电磁场导论之准静态电磁场
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2013-3-20 第六章准静态电磁场
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
2 J jJ k 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 J y C1ekx C2e kx k 2J y
时变磁场：有旋、无散。 （同恒定磁场） B(t ) A(t ) 矢量磁位： 2 A(t ) J (t ) 边值问题：
磁准静态场与恒定磁场的计算方法相同。此时B和H仍 是时间的函数，但与场源J (t)之间具有瞬时对应关系。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 8
若导体满足条件（/）<< 1，意味着导体 中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良 导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态 场问题。 若理想介质中的场点到源点的距离r远远小 于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳 场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态 场问题。
+ u(t)
图6-1
3
解：电压u(t)随时间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H dl dS 由M1方程 l S t
6-1 电准静态场
6-1-1 电准静态场（EQS）
当感应电场远远小于库仑电场时，B/t忽略不计， 称为电准静态场 B D 基本方程： E 0 t D H J B 0 t
时变电场： 有源、无旋
（同静电场）
因此，电准静态场与静 电场的计算方法相同。 此时，E和D与场源(t) 之间具有瞬时对应关系。
2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 12
H H 2 t
上式两边同乘，则得到
J J t
2
以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、 H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。
相应的复数形式 ：
H jH k 2 H
2
2 E jE k 2 E 2 J jJ k 2 J
a
y
l
h x
B
2013-3-20
第六章准静态电磁场
20
y 设硅钢片外磁场B沿z向， a E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2
x E J
磁场扩散方程简化为 通解
k j j
2013-3-20
电磁场扩散方程 是研究准静态情 况下集肤效应、 邻近效应和涡流 问题的基础。
/ 2
13
第六章准静态电磁场
作
业
6-2 无限大均匀导电媒质中有一个初始值为q0的 点电荷，试问点电荷的电量q(t)如何随时间变化？ 求媒质中任一点的：1）电场强度和位移电流密度； 2）传导电流密度和磁场强度。 6-5 半径为a的长直圆柱型导 线为理想导体（1=）。设导 线中通有缓变电流 i(t)= Imsintez 求：导线外的磁场强度H(t)和 感应电场E(t)。
第六章 准静态电磁场
当电磁场随时间变化较缓慢时，在不影 D B 响工程计算精度的前提下，忽略 或 的 t t 电磁场，称为准静态电磁场。 6-1 电准静态场
6-2 磁准静态场 6-3 集肤效应与邻近效应
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
6-5 电路定律和交流阻抗
2013-3-20 第六章准静态电磁场 1
d 1 / 2 /
可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深 度越小，集肤效应越显著。
例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm； 当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。 应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继 续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。
6-2-2 电磁场的扩散方程
HJ 两边取旋度,并由矢量恒等式，得
H ( H ) 2 H J 由于H= 0 ，J = E，因而 2 H E 将E = H/t 代入，得
由于导体中 = 0，同理
E E t
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
例 6-1 平 板 电 容 器 极 板 为 半 径 10cm 的 圆 金 属 片 ， 极 间 距 离 为 R 1cm，理想介质的介电常数为20 ， 外接缓变电压 u(t)=220sin314t
求: 1)介质中的时变电场强度E(t) 2)介质中的时变磁场强度H(t)
2013-3-20 第六章准静态电磁场
Βιβλιοθήκη Baidu
l2
S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 11
得
磁场强度
2013-3-20
H 2r r
H( t )
2
d
U m cost
r U m cos t e 2d
4
第六章准静态电磁场
6-1-2 电荷在导体中的弛豫过程
对全电流定律两边取散度 由矢量恒等式，得 由于E=/，得
( H ) J D t E t
b 1 a 2 b 1 a 2
第六章准静态电磁场
图 6-2
6
在电准静态场EQS近似下 E0 可定义电位函数 E=
( x , y , z ,t )
0 t / e
2
0 t / e dV 0 ( x , y , z ) e t / V 4r
2013-3-20 第六章准静态电磁场 17
6-3-2 邻近效应 邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电 磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。 假设一对汇流排 a<<b<<l， y 电导率和磁导率分别为 和 I I 0 。磁场扩散方程简化为 x b ⊙
d Hy
2
0
dx 2
k 2H y
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
两层非理想介质的平板电容器， 与直流电压源U接通的过渡过程 中，其分界面上将逐渐积累自由 U 电荷 1 2 2 1 U (1 e t / ) b 1 a 2 弛豫时间
2013-3-20
S a b 1 2 1 2
I d Jz ch k ( a x) x b sh (ka) 2 H y
Jz
x
0
d/2 d/2+a
由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面 附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。 原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分 布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大， 传入导线的功率大，故电流密度也较大。
电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺 寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准 静态场问题处理。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 9
例6-2 细长空心螺线管半径为a，单位长度N匝， 媒质参数分别为 0 、 0 、 =0。设线圈中电流 为 i(t ) I 0et / 求螺线管内媒质中的： 1）磁场强度H(t)； i(t) 2）电场强度E(t)； l1 3）坡印亭矢量S。 解：1) 线圈电流变化缓慢,可近似为磁准静态场， 图 6-2 仿照恒定磁场求H
图 6-4
X方向，C2=0 其中积分常数由边界条件确定 设表面J C =J0 0， 1
2013-3-20 第六章准静态电磁场 15
J y J0ekx J0exe jx
Ey Jy
J0
ex e jx E0ex e jx
1 E y jk 由 E jH 得 Hz E0exe jx j x
kx
通解 H y C1e
C2e
kx
a
d
a
d I 内侧 H y ( ) 2 b 根据边界条件
外侧
2013-3-20
( d a) 0 Hy 2
18
第六章准静态电磁场
磁场强度用双曲函数表示为 I d Hy sh k ( a x) b sh (ka) 2 利用 H J ，可得
H (t ) N i(t ) ez N I 0et / ez
细长螺线管：管外磁场为零，管内磁场均匀
2013-3-20 第六章准静态电磁场 10
H dl i(t )
l1
2）在螺旋管内取同心圆l2 H E dl 0 ds
E 2r 0 N I 0et / r 2 r E 0 NI 0 e t / e 2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 19
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
6-4-1 涡流及其损耗
以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
2
标量电位： E (t ) (t )
(t ) 边值问题： (t )
2
2013-3-20
第六章准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。
低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减， 其衰减快慢同样决定于弛豫时间。
2013-3-20
第六章准静态电磁场
7
6-2 磁准静态场
6-2-1 磁准静态场（MQS）
当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计， 则称为磁准静态场。 D B 0 H J J 基本方程： t B D E t
0 E
0 t
0 (x,y,z) e t/τ 一阶微分方程的解
可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称 为电荷的弛豫。
其中，=/ 称为弛豫时间
2013-3-20 第六章准静态电磁场 5
非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长； 聚苯乙烯 =2.550 F/m， =10-16S/m， 弛豫时间 =2.25103秒； 良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。 铜 = 0 =8.851012F/m， =5.80107S/m， 弛豫时间 =1.5210-19秒
d Hz k 2H z dx 2
H z C1ekx C2e kx
l1 i (t)
H(t)
l2
E(t) 6-5题图
14
6-3 集肤效应与邻近效应
6-3-1 集肤效应
假设 x0的半无限大空间导体， 通有y方向的正弦电流i(t)， 电流扩散方程
y Jy x
2 J jJ k 2 J
简化为 通解
d2 J y dx 2 J y C1ekx C2e kx k 2J y
时变磁场：有旋、无散。 （同恒定磁场） B(t ) A(t ) 矢量磁位： 2 A(t ) J (t ) 边值问题：
磁准静态场与恒定磁场的计算方法相同。此时B和H仍 是时间的函数，但与场源J (t)之间具有瞬时对应关系。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 8
若导体满足条件（/）<< 1，意味着导体 中的位移电流远远小于传导电流，则可看为良 导体，位移电流可以忽略不计，属于磁准静态 场问题。 若理想介质中的场点到源点的距离r远远小 于波长，则处于时变电磁场的近区范围（似稳 场），推迟作用可以忽略不计，也属于磁准静态 场问题。
+ u(t)
图6-1
3
解：电压u(t)随时间变化缓慢, 近似为电准静态场， 1）仿照静电场求得介质中的电场强度
E (t ) U u (t ) e z m sint e z d d
2）介质中无传导电流，仅有位移电流密度
D E ( E m sint ) e z U m cos t e z t t t d D H dl dS 由M1方程 l S t
6-1 电准静态场
6-1-1 电准静态场（EQS）
当感应电场远远小于库仑电场时，B/t忽略不计， 称为电准静态场 B D 基本方程： E 0 t D H J B 0 t
时变电场： 有源、无旋
（同静电场）
因此，电准静态场与静 电场的计算方法相同。 此时，E和D与场源(t) 之间具有瞬时对应关系。
2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 12
H H 2 t
上式两边同乘，则得到
J J t
2
以上三式就是在MQS近似下，导体中任一点的E、 H和J所满足的微分方程，称为电磁场的扩散方程。
相应的复数形式 ：
H jH k 2 H
2
2 E jE k 2 E 2 J jJ k 2 J
a
y
l
h x
B
2013-3-20
第六章准静态电磁场
20
y 设硅钢片外磁场B沿z向， a E J 宽度h≫厚度a，可忽略边缘效 应，认为E和J仅有y分量Ey和Jy。 h≫a 由于磁路长度l和宽度h远远大 一片薄板的横截面 于其厚度a，可近似认为E和H 与y和z无关，仅是x的函数 2
x E J
磁场扩散方程简化为 通解
k j j
2013-3-20
电磁场扩散方程 是研究准静态情 况下集肤效应、 邻近效应和涡流 问题的基础。
/ 2
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第六章准静态电磁场
作
业
6-2 无限大均匀导电媒质中有一个初始值为q0的 点电荷，试问点电荷的电量q(t)如何随时间变化？ 求媒质中任一点的：1）电场强度和位移电流密度； 2）传导电流密度和磁场强度。 6-5 半径为a的长直圆柱型导 线为理想导体（1=）。设导 线中通有缓变电流 i(t)= Imsintez 求：导线外的磁场强度H(t)和 感应电场E(t)。
第六章 准静态电磁场
当电磁场随时间变化较缓慢时，在不影 D B 响工程计算精度的前提下，忽略 或 的 t t 电磁场，称为准静态电磁场。 6-1 电准静态场
6-2 磁准静态场 6-3 集肤效应与邻近效应
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
6-5 电路定律和交流阻抗
2013-3-20 第六章准静态电磁场 1
d 1 / 2 /
可见，频率越高，导电性能越好的导体，透入深 度越小，集肤效应越显著。
例如，铜在f=50Hz时，透入深度d=9.4mm； 当频率f=51010Hz时，透入深度d=0.66m。 应当注意，在大于d的区域内，场量并非为零，而是继 续衰减。经过13.8d距离场强衰减到只有表面值的109。
6-2-2 电磁场的扩散方程
HJ 两边取旋度,并由矢量恒等式，得
H ( H ) 2 H J 由于H= 0 ，J = E，因而 2 H E 将E = H/t 代入，得
由于导体中 = 0，同理
E E t
J、E和H的振幅都沿导体的纵深x按指数规律ex衰减， 而且相位x也随之改变。 频率很高时，电流密度几乎只在导体表面附近一薄层中。
场量主要集中在导体表面附近的这种现象，称为 集肤效应。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 16
工程上常用透入深度d表示场量的集肤程度 定义：透入深度d为场量振幅衰减到其表面值的 1/e时所经过的距离。
例 6-1 平 板 电 容 器 极 板 为 半 径 10cm 的 圆 金 属 片 ， 极 间 距 离 为 R 1cm，理想介质的介电常数为20 ， 外接缓变电压 u(t)=220sin314t
求: 1)介质中的时变电场强度E(t) 2)介质中的时变磁场强度H(t)
2013-3-20 第六章准静态电磁场
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S
t
坡印亭矢量 S E H r ( 0 NI 0 e t / ) ( NI 0 e t / ) (e e z ) 2 r 可见，电磁功率由螺线管 2 2 2t / 0 N I 0 e er 线圈内部沿半径向外传输。 2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 11
得
磁场强度
2013-3-20
H 2r r
H( t )
2
d
U m cost
r U m cos t e 2d
4
第六章准静态电磁场
6-1-2 电荷在导体中的弛豫过程
对全电流定律两边取散度 由矢量恒等式，得 由于E=/，得
( H ) J D t E t
b 1 a 2 b 1 a 2
第六章准静态电磁场
图 6-2
6
在电准静态场EQS近似下 E0 可定义电位函数 E=
( x , y , z ,t )
0 t / e
2
0 t / e dV 0 ( x , y , z ) e t / V 4r
2013-3-20 第六章准静态电磁场 17
6-3-2 邻近效应 邻近效应：通电导体处于其它导体电流产生的电 磁场中时，其电流分布受到邻近导体的影响。 假设一对汇流排 a<<b<<l， y 电导率和磁导率分别为 和 I I 0 。磁场扩散方程简化为 x b ⊙
d Hy
2
0
dx 2
k 2H y
因此，一般认为良导体内部没有体电荷， = 0
两层非理想介质的平板电容器， 与直流电压源U接通的过渡过程 中，其分界面上将逐渐积累自由 U 电荷 1 2 2 1 U (1 e t / ) b 1 a 2 弛豫时间
2013-3-20
S a b 1 2 1 2
I d Jz ch k ( a x) x b sh (ka) 2 H y
Jz
x
0
d/2 d/2+a
由曲线图可见，靠近两块汇流排相对的内侧面 附近电流密度最大，呈现较强的邻近效应。 原因在于导体内部的电流密度与空间电磁波分 布密切相关，两线相对的内侧电磁能量密度大， 传入导线的功率大，故电流密度也较大。
电力传输线的长度和电工设备中线圈的尺 寸远远小于工频波长6000km，都可作为磁准 静态场问题处理。
2013-3-20 第六章准静态电磁场 9
例6-2 细长空心螺线管半径为a，单位长度N匝， 媒质参数分别为 0 、 0 、 =0。设线圈中电流 为 i(t ) I 0et / 求螺线管内媒质中的： 1）磁场强度H(t)； i(t) 2）电场强度E(t)； l1 3）坡印亭矢量S。 解：1) 线圈电流变化缓慢,可近似为磁准静态场， 图 6-2 仿照恒定磁场求H
图 6-4
X方向，C2=0 其中积分常数由边界条件确定 设表面J C =J0 0， 1
2013-3-20 第六章准静态电磁场 15
J y J0ekx J0exe jx
Ey Jy
J0
ex e jx E0ex e jx
1 E y jk 由 E jH 得 Hz E0exe jx j x
kx
通解 H y C1e
C2e
kx
a
d
a
d I 内侧 H y ( ) 2 b 根据边界条件
外侧
2013-3-20
( d a) 0 Hy 2
18
第六章准静态电磁场
磁场强度用双曲函数表示为 I d Hy sh k ( a x) b sh (ka) 2 利用 H J ，可得
H (t ) N i(t ) ez N I 0et / ez
细长螺线管：管外磁场为零，管内磁场均匀
2013-3-20 第六章准静态电磁场 10
H dl i(t )
l1
2）在螺旋管内取同心圆l2 H E dl 0 ds
E 2r 0 N I 0et / r 2 r E 0 NI 0 e t / e 2
2013-3-20 第六章准静态电磁场 19
6-4 涡流损耗与电磁屏蔽
电气工程中的发电机、变压器的铁心和端盖都是由大 块铁心构成的。在变化的磁场中，这些导体内部都会因电 磁感应产生自行闭合、呈旋涡状流动的电流，因此称之为 涡旋电流，简称涡流。 z
6-4-1 涡流及其损耗
以变压器铁心 为例，在磁准静 态MQS近似下， 分析钢片中的电 磁场分布
2
标量电位： E (t ) (t )
(t ) 边值问题： (t )
2
2013-3-20
第六章准静态电磁场
电力系统和电气装置中由时变磁场产生的感应电 场，相对于高电压产生的库仑电场很小，可忽略不计， 属于电准静态场问题。
低频电工电子设备中的感应电场相对于库仑电场可 能不小，但其旋度Ei很小时，E=(Ec+Ei） Ec=0成立，也可按电准静态场考虑。
导电媒质中的电位分布也按指数规律衰减， 其衰减快慢同样决定于弛豫时间。
2013-3-20
第六章准静态电磁场
7
6-2 磁准静态场
6-2-1 磁准静态场（MQS）
当位移电流远远小于传导电流时，D/t可以忽略不计， 则称为磁准静态场。 D B 0 H J J 基本方程： t B D E t
0 E
0 t
0 (x,y,z) e t/τ 一阶微分方程的解
可见，导体中自由电荷密度按指数规律衰减，称 为电荷的弛豫。
其中，=/ 称为弛豫时间
2013-3-20 第六章准静态电磁场 5
非理想介质的电导率很小，弛豫时间较长； 聚苯乙烯 =2.550 F/m， =10-16S/m， 弛豫时间 =2.25103秒； 良导体电导率很大，弛豫时间=/远远小于1。 铜 = 0 =8.851012F/m， =5.80107S/m， 弛豫时间 =1.5210-19秒
d Hz k 2H z dx 2
H z C1ekx C2e kx