(完整版)二阶常微分方程边值问题的数值解法毕业论文

二阶常微分方程边值问题的数值解法摘要求解微分方程数值解的方法是多种多样的，它本身已形成一个独立的研究方向，其要点是对微分方程定解问题进行离散化．本文以研究二阶常微分方程边值问题的数值解法为目标，综合所学相关知识和二阶常微分方程的相关理论，通过对此类方程的数值解法的研究，系统的复习并进一步加深对二阶常微分方成的数值解法的理解，为下一步更加深入的学习和研究奠定基础．对于二阶常微分方程的边值问题，我们总结了两种常用的数值方法：打靶法和有限差分法．在本文中我们主要探讨关于有限差分法的数值解法．构造差分格式主要有两种途径：基于数值积分的构造方法和基于Taylor展开的构造方法．后一种更为灵活，它在构造差分格式的同时还可以得到关于截断误差的估计．在本文中对差分方法列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这种方法的优缺点进行了细致的比较．在第一章中，本文将系统地介绍二阶常微分方程和差分法的一些背景材料．在第二章中，本文将通过Taylor展开分别求得二阶常微分方程边值问题数值解的差分格式．在第三章中，在第二章的基础上利用Matlab求解具体算例，并进行误差分析．关键词：常微分方程,边值问题，差分法，Taylor展开，数值解The Numerical Solutions ofSecond-Order Ordinary Differential Equations with the Boundary Value ProblemsABSTRACTThe numerical solutions for solving differential equations are various. It formed an independent research branch. The key point is the discretization of the definite solution problems of differential equations. The goal of this paper is the numerical methods for solving second-order ordinary differential equations with the boundary value problems. This paper introduces the mathematics knowledge with the theory of finite difference. Through solving the problems, reviewing what have been learned systematically and understanding the ideas and methods of the finite difference method in a deeper layer, we can establish a foundation for the future learning.For the second-order ordinary differential equations with the boundary value problems, we review two kinds of numerical methods commonly used for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. There are mainly two ways to create these finite difference methods: i.e. Taylor series expansion method and Numerical Integration. The later one is more flexible, because at the same time it can get the estimates of the truncation errors. We give the exact calculating steps and Matlab codes. Moreover, we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example. In the first chapter, we will introduce some backgrounds of the ordinary differential equations and the difference method. In the second chapter, we will obtain difference schemes of the numerical solutions of the Second-Order ordinary differential equations with the boundary value problems through the Taylor expansion. In the third chapter, we using Matlab tosolve the specific examples on the basis of the second chapter, and analyzing the errors.KEY WORDS: Ordinary Differential Equations, Boundary Value Problems, Finite Difference Method, Taylor Expansion, Numerical Solution毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

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-------------------------------------------------------------------------------------- 4参考文献 --------------------------------------------------------------------------------- 4附录 -------------------------------------------------------------------------------------- 5前言求解常微分方程边值问题在计算数学领域中一直占很重要的地位，但是常微分方程中仅有一些典型的方程能求出解析解，大部分是求不出解析解的．因此常微分方程数值解的研究具有重要的现实意义．用数值方法求解微分方程问题几乎是与微分方程同时出现的，其历史可以追溯到月一个半世纪前．上个世纪中叶以后，由于微分方程本身的理论的深入发展，兼之电子计算机的问世，用数值方法求解微分方程问题的研究更进入了一个蓬勃发展的新局面．求解常微分边值问题最有效的方法之一是有限差分法．经典的有限差分法是利用差商代替导数（数值微分）或者差分插值（数值积分）的方法来构造差分格式．为了构造具有较高截断误差的差分格式，近年来一些学者提出了利用样条函数或者参数样条函数的方法来近似代替未知函数．通过配置的方法，构造出一些样条差分格式，但高阶数值微分公式和关于高次样条函数的高阶导数的计算都较为困难，同时构造差分格式引起的计算量非常大，有的方法精度并不高，所以这些方法都不能很好地适应高阶微分方程．本文就二阶常微分方程边值问题，利用差分法求解数值解．有限差分法是数值方法中最经典的方法．这种方法发展较早，比较成熟，较多用于求解双曲型和抛物型问题．用有限差分法近似求解常微分方程问题有多种多样的方法，并且也可以用不同的构造方法来建立这些有限差分法．用Taylor级数展开方法是最常用的方法．用Taylor法展开来建立差分格式，实际上等价于用差商来近似微商得到相应的差分格式．第一章二阶常微分方程如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以简单地叫做微分方程[1]．微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解．牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解．后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论．常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的．数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具．对常微分方程的研究[1]可分为以下几个阶段：发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代．莱布尼茨(Leibniz)曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉(Euler)则试图用积分因子统一处理．伯努利(Bernoulli)、里卡蒂（Riccati）微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程．早期的微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouvile)于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断．加上柯西（Cauchy)初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代．首先是对常微分方程定解问题包括初值和边值问题的解的存在性[2]、唯一性等解的性质的研究．其次，针对线性微分方程，特别是二阶线性微分方程，通过专门定义一些特殊函数以求解特殊方程，如贝塞尔（Bessel）函数、勒让德(Legendre)多项式等，这促成了微分方程与（复变）函数论结合产生微分方程解析理论．同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数、幂级数等近似方法的研究．19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需要研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代．首先，庞加莱（Poincare）创立了定性理论和方法研究常微分方程解的大范围性态．由于希尔伯特（Hilbert）提出20世纪23个数学问题中关于极限环个数的第16问题，大大促进了定性理论的发展．另一方面李雅普诺夫（Lyapunov）提出的运动稳定性理论，用于解决方程解的初值不影响原方程解的趋向问题，在天文、物理及工程技术中得到广泛应用，先后在前苏联、美国受到极大重视．同时，伯克霍夫（Birkhoff）在20世纪初在动力系统方面开辟了一个新领域，由于拓扑方法的渗入，20世纪50年代后经阿诺德（Arnold）、斯梅尔（Smale)等大数学家的参与而得到蓬勃发展．除定性、稳定性和动力系统理论外，还有非线性振动理论、摄动和奇异摄动理论及变换群理论在20世纪也得到了迅速的发展．20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的解和方程，如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等．科技和数学界的重大发现是混沌、孤立子和分形，其中混沌，孤立子直接与微分方程有关．洛伦茨在20世纪60年代发现了称为Lorenz方程的常微分方程，初始敏感的特征导致了混沌现象的发现引起了科学界的巨大震动，斯梅尔称之为“利用牛顿的定律推翻了牛顿决定论”．孤立子本是物理上有重要意义的偏微分方程的新类型解，但它们往往对应于可积的哈密顿系统的常微分方程，从而引发了对停顿百年的常微分方程可积性的研究热潮．常微分方程的研究领域其它学科或领域的结合而出现各种新的研究分支，如控制论、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程、广义微分方程、时标微分方程等．常微分方程[3]属于数学分析的一支，是数学中与应用密切相关的基础学科，其本身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用非常重要．而常微分方程边值问题则是微分方程理论研究的一个基本问题，也是最为重要的课题之一．它在应用科学和工程领域有着非常重要的作用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题的求解．虽然常微分方程问题有许多解析方法可以求解，但这些方法只能求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究就显得尤为重要．经典的数值方法有: 试射法（打靶法）和有限差分法[4]．而用打靶法求解线性问题时，解的精度较高，这是因为打靶法将边值问题的求解方法转化为相应的初值问题的求解，因而可以使用具有较高精度的Runge_Kuta法，但是算法的稳定性较差．常微分方程边值问题已被深入而广泛地研究，并取得了系统而深刻的结果．科学和工程技术中有许多实际问题都可以转化为微分方程的求解问题，而大量的微分方程很难求出其解析解，因此，微分方程的数值解法的研究就显得具有重要意义．边值问题主要研究微分方程的求解及解的性质，其补充条件由以自变量取某些值时未知函数及其导数的值而定，许多数学和物理问题都可以归结为微分方程边值问题．解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也就是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式．但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方．常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等．下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点．求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解．也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究．后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解．当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来．一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理[5]．因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定．因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的．大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解．当然，这个近似解的精确程度是比较高的．另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决．边值问题及其求解发展过程的介绍：一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数．也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解．通解构成一个函数族．如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解．对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组．微分方程是联系着自变量、未知函数及其导数的关系式．如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程[5]．一般的n阶常微分方程具有形式那么，二阶常微分方程的形式为:牛顿在研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律．后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置．这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法．微分方程也就成了最有生命力的数学分支．现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用[6]，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等．这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题．应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.第二章 边值问题的数值解法有限差分法是用于微分方程定解问题最广泛的数值方法，其基本思想是以差商近似代替导数，把微分方程化离散为差分方程组，并把相应的解作为微分方程定解条件的近似解.在本节我们讨论有关边值的问题，介绍两点边值问题的一种数值解法——有限差分法[7].§2.1 有限差分逼近的相关概念设函数光滑，且，利用Taylor 展开，可得23()()'()''()'''().23h h y x h y x hy x y x y x +=++++ (2-1-1)23()()'()''()'''().23h h y x h y x hy x y x y x -=-+-- (2-1-2)由(2-1-1)可以得到一阶导数的表达式2()()'()''()'''().23y x h y x h h y x y x y x h +-=---(2-1-3)或者).()()()('h h h x y x y x y ο+--=(2-1-4)其中表示截断误差[8]项.因此，可得一阶导数的的差分近似表达式为(2-1-5)(2-1-6)由上述式子可知，差商(2-1-5)和(2-1-6)逼近微商为一阶，即为，为了得到更为精确地差分表达式，将(2-1-1)减(2-1-2)可得32()()2'()'''().3h y x h y x h hy x y x +--=++ (2-1-7)从而可以得到).('''62)()()('2ξy h h h x y h x y x y ---+=(2-1-8)或者).(2)()()('2h h h x y h x y x y ο+--+= (2-1-9)其中 (2-1-10)由此可知，差商逼近微商的精度为二阶，即为. (2-1-5)、(2-1-6)与(2-1-10)公式分别被称为逼近一阶微商的向前，向后和中心差分公式.类似地，我们还可以给出二阶微商和高阶微商的差分近似表达式.例如将(2-1-1)和(2-1-2)相加可得22(4)()()2()''()().12h y x h y x h y x h y x y x ++-=+++ (2-1-10a)进而有).(12)()(2)()('')4(22ξy h h h x y x y h x y x y --+-+=(2-1-10b)其中.因此，二阶导数的差分近似表达式为).()()(2)()(''22h h h x y x y h x y x y ο+-+-+= (2-1-10)§2.2差分方程的建立在具体求解微分方程时，必须附加某种定解条件.微分方程和定解条件一起组成定解问题，对于二阶微分方程通常有两种给法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，这类条件称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题[8]；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题.下面我们将要讨论的就是边值问题的数值解法[9].首先给出二阶常微分方程的及其边界条件，如下式：''(,,'),(),.(),y f x y y y a a x b y b αβ=⎧⎪=<<⎨⎪=⎩(2-2-1)下面将应用差分方法来解决这个问题.差分方法的关键，在于恰当的选取差商逼近微分方程中的导数，我们知道，逼近一阶导数可用向前差商，也可用向后差商或者中心差商.中心差商是向前差商和向后差商的算术平均.为逼近二阶导数，一般用二阶差商——向前差商的向后差商(即向后差商的向前差商)2()()()()''()()2()().y x h y x y x y x h h h y x hy x h y x y x h h +----≈+-+-= (2-2-2)设将积分区间划分为等分，步长，节点.差商替代相应的导数，可将边值问题(2-2-1)离散化得到下面的公式：1111202(,,),2,(1,2,...,1).,n n n n n n n Ny y y y y f x y h h y n N y αβ+-+--+-⎧=⎪⎪==-⎨⎪=⎪⎩(2-2-3)如果函数是非线性的，那么所归结出的差分方程也是非线性的，这时实际求解比较困难.如果所给方程(2-2-1)是如下形式的线性方程：(2-2-4)则差分方程(2-2-2)相应的形式为111122,(1,...,1).2n n n n n n n n n y y y y y p q y r n N h h+-+--+-++==- (2-2-5)其中的下标表示在节点的取值.利用边界条件(2-2-3)消除式(2-2-5)中的和，整理得到关于的下列方程组：22111211221122121111(2)(1)(1),22(1)(2)(1),22(1)(2)(1).22n n n n n n n N N N N N N h h h q y p y h r p h h p y h q y p y h r h h p y h q y h r p αβ-+------⎧-+++=--⎪⎪⎪-+-+++=⎨⎪⎪-+-+=-+⎪⎩(2-2-6)这样归结出的方程组是所谓的三对角形的，即：211222222222112121122212122122N N N N N h h q p h h p p h q h h p h q p h p h q -----⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦ (2-2-7)因为它的稀疏矩阵仅在注对角线及其相邻的两条对角线上有非零元素.求解这种三对角形方程组，用所谓追赶法[10]特别有效.在后面我们将介绍.§2.3差分问题的可解性我们知道，通过自变量的适当变换可以消除线性方程(2-2-4)中的一阶导数项.下面仅就缺一阶导数项的方程来讨论这一问题.考察边值问题：(2-3-1) 这里假定，其对应的差分问题是11202,,.n n n n n n Ny y y q y r h y y αβ+--+⎧-=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩(2-3-2)现在论证差分问题的可解性.由于式(2-3-2)是关于变量的线性方程组.要证明它的解的存在唯一，只要证明对应的齐次方程组只有零解.为此，我们要引进下述极值定理.定理1：对于一组不全相等的数，记1122(),n n n n n n y y y ly q y h +--+=- (2-3-3)假定，则的正的最大值只能是或；如果 ，则的负的最小值只能是或.定理2：差分问题式(2-3-2)的解存在的并且唯一的.证明略，见参考文献[11].§2.4差分方程的收敛性对于任给如果数值解当 (同时)时趋向准确解，则称该差分方程是收敛的.现在运用极值原理证明差分方程的收敛性并估计误差. 定理3 设是差分问题(2-3-2)的解，而是边值问题(2-3-1)的解在节点的值，则截断误差有下列估计式：.|)(|,96)(||)4(22max x y M h a b M e b x a n ≤≤=-≤ (2-4-1)证明略，可参见参考文献[12].§2.5 差分方程的稳定性前面关于收敛性问题的讨论有个前提，必须假定差分方程的每一步计算都是准确的.事实情况并不是这样，差分方程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的扰动.这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了差分方程的“真解”，这就是差分方程的稳定性[13]问题.如果一种差分方法在节点值上大小为的扰动，导致以后各节点值上产生的偏差均不超过，则称该方法是稳定的.在实际计算时，希望某一步的扰动在后面的计算中能够被控制，甚至是逐渐衰减的.也就是希望所应用的方法具有稳定性.边值问题的病态性(稳定性)与解得模式和边界条件之间的相互作用有关.对于良态的边值问题，解得增长和衰变模式要受到约束条件的控制.对于这些问题的研究在这里不作详细讨论. §2.6有限差分分方程的解法下面我们来研究以下这些差分方程组的解法：将系数矩阵为对角占优的三对角方程组简记为(2-6-1)其中11222111i i in n n n n b c a b c A a b c b c a a b ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣(2-6-2)，[]121,,,,,.Ti n n f f f f f f -=其中，满足下列对角占优条件： (1) ;(2) ||||||,,0(2,3,i i i i i b a c a c i n ≥+≠=-(2-6-3) (3)下面利用矩阵的直接三角分解法来推导求解三对角方程组(2-6-1)的计算公式.由系数矩阵的特点，可以将分解为两个三角阵的乘积，即其中为下三角阵，为单位上三角阵.下面说明这种分解是可能的111122222233111111,11n n n n nn n n b c a b c A b c a a b αβγαβγαβγα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2-6-4)其中为待定系数.比较(2-5-4)两端即得(2-6-5)由，，得.下面用归纳法证明(2-6-6) 即从而由式(2-6-5)可求出.式(2-6-6)对是成立的.现设式(2-6-6)对成立，求证对亦成立.由归纳法假设，又由式(2-6-6)及的假设条件，有：0||||||||||||||11≠≥->-≥-=--i i i i i i i i i i c a b a b a b ββα，也就是，由式(2-6-5)得到，.也就是说，由得假设条件完全确定了，，，实现了与的分解. 那么，求解等价于解两个三角方程组与，先后求出与，从而得到以下解三对角方程组的追赶式公式[14]： 步1 计算的递推公式1111,,(2,3,,1).()i i i i i c c i n b b a βββ-===-- ； 步2 解： ； 步3 解： .将计算系数及的过程称为追的过程，将计算方程组的解的过程称为赶的过程.追赶法公式实际上就是把Gauss 消去法用到求解三对角方程组上的结果.这时由于特别简单，因此使得求解的计算公式也非常简单，计算量较小.第三章具体算例§ 3.1 二阶常微分方程算例的数值解例1：应用差分格式计算边值问题(3-1)该定解问题的精确解为错误！未找到引用源。