介绍三类信源
➢ 单符号离散信源 ➢ 符号序列信源（有记忆和无记忆） ➢ 连续信源
单符号离散信源
单符号离散信源：用随机变量X来描述
X的概率空间
X p(xi
)
X
x1, p1,
X x2, p2 ,
, X xn
,
pn
信息论与编码 第二章 信源与信息熵
p( X1 , X 2 , X l , X L ) p( X l ) [ p( X )]L
l 1
L
2.1.2 有记忆信源
有记忆信源——在不同时刻发出的符号是相互依赖的。 发出符号序列的有记忆信源 ——每次发出1组含2个以上符号的符号序列来代表一 个消息的信源，且各符号之间是相互依赖的。
即当xi和yi相互独立时，有： I ( xi , y j ) I ( xi ) I ( y j )
2.2.1 自信息量
信源符号不确定度 定义：信源符号不确定度在数量上等于该信源符号的自信 息量。
不确定度与自信息量的区别:
两者的单位相同，但含义却不相同。 不确定度是信源符号固有的，不管符号是否发出； 而自信量是信源符号发出后给予收信者的。为了消除 该符号的不确定度，接收者需要获得信息量。
量化 -1
-2
-3
-4
-5
-6
2.1 信源的描述和分类
信源的分类
按照信源发出的消息在时间上和幅度上的分布情况可 将信源分成离散信源和连续信源两大类 ： 离散信源: 文字、数据、电报
信源
{ 连续信源: 话音、图像
离散信源 指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源， 如文字、数字、数据等符号都是离散消息。 连续信源 指发出在时间和幅度上是连续分布的连续消息（模拟消 息）的信源，如语音、图像、图形等都是连续消息。
信源熵是一个非负量。
2.2.2 离散信源熵
例如有两个信源，其概率空间如下所示，分别求出这 两个信源的信源熵:
X x1 , x2 0 . 99 0 . 01 p ( x )
Y y1 , y2 0 . 5 0 . 5 p( y )
《信源与信息熵》课件
保证可靠性
通过编码技术对数据进行错误纠正和检测，提高 数据传输的可靠性。
常见编码方式
Huffman编码
Shannon-Fano编码
根据字符出现的概率进行编码，使用较短 的码字表示概率较高的字符，反之亦然。
类似于Huffman编码，根据字符出现的概 率进行分组和编码，以提高编码效率。
LZ77编码
LZ78编码
02
信息熵的概念
信息熵的定义
信息熵
信息熵是信源发出消息的不确定性的 度量，也称为平均信息量。它表示在 信源中随机选取一个符号时，所含有 的平均信息量。
数学公式
$H(X) = -sum_{i=1}^{n} P(x_i) log_2 P(x_i)$，其中$P(x_i)$表示信 源符号$x_i$出现的概率。
熵的概念
信息熵表示数据源中信息的平均不确定性或随机性，是度量数据不确定性的一个重要指标。在数据压 缩中，通过减少数据的不确定性，即减少信息熵，来实现数据的压缩。
数据压缩算法
无损压缩算法
无损压缩算法能够完全恢复原始数据，不丢失任何信息。常见的无损压缩算法 包括哈夫曼编码、游程编码、LZ77等。
有损压缩算法
有损压缩算法在压缩数据时会去除一些冗余信息，以换取更高的压缩比。常见 的有损压缩算法包括JPEG、MPEG等。
解压缩与解压算法
解压缩算法
解压缩算法是数据压缩的逆过程，用于 将压缩后的数据恢复为原始形式。不同 的压缩算法对应不同的解压缩算法，如 哈夫曼编码的解压缩算法是哈夫曼解码 。
VS
解压算法
解压算法与解压缩算法类似，也是将压缩 后的数据恢复为原始形式。在有损压缩中 ，解压算法通常与压缩算法紧密相关，如 JPEG图像的解压需要使用JPEG解码器。
通过编码技术对数据进行错误纠正和检测，提高 数据传输的可靠性。
常见编码方式
Huffman编码
Shannon-Fano编码
根据字符出现的概率进行编码，使用较短 的码字表示概率较高的字符，反之亦然。
类似于Huffman编码，根据字符出现的概 率进行分组和编码，以提高编码效率。
LZ77编码
LZ78编码
02
信息熵的概念
信息熵的定义
信息熵
信息熵是信源发出消息的不确定性的 度量，也称为平均信息量。它表示在 信源中随机选取一个符号时，所含有 的平均信息量。
数学公式
$H(X) = -sum_{i=1}^{n} P(x_i) log_2 P(x_i)$，其中$P(x_i)$表示信 源符号$x_i$出现的概率。
熵的概念
信息熵表示数据源中信息的平均不确定性或随机性，是度量数据不确定性的一个重要指标。在数据压 缩中，通过减少数据的不确定性，即减少信息熵，来实现数据的压缩。
数据压缩算法
无损压缩算法
无损压缩算法能够完全恢复原始数据，不丢失任何信息。常见的无损压缩算法 包括哈夫曼编码、游程编码、LZ77等。
有损压缩算法
有损压缩算法在压缩数据时会去除一些冗余信息，以换取更高的压缩比。常见 的有损压缩算法包括JPEG、MPEG等。
解压缩与解压算法
解压缩算法
解压缩算法是数据压缩的逆过程，用于 将压缩后的数据恢复为原始形式。不同 的压缩算法对应不同的解压缩算法，如 哈夫曼编码的解压缩算法是哈夫曼解码 。
VS
解压算法
解压算法与解压缩算法类似，也是将压缩 后的数据恢复为原始形式。在有损压缩中 ，解压算法通常与压缩算法紧密相关，如 JPEG图像的解压需要使用JPEG解码器。
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i
i 1,2, , n
P(xi )
n
其中，0 P(xi ) 1且 P(xi ) 1 i1
2020/5/30
信源及信息熵
例1
X 1 2 3 4 5 6 P(X) 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 6
例2
X P(X)
1x/12
x2 1/ 4
x3 1/8
1x/48
n
n
P1(xi ) log[ P1(xi ) (1 )P2 (xi )] P1(xi ) log P1(xi )
i1
i1
n i1
P1(xi ) log
P1(xi ) (1 )P2 (xi ) P1(xi )
n i1
P1
(x
i
)[
P1
(
x
i
)
(1 P1 (x i
)P2 )
(x
i
)
1]
n
n
P1(xi ) log P1(xi ) (1 )P2 (xi ) log P2 (xi )
i1
i1
利用不等式log x x 1证明
n
n
P1(xi ) log[ P1(xi ) (1 )P2 (xi )] P1(xi ) log P1(xi )
i1
i1
2020/5/30
信源及信息熵
n
n
P1(xi )log P1(xi ) (1 ) P2(xi )log P2(xi )
i 1
i 1
2020/5/30
信源及信息熵
n
P1(xi ) log[ P1(xi ) (1 )P2 (xi )]
i1
n
(1 )P2 (xi ) log[ P1(xi ) (1 )P2 (xi )] i1
n
[P1 (x i ) (1 )P2 (x i ) P1 (x i )] i1
n
n
( 1)[ P1(xi ) P2 (xi )] 0
i1
i1
2020/5/30
信源及信息熵
P1(xi ) P2 (xi )，等号不成立
n
n
P1(xi ) log[ P1(xi ) (1 )P2 (xi )] P1(xi ) log P1(xi )
2020/5/30
信源及信息熵
2、自信息量
定义
消息xi的概率P(xi)对数的负值，也叫无条件自信息 量，用I(xi)表示
表示
I(xi ) log a P(xi ) 单位由对数的底a决定——当a=2时为bit(binary unit)，a=e时为nat(nature unit)，a=10时为 Hart(Hartley)
当p=0时，H(p)=0 p=0.25时，H(p)=0.811(bit)
2020/5/30
信源及信息熵
p=0. 5时，H(p)=1(bit) p=0.75时，H(p)=0.811(bit) p=1时，H(p)=0
H(p) 1 0.811
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0 0.25 0.5 0.75 1 p
信源及信息熵
信源及信息熵
第2章 信源及信息熵
教学内容和要求 ➢掌握单符号离散信源及信息熵，理解其性质 ➢了解多符号离散信源 ➢掌握N次扩展信源及信息熵 ➢掌握m阶马尔科夫信源及信息熵 ➢掌握单符号连续信源及信息熵，理解其性质 ➢了解多符号连续信源
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信源及信息熵
一、单符号离散信源及信息熵
1、单符号离散信源
例3
X P(X)
1x/12
x2 1/ 4
x3 1/8
1x/48
信源发出各消息的自信息量
I(x1 )
log
P(x1 )
log
1 2
1(bit
)
1
I(x 2 ) log P(x 2 ) log 4 2(bit )
1 I(x3 ) log P(x3 ) log 8 3(bit )
1
i1 1 i2 1 iN 1
叫条件熵
信息熵的链接准则
H(X1X2 XN ) H(X1) H(X2 / X1) H(XN / X1X2 XN1)
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信源及信息熵
H(X2 / X1) H(X2 )
nn
nn
P(xi1 xi2 ) log P(xi2 / xi1 )
定义
信源发出的消息为单一符号，而这些符号随机地 取值于一个有限集合
表示
离散型随机变量X
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信源及信息熵
设X {x1, x 2 , , x n } P(X) {P(x1), P(x 2 ), , P(x n )} 随机变量X的取值xi为信源发出的消息 i=1,2,…,N
X P(X)
x
x2 1/ 4
x3 1/ 4
x 1/
44
信源的信息熵
H(X)
4 i1
P(x i
) log
P(x i
)
4
1 4
log
1 4
2(bit )
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信源及信息熵
例5
X P(X)
1x/12
x2 1/ 4
x3 1/8
1x/48
信源的信息熵
H(X)
4 i1
P(x
i
)
log
P(x
i
)
1 2
log
i1 1 i2 1 iN 1
nn
n
P(x i1 x i2 x iN ) log P(x i1 )
i1 1 i2 1 iN 1
nn
n
P(x i1 x i2 x iN ) log P(x i2 / x i1 )
i1 1 i2 1 iN 1
nn
n
P(x i1 x i2 x iN ) log P(x iN / x i1 x i2 x ) iN1
i1 1 i2 1 iN 1
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信源及信息熵
nn
式中，记H(X2 / X1)
P(x i1 x i2 ) log P(x i2 / x i1 )， ，
i1 1 i2 1
H(X N / X1X 2 X N1 )
nn
n
P(x i1 x i2 x iN ) log P(x iN / x i1 x i2 x iN1 )，
x3x1 1/8
x3x2 1/16
x3x3 1/16
信源发出消息x1x1和x3x2各自的自信息量
I(x1x1 )
log
P(x1x1 )
log
1 4
2(bit
)
I(x3x 2
)
log
P(x3x 2
)
log
1 16
4(bit
)
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信源及信息熵
3、信息熵
定义
信源各消息自信息量的数学期望，也叫联合熵， 用H(X1X2…XN)表示
i1
令
P(x
i
)
{H(X)
[
n j1
P(x
j
)
1]}
0
i 1,2, , n
P(x
i
)
{
n j1
P(
x
j
)
log
P(x
j
)
[
n j1
P(
x
j
)
1]}
[log e log P(xi )] 0 i 1,2, , n
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信源及信息熵
log P(xi ) log e i 1,2, , n
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信源及信息熵
以bit为单位的自信息量 I(xi ) log P(xi )
➢I(xi)与xi的概率P(xi)相关 ➢I(xi)是P(xi)的减函数，且当P(xi) =0时I(xi) →∞，P(xi) =1时I(xi) =0 ➢I(xi)是P(xi)的连续函数
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信源及信息熵
X1X2 XN P(X1X2 XN )
x
i1
x
i2
xiN i1,i2 , ,iN P(xi1 x i2 x iN )
1,2,
,n
nnΒιβλιοθήκη n其中，0 P(xi1 xi2 xiN ) 1且
P(x i1 x i2 x iN ) 1
i1 1 i2 1 iN 1
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表示
H(X1X2 X N ) E[I(x i1 x i2 x iN )]
nn
n
P(x i1 x i2 x iN )I(x i1 x i2 x iN )
i1 1 i2 1 iN 1
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信源及信息熵
nn
n
P(x i1 x i2 x iN ) log P(x i1 x i2 x iN )
自信息量的链接准则 I(xi1 xi2 xiN ) I(xi1 ) I(xi2 / xi1 ) I(xiN / xi1 x ) iN1
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信源及信息熵
例2
X1X2 P(X1X 2
)
x11/x41
x1x2 1/8
x1x3 1/8
x2x1 1/8
x2x2 1/16
x2x3 1/16
n
H(X) P(xi )I(xi ) 0 i1
②严格上凸性
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信源及信息熵
严格上凸性的描述——设函数f(x)对任一小于1的正 数α及定义域中任意两个值x1、x2，如果
f[x1 (1 )x2] f (x1) (1 )f (x2)
称函数f(x)为严格上凸函数
n